Gymnasium Oberaargau Mathematik Isler

Logarithmen Seite 1

REPETITION TERTIA: LOGARITHMEN

1. Der Begriff des Logarithmus

ab = c

a: Basis b: Exponent c: (ausgerechnete) Potenz

Auflösen nach c: Potenzieren c ab

Auflösen nach a: bcca b1

Radizieren

Auflösen nach b: Logarithmieren b ca log

Beispiel: 2 83

328 c

3

13 882 a

8log3 2b

Der Logarithmus von c zur Basis a ( log ) ist der Exponent, mit dem man a a cpotenzieren muss, um c zu erhalten.

b c aab log c a R+ \{1}, b R, c R+

Der Taschenrechner kann meistens Logarithmen zur Basis 10 (Zehnerloga-rithmen: lg) und zur Basis e = 2.718281828 (natürliche Logarithmen: ln) direkt berechnen. Somit wird es ein Ziel sein, alle anderen Logarithmen auf eine dieser beiden Basen umrechnen zu können. (siehe Seite 2).

2. Logarithmengesetze

Bei einer fest gewählten Basis a ist Logarithmieren die Umkehroperation zum Potenzieren. So wird durch Potenzieren der Basis a mit dem Exponenten b der Wert der Potenz c berechnet, durch Logarithmieren zur Basis a erhält man umgekehrt aus der Potenz c den Exponenten b.

cbca ab log

Somit müssten die Logarithmengesetze auch gerade umgekehrt zu den Potenzgesetzen lauten

au

av

auv

r s r s log log loga auv u vr s r s

a

au

av

ar s r s

uv

: log log loga au

vu v

r sr s

a

a

u

au

r

s

r s

s

s

log loga

sau s

r s r

u

lg

ln

Gymnasium Oberaargau Mathematik Isler

Logarithmen Seite 2

3. Basiswechsel

Durch Anwenden der Logarithmengesetze auf die folgende Gleichung können wir Logarithmen beliebiger Basis mit Hilfe des Zehner- bzw. des natürlichen Logarithmus ausrechnen.

ax = b logarithmieren (z.B. zur Basis e)

ln (ax) = ln b x·ln a = ln b

x = ln

ln

b

a

alnbln

bloga loglog

loga bb

ac

c

, für irgendeine Basis c

4. Logarithmusfunktionen

Wie Potenz- und Wurzelfunktionen sind Exponential- und Logarithmusfunktionen Umkehrfunktionen voneinander.

Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion erhält man, indem in der Funktionsgleichung x und y vertauscht werden und anschliessend nach y aufgelöst wird.

Den Graphen der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der 1.Winkelhalbierenden. xy 2

x

y

0-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

x

y

0-1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

)(log2 xy

)(log2

1 xy

)(log2 xy

Gymnasium Oberaargau Mathematik Isler

5. Anwendungen

5.1 Logarithmisches Rechnen

Ein Taschenrechner mit n-stelligem Display kann offenbar alle Zahlen exakt darstellen, die nicht mehr als diese n Stellen (als Vor- und Nachkommastellen) benötigen. Darüber hinaus wird er einen grossen Teil der reellen Zahlen als entsprechend gerundete Werte in wissenschaftlich-technischer Schreibweise anzeigen (z.B. 1/3 als 3.3333333E-01). Offensichtlich gibt es aber auch Zahlen, die gar nicht mehr darstellbar sind. Das sind alle Zahlen, bei denen der Exponent von 10 nicht zwischen -99 und +99 liegt. Auf der reellen Zahlengeraden liegen diese Zahlen sehr weit links bzw. rechts, aber auch nahe bei Null.

R

0 9 9999999 10 99. 0 0000001 10 99. 0 0000001 10 99. 9 9999999 10 99.

Logarithmen bieten uns nun die Möglichkeit auch bei Rechnungen mit nicht darstellbaren Zahlen noch die Hilfe unseres Taschenrechners in Anspruch zu nehmen. Indem wir statt das gesuchte Resultat den Zehnerlogarithmus davon berechnen und anschliessend zur Basis 10 exponieren, liegen unsere Zwischenresultate meist im Darstellungsbereich unseres Taschenrechners. Einzig kleinere Umformungen mit Hilfe der Logarithmen- und Potenzgesetze bleiben uns überlassen.

Beispiel: x 31 5792 49

log log log log log log .x 31 57 31 57 92 31 49 57 22324314392 49 92 49

x 10 10 10 1750422955 10223 2431437 0 2431437 223 223. . .

5.2 Logarithmische Skalen

Manchmal ist es nötig, Zahlen verschiedener Zehnerpotenzen in einer Skala darzustellen. In einer Skala mit festen Einheiten könnten entweder die kleinen Zahlen nicht mehr unterschieden werden oder die grossen Zahlen fänden nicht mehr Platz bzw. die Skala würde unübersichtlich gross. Um eine Skala zu bekommen, auf der alle Werte abgetragen werden können und trotzdem von übersichtlicher Grösse ist, verteilt man die Einheiten logarithmisch. Man erhält eine solche logarithmische Skala, indem man ausgehend von einem Punkt ‘1’ anstelle des wirklichen Abstandes x die Länge des Logarithmus von x, üblicherweise , abträgt.

log10 x

1 10 3 10 2 10 1 101 102 103

Logarithmen Seite 3