sistemas_ecuaciones_lineales

4 Sistemas linealescon parmetroslgebra

AT00177301_05_mates2bach_CC_t04_mec:mates2bach_CC_t04_mec 7/5/09 10:29 Pgina 84

Introduccin

En este tema se renen los conceptos y procedimientos bsicos de lostemas anteriores de resolucin de sistemas lineales, matrices y determi-nantes. Vers que las matrices y los determinantes son una herramientapoderosa y cmoda para discutir y resolver un sistema.

El tema comienza enseando cmo se expresan los sistemas lineales enforma matricial y estudiando el teorema de Rouch, que proporcionauna mtodo rpido y fcil para discutir un sistema lineal de ecuaciones.

Se cierra el tema con la discusin de sistemas con parmetros, que es unproblema clsico en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.

Hoy en da existe una creciente preocupacin por el consumo energti-co y el medio ambiente. Aunque la utilizacin de las energas renova-bles y no contaminentes, como, por ejemplo, las obtenidas de los cursosde los ros, las mareas, el viento, el sol, etc., se han incrementado nota-blemente en los ltimos tiempos, ya desde la antigedad se usaba estetipo de energa en norias, molinos, etc. La energa generada por estosinventos se puede calcular mediante la resolucin de sistemas de ecua-ciones.

Organiza tus ideas

85

Sistemas lineales con parmetros

Teorema de Rouch el mtodo de Gauss

determinadosR(C) = n

incompatiblesR(C) < R(A)

compatiblesR(C) = R(A)

indeterminadosR(C) < n

homogneos(compatibles)

heterogneosmatricial-mente

regla deCramer

se resuelven generalmente porse discuten con el

y si el sistema es de Cramerse pueden resolver

y se clasifican en


lgebra

86

Piensa y calculaDado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:

=)xyz()1 2 32 1 0( )02(

1. Teorema de Rouch

1.1. Matrices de un sistema linealEn un sistema de n ecuaciones lineales con p incgnitas

se distinguen las siguientes matrices:

En la matriz ampliada se separa con una barra vertical la columna de trminosindependientes.

Ejemplo

=

cuyas matrices son:

1.2. Teorema de Rouch

Demostracin en detalle en la pgina 94

)xyz( )23()2 1 31 4 5(2x + y 3z = 2x 4y + 5z = 3

a11x1 + a12x2 + + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + + a2pxp = b2an1x1 + an2x2 + + anpxp = bn

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la ma-triz de los coeficientes, C, es igual al rango de la matriz ampliada con los tr-minos independientes, A.

Sistema compatible R(C) = R(A)

De los coeficientes

C = )(a11 a12 a1pa21 a22 a2p an1 an2 anp

De lasincgnitas

X = )( x1x2xp

De los trminosindependientes

B = )(b1b2bn

De los coeficientes ampliada conlos trminos independientes

A = )(a11 a12 a1p b1a21 a22 a2p | b2 an1 an2 anp bn

De los coeficientes

C = )2 1 31 4 5(De las

incgnitas

X = )xyz(De los trminosindependientes

B = )23(De los coeficientes ampliada conlos trminos independientes

A = )2 1 3 21 4 5 | 3(

Expresin matricialde un sistema

= )b1b2bn()x1x2

xp()a11 a12 a1pa21 a22 a2p

an1 an2 anp(


Tema 4. Sistemas lineales con parmetros

87

1.3. Discutir un sistema

Estrategia para discutir o estudiar un sistema

Ejercicio resuelto

Discute el siguiente sistema:

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

|C| = = 0

Como el determinante de C es cero, se halla el rango de A y C por Gauss:

R = R = R

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas Sistema heterog-neo compatible indeterminado.

)1 2 1 10 5 1 | 2()1 2 1 10 5 1 | 20 5 1 2(3 1 22 1 3)1 2 1 13 1 4 | 52 1 3 4(|1 2 13 1 4

2 1 3|

x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x y + 3z = 4

Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo aplican-do el teorema de Rouch. Para ello, se calcula el rango de la matriz de los co-eficientes, C, y el rango de la matriz ampliada con los trminos independien-tes, A, y se sigue el esquema. La letra n es el nmero de incgnitas:

Compatible Determinado: R(C) = R(A) = n

Heterogneo R(C) = R(A) Indeterminado: R(C) = R(A) < n

Sistema Incompatible: R(C) < R(A)

Homogneo Determinado: R(C) = n(Compatible) Indeterminado: R(C) < n

1

Si el nmero de ecuaciones coincide con el de incgnitas, se halla el determi-nante de la matriz de los coeficientes, y si es:a) Distinto de cero, el sistema es compatible determinado.b) Igual a cero, se calcula el rango de la matriz ampliada por Gauss.

1. Escribe los siguientes sistemas en forma matricial:

2. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:

=

3. Discute los siguientes sistemas:

4. Discute los siguientes sistemas:b)

b)

a)

a)b)a)

2x + y z = 0x + y = 1

x + z = 1

x + 2y + z = 12x + 3y + 2z = 0x + y + 2z = 3

3x + 2y + 2z = 153x 2y 2z = 1x + 3y + 3z = 3

3x y + 2z = 1x + 4y + z = 0

2x 5y = 2

)130()xyz()1 0 23 1 12 1 2(

2x + y z = 2x + y + 2z = 5

x + 5z = 3

x y = 22x + y + 2z = 0x y + 2z = 1

Aplica la teora

Relacin entre rangosLa matriz ampliada, A, se formaaadiendo una columna a la ma-triz de los coeficientes, C. Por lotanto, siempre se verifica:

R(C) R(A)

Se elimina la 3 fila porque es igual que la 2


lgebra

88

Piensa y calculaDado el siguiente sistema, resulvelo matricialmente:

=)xy()1 11 2( )34(

2. Regla de Cramer y forma matricial

2.1. Regla de CramerUn sistema es de Cramer si tiene el mismo nmero de ecuaciones que de incg-nitas y el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, es de-cir, el sistema es compatible determinado.

Demostracin en detalle en la pgina 95

Ejercicio resuelto

Resuelve por Cramer el siguiente sistema:

Determinante de los coeficientes:

|C| = = 24

La solucin es:

x = = = 3

y = = = 4

z = = = 2

2x y + z = 8x + 3y 2z = 52x + y + 3z = 4

|2 1 11 3 22 1 3|

4824

2 1 8|1 3 5|2 1 424

9624

2 8 1|1 5 2|2 4 324

7224

8 1 1| 5 3 2|4 1 324

2

En un sistema de Cramer, cada incgnita es el cociente de dos determi-nantes:a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes.b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el deter-minante de los coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientesde la incgnita que se despeja, por los trminos independientes.



89

2.2. Resolucin de un sistema matricialmente

Ejercicio resuelto

Resuelve matricialmente el siguiente sistema:

Se escribe el sistema en forma matricial:

=

Se calcula la inversa de la matriz de los coeficientes:

C1 =

1

=

Multiplicando, se tiene:

= =

La solucin es: x = 3, y = 2, z = 1

Para resolver un sistema matricialmente se escribe la matriz de los coeficien-tes, C, la matriz columna de las incgnitas, X, y de los trminos independien-tes, B, y se escribe el sistema en forma matricial:

CX = B X = C1B

)xyz( )321()045()10 7 54 3 21 1 1()10 7 54 3 21 1 1()1 2 12 5 01 3 2(

)1 2 12 5 01 3 2( )xyz( )045(

x + 2y z = 02x + 5y = 4x + 3y + 2z = 5

3

5. Resuelve por Cramer:

6. Resuelve por Cramer en funcin del parmetro a:


8. Resuelve matricialmente el sistema:


=


a) b)

4x + 4y + 5z + 5t = 02x + 3z t = 10x + y 5z = 10

3y + 2z = 1

)275()xyz()5 8 13 2 62 1 1(

2x 3y + z = 7x + 4y + 2z = 1x 4y = 5

3x + 2y + z = 52x y + z = 6x + 5y = 3

x + y = ax + z = 0x + 2y + z = 2

x + y 2z = 62x + 3y 7z = 165x + 2y + z = 16

2x + y = 5x + 3z = 16

5y z = 10

Aplica la teora


lgebra

90

Piensa y calculaResuelve mentalmente el siguiente sistema:

x + y = 02x + y = 13x + 2y = 1

3. Resolucin de sistemas de cuatro ecuaciones

3.1. Resolucin de un sistema de 4 ecuacionescon 4 incgnitas

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema:

Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

|C| = = = 0

El sistema no es de Cramer porque |C| = 0; se resuelve por Gauss.

R = R =

= R

R(C) = R(A) = 3 < nmero de incgnitas Sistema compatible indetermi-nado. El sistema es equivalente a:

La solucin, en ecuaciones paramtricas, es:

l

|

x = 3y = 1 + lz = 1 + lt = l

x = 3y = 1 + tz = 1 + t

x + 2y + z = 2 + 3ty + z = 2tz = 1 + t

x + 2y + z 3t = 2y + z 2t = 0z t = 1

)1 2 1 3 20 1 1 2 | 00 0 1 1 1()1 2 1 3 20 1 1 2 | 00 0 1 1 1

0 0 2 2 2(2 2 13 1

4 3 1)1 2 1 3 22 5 3 8 | 41 2 2 4 3

3 6 5 11 8(

4 = 2 3|1 2 1 30 1 1 20 0 1 1

0 0 2 2

2 2 1

3 1

4 3 1|1 2 1 32 5 3 81 2 2 4

3 6 5 11|

x + 2y + z 3t = 22x + 5y + 3z 8t = 4x + 2y + 2z 4t = 33x + 6y + 5z 11t = 8

4

Para resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, se calcula:a) el determinante de la matriz de los coeficientes para ver si el sistema es de Cra-mer. Si lo es, se puede resolver por Cramer, aunque por Gauss es ms sencillo.

b) Si no es de Cramer, se resuelve por Gauss.

Se elimina la 4 fila por-que es igual que: 2 3



91

3.2. Resolucin de un sistema de 4 ecuacionescon 3 incgnitas

Ejercicio resuelto

Clasifica el siguiente sistema y, si es compatible, resulvelo:

No es un sistema de Cramer porque no tiene el mismo nmero de ecuacionesque de incgnitas.

R = R =

= R = R

R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas El sistema es heterogneo com-patible determinado.

El sistema es equivalente a:

La solucin del sistema es: x = 2, y = 1, z = 3

z = 3y = 1

x = 2x + y = 1y + 3 = 2z = 3

x + y = 1y + z = 2

z = 3

x 1 = 1y = 1z = 3

)1 1 0 10 1 1 | 20 0 1 3(3/5)1 1 0 10 1 1 | 20 0 5 15(4 2 4)1 1 0 10 1 1 | 20 1 1 2

0 4 1 7(1 3

3 1 4)1 1 0 10 1 1 | 21 0 1 1

3 1 1 10(

x + y = 1y + z = 2

x z = 13x y + z = 10

5

Como un sistema de 4 ecuaciones con 3 incgnitas no puede ser de Cramer, seestudia la compatibilidad del sistema calculando los rangos de la matriz am-pliada y de los coeficientes, y, si es compatible, se resuelve aplicando Gauss.

11. Resuelve el siguiente sistema:




x y + z = 52x + y 4z = 1x + y z = 2x y z = 0

x + z + t = 1y + z t = 1y + z 2t = 2

z t = 0

2x + y + z = 4x y + z = 1

3x y z = 16x y + z = 6

x + y + 2t = 33x y + z t = 15x 3y + 2z 4t = 12x + y + z + t = 2

Aplica la teora


lgebra

92

Piensa y calcula

Discute, segn los valores de k, el siguiente sistema:

x + y = 32x + 2y = k

4. Discusin de sistemas con parmetros

4.1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incgnitas

Ejercicio resuelto

Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema:

a) Se calcula: |C| = = 3k2 k3

3k2 k3 = 0 k2(3 k) = 0 k = 0, k = 3 Para todo valor de k ? 0 y k ? 3, se verifica que:R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas y, por lo tanto, el sistema escompatible determinado.

b) Se estudian los valores que son races de |C| = 0

Para k = 0 se tiene el sistema: x + y + z = 0

Se tiene que R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas y, por lo tanto, elsistema es compatible indeterminado.

Para k = 3 se tiene el sistema:

R = R =

= R Se tiene que R(C) = 2 ? R(A) = 3 y, porlo tanto, el sistema es incompatible.)2 1 1 00 1 1 | 20 0 0 12(

2 : (3)

2 + 3)2 1 1 00 3 3 | 60 3 3 6(1 + 2 23 2)2 1 1 01 2 1 | 31 1 2 9(

2x + y + z = 0x 2y + z = 3x + y 2z = 9

x + y + z = 0x + y + z = 0x + y + z = 0

|1 k 1 11 1 k 11 1 1 k

|

(1 k)x + y + z = 0x + (1 k)y + z = kx + y + (1 k)z = k2

6

La mejor estrategia para discutir estos sistemas es:a) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se hallan sus ra-ces. Para aquellos valores para los que no se anule el determinante, se ten-dr que R(C) = R(A) = 3, y el sistema ser compatible determinado.

b) Para los valores que son races del determinante de la matriz de los coefi-cientes, se estudia el sistema por Gauss.

Discutir un sistema en fun-cin de un parmetro consis-te en clasificar el sistema en fun-cin de los valores del parmetro.



93

4.2. Sistemas de tres ecuaciones con dos incgnitas

Ejercicio resuelto

Discute, segn los valores del parmetro k, el siguiente sistema:

a) Se calcula: |A| = = k 1

k 1 = 0 k = 1 Para todo valor de k ? 1, se verifica que:R(C) < R(A) = 3 y, por lo tanto, el sistema es incompatible.

b) Se estudian los valores que son races de |A| = 0

Para k = 1 se tiene:

R = R

Se tiene que R(C) = R(A) = 2 = nmero de incgnitas y, por lo tanto, elsistema es compatible determinado.

)1 1 11 2 | 1()1 1 11 2 | 11 1 1(

|k 1 11 k + 1 11 k 1|

kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

7

La mejor estrategia para discutir estos sistemas es:a) Se calcula el determinante de la matriz ampliada y se hallan sus races. Paraaquellos valores para los que no se anule el determinante, se tendr que:

R(C) 2 y R(A) = 3, y el sistema ser incompatible.b) Para los valores que son races del determinante de la matriz ampliada, seestudia el sistema por Gauss.

15. Discute, segn los valores del parmetro a, los si-guientes sistemas:

16. Discute, segn los valores del parmetro k, los si-guientes sistemas:

17. Discute, segn los valores del parmetro a, el siguien-te sistema:

18. Discute, segn los valores del parmetro m, los si-guientes sistemas:

b)

b)a)

a)

b)

a)

(2m + 2)x + my + 2z = 2m 22x + (2 m)y = 0

(m + 1)x + (m + 1)z = m 1

x + y = 1mx + z = 0

x + (1 + m)y + mz = m + 1

3x + 10y = 4ax + y = 1x + 3y = 1

x + y + z = 0kx + 2z = 02x y + kz = 0

kx + y + z = 4x + y + z = kx y + kz = 2

(a + 1)x + y + z = 0x + (a + 1)y + z = 0x + y + (a + 1)z = 0

ax + y + z = 1x + ay + z = ax + y + az = a2

Aplica la teora


94

ProfundizacinProfundizacin: demostraciones1.2. Teorema de Rouch

Demostracin

La demostracin se har representando el sistema en forma vectorial, que consiste en poner el sistema como unacombinacin lineal de los vectores columna de la matriz de los coeficientes, es decir:

x1 + x2 + + xp =

Si se llama C1, C2, , Cp a las columnas de la matriz de los coeficientes, el sistema se expresa de forma reducida:

C1x1 + C2x2 + + Cpxp = B

El teorema es una equivalencia o doble implicacin; por lo tanto, la demostracin tiene dos partes:

a) Si el sistema es compatible R(C) = R(A)

Si el sistema es compatible, tiene solucin; es decir, existen s1, s2, , sp tales que:

C1s1 + C2s2 + + Cpsp = B

Luego el vector columna B es combinacin lineal de los vectores columna: C1, C2, , Cp, es decir, si a la matrizde los coeficientes C se le aade un vector columna que es combinacin lineal de los vectores columna de C, elrango no vara.

Por lo tanto:

R(C1, C2, , Cp) = R(C1, C2, , Cp, B)

R(C) = R(A)

b)Si R(C) = R(A ) el sistema es compatible

Si se tiene que:

R(C) = R(A)

se verifica:

R(C1, C2, , Cp) = R(C1, C2, , Cp, B)

Por lo tanto, el vector B es combinacin lineal de los vectores: C1, C2, , Cp

y entonces existen unos nmeros: s1, s2, , sp tales que:

C1s1 + C2s2 + + Cpsp = B

De lo que se deduce que s1, s2, , sp es una solucin del sistema; luego el sistema es compatible.

a11x1 + a12x2 + + a1pxp = b1a21x1 + a22x2 + + a2pxp = b2an1x1 + an2x2 + + anpxp = bn

)a1pa2panp()a12a22

an2( )b1b2

bn()a11a21

an1(

Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo si el rango de la matriz de loscoeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los trminos independientes.

Sistema compatible R(C) = R(A)


95

Tem

a4

.Si

ste

ma

sli

ne

ale

sc

on

pa

rm

etr

os

Profundizacin2.1. Regla de Cramer

Demostracin

Dado el sistema de Cramer:

=

el sistema se puede escribir de forma abreviada: CX = BComo el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero, la matriz C de los coeficientes es regular ytiene inversa; por lo tanto, se tiene:

X = C1 BEscribiendo las matrices, se tiene:

=

Se despeja cada incgnita y se utiliza el desarrollo de un determinante por los elementos de una columna escritos enforma inversa.

x1 = =

x2 = =

xn = =

)A11 A21 An1A12 A22 An2 A1n A2n Ann( )b1b2

bn()x1x2

xp(

)b1b2bn()x1x2

xn()a11 a12 a1na21 a22 a2n

an1 an2 ann(a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

an1x1 + an2x2 + + annxn = bn

a11 a12 b1| a21 a22 b2 | an1 an2 bn

|C|

b1A1n + b2A2n + + bnAnn|C|

a11 b1 a1n| a21 b2 a2n | an1 bn ann

|C|

b1A12 + b2A22 + + bnAn2|C|

b1 a12 a1n| b2 a22 a2n | bn an2 ann

|C|

b1A11 + b2A21 + + bnAn1|C|

1|C|

En un sistema de Cramer, cada incgnita es el cociente de dos determinantes:a) El determinante del denominador es el de la matriz de los coeficientes.b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante delos coeficientes, la columna correspondiente a los coeficientes de la incgnita que sedespeja, por los trminos independientes.


Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos8. Resuelve las cuestiones:

a) Clasifica el sistema siguientesegn los valores del par-metro k

b) Resuelve por Cramer parak = 2

kx + y 2z = 0x y + kz = 1

x + y + z = k

a) Clasificacin:

= k2 + 1 k2 + 1 = 0 k2 = 1 k = 1, k = 1

Para k ? 1, k ? 1, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema hetero-gneo compatible determinado.

Para k = 1

R = R =

= R

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogneo incompatible.Para k = 1

R = R

R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible in-determinado.

b) Resolucin por Cramer para k = 2

= 3

x = = = 1

y = = = 0

z = = = 1

Solucin: x = 1, y = 0, z = 1

33

03

33

2 1 0| 1 1 1 |1 1 2

3

2 0 2| 1 1 2 |1 2 1

3

2x + y 2z = 0x y + 2z = 1x + y + z = 2

|2 1 21 1 21 1 1

|0 1 2| 1 1 2 |2 1 1

3

)1 1 2 00 2 1 | 10 0 0 0(1 22 + 3)1 1 2 01 1 1 | 11 1 1 1(

)1 1 2 00 0 1 | 10 0 0 4(2 2 + 3

)1 1 2 00 0 1 | 10 0 2 2(

|k 1 21 1 k1 1 1

|

1 + 2

2 + 3)1 1 2 01 1 1 | 11 1 1 1(

Discutir un sistema 3 3 con un parmetro y resolver por Cramer

96


Ejercicios y problemas

9. Resuelve las cuestiones:

a) Calcula la matriz inversa de:

A =

b) Escribe de forma matricialel siguiente sistema y re-sulvelo usando la matrizA1,hallada en el apartado ante-rior:

x + y = 1y + z = 2x + z = 3

)1 1 00 1 11 0 1(a) Matriz inversa:

A1 =

b) En forma matricial:

=

AX = B X = A1B

= =

Solucin: x = 3, y = 2, z = 0

3

2

0)123

( )()1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2

()xyz()xyz( )123()1 1 00 1 11 0 1(

)1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2

(Resolver un sistemas 3 3 aplicando la matriz inversa

97

Tem

a4

.Si

ste

ma

sli

ne

ale

sc

on

pa

rm

etr

os

PAU

10.Resuelve el siguiente sistema:

x 2y + z 3v = 4x + 2y + z + 3v = 4

2x 4y + 2z 6v = 82x + 2z = 0

Eliminamos la 3 porque es el doble de la 1

3v = 4 2y

Solucin general: z = x, v =

Soluciones paramtricas: x = l, y = , z = l, v = ; l,

x 2y x 4 + 2y = 44 2yv =3

z = x

x 2y + z 3v = 42y + 3v = 4

z = x

3/2

z = x

x 2y + z 3v = 44y + 6v = 8

x + z = 02 1

3/2

x 2y + z 3v = 4x + 2y + z + 3v = 42x + 2z = 0

4 2y3

4 23

Resolver un sistema 4 4 heterogneo


Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos11.Considera el siguiente sistema

de ecuaciones:

a) Resulvelo para el valor dea que lo haga compatible in-determinado.

b) Resuelve el sistema que seobtiene para a = 2

ax + y + z = 4x ay + z = 1x + y + z = a + 2

= a2 + 1 a2 + 1 = 0 a2 = 1 a = 1, a = 1

Para a ? 1, a ? 1, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema heterog-neo compatible determinado.

Para a = 1

R = R

R(C) = 2 ? R(A) = 3, sistema heterogneo incompatible.Para a = 1

R = R

R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible inde-terminado.

a) Resolucin cuando es compatible indeterminado:

Pasamos de la ltima matriz en la que hemos calculado el rango a forma desistema:

Solucin general: x = 3/2, y = 5/2 z

Solucin en paramtricas: x = 3/2, y = 5/2 l, z = l; l

b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2

Cambiamos la 1 ecuacin con la segunda:

Solucin: x = 0, y = 1, z = 3

x = 0z = 3y = 1

x 2 + 3 = 15 z = 2y = 1

y = 1

x 2y + z = 15y z = 23y = 3

2 2 1

3 1

x 2y + z = 12x + y + z = 4x + y + z = 4

2x + y + z = 4x 2y + z = 1x + y + z = 4

x + 5/2 z + z = 4y = 5/2 z

x + y + z = 42y + 2z = 5

y = 5/2 z

1 1 1 40 2 2 | 50 0 0 0)(1 + 22 3)1 1 1 41 1 1 | 11 1 1 1(

)1 1 1 40 2 0 | 30 0 0 1(1 21 3)1 1 1 41 1 1 | 11 1 1 3(

|a 1 11 a 11 1 1|

Discutir y resolver un sistema 3 3 heterogneo con un parmetro

98



12.Dado el sistema homogneo:

averigua para qu valores de ktiene soluciones distintas dex = y = z = 0. Resulvelo entales casos.

x + ky z = 0kx y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

= k2 k 2 k2 k 2 = 0 k = 2, k = 1

Para k ? 2, k ? 1, R(C) = 3 = nmero de incgnitas, solo tiene la solucinx = y = z = 0

Para k = 2

La solucin general es: x = z/5, y = 3z/5

La solucin en paramtricas: x = l/5, y = 3l/5, z = l; l

Para k = 1

La solucin general es: x = z, y = 0

La solucin en paramtricas: x = l, y = 0, z = l; l

x = z

x z = 0x + z = 0

y = 0

x y z = 0x y + z = 0

y = 0

x = z/5

x + 6z/5 z = 0y = 3z/5

y = 3z/5

x + 2y z = 05y 3z = 05y 3z = 0

2 1 2

3 1 3

x + 2y z = 02x y + z = 03x + y = 0

|1 k 1k 1 1k + 1 1 0|

Discutir y resolver un sistema 3 3 homogneo con un parmetro

13.Dado el sistema:

disctelo segn los valores dea, y resulvelo cuando seacompatible.

x + 3y az = 4ax + y + az = 0x + 2ay = a + 22x y 2z = 0

= a3 a2 8a + 12

a3 a2 8a + 12 = 0 a = 2, a = 3

Para a ? 2, a ? 3, R(C) < R(A) = 4, sistema heterogneo incompatible.

Para a = 2, R(C) = R(A) = 2 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo com-patible indeterminado.

Solucin: x = 8z/7 + 4/7, y = 2z/7 + 8/7

Para a = 3, R(C) = R(A) = 3 = nmero de incgnitas, sistema heterogneo com-patible determinado.

Solucin: x = 1, y = 0, z = 1

|1 3 a 4a 1 a 01 2a 0 a + 22 1 2 0

|Discutir y resolver un sistema 4 3 heterogneo con un parmetro

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Ejercicios y problemasEjercicios y problemas resueltos14.Dado el sistema de ecuacio-

nes lineales

se pide:

a) Discutir el sistema segnlos valores del parmetroa.Resolverlo cuando la solu-cin sea nica.

b) Determinar para qu valoro valores de a el sistematiene una solucin en la quey = 2

x ay = 2ax y = a + 1

a) Discusin

= a2 1 a2 1 = 0 a = 1, a = 1

Para a ? 1, a ? 1, R(C) = R(A) = 2 = nmero de incgnitas, sistema compa-tible determinado.

Para a = 1

R = R

R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas, sistema heterogneo compatible in-determinado.

Para a = 1

R = R

R(C) = 1 ? R(A) = 2, sistema heterogneo incompatible.

La solucin es nica cuando a ? 1, a ? 1; hay que resolverlo en funcin de a

= a2 1

x = = = =

y = = = =

Solucin: x = , y = ; a ? 1

b) Si y = 2, sustituimos y = 2 y resolvemos el sistema:

2a2 + 2a 2 = a + 1 2a2 + a 3 = 0

a = = =

Tiene la solucin y = 2 cuando a = 1, a = 3/2

1 2

1 1 + 244

13/2

1 54

x = 2a + 2a(2a + 2) 2 = a + 1

x 2a = 2ax 2 = a + 1

a + 1a2 1

1a + 1

a + 2a + 1

1a + 1

a 1(a + 1)(a 1)

1 2| a a + 1 |a2 1

2 a|a + 1 1 |a2 1

a + 2a + 1

(a + 2)(a 1)(a + 1)(a 1)

a2 + a 2a2 1

|1 aa 1|x ay = 2ax y = a + 1

1 + 2 )1 1 20 0 | 2()1 1 21 1 | 0(

)1 1 20 0 | 0()1 1 21 1 | 2(

|1 aa 1|

Discutir y resolver un sistema 2 2 heterogneo con un parmetro

100


Preguntas tipo test

Un sistema lineal heterogneo es compatible deter-minado si (C, matriz de los coeficientes, y A, matrizampliada con los trminos independientes):

R(C) < R(A)

R(C) = R(A) = N de incgnitas

R(C) > R(A)

R(C) ? R(A)

Si tenemos el sistema lineal matricial CX = B tal queexiste C1, la solucin es:

X = BC X = BC1

X = CB X = C1B

Un sistema lineal homogneo:

siempre es compatible.

siempre es incompatible.

unas veces es compatible y otras incompatible.

ninguna de las anteriores es cierta.

Un sistema lineal de tres ecuaciones con dos incgnitas:

si R(C) = R(A) = 2, es compatible.

si R(A) = 3, es compatible.

si R(C) = 3, es compatible.

si R(C) = R(A) = 3, es compatible.

Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incg-nitas:

si R(C) = R(A) = 2, es compatible determinado.

si R(C) ? R(A), es compatible determinado.si R(C) = R(A) = 3, es compatible determinado.

si R(C) < R(A), es compatible determinado.

Discutir el siguiente sistema segn los valores del pa-rmetro k

Es siempre incompatible.

Para k ? 0, compatible determinado.Para k = 0, compatible determinado.

Para k = 0, compatible indeterminado.

Se considera el sistema:

donde a es un parmetro real.

Discutir el sistema en funcin del valor de a

Para a = 0, no tiene solucin, y para a = 1, com-patible indeterminado.

Si a ? 0, incompatible, y si a = 0, compatible inde-terminado.

Si a = 0, incompatible, y si a ? 0, compatible inde-terminado.

Si a ? 1, incompatible, y si a = 1, compatible inde-terminado.

Se considera el sistema:

donde a es un parmetro real.

Resuelve el sistema para a = 0

Resuelve el sistema para a = 1

Para a = 0 no tiene solucin; para a = 1,x = 2z + 1, y = z + 2

Para a = 0, x = y = z = 0; para a = 1 no tiene so-lucin.

Para a = 0, x = 2, y = 3, z = 5; para a = 1, x = 1,y = 2, z = 3

Para a = 0, x = 1, y = 2, z = 3; para a = 1, x = 3,y = 2, z = 0

Dado el sistema:

estudia su compatibilidad segn los valores de a

Si a ? 0, a ? 2, compatible determinado; si a = 1,incompatible; si a = 2 incompatible.

Si a ? 1, compatible determinado; si a = 1, com-patible indeterminado.

Si a ? 0, compatible determinado; si a = 0, com-patible indeterminado.

Si a ? 1, a ? 3, compatible determinado; sia = 1, incompatible; si a = 3, incompatible.

Dado el sistema:

resulvelo cuando sea posible.

Si a ? 1, x = 1, y = 1, z = 1 aSi a = 1, x = 1/2, y = 1/2, z = (1 a)/2

x = 1/2, y = 1/2, z = (1 a)/2 para a ? 1 y x = l,y = 1 l, z = 0; l para a = 1No se puede resolver porque R(C) ? R(A)

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y = 1

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y = 1

x y + z = 1y + z = 2a

x + 2z = a2

x y + z = 1y + z = 2a

x + 2z = a2

kx + ky z = 23x ky = 05x + ky = 0

x + 2z = 1

1

9

8

7

6

10

5

4

3

2

Contesta en tu cuaderno:

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas

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102

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos1. Teorema de Rouch




22. Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema:

2. Regla de Cramer y forma matricial



25. Resuelve matricialmente:

=

26. Resuelve matricialmente:

=

3. Resolucin de sistemas de cuatroecuaciones





4. Discusin de sistemascon parmetros

31. Discute, segn los valores del parmetro m, los si-guientes sistemas:

32. Discute, segn los valores del parmetro a, los siguien-tes sistemas:

33. Discute, segn los valores del parmetro k, los siguien-tes sistemas:

b)

a)

b)

a)

b)a)

b)a)

a)

b)

b)

b)

b)

a)

a)

a)

3x 5y = 6x + y = kx + 2y = 2

x + y = 13x + 2y z = 3kx + 3y 2z = 0x 4z = 3

mx + my = 6x + (m 1)y = 3

(m + 1)x + y + z = 3x + 2y + mz = 4x + my + 2z = 2

x + y + 2z = 22x y + 3z = 25x y + az = 6

x + y + 2z = 32x y + az = 9x y 6z = 5

x + 2y 3z + t = 12x y z 3t = 27x y 6z 8t = 74x + 3y 7z t = 4

x 3y z = 1x + 5y + 3z = 3x + y + z = 1

3x + 7y + 5z = 5

x + y + z = 2x + 2y 3z = 8

2x y z = 1x y + z = 2

x + y 2z + 2t = 22x y + z 4t = 1

x + 2y + z = 3x + z 2t = 1

)220()xyz()1 0 11 1 00 1 1(

3x + 2y + 4z = 12x + y + z = 0

x + 2y + 3z = 1

)xyz()1 2 12 1 21 1 2( )123(

x + 2y + 3z = 0x + 2y + z = 0

2x + 3y + 4z = 2

x + y + z = 13x 4y = 57x y 3z = 8

7x + 2y + 3z = 155x 3y + 2z = 15

10x 11y + 5z = 36

2x + 4y z + 2t = 0x + y + z = 3

5x 2y 4z t = 12

2x y + z = 2x + 2y + 3z = 1x 3y 2z = 3

x + 2y 4z = 12x + y 5z = 1

x y z = 2

2x + y + 4z = 04x y + 2z = 43x y + z = 2

8x + y + 4z = 95x 2y + 4z = 6

x + y = 1

5x + 4y + 5z = 9x 2y = 1

5x + 3y + 5z = 5

3x y + 2z = 1x + 4y + z = 3

2x 5y + z = 2


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34. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

35. Para cada valor del parmetro real k, se considera elsistema lineal de ecuaciones:

Se pide:

a) discutir el sistema segn los valores de k

b) resolverlo en los casos en que sea compatible.

36. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parmetro m:

a) Discute el sistema para los distintos valores de m

b) Resuelve el sistema para m = 3

37. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parmetro real a:

a) Discute el sistema segn los diferentes valores delparmetro a

b) Resuelve el sistema para a = 1

c) Resuelve el sistema para a = 2

38. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones,dependiente del parmetro real l:

a) Discute el sistema segn los diferentes valores delparmetro l

b) Resuelve cuando sea indeterminado.

39. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

a) Discute el sistema segn los valores del parme-tro a

b) Resuelve el sistema cuando tenga ms de una solu-cin.

40. Sea el siguiente sistema:

a) Discute la compatibilidad del sistema segn los valo-res del parmetro k

b) Resuelve el sistema para k = 1

c) Resuelve el sistema para k = 2

41. Siendo a un nmero real cualquiera, se define el sis-tema:

a) Discute el sistema en funcin del valor de a

b) Encuentra todas sus soluciones para a = 1


donde l es un nmero real.a) Discute el sistema segn los valores del parme-

tro lb) Resuelve el sistema para l = 0c) Resuelve el sistema para l = 3


Discute el sistema segn los diferentes valores del pa-rmetro l y resulvelo.

a)

b)

x + y + 5z = 02x ly = 0

x y + z = 0

y + z = 1(l l) + y + z = l

x + (l 1)y z = 0

x + 2y az = 1y + z = 0

ax + z = a

x + ky + 2z = k2x + ky z = 2kx y + 2z = k

ax + y z = 02x + ay = 2x + z = 1

x + y + lz = l2

y z = lx + ly + z = l

x y = 2ax + y + 2z = 0x y + az = 1

2x + y z = 2x + y + 2z = 5

x + (m + 2)z = 3

x y = 32x 3y = 2k3x 5y = k2

x y + 3z + 14t = 02x 2y + 3z + t = 03x 3y + 5z + 6t = 0

3x + 2y z = 4x + y + z = 3

2x 3z = 14x + 5z = 6

Para ampliar


104

Ejercicios y problemasEjercicios y problemas propuestos

50. Dado el sistema de ecuaciones:

a) estudia su compatibilidad.

b) aade al sistema una ecuacin de tal forma que elsistema resultante tenga solucin nica. Justifica larespuesta y encuentra dicha solucin.

c) aade al sistema dado una ecuacin de tal formaque el sistema resultante sea incompatible. Justificala respuesta.

51. Se considera el siguiente sistema:

a) Discute el sistema segn los valores del parmetroreal a

b) Resuelve el sistema para a = 3

52. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones en lasincgnitas x, y, z, t :

a) Encuentra los valores de k para los que el rango dela matriz de los coeficientes del sistema es 2

b) Resuelve el sistema anterior para k = 0

53. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Halla todos los valores del parmetro l para losque el sistema correspondiente tiene infinitas solu-ciones.

b) Resuelve el sistema para los valores de l obtenidosen el apartado anterior.

c) Discute el sistema para los restantes valores de l

2x + y + z = 1x y + z = 2

lx + 2y = 3x + 2lz = 13x y 7z = l + 1

x + 2y + z = 0y + 2z + t = 0

2x + 2ky t = 0

x y = ax + a2z = 2a + 1x y + a(a 1)z = 2a

Problemas

44. Considera el sistema de ecuaciones:

a) Clasifica el sistema segn los valores del parmetro lb) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeter-

minado.


a) Discute el sistema en funcin del parmetro a

b) Resulvelo para a = 2


a) Discute el sistema en funcin del parmetro real a

b) Resulvelo para a = 4

47. Sea el sistema de ecuaciones:

a) Discute el sistema en funcin del parmetro real a

b) Resuelve el sistema en los casos en que resulte com-patible determinado.

48. Se considera el sistema:

a) Discute el sistema segn los valores de m

b) Resuelve el sistema para m = 6

49. Sea el sistema homogneo:

a) Calcula el valor de m para el que el sistema tengasoluciones distintas de la trivial.

b) Halla las soluciones.

x + y + z = 2lx + 3y + z = 7

x + 2y + (l + 2)z = 5

x + z = 0x + my + 2mz = 0

2x + my + (2m + 3)z = 0

2x + my = 0x + mz = mx + y + 3z = 1

(a + 1)x + 2y + z = a + 3ax + y = aax + 3y + z = a + 2

x y + z = 6x y + (a 4)z = 7

x + y + 2z = 11

ax + 2y + 6z = 02x + ay + 4z = 22x + ay + 6z = a 2


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Ejercicios y problemas54. Discute el sistema, segn el valor del parmetro m, y

resuelve en los casos de compatibilidad.

55. Dado el siguiente sistema:

a) discute el sistema segn el valor del parmetro a

b) resuelve el sistema en todos los casos de compatibi-lidad.

56. Discute, segn los valores del parmetro k, el siguientesistema:



59. Discute el siguiente sistema segn los valores del par-metro m y resulvelo cuando sea posible:

60. Discute el siguiente sistema segn los valores del par-metro a:

Para profundizar

61. Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuacioneslineales segn los valores de los parmetros a y b:

62. Discute, segn los valores de los parmetros l y , elsistema de ecuaciones lineales:

63. Discute, segn los valores de los parmetros a y b, elsistema de ecuaciones lineales:

64. Calcula el valor de a y b para que el sistema siguientesea compatible indeterminado:

65. Estudia, segn los diferentes valores de a y b, la com-patibilidad del sistema:

66. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

a) discute el sistema en funcin de a y b

b) resuelve el sistema para a = b = 2


a) halla los valores de a y b para los que el sistema seacompatible indeterminado y su solucin sea unarecta.

b) halla la solucin para los valores obtenidos en elapartado anterior.

ax + z + t = 1ay + z t = 1ay + z 2t = 2

az t = 0

x + 2z 3 = 03x + y + z + 1 = 0

2y z + 2 = 0x y + mz + 5 = 0

x + y + 5z = 02x 3y = 0

x y + z = 0x + 2y + 2kz = k

x + y z = 2kx + y + z = 1x y + 3z = 3

4x + 2y = k

2y z = k3x 2z = 11

y + z = 62x + y 4z = k

2x y + z = 3x y + z = 2

3x y az = b

ax + y + z = 1x + ay + z = bx + y + az = 1

2x y 2z = bx + y + z = 5

4x 5y + az = 10

2x y + z = 3x y + z = 2

3x y az = b

2x 5y + az = 23x y + 2z = 1

x + 4y + z = b

lx + y + z = x + y + lz = 2

2x + y + lz =

3x y + 2z = 1x + 4y + z = b

2x 5y + az = 2

x + z = 1y + (a 1)z = 0

x + (a 1)y + az = a

2x + 3y + z = 43x + y + mz = 6

2x 10y 2z = m 4


106

68. Discute, segn los valores de k, el siguiente siste-ma:

Solucin:

a) Introduce la matriz C de los coeficientes, comoC(k)

b) Copia la matriz C(k), cambia la C por A, colo-ca el cursor en cualquier lugar de la ltima co-lumna. En selecciona Men y eligeAadir columna a la derecha.

c) Introduce la columna de los trminos indepen-dientes.

d) Resuelve la ecuacin:resolver(|C(k)| = 0)

e) Clasifica el sistema segn los valores de k

69. Resuelve el sistema cuando sea posible, segn losvalores de a, y clasifcalo.

Solucin:a) Como hay una ecuacin ms que incgnitas, secalcula el determinante de la matriz ampliada.

70. Internet.Abre:www.editorial-bruno.es y eligeMa-temticas, curso y tema.

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1x + y + z = a

(1 k)x + y + z = 0x + (1 k)y + z = kx + y + (1 k)z = k2

Paso a paso



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71. Discute el siguiente sistema:

72. Resuelve el sistema:

73. Resuelve matricialmente el siguiente sistema:


75. Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

a) Resulvelo para el valor de a que lo haga com-patible indeterminado.



77. Discute, segn los valores del parmetro k, el si-guiente sistema:

78. Clasifica el sistema siguiente segn los valores delparmetro k

79. Dado el sistema homogneo:

averigua para qu valores de k tienen solucionesdistintas de x = y = z = 0. Resulvelo en tales casos.

80. Dado el sistema de ecuaciones lineales

determina para qu valor o valores de a el sistematiene una solucin en la que y = 2

x ay = 2ax y = a + 1

x + y = 1y + z = 2

x z = 13x y + z = 10


x + ky z = 0kx y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

kx + y 2z = 0x y + kz = 1x + y + z = k

kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

ax + y + z = 4x ay + z = 1x + y + z = a + 2

x + 2y z = 02x + 5y = 4x + 3y + 2z = 5

2x y + z = 8x + 3y 2z = 52x + y + 3z = 4

x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x y + 3z = 4

As funcionaMen

Contiene las opciones:

Sustituir en una matriz A un parmetro k por un nmero

Se introduce la matriz como A(k): por ejemplo, para sustituir en la matriz A(k) el valor del parmetro k por 2, se es-cribe: A(2)

Linux/Windows

Practica


108

68. Discute, segn los valores de k, el siguiente siste-ma:

Solucin:

a) Introduce la matriz de los coeficientes y asgna-le la letra C

b) Introduce la matriz columna de los trminosindependientes y asgnale la letra B

c) En la entrada de expresiones escribe:

append_columns(C, B)

y elige Introducir y Simplificar.

d) Asgnale a esta matriz ampliada la letra A

Clculo del determinante de la matriz de los coe-ficientes.

a) Calcula el determinante de la matriz de los coe-ficientes, det(C)

k2(3 k)

b) Resuelve la ecuacin correspondiente:

k = 3 k = 0

Para todo valor de k ? 0 y k ? 3 se verifica queR(C) = R(A) = 3 El sistema es heterogneo ycompatible determinado.

Estudio para k = 0

a) Selecciona la matriz ampliada. En la barra deherramientas elige Sustituir variables, es-cribe en Nuevo valor: 0, y haz clic en Simpli-ficar.

b) Con la nueva matriz seleccionada, escribe en labarra de entrada de expresiones row_reduce ypulsa F4 para que se copie a su derecha entreparntesis.

c) Pulsa Introducir y simplificar, y se ob-tiene:

R(C) = R(A) = 1 < nmero de incgnitas Elsistema es compatible indeterminado.

Estudio para k = 3a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye el pa-rmetro k por 3

b) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene:

R(C) = 2 < R(A) = 3 El sistema es heterog-neo e incompatible.

69. Resuelve el sistema cuando sea posible, segn losvalores de a, y clasifcalo.

Solucin:

Como hay una ecuacin ms que incgnitas, secalcula el determinante de la matriz ampliada:a) Introduce la matriz de los coeficientes, C, la delos trminos independientes, B, y a partir deellas halla la matriz ampliada, A

b) Calcula el determinante de A, det(A):a4 6a2 + 8a 3

c) Halla sus races reales:a = 3 a = 1

Para todo valor a ? 3 y a ? 1, se tiene que elR(C) < R(A) = 4 2 El sistema es heterog-neo e incompatible.

Estudio para a = 3a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por 3b) Reduce por filas la matriz obtenida.

R(C) = R(A) = 3 El sistema es heterogneo ycompatible determinado. Del sistema equiva-lente se obtiene la solucin:

x = 1, y = 1, z = 1

Estudio para k = 1a) Selecciona la matriz ampliada y sustituye a por 1

)1 0 0 10 1 0 10 0 1 10 0 0 0(

)1 0 1 00 1 1 00 0 0 1(

)1 1 1 00 0 0 00 0 0 0(

ax + y + z = 1x + ay + z = 1x + y + az = 1x + y + z = a

(1 k)x + y + z = 0x + (1 k)y + z = kx + y + (1 k)z = k2

Paso a paso



109

Tem

a4

.Si

ste

ma

sli

ne

ale

sc

on

pa

rm

etr

os

As funcionaDiscusin de un sistemaPara discutir un sistema:a) Se introduce la matriz de los coeficientes y se le asigna la letra Cb) Se introduce la matriz columna de los trminos independiente y se le asigna la letra Bc) Se forma la matriz ampliada, append_columns(C, B), y se le asigna la letra Ad) Se calcula el determinante que haga falta y se calculan sus races.e) Se estudia el rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada con: row_reduce(A)

Windows Deriveb) Reduce por filas la matriz obtenida. Se obtiene: R(C) = R(A) = 1 El sistema es compatible

indeterminado, el sistema equivalente es:x + y + z = 1 x = 1 y z

70. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

)1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0(

71. Discute el siguiente sistema:

72. Resuelve el sistema:

73. Resuelve matricialmente el siguiente sistema:



a) Resulvelo para el valor de a que lo haga com-patible indeterminado.



77. Discute, segn los valores del parmetro k, el si-guiente sistema:

78. Clasifica el sistema siguiente segn los valores delparmetro k

79. Dado el sistema homogneo:

averigua para qu valores de k tienen solucionesdistintas de x = y = z = 0. Resulvelo en tales casos.

80. Dado el sistema de ecuaciones lineales

determina para qu valor o valores de a el sistematiene una solucin en la que y = 2

2x y + z = 8x + 3y 2z = 52x + y + 3z = 4

x ay = 2ax y = a + 1

x + ky z = 0kx y + z = 0

(k + 1)x + y = 0

kx + y 2z = 0x y + kz = 1x + y + z = k

kx + y = 1x + (k + 1)y = 1x + ky = 1

x + y = 1y + z = 2

x z = 13x y + z = 10

ax + y + z = 4x ay + z = 1x + y + z = a + 2


x + 2y z = 02x + 5y = 4x + 3y + 2z = 5

x + 2y + z = 13x + y + 4z = 52x y + 3z = 4

Practica


Problemas resueltos

1. Sea la matriz

A =

a) Comprueba que verificaA3 I = O; con I, matriz iden-tidad, y O, matriz nula.

b) Calcula A12

c) Basndote en los apartados an-teriores y sin recurrir al clcu-lo de inversas,halla la matriz Xque verifica la igualdad

A2X + I = A

)1 2 21 2 10 1 1(a)

A2 = =

A3 = A2 A = =

Luego: A3 I = O

b)La matriz A es cclica de orden 3

A12 = A3 = I

c) Se multiplica por la izquierda en los dos miembros por A

A (A2 X + I) = A A A3 X + A = A2 X + A = A2 X = A2 A

X = =

1 0 21 1 11 1 0

)0 2 40 1 21 0 1()1 2 21 2 10 1 1()1 0 21 1 11 1 0(

12 30 4

)1 0 00 1 00 0 1()1 2 21 2 10 1 1()1 0 21 1 11 1 0()()1 2 21 2 10 1 1()1 2 21 2 10 1 1(

2. Resuelve las siguientes cues-tiones:

a) Define rango de una matriz.

b) Calcula el rango de A segnlos valores del parmetro k

A =

c) Estudia si se puede formar unabase de R3 con las columnasde A segn los valores del pa-rmetro k. Indica con qu co-lumnas.

)1 3 3 1k k 3 11 3 3 0(

a) El rango de una matriz es el nmero de filas o columnas linealmente indepen-dientes.

C4 C3 C1 C2

b)R = R =

= R = R = 3

para cualquier valor de k, ya que k no puede ser 3 y 3 a la vez.

c) Para k = 3, el determinante formado por los vectores columnas 4, 3 y 1 deA es cero. Luego los tres vectores son linealmente dependientes. Se puede for-mar una base con los vectores de las columnas 3, 2 y 1

= 36 ? 0

Para k ? 3 se puede formar una base con las columnas 1, 3 y 4

Las columnas 1, 2 y 3 son linealmenteindependientes para k = 3|3 3 13 3 3

3 3 1|

)1 3 1 30 6 k + 1 k + 30 0 k + 3 k 3(2 2 3)1 3 1 30 6 k + 1 k + 30 3 1 3(1 + 2)1 3 1 31 3 k k0 3 1 3()1 3 3 1k k 3 11 3 3 0(

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Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba


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lg

eb

ra

PAUlgebra

3. Se consideran las matrices

A =

B = (a, 2, 3)

C = (4, 0, 2)

a) Halla los valores de x, y, z, paralos que A no tiene inversa.

b) Determina los valores de a pa-ra los que el sistema B A = Ctiene solucin.

c) Resuelve el sistema anteriorcuando sea posible.

)x y zy 0 y1 z z(a) Para que A no tenga inversa, el determinante de A debe valer cero.

= y2 y2z y2 y2z = 0 y2(1 z) = 0 y = 0; z = 1

La matriz A no tiene inversa para los valores y = 0, o bien z = 1

b)

B A = C (a 2 3) = (4 0 2)

Sea la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada, respectivamente:

M = , N =

|M| = 3a2 3a2 = 0 a = 0

Para todo valor a ? 0, R(M) = R(N) = 3 = nmero de incgnitas el sistemaes compatible determinado.

Para a = 0 se tiene:

R = R = R = 3

Se tiene R(M) = 2 ? R(N) = 3 Sistema incompatible.

c) Para a ? 0, resolvemos por Cramer

|M| = 3a2

x = =

y = =

z = =

1a

13

a + 2a2

a 3 1| 0 a 0 |a 2 2

3a2

a 1 0| 0 0 3 |a 2 3

3a2

1 2 0| 0 a 3 |2 2 3

3a2

a 2 0 10 a 3 0a 2 3 2

2/3

3 23 1

0 2 0 10 0 1 00 0 0 1

0 2 0 10 0 3 00 0 3 1 )()()0 2 0 10 0 3 00 2 3 2(

)()a 2 00 a 3a 2 3(

ax + 2y = 1ay + 3z = 0

ax + 2y + 3z = 2)( x y zy 0 y1 z z

|x y zy 0 y1 z z|


Problemas resueltos

112

Problemas resueltos

Ejercicios y problemasPonte a prueba

4. Calcula una matriz cuadrada Xsabiendo que verifica

XA2 + BA = A2

siendo

A =

B =

)0 0 10 1 01 0 0()0 0 20 2 02 0 0(

XA2 + BA = A2

XA2 = A2 BA

Calculamos:

A2 = ; BA = ; A2 BA =

Luego:

X = X =)1 0 00 1 00 0 1()1 0 00 1 00 0 1()1 0 00 1 00 0 1()2 0 00 2 00 0 2()(1 0 00 1 00 0 1

)1 0 00 1 00 0 1(5. Dado el sistema de ecuacionescon incgnitas x, y, z,

se pide:

a) determinar razonadamente elvalor de a para el cual el siste-ma es compatible.

b) para ese valor obtenido en a)de a, calcular el conjunto desoluciones del sistema.

c) explicar la posicin relativa delos tres planos definidos porcada una de las tres ecuacionesdel sistema, en funcin de losvalores de a

x + 2y 3z = a2x + 6y 11z = 2x 2y + 7z = 1

a) Sea C la matriz de los coeficientes y A la matriz ampliada.

C = ; A =

Estudiamos el rango de la matriz ampliada.

R = R =

= R

Para a ? 1 R(C) = 2 ? R(A) = 3 Sistema incompatible.

Para a = 1 R(C) = R(A) = 2 < n de incgnitas Sistema compatible in-determinado.

b) Para a = 1, se tiene el sistema:

x = 1 2z, y = z

La solucin es:

x = 1 2l; y = l, z = l; l

c) Para a = 1, los tres planos se cortan en una recta. Para a ? 1, los tres planos secortan dos a dos. No hay dos planos paralelos.

x + 2y 3z = 12y + 5z = 0

52

52

)1 2 3 a0 2 5 2(a 1)0 0 0 5(a 1)(2 2 + 3

)1 2 3 a0 2 5 2(a 1)0 4 10 a 1(2 1 21 3)1 2 3 a2 6 11 21 2 7 1(

1 2 3 a2 6 11 21 2 7 1 )()1 2 32 6 111 2 7(


1. Sea A una matriz 3 3 de columnas C1, C2 y C3 (en eseorden). Sea B la matriz de columnas C1 + C2, 2C1 + 3C3y C2 (en ese orden). Calcula el determinante de B en fun-cin del de A


a) Disctelo segn los valores del parmetro a

b) Resulvelo en el caso a = 2


a) disctelo segn los valores del parmetro k

b) resulvelo cuando tenga infinitas soluciones.

4. Considera la matriz A =

a) Halla los valores del parmetro m para los que el ran-go de A es menor que 3

b) Estudia si el sistema A = tiene solucin para

cada uno de los valores de m obtenidos en el aparta-do anterior.

5. Se consideran las matrices

A = ; B =

donde l es un nmero real.a) Encuentra los valores de l para los que la matriz AB

tiene inversa.

b) Dados a y b nmeros reales cualesquiera, puede serel sistema

A =

compatible determinado con A, la matriz del enun-ciado?

6. Dadas las matrices:

A = y B = , se pide:

a) resolver la ecuacin matricial AX + X = B, donde X esuna matriz 2 2

b) resolver el sistema: , siendo X e Y dos

matrices de orden 2 2

7. Dada la matriz

M =

a) determina el rango de M segn los valores del par-metro a

b) determina para qu valores de a existe la matriz in-versa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 2

8. Dado el sistema de ecuaciones con un parmetro real le incgnitas x, y, z

se pide:

a) calcular para qu valores de l el sistema solo admitela solucin

(x, y, z) = (0, 0, 0)

b) para cada valor de l que hace indeterminado el siste-ma, obtn todas sus soluciones.

c) explicar la posicin relativa de los tres planos defini-dos por cada una de las ecuaciones del sistema cuan-do l = 3

9. A es una matriz 3 3 tal que

A2 = y A3 =

Se pide:

a) calcular el determinante de la matriz A3 y la matriz in-versa de A3

b) calcular la matriz fila X = (x, y, z), que es solucin de laecuacin matricial X A3 = B A2, donde B es la matrizfila B = (1, 2, 3)

c) calcular la matriz inversa de A

)1 0 22 1 02 2 3()2 1 01 0 11 1 2(

(l + 2)x y + z = 03x + (l + 6)y 3z = 05x + 5y + (l 2)z = 0

)2 1 a2a 1 12 a 1(

2X + 2Y = A4X + 3Y = B

)1 12 1()0 22 4(

)ab()xyz(

)1 3l 00 2()1 2 l1 1 1(

)111()xyz(

)1 1 1m m2 m2m m m2(

x + (k + 1)y + 2z = 1kx + y + z = k

(k 1)x 2y z = k + 1

x + y + z = a 12x + y + az = ax + ay + z = 1

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Problemas propuestos


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