Mate III ING Semana 09

8/19/2019 Mate III ING Semana 09

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Matemática III

(ING)

Semana 9

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La integral definidaSumas de Riemann

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Integral Definida

Sea f(x) una función continua definida en el

intervalo [a; b]. Supongamos que la función F es

continua en [a; b] y con derivada F´(x) = f(x) para

todo x ∈

[a: b].La integral definida de f en [a; b] es:

aF bF dx x f b

a

(Teorema Fundamental del Cálculo)



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Integral Definida

Propiedades:

a

b

b

a

dx x f dx x f 1.

0 dx x f a

a

2.

b

c

c

a

b

a

dx x f dx x f dx x f 3.



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Ejercicios:

2

1

2 dx x

1

0

x 3

dx e x

2

1.

2.

1

0 2

3

dx x 4

x

3

1

x 2 x dx e1 x

2

3.

4.



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Ejercicios:

5.

2 x si , x

x 0 si , x 4 x f donde, dx x f

2

1

2

12 2

0

6. 8

1

x d 3 x

9 x 5 si , x ln

5 x 1si , x arctan x donde,



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Nota Importante:

Sabemos que:

x f dx x f dx

d

De otro lado:

Entonces:

aF t F dx x f t

a

t f t ' F dx x f dt

d t

a



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De la misma forma:

Entonces:

t aF t bF dx x f t b

t a

t ' at af t ' bt bf dx x f dt

d t b

t a



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Aplicación 1:

Una empresa tiene como función de ingresos, para cada instante t, la

siguiente expresión:

1t 2 t t I 2

Y como función de costos, para cada instante t,:

1t 4t C

Calcule el beneficio acumulado en el intervalo de tiempo [0; 5], si

consideramos un factor de descuento de la forma e-t.



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Aplicación 2:

Una empresa produce un bien A a partir de dos factores F1 y F2, según

la función de producción:

xy y ; x q

Las disponibilidades de factores varían en el tiempo según las

expresiones:

t

t lnt y t lnt x

Calcule la producción total esperada en el intervalo de tiempo [1; 5]



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La integral definidaSumas de Riemann



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f(x)

a b x

y

Dada la gráfica de la función f(x):

Suponga que desea hallar el área de la región comprendida entre

la curva de f(x), el eje de abscisas, x = a y x = b



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f(x)

a b x

y

Si dividimos el intervalo [a, b] en “n” subintervalos de igual

ancho y trazamos rectángulos sobre la imagen de la función:

Podríamos aproximar el área de la región como la suma de las

áreas de los rectángulos trazados.



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f(x)

a b x

y

∆xi

f(x i )

xi

nab x

i

i i

x i a x

i i x x f rectángulodel Area



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f(x)

a b x

y

n

1i i i x x f regiónlade Area

n

1i

n

1i

i i )n

abi a( f

n

ab x x i af



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f(x)

a b x

y

Si el ancho del subintervalo se aproxima a cero:

Encontraremos el área de la región.

0 n

ab x n

i



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n

1i

i i n

x x f limregiónlade Area

n

1i n

)nabi a( f

nablim



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Fórmulas de las Sumatorias

ncc

n

1i

1)

2

)1n(ni

n

1i

2)

)1n2()1n(n6

1i

n

1i

2

3)

4)

222n

1i

3

2

)1n(n

4

)1n(ni



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Ejercicios:

Utilizando las sumas de Riemann, encuentre el

área de la región limitada por el eje de las

abscisas y por las gráficas de:

2 x ,0 x ,1 x x x f )a 2

5 x ,2 x , x x f )b 2

4 x ,1 x ,5 x 4 x x f )c 2

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