SISTEM PERSAMAAN LINEAR

CREATED BY : ANA SAFRIDA

ax + by =

p

x

yz

cx + dy = q=

Pengertian

Sistem persamaan linear (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linear yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar.

Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kerawal).

Pembagian SPL

Sistem persamaan linear itu terbagi menjadi dua, yaitu: sistem persamaan linear dua peubah dan sistem persamaan linear tiga peubah.

Ada juga SPL yang berbentuk homogen, yaitu SPL yang sama dengan nol.

Cara menyelesaikan SPL

SPL dapat diselesaikan dengan beberapa cara, diantaranya:

Dengan eliminasi Dengan subtitusi Dengan eliminasi dan subtitusi Dengan grafik

Contoh SPL dua peubah

Berapakah himpunan selesaian dari SPL berikut:

8x + 2y = 16x – y = 4

Jawab:

dengan eliminasi

8x + 2y = 4 1 8x + 2y = 4 x – y = -2 8 8x – 8y = -16 _

10y = 20

10 y = 20 y = 20

10 y = 2

Untuk mencari nilai x :

8x + 2y = 4 -1 -8x – 2y = -4 x – y = -2 2 2x – 2y = -4 _

-10x = 0 x = 0 -10 x = 0

Jadi, himpunan selesaiannya dengan cara eliminasi adalah { 0,2 }

dengan subtitusi

8x + 2y = 4x – y = -2

Kita ambil satu saja, misalnya x – y = -2 , jadi:x – y = -2 x = -2 + y

Kita masukkan x tersebut ke 8x +2y = 4, jadi: 8 (-2 + y) + 2y = 4 -16 + 8y + 2y = 4

10 y = 4 + 16 10 y = 20 y = 20 y = 2

10

Setelah kita dapatkan nilai y, sekarang kita cari nilai x nya :

y = 2 x – y = -2 x – (2) = -2 x = -2 + 2 x = 0

Jadi, himpunan selesaiannya dengan cara subtitusi adalah { 0,2 }

Kita sudah melihat dengan 2 cara tadi, bahwa hasil yang diperolehnya adalah sama, cobalah mencari soal tadi dengan 2 cara lagi, saya yakin hasilnya pasti sama.

Kesimpulannya bahwa “Selesaikanlah soal-soal SPL dengan cara yang menurut kamu mudah, jika kamu rasa cara pertama itu sulit maka kamu boleh mencoba 3 cara yang lain yang lebih mudah”.

Contoh SPL tiga peubah

Biasanya banyak soal-soal SPL yang dibentuk dalam cerita, misalnya:

“Ani membeli 3 batang pensil dan 2 penggaris dengan harga Rp6000. Ditoko yang sama Rina juga membeli 4 penggaris dan 1 buku tulis dengan harga Rp8000. Karena Rina pergi dengan adiknya, jadi adiknya dibelikan 1 pensil dan 1 buku tulis oleh Rina dengan harga Rp3000. berapakah harga 1 pensil, 1 penggaris, dan 1 buku tulis di toko tersebut ???”

Jawab:

Misalkan: harga 1 batang pensil = x harga 1 penggaris = y harga 1 buku tulis = z

Dik. 3x + 2y = 6000 …………..persamaan 1

4y + z = 8000 …………….persamaan 2

x + z = 3000 …………….persamaan 3Dit. x = ? y = ?

z = ?

Penyelesaian:

Kita buat yang lebih mudah dulu dari persamaan 3 :x + z = 3000 x = 3000 – z

Kemudian subtitusikan nilai x ke persamaan 1:

3x + 2y = 60003(3000 – z) + 2y = 60009000 – 3z + 2y = 6000-3z + 2y = 6000 – 9000-3z + 2y = -3000, atau2y – 3z = -3000…………………persamaan 4

Kemudian eliminasikan persamaan 2 dan 4 :4y + z = 8000 2 8y + 2z = 160002y – 3z = -3000 4 8y – 12z = -12000 _

14z = 28000

z = 28000 14

z = 2000Subtitusikan nilai z ke persamaan 3 :

x + z = 3000x + 2000 = 3000x = 3000 – 2000 x = 1000

Sekarang kita cari nilai y :

Subtitusikan nilai z ke persamaan 2:

4y + z = 80004y + 2000 = 8000

4y = 8000 – 2000 4y = 6000 y = 6000

4 y = 1500

Jadi,Harga satu batang pensil Rp1000Harga satu penggaris Rp1500Harga satu buku tulis Rp2000

Kemungkinan selesaian SPL

Dari sebuah SPL, baik yang dua peubah maupun yang tiga peubah, kemungkinan selesaiannya ada 3, yaitu:

Tepat satu selesaian Tidak memiliki selesaian Tak hingga selesaian

Tepat satu selesaian

Misalkan SPL nya berbentuk: ax + by = p cx + dy = q

Sebuah SPL dikatakan memiliki tepat satu selesaian jika:

bc – ad ≠ 0cp – aq ≠ 0

Misalkan SPL nya berbentuk: ax + by = p cx + dy = q

Tidak memiliki selesaian

Sebuah SPL dikatakan tidak memiliki selesaian jika:

bc – ad = 0cp – aq ≠ 0

Misalkan SPL nya berbentuk: ax + by = p cx + dy = q

Tak hingga selesaian

Sebuah SPL dikatakan memiliki tak hingga selesaian jika:

bc – ad = 0cp – aq = 0

KegunaannyaApabila ada sebuah SPL yang menuntut

kita untuk menjawab himpunan selesaiannya, maka hal pertama yang harus kita lakukan adalah mencari tau apakah SPL tersebut mempunyai selesaian atau tidak, jika ada maka kita harus mencarinya, tetapi jika tidak ada, kita tidak perlu mencari selesaiannya.Dan juga untuk mengetahui kapan sebuah SPL memiliki selesaian, kapan SPL itu tidak memiliki selesaian, dan kapan SPL itu memiliki tak hingga selesaian, semuanya telah dijelaskan sebelumnya.

SEKIANLebih dan kurang saya mohon maaf,

karena saya masih dalam proses menimba ilmu.

Semoga apa yang saya tulis ini bermanfaat bagi segenap insan yang membutuhkan.

Saya mohon kritikan dan masukan untuk saya kedepan supaya lebih baik lagi.

Akhirul kalam syukran jazilan,,,

WASSALAM