Semana 09 An

7/24/2019 Semana 09 An

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Solucin sistemas lineales

Mtodos iterativos no estacionarios

Catalina Domnguez,Universidad del Norte

Doctorado en Ingeniera

Semestre II de 2015

Semana 09

Pgina 1 Semana 9 01 de Octubre de 2015 Domnguez

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function [x,res,iter] = FOM(A,b,x0,m,tol)

r0 = b-A*x0;

res = norm(r0);

n=size(A,1);

if res ~=0

while res > tol && m

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function [x,res,iter] = FOM(A,b,x0,m,tol)

r0 = b-A*x0;

res = norm(r0);

n=size(A,1);

if res ~=0


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Resolvamos el sistemaAx= b. Tenemos

xk =x0+k1j=0

jrj rk =k

j=1

(I j1A)r0=pk(A)r0

Mtodos de Krylov

Dado un r0, se selecciona xk de manera que satisfaga un criterio de

mnima distancia dex.

1 Calcular xk Wk forzandork Kk(A; r0), es decir,

vTrk =vT(b Axk) =0 vKk(A; r0)

Mtodo de Arnoldi para sistemas lineales - FOM

2 Calcular xk Wk minimizando la norma euclidiana del residuo,es decir,

rk2 = minvWk

b Av2 GMRES


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Resolvamos el sistemaAx= b.Dador0tenemos

xk =x0+k1j=0

jrj rk =k

j=1

(I j1A)r0=pk(A)r0

Asumiendo una base ortonormal deKm(A; r0)ha sido calculada yalmacenada enVk ,xk se puede escribir como

xk =x0+Vkzk

donde zk se selecciona de acuerdo a un criterio fijo.


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Mtodo de Arnoldi (FOM)full orthogonalization method

SeaVk una base ortonormal deKk(A, r0). Se requiere

rk Kk(A; r0) es decir VT

k

rk =0

VTk rk = 0

VTk rk =VTk (b Axk)

VTk rk =VTk (b Ax0 AVkzk)

=VTk (b Ax0) VTk AVkzk)

=VTk r0 VTk AVkzk = 0

VTk AVkzk =VTk r0

Hkzk =VTk r0=r0e1

Hkzk =r0e1

e1 RK

Al calcular zk, se puede calcular xk

Usando aritmtica exacta el mtodo de Arnoldi obtiene la solucin, a

lo ms, despus den iteraciones.


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Mtodo de Krylov: GMRESGeneralized minimun residual

Calcular xk =x0+Vkzk Wk minimizando la norma

euclidiana del residuo, es decir,


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euclidiana del residuo, es decir, se debe encontrarzk de manera que

rk2 = minvWk

b Av2


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rk2 = minvWk

b Av2

rk =r0 AVkzk


d d l li d i i id l

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rk2 = minvWk

b Av2

rk =r0 AVkzk

rk =Vk+1

r0e1

Hkzk


M d d K l GMRES G li d i i id l

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rk2 = minvWk

b Av2

rk =r0 AVkzk

rk =Vk+1

r0e1

Hkzk

Se escoge zk de tal manera que

minimice

r0e1

Hkzk ,

Hk R

k+1k


Mt d d K l GMRES G li d i i id l

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rk2 = minvWk

b Av2

rk =r0 AVkzk

rk =Vk+1

r0e1

Hkzk


minimice

r0e1

Hkzk ,

Hk R

k+1k

Hkzk =r0e1


Mt d d K l GMRES G li d i i id l

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rk2 = minvWk

b Av2

rk =r0 AVkzk

rk =Vk+1

r0e1

Hkzk


minimice

r0e1

Hkzk ,

Hk R

k+1k

Hkzk =r0e1 HTkHkzk =r0HTke1


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,

1 v1 = r0/r0


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16/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,

1 v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,


3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e1


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18/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,


3 ResolverHTk Hkzk =HTkr0e14 xk =x0+Vkz


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19/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,



5 res =b Axk/r0


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,



5 res =b Axk/r06 Sires < tol (dim Km< m)


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21/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,




return


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,




return

7 de lo contrario, (sik =m) (opcional)


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23/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,




return

7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x


7/24/2019 Semana 09 An

24/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,




return

7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b


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25/96

Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,

1

v1 = r0/r02 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)



return

7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b m= m+ 1


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Algoritmo GMRES

DadoA,b,x0,m, tol,

1 v1 =

r0/

r0

2 Se calculaVk, Hk, k =Arnoldi(A,b,x0, m)(km)



return

7 de lo contrario, (sik =m) (opcional) x0= x r0=Ax0 b m= m+ 1 se continua en el paso??

http://-/?-http://-/?-

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function [x, iter,res]=GMRES(A, b,x0,m,tol)

r0 = b - A*x0;

res = norm(r0);

n=size(A,1);

if res ~=0


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Si nuestro criterio consiste en rk , observe que

x xk=


Criterios de parada basados en el residual

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29/96


x xk=A1b xk=



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30/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1



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31/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1

Si consiste en rk

b , observe



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32/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1

Si consiste en rk

b , observe

x xk

x



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33/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1

Si consiste en rk

b , observe

x xk

x

A1rk

x



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34/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1

Si consiste en rk

b , observe

x xk

x

A1rk

x

K(A) rk

Ax



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35/96


x xk=A1b xk=A

1rk A1

Si consiste en rk

b , observe

x xk

x

A1rk

x

K(A) rk

Ax

K(A) rk

b K(A)


Criterios de parada basados en el incremento

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36/96

Tenemos que

ek+1 Bek



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37/96

Tenemos que

ek+1 Bek



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38/96

Tenemos queek+1 Bek

Usando desigualdad triangular

ek+1 Bek+1 + xk+1 xk



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39/96

Tenemos queek+1 Bek

Usando desigualdad triangular

ek+1 Bek+1 + xk+1 xkpor tanto

x xk+1 B

1 Bxk+1 xk


Aproximacin de valores y vectores propios

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40/96



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41/96

Problema clsico

Determinar frecuenciasnaturalesopropiasde un sistema (mecnico,

estructural o elctrico).



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42/96

Problema clsico

Determinar frecuenciasnaturalesopropiasde un sistema (mecnico,

estructural o elctrico).Generalmente, resulta un problema de valores propios de un sistema lineal.


Vibraciones Mecnicas

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43/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3



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44/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3

Segunda ley de Newtonma = F

mixi (t) = fuerza ejercida del resortei

+fuerza ejercida del resortei+ 1

fuerza ejercida por el amortiguadori



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45/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3





Mx(t) =Bx(t) Kx(t)



7/24/2019 Semana 09 An

46/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3





Mx(t) =Bx(t) Kx(t)

y(t) =Ay(t) =SS1y(t)



7/24/2019 Semana 09 An

47/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3





Mx(t) =Bx(t) Kx(t)


S1y(t) = S1y(t)



7/24/2019 Semana 09 An

48/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3





Mx(t) =Bx(t) Kx(t)


S1y(t) = S1y(t)

z(t) = z(t) =izi(t)



7/24/2019 Semana 09 An

49/96

M1 M2 M3k1 k2

k3

x1 x2 x3





Mx(t) =Bx(t) Kx(t)


S1y(t) = S1y(t)

z(t) = z(t) =izi(t)

mtodo utilizar para determinar o aproximar los valores y vectores

propios de una matriz ?


vibraciones de una cuerda

2 1 2

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50/96

2w

x2 =

1

c22w

t2



2 1 2

7/24/2019 Semana 09 An

51/96

2w

x2 =

1

c22w

t2

wdenota la desplazamiento vertical



2w 1 2w

7/24/2019 Semana 09 An

52/96

2w

x2 =

1

c22w

t2


cvelocidad del sonido en la cuerda



2w 1 2w

7/24/2019 Semana 09 An

53/96

2w

x2 =

1

c22w

t2



Si la cuerda esta sujeta enx = 0yx= 1, i.e,

w(0, t) =w(1, t) = 0



2w 1 2w

7/24/2019 Semana 09 An

54/96

w

x2 =

1

c2 w

t2




w(0, t) =w(1, t) = 0

Asumiendo movimiento armnicow(x, t) =v(x)eiwt

v

=

2

c2v, v(0) =v(1) = 0



2w 1 2w

7/24/2019 Semana 09 An

55/96

w

x2 =

1

c2 w

t2




w(0, t) =w(1, t) = 0

Asumiendo movimiento armnicow(x, t) =v(x)eiwt

v

=

2

c2v, v(0) =v(1) = 0

Aplicando diferencias finitas se obtiene un problema de valores propios

Au=u


Valores y vectores propios

ParaA Cnn, encontrar C y x=0tal que

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56/96

y q

Ax=x




7/24/2019 Semana 09 An

57/96

y q

Ax=x

Estrategia:




7/24/2019 Semana 09 An

58/96

Ax=x

Estrategia:

Resolver

Ax x=0con x =0




7/24/2019 Semana 09 An

59/96

Ax=x

Estrategia:

Resolver

Ax x=0con x =0

es decir, se debe garantizar para un sistema homogneo, la existencia de

una solucin no-trivial,




7/24/2019 Semana 09 An

60/96

Ax=x

Estrategia:

Resolver

Ax x=0con x =0



det(A I) = 0 =pa()

Mtodos




7/24/2019 Semana 09 An

61/96

Ax=x

Estrategia:

Resolver

Ax x=0con x =0



det(A I) = 0 =pa()

Mtodos

Parcialesaproximan valores propios extremos deA.




7/24/2019 Semana 09 An

62/96

Ax=x

Estrategia:

Resolver

Ax x=0con x =0



det(A I) = 0 =pa()

Mtodos

Parcialesaproximan valores propios extremos deA.

Globalesaproximan todo el espectro.


Localizacin geomtrica de valores propios

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63/96



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64/96

Teorema de los crculos Gershgorin

SeaA Cnn entonces



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65/96


SeaA Cnn entonces

1

(A) SR

=n

i=1 Ri Ri={z C :|z aii| n

j=1,j=i |aij |}



7/24/2019 Semana 09 An

66/96


SeaA Cnn entonces

1

(A) SR

=n

i=1 Ri Ri={z C :|z aii| n

j=1,j=i |aij |}

2

(A) SC =ni=1

Ci Ci={z C :|z ajj| n

i=1,i=j

|aij |}


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

67/96

A=

10 2 31 2 1

0 1 3


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

68/96

A=

10 2 31 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

69/96

A=

10 2 31 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

R1


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

70/96

A=

10 2 31 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

R2={z C :|z 2| 2}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

R1


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

71/96

A=

1 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

R2={z C :|z 2| 2}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

R1

R2


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

72/96

A=

1 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

R2={z C :|z 2| 2}R3={z C :|z 3| 1}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

R1

R2


Ejemplo

10 2 3

7/24/2019 Semana 09 An

73/96

A=

1 2 1

0 1 3

R1={z C :|z 10| 5}

R2={z C :|z 2| 2}R3={z C :|z 3| 1}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

R1

R2

R3


Ejemplo

7/24/2019 Semana 09 An

74/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3


Ejemplo

7/24/2019 Semana 09 An

75/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}


Ejemplo

7/24/2019 Semana 09 An

76/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

C1


Ejemplo

7/24/2019 Semana 09 An

77/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}

C2={z C :|z 2| 3}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

C1


Ejemplo

7/24/2019 Semana 09 An

78/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}

C2={z C :|z 2| 3}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

C1C2


Ejemplo

{ | | }

7/24/2019 Semana 09 An

79/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}

C2={z C :|z 2| 3}C3={z C :|z 3| 4}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

C1C2


Ejemplo

10 2 3

C { C | 1 | 1}

7/24/2019 Semana 09 An

80/96

A=

10 2 3

1 2 10 1 3

C1={z C :|z 10| 1}

C2={z C :|z 2| 3}C3={z C :|z 3| 4}

1

2

3

4

5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

C1C2

C3



Primer Teorema de Gershgorin

Sea A Rnn entonces

7/24/2019 Semana 09 An

81/96

SeaA Rn n entonces

(A), SR SC



Primer Teorema de Gershgorin

Sea A Rnn entonces

7/24/2019 Semana 09 An

82/96

SeaA R entonces

(A), SR SC

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151



Segundo Teorema de Gershgorin

Sea

7/24/2019 Semana 09 An

83/96

Sea

S1=

m

i=1

Ri, S2 =

m

i=m+1

Ri




Sea

7/24/2019 Semana 09 An

84/96

Sea

S1=

m

i=1

Ri, S2 =

m

i=m+1

Ri

Si S1 S2, entonces S1contiene exactamentem valores propios deA,teniendo en cuenta la multiplicidad de cada uno, el resto de valores propios

estn en S2.




Sea

7/24/2019 Semana 09 An

85/96

S1=

m

i=1 R

i, S2 =

m

i=m+1 R

i

Si S1 S2, entonces S1contiene exactamentem valores propios deA,teniendo en cuenta la multiplicidad de cada uno, el resto de valores propios

estn en S2.

1

2

3

4

5

1

2

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151

S2

S1


Mtodo de las potencias

7/24/2019 Semana 09 An

86/96

Es adecuado para aproximar el valor propio extremo (en modulo) de unamatriz, junto con su vector propio asociado.


Mtodo de las potencias

7/24/2019 Semana 09 An

87/96

Es adecuado para aproximar el valor propio extremo (en modulo) de unamatriz, junto con su vector propio asociado.

SeaA Rnn una matriz diagonalizable yXla matriz de los vectores

propios (derecha). Supongamos

|1| >|2| |3| |n|

donde1tiene multiplicidad1.


Mtodo de potencias

Seax0 Rn (cualquier vector), entoncesx0=c1v1+c2v2+ +cnvn

donde {v1,v2, . . . ,vn} es un conjunto de n vectores propios l.i.

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donde {v1,v2, . . . ,vn} es un conjunto denvectores propios l.i.

entonces

Ax0 =c1Av1+c2Av2+ +cnAvn

=c11v1+c22v2+ +cnnvn

AAx0 =c121v1+c222v2+ +cn2nvn

...=...

Amx0 =c1m

1 v1+c2m

2 v2+ +cnm

nvn

Dividiendo entrem

1

Amx0m1

=c1v1+c2m2m1

v2+ +cnmn

m1

vn

Cuandom

21

m0, . . . ,

n1

m0

puesto que|2/1|< 1, . . . , |n/1|

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Sea y R cualquier vector con y=0. Tenemos

Am+1

x0m

1

yc1v1 y, Am

x0m

1

yc1v1 y

entonces

Am+1x0

m+11

yAmx0

m1

y1=m+1

1

m1

=Am+1x0 y

Am

x0 y

Tomando y=Amx0

1=Am+1x0 y

Am

x0 y=

Am+1x0 Amx0

Am

x0 Am

x0

=A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0

v1Amx0,1

AAmx0Amx0Amx0Amx0

Cociente de Rayleigh

Six es un vector propio, sucorrespondiente valor propio es

=Ax x

x x


As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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Si garantizamos ||qm||= 1es decirA

mx0 A

mx0= 1entonces

1AAmx0 A

mx0, v1 Amx0||Amx0||

Algoritmo

Dadoq0 Rncon q0= 1, calcular


As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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Si garantizamos ||qm||= 1es decirA

mx0 A

mx0= 1entonces

1AAmx0 A


Algoritmo



As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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Si garantizamos||qm||

= 1es decirAmx0

Amx0= 1entonces

1AAmx0 A


Algoritmo



As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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Si garantizamos ||qm

||= 1es decirAmx0 Amx0= 1entonces

1AAmx0 A


Algoritmo


1 zk =Aqk1


As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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1AAmx0 A


Algoritmo


1 zk =Aqk1

2 qk = zk

zk(Normalizacin)


As

1A Amx0 A

mx0

Amx0 Amx0v1A

mx0=qm

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1AAmx0 A


Algoritmo


1 zk =Aqk1

2 qk = zk

zk(Normalizacin)

3 k =qTk Aqk = (Aqk) qk

Pgina 24 Semana 9

01 de Octubre de 2015 Domnguez

function [lambda,q,iter,res] = PowerSimple(A,z0,tol, nmax)

% Calcula el vector propio y valor propio mayor (en modulo) de la

% matriz A

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% matriz A

q = z0/norm(z0);

res = tol +1;

iter = 0;

while res>tol && iter

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