Sdzpre

Resenı rozsahlych inzenyrskych uloh na paralelnıch pocıtacıch

Resenı rozsahlych inzenyrskych uloh na paralelnıchpocıtacıch

Jaroslav Broz

Katedra mechanikyFakulta stavebnıCVUT v Praze

Statnı doktorska zkouska15. unor 2010


Obsah

Obsah

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace


Motivace

Obsah

1 Motivace


3 Metoda FETI-DP



Motivace

Motivace

Geotechnika Mostnı konstrukce Analyza sırenı tepla

Materialovy vyzkumAnalyza chovanıkontejmentu

Vodnı stavby


Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Obsah

1 Motivace


3 Metoda FETI-DP




Uvod

Uvod

Iteracnı metoda pro resenı systemu linearnıch rovnic

Matice soustavy musı byt symetricka a positivne definitnı

A ∈ Rnxn, A = AT , ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0



Algoritmus CG

Algoritmus metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0d0 = r0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

i ri

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

βi =rT

i+1ri+1

rTi ri

di+1 = ri+1 + βidi

i← i + 1end while



Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu


Existuje nekolik typu predpodmınenı:

Diagonalnı (Jacobiho) predpodmınenı,

Predpodmınenı nekompletnı faktorizacı matice (LU, LDLT ),

BOSS predpodmınenı.




Algoritmus predpodmınene metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀x, x 6= 0 : xTAx > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0z0 = C−1r0d0 = z0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

i zi

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

zi+1 = C−1ri+1

βi =rT

i+1zi+1

rTi zi

di+1 = zi+1 + βidi

i← i + 1end while



Implementace metody


Zalozena na paralelizaci nasobenı matice vektorem a naskalarnım nasobenı vektoru

Puvodnı oblast rozdelena na nekolik mensıch podoblastı

Implementovana do volne dostupneho programoveho balıkuSIFEL

Pouzito paralelizacnı schema Master - Slave

Knihovna MPICH2 pro mezi-procesorovou komunikaci

Knihovna PETSc pro nekompletnı LU faktorizaci maticepodoblasti pro predpodmınenı



Numericke testy

Numericke testyPocet iteracı vzhledem k celkovemu poctu elementu



Numericke testy

Numericke testyNaroky na ulozenı matice podoblasti


Metoda FETI-DP

Obsah

1 Motivace


3 Metoda FETI-DP



Metoda FETI-DP

Uvod

Metoda FETI-DPUvod

Metoda FETI-DP (Finite Element Tearing and InterconnectingDual-Primal) publikovana prof. Farhatem a jeho spolupracovnıky

Jedna z metod rozkladu oblasti na podoblasti (angl. DomainDecomposition Method)


Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

∫Ωε (x)T D (x) ε (x) dΩ−

∫Ω

u (x)T b (x) dΩ

−∫

Γtu (x)T t (x) dΓt (1)

x

y

ΩΓu Γt

Γt

Γt


Metoda FETI-DP


Diskretizovany funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

∫Ω

uTB (x)T D (x) B (x) udΩ−∫

ΩuTN (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtuTN (x)T N (x) tdΓt + λTBu (2)

x

y

ΩΓu Γt

Γt

Γt

x

y

Ω1

Ω2

Ω3

Ω4

Γu Γt

Γt

Γt


Metoda FETI-DP


Definice fixujıcıch uzlu dle puvodnıho clanku prof. Farhata

D1 Prusecıky - uzly nalezejıcı vıce nez dvema podoblastem

D2 Mnozina uzlu umıstena na konci kazde hrany na kazdepodoblasti

x

y

D1D2 D2

D2

D2

Ω1

Ω2

Ω3

Ω4


Metoda FETI-DP


Globalnı vektor fixujıcıch neznamych

uc =

u1

c...

ujc...

uNcc

(3)

Definice matic vyberu B

Bsrus

r = ±usbr

(4)

Bscuc = us

c (5)


Metoda FETI-DP


Podmınka spojitosti pole posunutı nahranici podoblastı

λTBu...

usbr,j = uq

brk

usbr,j+1 = uq

br,k+1

usbr,j+2 = uq

br,k+2

...

· · ·+ λm

(us

br,j − uqbr,k

)+

+λm+1

(us

br,j+1 − uqbr,k+1

)+

+λm+2

(us

br,j+2 − uqbr,k+2

)+ . . .

kj m

k+1j+1 m+1

k+2j+2 m+2

s q


Metoda FETI-DP


Minimalizace funkcionalu energie elastickeho telesa

∂Π (u)∂u

=∫

ΩB (x)T D (x) B (x) udΩ−

∫Ω

N (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtN (x)T N (x) tdΓt + BTλ = 0 (6)

∂Π (u)∂λ

=i=Ns∑i=1

BTuj = 0 (7)

Matice tuhosti a vektor zatızenı

K =∫

ΩB (x)T D (x) B (x) dΩ (8)

f =∫

ΩN (x)T N (x) bdΩ−

∫Γt

N (x)T N (x) tdΓt (9)


Metoda FETI-DP


Podmınky rovnovahy na podoblasti

Ksrru

sr + Ks

rcBscuc + BsT

r λ = fsr s = 1, 2, . . . ,Ns (10)

s=Ns∑s=1

BsT

c KsT

rc usr +

s=Ns∑s=1

BsT

c KsccBs

cuc =s=Ns∑s=1

BsT

c fsbc

= fc (11)

s=Ns∑s=1

Bsrus

r = 0 (12)

Ksrr a Kcc =

s=Ns∑s=1

BsT

c KsccBs

c → regularnı (13)

usr = Ks−1

rr

(fsr − BsT

r λ−KsrcBs

cuc

)(14)


Metoda FETI-DP


Hruby problem

(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

cc

)(λuc

)=

(dr

−f∗c

)(15)

FIrr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr BsT

r FIrc =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr KsrcBsT

c

K∗cc = Kcc −

s=Ns∑s=1

(KsrcBs

c)T Ks−1

rr (KsrcBs

c) dr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr fsr

f∗c = fc −s=Ns∑s=1

BsT

c KsT

rc Ks−1

rr fsr


Metoda FETI-DP


Redukovany problem na rozhranı

(FIrr + FIrcK

∗−1

cc FTIrc

)λ = dr − FIrcK

∗−1

cc f∗c (16)

Resenı hrubeho problemuMatice soustavy hrubeho problemu je symetricka a positivne definitnı→ Resenı redukovaneho hrubeho problemu pomocı metodysdruzenych gradientu


Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Dulezitost vyberu fixujıcıch uzluZajistenı regularity matice podoblasti Ks

Zajistenı regularity matice hrubeho problemu(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

cc

)Vhodne vybrane fixujıcı uzly→ male cıslo podmınenosti κmatice hrubeho problemu→ rychlost konvergence resenıhrubeho problemu

Teoreticky mozno vybrat vsechny uzly na rozhranı→ metodaSchurovych doplnku


Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Problemy s vyberem fixujıcıch uzlu

Definice z puvodnıho clanku produkuje mnoho fixujıcıch uzlu

Neexistuje zadny program pro vyber fixujıcıch uzlu

Existujı pouze nastroje na rozklad sıte na podoblasti (METIS,JOSTLE, CHACO atd.) - zalozeny na delenı grafu

Problem s interpretacı definice na sıtıch rozdelenych pomocıtechto programu

Omezena data - k dispozici pro vyber je pouze sıt’ konecnychprvku


Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D


Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

x

y


Metoda FETI-DP



Definice hranicnıch krivekHranicnı krivka spojuje hranicnı uzly mezi dvema fixujıcımi uzly.

Dalsı fixujıcı uzly mohou byt pridany:Do kazdeho n-teho clena hranicnı krivkyNa konec kazde n-te casti hranicnı krivky

”Integracnı body ” hranicnı krivkyNa nahodnou pozici

x

y


Metoda FETI-DP

Numericke testy of Algoritmus for 2D

Numericke testyNepravidelna oblast- Patro


Metoda FETI-DP


PatroVysledky testu - Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.


Metoda FETI-DP


PatroVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.


Metoda FETI-DP



Definice hranyHrana je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı na vıce nez dvoupodoblastech.

Definice plochyPlocha je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı prave na dvoupodoblastech.


Metoda FETI-DP



Definice fixujıcıch uzluuzel s maximalnı uzlovou multiplictou, nebo krızenı hran→fixujıcı uzel

konec hrany→ fixujıcı uzel


Metoda FETI-DP

Numericky test algoritmu pro vyber fixujıcıch uzlu

Numericky testPravidelna podoblast - Kostka


Metoda FETI-DP


Kostka - 64000 prvkuVysledky testu -Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.


Metoda FETI-DP


Kostka - 64000 prvkuVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.


Zaver a budoucı prace

Obsah

1 Motivace


3 Metoda FETI-DP





Provedena paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Vyvinut algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu pro libovolnou sıt’2D prvku a pro pravidelnou sıt’ 3D prvkuPozorovano nasledujıcı chovanı:

S narustem fixujıcıch uzlu dochazı ke snizovanı poctu iteracı vhrubem problemuVelky pocet fixujıcıch uzlu prodluzuje celkovy cas resenıExistuje optimalnı pocet fixujıcıch uzlu

Budoucı prace: Optimalizace algoritmu, vyvoj algoritmu provyber fixujıcıch uzlu pro libovolne 3D sıte a automaticka volbapoctu fixujıcıch uzlu


Podekovanı

Podekovanı

Dekuji Vam za Vasi pozornost.

Sdzpre

Documents

Transcript of Sdzpre