SAYISAL ÇÖZÜMLEME -...
19
Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME
Transcript of SAYISAL ÇÖZÜMLEME -...
Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME
Sayısal Çözümleme
3. Hafta
SAYISAL ÇÖZÜMLEMEDE HATA KAVRAMI
SAYISAL ÇÖZÜMLEME
2
Sayısal analiz, matematik problemlerinin bilgisayar yardımı ile
çözümlenme tekniğidir. Genellikle analitik olarak çözümleri çok zor veya
imkansız olan matematiksel problemleri belirli bir hata aralığında çözmek
için kullanılır.
Giriş
Bilgisi
Hesap
Yöntemi
Çıkış
Bilgisi
DATA ALGORİTMA SONUÇ
Sayısal analiz işleyiş şeması
GİRİŞ
3
Bir problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntemler belli bir giriş
verisini işleme tabii tutarak sayısal çözüme ulaşırlar. Sayısal yöntemler,
analitik çözümden farklı olarak, sayıları kullanarak işlem yapar ve belli bir
hata payı içerirler.
Bunun yanı sıra giriş verisi de bir miktar hatalı olabilir. Eğer giriş verisi
deneyler sonucunda bulunmuş ise bu değerler yapılan ölçümlerin
hassasiyetine göre bir hata payı içerecektir.
Giriş bilgisinin ve kullanılan yöntemin hata içermesi, bulunacak olan
sonuçlarında belli bir miktarda hata içereceğini gösterir. Yani, sayısal
yöntemler ile bulunan sonuçlar kesin değerler değil yaklaşık değerlerdir.
Giriş
Bilgisi
Hesap
Yöntemi
Çıkış
Bilgisi
Hata Hata Hata
HATA
4
Dolayısıyla hata analizi sayısal çözümde önemli bir konudur.
Sonuçların hata içermesinden ziyade, bu hataların kabul edilebilir sınırlar
içerisinde olması yani hataların verilen tolerans değerinden küçük olması
önemlidir.
Hata, gerçek değer ile hesaplanan yaklaşık değer arasındaki farktır. Bu
şekilde tanımlanan hata iki şekilde ifade edilir.
Mutlak Hata: Gerçek değer (A) ile hesaplama sonucu bulunan
yaklaşık değer (a) arasındaki farka denir.
aAa
Bağıl (İzafi) Hata: Daha anlamlı olması açısından hatanın mutlak
olarak değil gerçek değere göre büyüklüğünün bilinmesi gerekir. Mutlak
hatanın gerçek değere oranı bağıl hatayı verir.
A
aAa
Yüzde Hata: Bağıl hatanın 100 ile çarpımı yüzde hatayı verir.
aa 100% 5
Gerçek sayı:60
NO SAYI MUTLAK H. BAGIL H. YUZDE H.
1 60.2982 0.2982 0.0049 0.4971
2 61.4053 1.4053 0.0234 2.3421
3 57.0907 -2.9093 0.0485 4.8488
4 58.7982 -1.2018 0.0200 2.0030
5 62.8333 2.8333 0.0472 4.7221
6 61.8085 1.8085 0.0301 3.0141
6
Örnek
Uzunluğu 5.521 cm olan bir vidanın boyu cetvel ile ölçüldüğünde
uzunluğu 5.53 cm bulunuyor. Buna göre ölçme işlemindeki mutlak ve
bağıl hatayı bulunuz.
53.5521.5 cm009.0aAa
A
aAa
521.5
53.5521.5 0016.0
7
Örnek
n
n
n
aaaa
aaaa
AAAA
,.....,
....,,.........
...,,.........
321
321
321 ( n tane sayının gerçek değerleri )
( n tane sayının yaklaşık değerleri )
( A sayılarının mutlak hataları )
nn aAaAaAaAaA .........332211
n
n
aaaaa
AAAAA
.....,,.........
...,,.........
321
321
( Cebirsel toplam)
naaaaa .........321
Toplama veya çıkartma işlemleri sonucunda mutlak hatalar toplanır. 8
TOPLAMA ve ÇIKARTMADA HATALAR
321321 aaaaaaA
321
3
2
1
03.01.2
01.09.8
02.05.10
AAAA
A
A
A
işleminde Δa=?, δa=?
03.001.02.01.29.85.10 A 06.07.3
06.0a
7.3
06.0
A
aa 0162.0
9
Örnek
21
21
,
,
aa
AA (sayıların gerçek değerleri )
(sayların yaklaşık değerleri )
221121. aAaAaa
222
111
aAa
aAa
2112212121 ..... aaaAaAAAaa
2112212121 ..... aaaAaAAAaa
21
21
21
12
21
21
21
2121
.
.
.
.
.
.
.
..
AA
aa
AA
aA
AA
aA
AA
AAaa
21
21
1
1
2
2
.
.
AA
aa
A
a
A
a
ihmal
21
21
2121
.
..aa
AA
aaAA
Çarpma ve bölme işlemleri sonucunda bağıl hatalar toplanır. 10
ÇARPMA ve BÖLMEDE HATALAR
02.0,3
02.0,4
22
11
aa
aa
Bir dikdörtgenin kenarları A1 = 4 ± 0.02m ve A2 = 3 ± 0.02m ise dikdörtgenin alanının
bağıl ve mutlak hatalarını hesaplayınız.
006.03
02.0,005.0
4
02.021 aa
123.4. 21 aa
011.0. 2121 aaaa
132.0.... 212121 aaaaaa
11
Örnek
01.0,3.9
01.0,2.7
22
11
aa
aa
tg α ifadesinin hatalarını bulunuz.
001.03.9
01.0,0013.0
2.7
01.021 aa
774.03.9/2.7/ 21 aa
0023.0/ 2121 aaaa
0017.0/.// 212121 aaaaaa
7.2
± 0
.01
9.3 ± 0.01
α
0017.077.0 tg12
Örnek
a
a
A
( gerçek değer )
( yaklaşık değer )
( a’nın bağıl hatası )
mas m
aaaas .......... ams .
m as am
s .1
13
ÜS ve KÖKÜN HATALARI
01.07.3A
Bir karenin kenarı A1 = 3.7 ± 0.01cm ise karenin alanının bağıl ve mutlak
hatalarını hesaplayınız.
01.0,7.3 aa
0027.07.3
01.0
a
aa
69.137.3 22 as
0054.0.2 as
073.00054.069.1. sss
073.069.13 S
14
Örnek
Sayısal analizde sonuçları etkileyen çeşitli hata kaynakları vardır. Bunlar:
• Yuvarlatma Hatası (Round-off Error): Hesaplarda, rakamların hane sayısının sonlu
tutulmasından kaynaklanan hatadır.
• Kesme Hatası (Truncation Error): Taylor serisi gibi serilerin belirli sayıda terimin
kullanılması veya iterasyon sayısının sonlu sayıda tutulmasından kaynaklanan hatadır.
• Giriş Verisindeki Hata: Yapılan ölçüm veya kullanılan ölçüm aletlerine bağlı olarak,
ölçülen değerler belli bir doğruluğa ve belli bir hassasiyete sahip olacaktır. Ölçüm
değerlerinin gerçek değere ne kadar yakın olduğunu doğruluk, belli bir fiziksel büyüklük
için tekrarlanan ölçümlerin birbirine ne kadar yakın olduğuna ise hassasiyet denir.
Doğruluk Hassasiyet
• İnsan Hatası: İnsanın kendisinden kaynaklanan, fiziksel veya matematiksel modelin
oluşturulmasında, işlem yaparken veya program yazarken yapabileceği hatalardır. 15
HATA KAYNAKLARI
16
ÖRNEK
Bir matematikçi dairenin alanını analitik olarak AD= πr2 bulmuştur.
• Sadece ikiz kenar üçgenlerin alanını hesaplayabilen bir
bilgisayarla bu dairenin alanını %δa ≤ 0.01 hata ile bulabilecek bir
algoritma oluşturun ve programını MATLAB programlama dilinde
yazın.
Program, her adımda daireyi üçgenlerden oluşan n eşit parçaya
bölsün, istenen doğruluk sağlanmadıkça n’i 1 arttırsın (r=1 cm
olsun, n, 5’ten başlasın). Daireyi yaklaşık olarak oluşturacak n tane
üçgenin alanı ;
n*Aüçgen 2
* *sin2
D
rn A
2
n
n
Başla
İlk Değerleri Ata: n, r, hata, tol, A0
hata tol mı? H
E
Son Alan
değerini
göster
A1 2
* *sin2
D
rn A
%δa= 100%*A
AA
1
01
A0A1
n=n+1
Sayısal Çözümleme
KAYNAKLAR
19
Cüneyt BAYILMIŞ, Sayısal Analiz Ders Notları, Sakarya Üniversitesi.
Serhat YILMAZ, “Bilgisayar İle Sayısal Çözümleme”, Kocaeli Üniv.
Yayınları, No:168, Kocaeli, 2005.
Mehmet YILDIRIM, Sayısal Analiz Ders Notları, Kocaeli Üniversitesi
Prof. Dr. Asaf Varol, Sayısal Analiz Ders Notları, Fırat Üniversitesi
