1

Notación. Como notación (no estándar) utiliza-ré que x(n=x(x-1)(x-2)....(x-n+1) y quexn)=x(x+1)(x+2)....(x+n-1). Y que

.Origen de las series de factoriales. Podemos lle-

gar a ellas por tres vías:1) Utilizando las series de interpolación de

Newton podemos suponer que:

teniendo en cuenta que las series definirán una funciónen todos aquellos valores de x para los cuales las seriessean convergentes. Y las fórmulas serán válidas si susrestos verifican queEjemplo, si f(x)=ax

que nos darán las fórmulas [1] e [2], expresadas másadelante.2) Estas fórmulas se pueden deducir de la serie binómi-ca

que para -1<z=a-1<1 da [1]

Estudiando la convergencia de [1] vemos que esconvergente si 0<a<2. Para a=2 será convergente si Rex>0 (es convergente si , y absolutamente con-vergente para si Re x>0). En cuanto a la [2]será convergente para cualquier x real si a>1/2. Para

a=1/2, es convergente si Re x<0 (convergente si, y absolutamente convergente para

si Re x<0) . Por la fórmula del resto se deduce que, aigual p y x, en general, el resto será menor cuanto máspróximo a 1 esté a por tener una potencia de lna.

3) Utilización de la transformada en z.

La transformada en z de ax es , y la de

es . Como

Hallando la transformada inversa obtenemos[1]. Así que tenemos, con la transformada en z, unamáquina de hacer series de factoriales. Por ejemplo:

sin más que hallar la transformada en z de la función,desarrollarla en serie y calcular la transformada en zinversa que nos da la serie buscada.

Ahora aplicarémos las fórmulas al cálculo depotencias y raíces.Vimos que las fórmulas [1]

Serie de factoriales de la funciónexponencial y aplicaciones al cálculode raíces y potencias.

Manuel Díaz Regueiro. IES Xoán Montes.

f x f xn

y f x f xn

n

n

nn

n

n

( ) ( )!

( ) ( )!

( )

= ∆ = ∇=

∞

=

∞

∑ ∑0 00 0

∆ = + − ∇ = − −f x f x f x y f x f x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

,

lim .p pR→∞ = 0

∆ = − ∆ = − ∇ = −f x a a f a y f x aa

x n n x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 11

( )!

,)

1 1 10

− = = − <−

=

∞

∑z xn

z z aa

xn

n

nque para da

a aa

xn

y z xn

zxn n

n

xn

n

n= −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ ==

∞

=

∞

∑ ∑1 2 10 0

) (

![ ]; ( )

!de

a a xn

x nn

n= −( )

=

∞

∑ 10

(

!.

z < 1z = 1

z < 1 z = 1

zz a−

xn

n(

!z

z n( )− +1 1

zz a

zz a

z

zz

az

n

−=

− − −−

=−

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =∑1

1

1 11

111

( )a zz

nn

n−

−( )+

=

∞

∑ 11 1

0

( )!

( ) ( )( )!

( )!

) ) )xm

a aa

xn m

mn

mx

n

n m

n m n

n

+ = − ++

++ +

+

=

∞

∑1 1 1 11

0

xm

a a a xn m

mn

mx m n

m n n

n

( ( )

!( )

( )! != −

+−

+

=

∞

∑ 1

01

a a xn

x nn

n= −

=

∞

∑ ( )!

)

10

2

son convergentes si 0<a<2, y [2] si a>1/2.Como ejemplos,

Las fórmulas del segundo tipo se hacen finitas paravalores enteros negativos del exponente.

y, además, dan fórmulas para

Ejemplos:

Vamos a ver ahora como se utilizan estas seriespara el cálculo de raíces o potencias de un número(similar y, en cierto modo, igual a la utilización de laserie binómica para ese cálculo).

Como ya vimos, la fórmula de la serie de facto-riales ax convergerá más rápidamente si la base es máspróxima a 1. De aquí, si, por ejemplo, tenemos que cal-cular y sabemos que una aproximación es 2,desarrollaremos

, de donde,

.Si tomamos comoaproximación 2,5,tenemos,

de donde

Del mismo modo puede hacerse tomando comoaproximación 2,51 o 2,5118.

Si tomamos aproximaciones por exceso (perogarantizando siempre que la base de la exponencial seamayor que 0,5), la serie resulta alternada, con lo que sefacilita el cálculo del error, que es menor que el valorabsoluto del último término desechado. En el casoanterior, las aproximaciones serán 2,6 o bien 2,52, etc.Por ejemplo:

Bibliografía.DÍAZ REGUEIRO, M. “Algunhas notas sobre

as series de factoriais x(n”. VIII Jornadas MatemáticasHispano-Lusas. Coimbra (1981).

Automática I. UNED. Madrid. (1976).MARKUSEVITCH. Teoría de las funciones

analíticas. Editorial Mir. Moscú. (1978).HENRICI, PETER. Elementos de cálculo

numérico. Editorial Trillas. México. (1972).ABELLANAS. Elementos de Matemáticas.

Madrid. (1970).

∀ ∈x R

2 12

5 450 0

xn

n

nx

n

n nxn

xn

= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞

=

∞

∑ ∑) )

!,

!(

0

2e 3 .3 !

n nx

n

xn

∞−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠∑

5 1 45

3 45

3 22

45

33

32 3

− = − + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. .!

!!

p N C CRpn∈ de las o de las

10 910

7 670 0

p

n

n

pn p

n

pn

n

p

CR C= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

∞−

=∑ ∑y

10 10 910

133

13

0= = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑n

n

n n

)

!

1005

10032

68100

15

5

0= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑n

n

n n

)

!

100 2 68100

155

0= ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

∞

∑n

n

n n

)

!

1002 5

109765625

23437510

15

55

75

70, !

)

= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

∞

∑n

n

n n

100 2 5 23437510

155

70

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

∞

∑,!

)

n

n

n n

100 2 6 0 1881376

155

0= −( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=

∞

∑, ,!

)

n

n

n n