simetria

60

secuencia 5

En esta secuencia tendrás la oportunidad de construir figuras simétri-cas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Como si fuera un espejoPara empezar

sesión 1

El Taj Mahal se encuentra en la India y por su diseño y belleza es considerado una maravilla de la arquitectura. ¿Ya observaste cómo se refleja en el agua?

Cuando el agua está tranquila refleja las imágenes de los objetos y seres como si fuera un espejo.

61

MATEMÁTICAS I

C

Consideremos lo siguiente¿De qué manera podría trazarse el simétrico del barco con respecto a la línea roja? Planeen y lleven a cabo una manera para hacer el trazo con sus instrumentos geométricos.

Comenten con otros equipos el procedimiento que emplearon para trazar el simétrico.

Manos a la obra i. En los siguientes dibujos el simétrico no está bien trazado. Corrígelos.

• En la figura de la derecha el reflejo es simétrico al árbol con respecto a la línea roja.

• Esa línea roja recibe el nombre de eje de simetría.

Eje de simetría

62

secuencia 5ii. En el siguiente dibujo se ha trazado correctamente el simétrico del barco.

• Encuentra el punto que es el simétrico de A, nómbralo A’ (se lee A prima)

• Usa tu regla para unir A con A’, al hacerlo obtienes el segmento aa’.

a) ¿Cuánto mide la distancia del punto a

al eje de simetría?

b) ¿Cuánto mide la distancia del punto a’

al eje de simetría?

c) ¿Cuánto mide el ángulo que forman el

eje de simetría y el segmento aa’?

Recuerda que:

Las perpendiculares

forman ángulos de 90º.

La distancia de un punto

a una recta se mide por

la perpendicular que va

del punto a la recta.

Se dice que A es el simétrico

de A’, o bien, que A es el

correspondiente simétrico de A'.

Eje de simetría

A

A

• La distancia del punto A y de A’ al eje de simetría es la misma, es decir, el punto A y A’ equidistan del eje.

• El eje de simetría y el segmento AA’ son perpendiculares.

63

MATEMÁTICAS Iiii. Verifica que para los puntos B y C y sus simétricos se cumplen también las dos con

diciones enunciadas en el recuadro anterior.

• Anota en la figura las distancias de B, B’, C, C’ al eje y la medida de los ángulos que forman el segmento BB’ y CC’ con el eje.

• Elige otros dos puntos y sus simétricos y verifica que también se cumplen las condiciones mencionadas.

Esto que exploraste con algunas parejas de puntos simétricos pasa con cualquier pareja de puntos simétricos.

iV. Verifica en el problema inicial que los puntos rojos y sus simétricos también cumplen esas dos condiciones.

A lo que llegamos

C

B

B,

C,

A

A,

B,

B

Un punto es simétrico a otro con respecto a una recta si y sólo si se cumple que ambos puntos equidistan de la recta y el segmento que los une es perpendicular a la recta.

90°

P

1 cm

1 cm

Eje de simetríaP´

El simétrico de un segmento con res-pecto a una recta es otro segmento.

Todos y cada uno de los puntos del segmento AB tienen su correspondiente simétrico en el segmento A’B’.

El segmento A’B’ es el correspondiente simétrico del segmento AB

64

secuencia 5

papel piCadoPara empezar¿Te has fijado en las figuras que se forman cuando se hace papel picado?

Muchos de los diseños de papel picado son composiciones de figuras simétricas con respecto a un eje.

Consideremos lo siguientePlaneen y lleven a cabo una estrategia para terminar el siguiente papel picado de tal manera que sea una composición simétrica respecto a la línea roja.

sesión 2

Comenten en grupo el procedimiento que siguieron para terminar el diseño del papel picado. En particular digan cómo le hicieron para que un punto y su simétrico queden a la misma distancia del eje.

Recuerden que:

Los puntos simétricos

equidistan del eje, y que el

segmento que los une debe

ser perpendicular al eje.

65

MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Se quiere trazar el simétrico de este triángulo con respecto al eje

a) ¿Será necesario trazar el simétrico de todos y cada uno de los puntos del trián

gulo?

b) ¿Cuáles puntos hay que localizar para trazar el triángulo simétrico?

ii. El siguiente es un procedimiento que puede emplearse para trazar figuras simétricas con respecto a un eje.

a) Se traza una perpendicular por cada vértice al eje de simetría. Para ello, primero se colocan las escuadras de manera similar al dibujo de la página 62, para trazar un segemento perpendicular el eje; después se prolonga este segmento hasta el otro lado del eje. Esto se hace en cada vértice.

A

B

C

66

secuencia 5b) Con el compás se toma la medida de la distancia

de un punto al eje (puede hacerse con la regla, pero con el compás es más preciso). Observa cómo.

c) Con esa misma abertura se localiza el simétrico de ese punto.

d) Se repite lo indicado en b) y c) en cada vértice de la figura.

e) Se unen los vértices para obtener la figura buscada.

67

MATEMÁTICAS Iiii. Utiliza el procedimiento descrito para completar el dibujo del siguiente papel picado,

de tal manera que sea simétrico con respecto a la línea azul.

iV. En tu cuaderno traza un triángulo equilátero y una recta exterior al triángulo, después traza su simétrico con respecto a la recta. Haz lo mismo con un rombo.

A lo que llegamosPara construir un polígono simétrico a otro con respecto a una recta:

1. Se traza una perpendicular a la recta por cada vértice de la figura.

2. Sobre la perpendicular que se trazó se toma la distancia de cada vértice a la recta y se traslada esa misma distancia del otro lado de la recta. Se puede utilizar la regla o el compás.

3. Se unen los vértices encontrados para formar el polígono.

En pocas palabras: se traza el simétrico de cada vértice con respecto a la recta y se unen.

los vitralesPara empezar¿Conoces los vitrales? Son composiciones de vidrios de colores, su magia está en la luz que a lo largo del día dejan pasar. La simetría también está presente en algunos vitrales.

sesión 3

68

secuencia 5

Consideremos lo siguienteDeterminen y coloreen el rombo que ha sido bien trazado para que el vitral sea simétrico con respecto a la línea vertical.

¿En qué se fijaron para elegir las figuras?

Comenten sus respuestas con sus compañeros del grupo, no olviden mencionar en qué se fijaron para elegir las figuras.

1 2

3 4

69

MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Anota si estás o no de acuerdo con las siguientes afirmaciones; en cada caso explica

por qué.

Afirmación ¿De acuerdo? ¿Por qué?

El vitral simétrico es el 3 porque los ángulos del rombo de la derecha son iguales a sus ángulos correspondientes del rombo azul.

El vitral simétrico es el 4 porque los lados de la figura de la derecha miden lo mismo que sus correspondien-tes del rombo de la izquierda.

El vitral simétrico es el 1 porque los dos rombos tienen sus lados y ángulos correspondientes iguales.

ii. El siguiente vitral es simétrico con respecto al eje rojo.

Nombra A’ al simétrico de A, B’ al simétrico de B y así sucesivamente. Mide lo que se requiere y completa las tablas.

Medida del segmento(cm)

Medida de su simétrico(cm)

AB A’B’

BC B’C’

CD C’D’

DA D’A’

PQ P’Q’

QR Q’R’

RP R’P’

Medida del ángulo (grados)

Medida del ángulo (grados)

∠ A ∠ A’

∠ B ∠ B’

∠ C ∠ C’

∠ D ∠ D’

∠ P ∠ P’

∠ Q ∠ Q’

∠ R ∠ R’

B

A D

P

C

Q R

a) ¿Cómo son entre sí la medida de un segmento y su simétrico?

b) ¿Cómo son entre sí la medida de un ángulo y su correspondiente?

70

secuencia 5iii. Las siguientes son figuras simétricas con respecto al eje; sin medir, anota los datos

que se piden. No olvides colocar las unidades de medida (cm y grados).

a) Lado AD =

b) Lado NP =

c) Lado PQ =

d) Ángulo M =

e) Ángulo B =

A lo que llegamos

Una figura simétrica a otra con respecto a un eje conserva la medida de los lados y de los ángulos de la figura original.

A

BC C´

B´

A´

A

B

C D90°

45°

2 cm

2 cm

m

n P

135°

90°

4 cm

2.8 cm

Q

iV. Observa en el vitral de la actividad II que:

aD es paralelo a Bc, esto se simboliza aD l l Bc.

PR es perpendicular a QR, esto se simboliza PR ^ QR.

a) ¿Qué segmentos son paralelos en la figura del lado izquierdo?

b) ¿Sus simétricos también son paralelos?

c) ¿Qué segmentos son perpendiculares en la figura del lado izquierdo?

d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?

Recuerda que:

Las rectas paralelas

son las que conservan

siempre la misma

distancia entre sí.

AB = A’B’BC = B’C’AC = A’C’

A = A’ B = B’ C = C’

A se lee ángulo A

71

MATEMÁTICAS IV. Considera las figuras de la actividad III. Anota el símbolo de paralelas ( l l ) o el de

perpendiculares ( ^ ).

Si AD CD entonces MN NP.

Si AD BC entonces MN QP.

A lo que llegamosComo en una simetría se conservan las medidas de los segmentos y de los ángulos, entonces, si hay lados paralelos o perpendiculares en la figura original sus simétricos también son paralelos o perpendiculares.

Los vitrales

Como te has dado cuenta, la simetría permite dar belleza y armonía a diversas composiciones, como es el caso de los vitrales. Para construir un vitral simétrico es importante identificar las propiedades que se conservan en la simetría con respecto a un eje.

algo más sobre simetríaLo que aprendimos

m

n

P

Q

m´

Q´

n´

P´

3.6 cm

3 cm

2 cm

33.6°

56.4°

90°

1. Estos dos triángulos son simétricos respecto al eje rojo; sin medir, escribe la medida de cada lado y de cada ángulo de la figura simétrica.

2. Completa la figura para que sea simétrica con respecto a la línea azul.

Si MN PQ entonces M’N’ P’Q’.

Si MN NP entonces M’N’ N’P’.

sesión 4

72

secuencia 53. Traza el o los ejes de simetría (si es que tienen) de estas figuras.

4. Traza el eje de simetría de cada pareja de figuras.

5. Traza el simétrico del triángulo PQR con respecto a la recta m.

Q

P

R

m

P

Q

R

m

73

MATEMÁTICAS I6. Traza el simétrico del rectángulo ABCD con respecto a la recta m; obtendrás el rec

tángulo A’B’C’D’.

a) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo ABCD?

b) ¿Cuáles segmentos son paralelos en el rectángulo A’B’C’D’?

c) Anota dos parejas de lados perpendiculares:

d) ¿Sus simétricos también son perpendiculares?

7. En la figura del número 6, traza el simétrico del rectángulo A’B’C’D’ con respecto a la recta n; obtendrás el rectángulo A’’B’’C’’D’’ (A’’ se lee A bi-prima)

¿Puede decirse que el primer rectángulo y el rectángulo que acabas de trazar son simé

tricos? ¿Por qué?

Para saber más

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Lo mismo de un lado y de otro” en Una ventana a las formas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre cómo se usa la simetría con respecto a un eje en el funcionamiento de un pan-tógrafo consulta: http://www.matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=simaxi[Fecha de consulta: 2 de mayo de 2007].

Sobre dibujos simétricos consulta: www.google.com.mx[Fecha de consulta: 16 de junio 2006].Ruta: Imágenes (escribir simetría y dar clic en búsqueda de imágenes para ver dibu-jos simétricos).

A

D

C

B

nm

simetria

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