SIMETRIA ESFERICA

Metrica de Schwarzschild

¶ Rotaciones en torno al origen de E3

~x −→ R~x (Rik xk) , δijR

ikRj

l = δkl

⇒ ~x · ~y −→ (R~x) · (R~y) = δijRikxkRj

l yl

= δklxkyl = ~x · ~y

¶ Metrica con simetrıa esferica en coordenadas“cuasicartesianas” (t, ~x)

ds2 = gαβ dxα dxβ = F (t, r) dt2 + 2E(t, r) dt (~x · d~x)

+ D(t, r)(~x · d~x )2 + C(t, r) (d~x · d~x)

siendo

r2 = ~x · ~x = δij xi xj

~x · d~x = δij xi dxj

d~x · d~x = δij dxi dxj

• Coordenadas esfericas asociadas a las coordenadas“cuasicartesianas”

xi −→ r, θ, ϕ :

x + iy = r sinθ eiϕ

z = r cos θ

⇒

~x · d~x = r dr

d~x · d~x = dr2 + r2dΩ2

1

dΩ2 ≡ dθ2 + sin2θ dϕ2

⇒ ds2 = F (t, r) dt2 + 2rE(t, r) dt dr

+ H(t, r) dr2 + r2C(t, r) dΩ2

• Condicion de esfera euclıdea

t, r −→ t, r : r2 = r2C(t, r)

⇒ ds2 = A(t, r) dt2 + 2B(t, r) dt dr

+ K(t, r) dr2 + r2 dΩ2

• Condicion de metrica diagonal

t, r −→ t, r : dt = f(t, r)[A(t, r) dt + B(t, r) dr

]

⇒ ds2 = −e2 ν(t,r) dt2 + e2 λ(t,r) dr2 + r2dΩ2 ♣ ♣

habiendo suprimido las tildes

¶ Tensor de Ricci y ecuaciones de Einstein

(MATHEMATICA + J. M. A.)

R00 =2rν′e2(ν−λ) + (ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)e2(ν−λ)

− (λ − λν + λ2)

R01 =1rλ

2

R11 =2rλ′ − (ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)

+ (λ − λν + λ2)e2(λ−ν)

R22 = e−2λ(−1 + e2λ + rλ′ − rν′)

R33 = R22 sin2θ

• Ecuaciones de Einstein de vacıo

Rαβ = 0

λ = 0 ⇒ λ(r) ♣

ν′′ − λ′ν′ + ν′2 +2rν′ = 0

ν′′ − λ′ν′ + ν′2 − 2rλ′ = 0

⇒ λ + ν = f(t) ♣

r(λ′ − ν ′) + e2λ − 1 = 0

y efectuando un cambio de coordenada temporal

ν = −λ(r) (!! Teorema de Birchoff !!) ♣

⇒

ν′′ + 2ν′2 +2rν′ = 0

− 2rν ′ + e−2ν − 1 = 0 (integral de la anterior)

⇒ 2rν′e2ν + e2ν = 1 ⇒d

dr(re2ν) = 1

⇒ re2ν = r − 2m ,(

limr→∞

e2ν = 1)

♣

3

• Metrica de Schwarzschild

⇒ ds2 = −(

1 − 2m

r

)c2dt2 +

1

1 −2mr

dr2 + r2dΩ2 ♣ ♣

g00 ' −1 − 2Φc2 , Φ = −G M

r

⇒ m =G M

c2♣ ♣

? Coordenadas esfericas asociadas a armonicas

r −→ r = r − m (solucion particular)

⇒ ds2 = − r − m

r + mdt2 +

r + m

r − mdr2 + (r + m)2dΩ2

Repaso del problema de Kepler newtoniano

• Conservacion de la energıa y del momento angular (por unidad demasa)

E =12(r2 + r2θ2 + r2 sin2θϕ2) −

GM

r

~J = ~x ∧ ~v ⇒ ~x · ~J = 0

• Eleccion del plano θ = π/2

E =12(r2 + r2ϕ2) − GM

r

J = r2ϕ (⇒ A = J/2)

4

• Potencial efectivo

E =12r2 + Φef (r) , Φef(r) ≡ J2

2r2 − GM

r

• Ecuaciones de la trayectoria

r2 = 2E − J2

r2 +2GM

r

ϕ =J

r2

⇒ dϕ =J/r2

√2[E − Φef (r)

] dr

(puntos de retroceso)

• Ecuacion de la orbita

(du

dϕ

)2

+ u2 =2J2 (E + GM u) , u ≡

1r

⇒ u =1p

[e cos(ϕ − ϕ0) + 1

]♣

p ≡ J2

GM

e2 ≡ 1 +2pE

GM≥ 0 ,

(E ≥ −

GM

2p

)

• Ecuacion de segundo orden de la orbita (Binet)

d2u

dϕ2 + u =GM

J2

5

Problema de Kepler relativista

¶ Geodesicas de Schwarzschild

d2t

dσ2 + 2ν′ dt

dσ

dr

dσ= 0

d2r

dσ2 + ν′e4ν

(dt

dσ

)2

− ν′(

dr

dσ

)2

− re2ν

[(dθ

dσ

)2

+ sin2θ

(dϕ

dσ

)2]

= 0

d2θ

dσ2 +2r

dr

dσ

dθ

dσ− sin θ cos θ

(dϕ

dσ

)2

= 0

d2ϕ

dσ2 +2r

dr

dσ

dϕ

dσ+ 2cotg θ

dθ

dσ

dϕ

dσ= 0

• Eleccion del “plano” θ = π/2

(cos θ)0 =(

dθ

dσ

)

0= 0 ⇒

(d2θ

dσ2

)

0= 0 ⇒ θ =

π

2

⇒

e2ν dt

dσ= h

r2 dϕ

dσ= l

♣

⇒(

dr

dσ

)2

+ e2ν

(ε +

l2

r2

)= h2 ♣

ε = 1 : particulas materiales (σ = τ)

ε = 0 : fotones

6

• Interpretacion de las constantes (ε = 1)

? Energıa por unidad de masa (caso estacionario)

c2 + E = −c2w0 = −c2g0αwα = c2e2ν dt

dτ

⇒ h = 1 +E

c2 ♣

? Momento angular por unidad de masa (simetrıa azimutal)

J = w3 = g3αwα = r2 dϕ

dτ

⇒ J = l ♣

¶ Potencial efectivo

⇒(

dr

dσ

)2

+(

1 − 2m

r

) (ε +

J2

r2

)

︸ ︷︷ ︸potencial efectivo

= h2 ♣

• Partıculas materiales

F (x) =(

1 −1x

) (1 +

q2

x2

)

x ≡ r

2m> 1

q ≡ J

2m

? Asıntotas y cortes

x → 0 ⇒ F → −∞

x → ∞ ⇒ F → 1−

x = 1 ⇒ F = 0

7

F ′(x) =1x4 (x2 − 2q2x + 3q2)

⇒

x → 0 ⇒ F ′ → ∞

x → ∞ ⇒ F ′ → 0

x = 1 ⇒ F ′ = 1 + q2

? Maximos y mınimos

♠ F ′(x) : x2 − 2q2x + 3q2 = 0

⇒ x± = q2(1 ±

√1 − 3/q2

), (q2 ≥ 3) ♣

♠ F ′′(x) = − 4x5 (x2 − 2q2x + 3q2) +

2x4 (x − q2)

⇒ F ′′(x±) = ± 2x4

±

√1 − 3

q2

+ : minimo

− : maximo

? Discusion

1) Si q2 < 3 la funcion es monotona creciente (no hay maximos nimınimos) y solo puede haber estados “espirales”.

2) Si q2 = 3 aparece un punto de inflexion en x = 3 ⇒ r = 6m , quese corresponde con una orbita circular semiestable para el valor F = 4/3de la “energıa”. Los demas valores de la energıa dan lugar a estados“espirales”.

3) Si 3 < q2 ≤ 4 aparecen ya un maximo y un mınimo, que secorresponden, respectivamente, con una orbita circular inestable y otraestable. Para los otros valores de la energıa puede haber unicamenteestados ligados (en el valle) o estados “espirales”. Para q2 = 4 el maximoes tangente a la asıntota horizontal.

8

4) Si q2 > 4 y la energıa esta comprendida entre 1 y el valor delmaximo se producen estados de difusion.

5) Cuando q2 crece mucho el mınimo desaparece en el infinito, ycon el los estados ligados, ya que

x± =3

1 ∓√

1 − 3/q2

• Fotones

F (x) =(

1 − 1x

)q2

x2

? Asıntotas y cortes

x → 0 ⇒ F → −∞

x → ∞ ⇒ F → 0+

x = 1 ⇒ F = 0

F ′(x) =q2

x4 (3 − 2x)

⇒

x → 0 ⇒ F ′ → ∞

x → ∞ ⇒ F ′ → 0

x = 1 ⇒ F ′ = q2

? Maximos y mınimos

♠ F ′(x) : 3 − 2x = 0

⇒ xM =32

♣

♠ F ′′(x) = −4q2

x5 (3 − 2x) − 2q2

x4

9

⇒ F ′′(xM ) = −2q2

x4M

< 0 : maximo

? Discusion

1) Existe una orbita circular inestable (estado “ligado”) para x =3/2 ⇒ r = 3m

2) Si la “energıa” supera el valor F = 4q2/27 (maximo) solo hayestados “espirales”.

3) Por debajo del valor anterior puede haber estados de difusion (ala derecha del maximo) o estados “espirales” (a la izquierda del maximo)

• Ecuacion de la orbita (segundo orden: Binet)

u =1r

⇒ du = − 1r2 dr

dσ =r2

Jdϕ

⇒ J2(

du

dϕ

)2

+ (1 − 2mu)(ε + J2u2) = h2

⇒ J2 d2u

dϕ2 − m(ε + J2u2) + (1 − 2mu)J2u = 0

⇒ d2u

dϕ2 + u = εc2m

J2 + 3mu2 ♣ ♣

Avance del perihelio de Mercurio

d2u

dϕ2 + u =GM

J2 : Binet newtoniana

d2u

dϕ2 + u =GM

J2 + 3GM

c2 u2 : Binet relativista

10

k ≡3GMu2/c2

GM/J2 = 3(

Ju

c

)2

= 3(

r dϕ

c dτ

)2

=3 v2

ϕ/c2

1 − v2/c2

kM ∼ 10−7

d2u

dϕ2 + u =GM

J2 + λJ2

GMu2 ,

(λ ≡

3G2M2

c2J2

)

u = u(0) + λu(1) + O(λ2)

⇒

u(0) ≡ uN =GM

J2 (1 + e cos ϕ)

d2u(1)

dϕ2 + u(1) =GM

J2 (1 + e cos ϕ)2

⇒ u ' GM

J2 (1 + e cos ϕ)

+ λGM

J2

[1 + e ϕ sin ϕ +

e2

3(1 + sin2 ϕ)

]

y despreciando los terminos no seculares

u ' GM

J2 (1 + e cos ϕ + λ e ϕ sinϕ)

⇒ u 'GM

J2 [1 + e cos(ϕ − β)]

β ≡ λ ϕ =3G2M2

c2J2 ϕ =3GM

c2a(1 − e2)ϕ ♣

11

⇒ β2π =6πGM

c2a(1 − e2)=

24π3a2

c2T 2(1 − e2)♣ ♣

Datos :

2m¯ = 2, 95 × 105 cm

Mercurio :

a = 5, 8 × 1012 cm

e = 0, 2056

T = 87, 97 dias

Planeta GR Observacion

Mercurio 43, 03 43, 11 ± 0, 45

Venus 8, 6 8, 4 ± 4, 8

Tierra 3, 8 5, 0 ± 1, 2

Icaro 10, 3 9, 8 ± 0, 8

(arcosegundos por siglo)

Deflexion de la luz por el Sol

• Ecuacion de la orbita

d2u

dϕ2 + u = 3GM

c2 u2

u = u(0) + mu(1) + O(m2) ,

(m ≡ GM

c2

)

• Orden cero

d2u(0)

dϕ2 + u(0) = 0

⇒ u(0) =1b

cos ϕ ♣

12

• Orden uno

d2u(1)

dϕ2 + u(1) =3b2

cos2 ϕ

⇒ u(1) =1b2 (1 + sin2 ϕ) ♣

• Solucion aproximada al orden uno

u '1b

cos ϕ +GM

c2b2(1 + sin2 ϕ) ♣ ♣

1) La orbita es simetrica respecto del eje polar

2) Asıntotas:

u = 0 ⇒ cos ϕ +m

b(2 − cos2 ϕ) = 0

cos ϕ ¿ 1 ⇒ m cos ϕ ' 0

⇒ cos ϕ = −2m

b,

(2mb

¿ 1)

⇒ ϕ = ±(

π

2+

2m

b

)

La desviacion de la luz sera, pues:

δϕ =4GM

c2b♣ ♣

2m¯ = 2, 95 × 105 cm

R¯ = 6, 96 × 108 m

⇒ δϕ = 1, 75 arcosegundos

• Calculo “newtoniano”

• Lentes gravitatorias

13

Retraso del eco de radar

• Ecuacion de la trayectoria (fotones)

e2ν dt

dσ= h

(dr

dσ

)2

+ e2ν J2

r2 = h2

⇒(

dr

dt

)2

= e2ν

(1 − J2/h2

r2 e2ν

)

J2

h2 −→ r0 : 1 − J2/h2

r2 e2ν = 0

(r0: coordenada radial mınima)

⇒ J2/h2

r20

=1

1 − 2m/r0

⇒(

dr

dt

)2

= (1 − 2m/r)(

1 − r20

r2

1 − 2m/r

1 − 2m/r0

)♣

• Tiempo coordenado de vuelo desde r a r0

t(r, r0) =∫ r0

r

(1 − 2m/r)−1[1 − r2

0

r2

1 − 2m/r

1 − 2m/r0

]− 12

dr

] (1 − 2m/r)−1 = 1 +2m

r+ O(m2)

]1 − 2m/r

1 − 2m/r0= 1 + 2m

(1r0

− 1r

)+ O(m2)

]

[1 −

r20

r2

1 − 2m/r

1 − 2m/r0

]− 12

=(

1 −r20

r2

)12

×

×[1 + m

r0

r(r + r0)+ O(m2)

]

14

⇒ t(r, r0) '∫ r0

r

(1 −

r20

r2

)− 12[1 + 2m

1r

+ mr0

r(r + r0)

]dr

⇒ t(r, r0) '√

r2 − r20

+ 2m logr +

√r2 − r2

0

r0+ m

√r − r0

r + r0︸ ︷︷ ︸retraso

♣

• Tierra–Venus en conjuncion superior (ida y vuelta)

∆tret ≡ 2[tret(r⊕, R¯) + tret(rV , R¯)

]

⇒ ∆tret ' 4m

(1 + log

4rV r⊕

R2¯

)

' 220µs (sobre un total de 1300 s) ♣

? Corona solar y topografıa de Venus

? Viking Lander y Viking Orbiter en Marte (1979)

Avance del periastro de PSR 1913+16

• Datos astronomicos

Constelacion : Aguila

AR = 19h 3 min

δ = 16o Norte (positiva)

D = 5 kpc

15

• Datos del pulsar (reloj)

dp = 8 ms

Tp = 59 ms , (Tp = 10−18 s/s)

Ωs = 17 rps

• Datos del sistema doble (1: pulsar; 2: companero)

M1,2 ' 1, 4 M¯ , (R1,2 ' 20 km)

a1 ' 3, 122 seg.−luz , i ' 49, 46o

e = 0, 617127 (3)

T ' 7 h 45 min , β = 4, 2263 (3)o/ano

∆T ' −14 s/20 anos

16

Soluciones interiores estaticasy con simetrıa esferica

• Metrica y tensor de Ricci

⇒ ds2 = −e2 ν(r) dt2 + e2 λ(r) dr2 + r2dΩ2

dΩ2 ≡ dθ2 + sin2θ dϕ2

R00 = e2(ν−λ)[2rν′ + (ν′′ − λ′ν ′ + ν′2)

]

R11 =2rλ′ − (ν ′′ − λ′ν′ + ν ′2)

R22 = e−2λ(−1 + e2λ + rλ′ − rν ′)

R33 = R22 sin2θ

• Tensor de Einstein

Sαβ ≡ Rαβ − 12Rgαβ , (R ≡ gαβRαβ)

R = −e−2 νR00 + e−2 λR11 +2r2 R22

=2r2 e−2 λ

[e2 λ − 1 + 2r(λ′ − ν′)

− r2(ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2)]

17

S00 = e2(ν−λ)[

1r2 e2λ − 1

r2 +2rλ′

]

S11 = − 1r2 e2λ +

1r2 +

2rν′

S22 = e−2λ[− r(λ′ − ν ′) + r2(ν′′ − λ′ν′ + ν ′2)

]

S33 = S22 sin2θ

• Tensor de energıa–momento (fluido perfecto)

Tαβ = ρuαuβ + p (gαβ + uαuβ)

ρ(r) , p(r) , (uα) = (u0, 0, 0, 0)

gαβuαuβ = −1 ⇒ u0 = 1/√

−g00 = e−ν

u0 = g0αuα = −√

−g00 = −eν , ui = giαuα = 0

⇒

T00 = ρ e2ν

T11 = p e2λ,

T22 = p r2

T33 = p r2 sin2θ = T22 sin2θ

• Ecuaciones de Einstein

Sαβ = χTαβ , (χ = 8πG)

1r2 +

1re−2λ

(2λ′ − 1

r

)= 8πG ρ (E T)

− 1r2 +

1re−2λ

(2ν′ +

1r

)= 8πGp (E R)

e−2λ[ν′′ − λ′ν ′ + ν ′2 − 1

r(λ′ − ν′)

]= 8πGp (EA)

18

• Ecuacion “temporal” (ET)

1r2

d

dr

[r(1 − e−2λ)

]= 8πGρ

r(1 − e−2λ) = 8πG

∫ r

0ρ(r) r2 dr

⇒ e−2λ = 1 − 2m(r)r

♣

m(r) ≡ GM (r) ,[r ≥ 2m(r)

]

M(r) ≡ 4π

∫ r

0ρ(r) r2 dr ,

[M(0) = 0

]¶

⇔dm

dr= 4πGr2ρ(r) (GRM)

? Masa de Schwarzschild (ρ = 0 para r > r0)

MSch = 4π

∫ r0

0ρ(r) r2 dr

? Masa propia

MP = 4π

∫ r0

0ρ(r)

[1 − 2m(r)

r

]− 12

r2 dr

? Energıa de enlace

EB = MP − MSch > 0

• Ecuacion “radial” (E R)

dν

dr=

(χr2p + 1)e2λ − 12r

19

⇒dν

dr=

m(r) + 4πGr3p

r[r − 2m(r)](GRP)

que es la version GR, para este caso, de la ecuacion de Poisson (Φ ∼ln ξ ; ξ =

√−g00 = eν).

? Lımite newtoniano:

r3p ¿ m(r)

m(r) ¿ r⇒ dν

dr' m(r)

r2

• Ecuacion “angular” (E A)

(sustitucion y calculo directo)

dp

dr= −m(r) + 4πGr3p

r[r − 2m(r)](ρ + p) (TOV) ♣ ♣

que es la ecuacion de Tolman–Oppenheimer–Volkoff, generalizacion rela-tivista de la ecuacion newtoniana del equilibrio hidrostatico:

p ¿ ρ

m(r) ¿ r⇒ dp

dr' −m(r)ρ

r2

Notemos el doble papel que juega la presion en RG por lo que re-specta al equilibrio. Por un lado “sostiene” la estrella y por el otro“contribuye” al colapso. En RG es “mas difıcil” el equilibrio.

• Ecuacion de estado

p = p(ρ, s, cq) :

s = entropia por nucleon

cq = composicion quimica

? Hipotesis:

s, cq = Ctes ⇒ p = p(ρ) (EEI)

20

? Tipos de estrellas] Enanas blancas] Estrellas de neutrones] Estrellas supermasivas

• Obtencion de configuraciones de equilibrio

1) Resolucion de las ecuaciones:

(EEI) : p = p(ρ)

(GRM) :dm

dr= 4πGr2ρ(r)

(TOV) :dp

dr= −

m(r) + 4πGr3p

r[r − 2m(r)](ρ + p)

con las condiciones “iniciales” y de “contorno”:

m(0) = 0 , ρ(0) = ρc

p(r0) = ρ(r0) = 0

2) Resolucion de la ecuacion:

(GRP) :dν

dr=

m(r) + 4πGr3p

r[r − 2m(r)]con la condicion de enlace con Schwarzschild en la superficie de la estrella(r = r0):

e2ν(r0) = 1 − 2m(r0)r0

Modelo de estrella con densidad constante.Solucion interior de Schwarzschild

• Ecuacion de estado

(EEI) : ρ = Cte ♣ ♣

21

• Resolucion de la ecuacion GRM

m(r) = 4πGρ

∫ r

0r2dr =

43πGρr3 ♣

⇒ e−2λ = 1 −83πGρ r2 = 1 −

r2

L2 ♣

L2 ≡ 3/8πGρ

r ≤ r0 < L

• Resolucion de la ecuacion TOV

dp

dr= −

4πGr(p + ρ/3)1 − r2/L2 (p + ρ)

⇒dp

(p + ρ/3)(p + ρ)= −4πG

dr

1 − r2/L2

⇒ 32ρ

log(

Kp + ρ/3p + ρ

)= 2πGL2 log(1 − r2/L2)

⇒ Kp + ρ/3p + ρ

= (1 − r2/L2)12

p(r0) = 0 ⇒ K = 3(1 − r20/L2)

12

⇒ p(r) = ρ(1 − r2/L2)

12 − (1 − r2

0/L2)12

3(1 − r20/L2)

12 − (1 − r2/L2)

12

♣

⇒ p(0) ≡ pc = ρ1 − (1 − r2

0/L2)12

3(1 − r20/L2)

12 − 1

♣

22

⇒ 3(1 − r20/L2)

12 − 1 > 0

⇒r20

L2 <89

⇔GM

r0<

49

♣ ♣

? Lımite newtoniano (GM ¿ r0):

pc =14ρ

2GM

c2r0+ O

[(2GM/c2r0

)2]

⇒ pc '23πGρ2r2

0 < +∞

es decir, en el caso newtoniano el equilibrio se puede conseguir paracualquier valor de ρ y r0 elevando suficientemente la presion en el centro.

• Resolucion de la ecuacion GRP

dν

dr=

4πGr

1 − r2/L2

(ρ

3+ p

)

⇒dν

dr=

r

L2γ1/2(r)1

3γ1/2(r0) − γ1/2(r)

γ(r) ≡ 1 −r2

L2

⇒ ν(r) = log[3γ1/2(r0) − γ1/2(r)

]+ log K

⇒ e2ν(r) =[3γ1/2(r0) − γ1/2(r)

]2♣

habiendo impuesto:

e2ν(r0) = 1 − 2m(r0)r0

23

• Energıa de enlace

? Masa propia

MP = 4πρ

∫ r0

0

r2dr√1 − r2/L2

= 4πρ

∫ α0

0sin2 αdα

(sinα0 ≡ r0/L)

⇒ MP = 2πρL3

[arcsin

r0

L−

r0

L

(1 −

r20

L2

)1/2]

⇒ MP =43πr3

0ρ︸ ︷︷ ︸M

Sch

[1 +

310

r20

L2 + O

(r40

L4

)]

⇒ EB = MP − MSch = MSch

[310

r20

L2 + O

(r40

L4

)]♣

⇒ EB ' 43πr3

0ρ310

r20

3/8πGρ=

1615

π2Gr5oρ

2 ♣ ♣

? Energıa de enlace clasica

Φ(r) = −G43πr3ρ

r= −

43πGr2ρ

⇒ dE(r) =[0 − Φ(r)

]4πr2ρdr =

163

π2Gρ2r4dr

⇒ EB =∫ r0

0dE =

1615

π2Gr5oρ

2 ♣ ♣

24

• Modelo completo. Condiciones de enganche

? Interior (r ≤ r0 < L)

ds2 = −[32

γ1/2(r0) − 12

γ1/2(r)]2

c2dt2

+ γ−1(r)dr2 + r2dΩ2

γ(r) ≡ 1 −r2

L2 = 1 −83πGρ r2

? Exterior (r ≥ r0 > 2GMS )

ds2 = −(

1 − 2GMS

r

)c2dt2

+(

1 −2GMS

r

)−1

dr2 + r2dΩ2

MS ≡43πρ r3

0

? Continuidad a traves de Σ : r = r0

] gItt(r0) = − γ(r0) , gE

tt(r0) = − γ(r0)

⇒[gtt

]Σ = 0 ♣

] gIrr(r0) = γ−1(r0) , gE

rr(r0) = γ−1(r0)

⇒[grr

]Σ = 0 ♣

25

]

∂rgItt(r0) =

12γ ′(r0) = −

83πGρ r0

∂rgEtt(r0) = −

83πGρ r0

⇒[∂rgtt

]Σ = 0 ♣

]

∂rgIrr(r0) =

163

πGρ r0

(1 −

83πGρ r2

0

)−2

∂rgErr(r0) = −8

3πGρr0

(1 − 8

3πGρr2

0

)−2

⇒[∂rgrr

]Σ 6= 0 ♣

es decir, de manera generica

[gαβ

]Σ = 0 ⇒

[∂agαβ

]Σ = 0

[∂rgab

]Σ = 0

[∂rgrβ

]Σ 6= 0

(a, b, . . . = t, θ, ϕ)

que son las condiciones de enganche (enlace) denominadas de O’Brien–Singe.

26