SAYISAL FİLTRE TASARIMI

Sayısal Filtre Tasarımı

• Sayısal filtre tasarımında amaç, verilen bir frekans yanıtını

yaklaşık olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu

G(z) elde etmektir.

• Çoğu uygulamada sayısal filtrenin tasarımı için genlik ve/veya

faz yanıtı belirtilir. Bazı durumlarda, impuls veya basamak yanıtı

belirtilebilir.

• Pratik çoğu uygulamada, verilen bir genlik yanıtını yaklaşık

olarak sağlayan gerçeklenebilir bir transfer fonksiyonu elde

etmek istenir. Bu nedenle, bu derste biz sadece genlik

yaklaşıklığını ele alacağız.

Filtre Karakteristiklerinin Belirtilmesi

• Dört tür ideal filtreye karşılık gelen impuls yanıtlarının nedensel

olmadıklarından ve sonsuz uzunluklu olduklarından ideal filtreler

gerçeklenemez.

• Pratikte, sayısal bir filtrenin genlik yanıtı geçirme ve söndürme

bandında kabul edilebilir toleranslarla belirtilir. Ayrıca, geçirme

ve söndürme bandları arasında bir geçiş bandı vardır.

• Örneğin, sayısal alçak geçiren bir filtrenin genlik yanıtı |G(ej)|

aşağıda gösterilmiştir.


p : geçirme bandı kenar frekansı

s : söndürme bandı kenar frekansı

p : geçirme bandındaki maksimum dalgalanma

s : söndürma bandındaki minimum dalgalanma


• Karakteristikler genelde dB olarak

A() = -20log10 |G(ej)|

ile tanımlanan kayıp fonksiyonu cinsinden verilir.

• Benzer şekilde, dB cinsinden geçirme bandı maksimum

dalgalanması p ve söndürme bandı minimum zayıflatması s

p = -20log10 (1-p)

s = -20log10 (s)

olarak hesaplanır.


Filtre karakteristikleri alternatif olarak aşağıdaki gösterildiği gibi

belirtilebilir. Alternatif gösterilimde, genliğin geçirme bandındaki

maksimum değerinin 1 olduğu varsayılr.


• Pratikte, geçirme bandı kenar frekansı Fp ve söndürme bandı

kenar frekansı Fs Hz cinsinden belirtilir.

• Sayısal filtre tasarım formüllerinde geçirme ve södürme bandı

kenar frekansları radyan cinsinden olduğu varsayıldığından Hz

cinsinden verilen frekansların radyan cinsinden eşdeğerleri

hesaplanmalıdır. Örnekleme frekansının FT olduğu varsayılırsa,

kenar frekansları aşağıdaki eşitlikler kullanılarak hesaplanabilir:

Filtre Türünün Seçilmesi

• Belirtilen frekans yanıtı özelliklerini sağlayan transfer

fonksiyonu H(z) nedensel bir transfer fonksiyonu olmalıdır.

• Sonsuz impuls yanıtlı (IIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu

şeklinde gerçel bir rasyonel fonksiyondur. Bu durumda, H(z)

kararlı olmanın yanında hesap yükünü en aza indirmek için

küçük dereceye (N) sahip olmalıdır.

Filtre Türünün Seçilmesi

• Sonlu impuls yanıtlı (FIR) filtre durumunda transfer fonksiyonu

şeklinde gerçel katsayılı bir polinomdur.

• Hesap karmaşıklığının az olması için transfer fonksiyonunun

derecesi (N) mümkün olduğu kadar küçük olmalıdır. H(z) kutup

içermediğinden FIR filtrelerin kararlılık problemi yoktur.

• Doğrusal faz isteniyorsa, filtre katsayılarının h[n] = ∓ h[N-n] ilişkisini sağlaması gereklidir.

Sayısal Filtre Tasarımı: Temel Yaklaşımlar

• En sık kullanılan IIR filtre tasarım yöntemi aşağıdaki adımlardan

oluşur:

1.Sayısal filtre karakteristikleri prototip bir analog alçak

geçiren filtre karakteristiklerine dönüştürülür.

2.Analog alçak geçiren filtre taransfer fonksiyonu Ha(s)

belirlenir.

3.Ha(s), gerekli sayısal transfer fonksiyonu G(z)’ye dönüştürülür.

• Bu yaklaşımın kullanılmasının nedenleri şöyle sıralanabilir:

analog filtre tasarım yöntemleri oldukça gelişmiş olup genelde

analitik çözümle sonuçlanırlar. Bu nedenle, analog filtre tasarımı

için tablolar mevcuttur. İlave olarak, çoğu uygulama analog

sistemlerin sayısal simülasyonunu gerektirmektedir.


• “a” analog uzayı belirtmek üzere, analog transfer fonksiyonu

olarak belirtilecektir.

• Ha(s)’den türetilen sayısal transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi

temsil edilecektir:

• Ha(s), G(z)’ye dönüştürmek, analog frekans yanıtının temel

karakteristikleri korunacak şekilde s-uzayından z-uzayına bir

dönüşüm uygulamaktır. O halde, dönüşüm kararlı bir analog

transfer fonksiyonunu kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna

dönüştürmelidir.


• FIR filtre tasarımı, belirtilen genlik yanıtının doğrudan

yaklaşıklığına dayalıdır. Ayrıca, genelde filtrenin doğrusal faza

sahip olması istenir.

• N. dereceden bir FIR filtrenin tasarımı, ya (N+1)-uzunluklu

impuls yanıtı katsayıları {h[n]}, ya da frekans yanıtı |G(ej)|’nın

(N+1) örneği bulunarak yapılabilir. En sık kullanılan FIR filtre

tasarım yöntemleri şöyledir:

1. Pencerelenmiş Fourier serisi yaklaşımı

2. Frekans örnekleme yaklaşımı

3. Bilgisayar tabanlı optimizasyon yöntemleri

IIR Sayısal Filtre Tasarımı: Çift Doğrusal Dönüşüm

• Çift doğrusal dönüşüm (ÇDD) s-uzayındaki bir noktayı z-

uzayındaki bir noktaya dönüştürür ve aşağıdaki eşitlikle verilir:

• O halde, G(z) ile Ha(s) arasındaki ilişki şöyle olur:

• Sayısal filtre tasarımı üç adımdan oluşur: (i) G(z)’nin

karakteristiklerine ters ÇDD uygulanıp Ha(s)’nin karakteristikleri

elde edilir, (ii) Ha(s) belirlenir, (iii) Ha(s)’ye ÇDD uygulanıp G(z)

belirlenir. Dönüşüm formülündeki T parametresinin etkisi

olmadığından, genelde T = 2 seçilir.


• T = 2 için ters ÇDD formülü kolaylıkla elde edilebilir:

• s = 0+j0 yazıp, s ile z arasında yukarıda verilen eşitlikten

elde edilir. 0’ın farklı değerleri için z’nin genlikleri aşağıda

verilmiştir.


• Aşağıda gösterildiği gibi, sol yarı s-düzlemi, karmaşık z-

düzleminde birim çemberin içine, sağ yarı s-düzlemi birim

çemberin dışına, j-ekseni de birim çembere dönüşmüştür.

• s-düzleminde kararlılık koşulu, kutupların sol yarı s-düzleminde,

z-düzleminde kararlılık koşulu ise kutupların birim çember içinde

olmasıdır. O halde, ÇDD kararlı bir analog transfer fonksiyonunu

kararlı bir sayısal transfer fonksiyonuna dönüştürmektedir.


Şimdi de analog frekans ile sayısal frekans arasındaki ilişkiyi

belirleyelim. ÇDD ilişkisinde (T=2 için) s=j, z=ej yazılırsa

bulunur. Bu ifade düzenlenirse, = tan (/2) elde edilir ve aşağıda

gösterildiği gibi aralarında doğrusal olmayan bir ilişki vardır


Analog frekans ile sayısal frekans arasındaki doğrusal

olmayan ilişki frekans ekseninde FREKANS BÜKMESİ denen bir

bozunum oluşturur. Frekans bükmesinin etkisi aşağıda

gösterilmiştir:


• Sayısal filtre tasarımındaki adımlar şöyle özetlenebilir:

1. (p, s) frekanslarına ön bükme işlemi uygulanarak (ters

ÇDD kullanarak) analog karşılıkları (p,s) bulunur.

2. Analog filtre tasarlanarak karşılık gelen transfer fonksiyonu

Ha(s) elde edilir.

3. Ha(s)’ye ÇDD ugulanarak sayısal filtreye karşılık gelen

transfer fonksiyonu G(z) belirlenir.

• ÇDD, sadece parçalı sabit değerli genlik yanıtlı sayısal filtre

tasarımında kullanılabilir.

• Dönüşüm, analog filtrenin faz yanıtını korumaz. Diğer bir

deyişle, analog filtrenin faz yanıtı dönüşüm sonunda bozulabilir.


• Örnek: Aşağıda verilen alçak geçiren Butterworth analog

transfer fonksiyonunu ele alalım:

• Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa alçak geçiren Butterworth sayısal

transfer fonksiyonu elde edilir:

• İfade yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir:


• Örnek: |Ha(j0)|=0, |Ha (j0)|= |Ha (j∞)|=1 olmak üzere, aşağıda

verilen 2. derece analog çentik transfer fonksiyonunu ele alalım:

• 0’a ÇENTİK FREKANSI denir. |Ha(j2)| = |Ha(j1)| =1/2 ise,

B= 2- 1’ye 3-dB ÇENTİK BANDGENİŞLİĞİ denir. Ha(s)’ye

ÇDD uygulanarak karşılık gelen sayısal çentik transfer

fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde edilir:


• Örnek: Çentik frekansı 60 Hz, 3-dB çentik bandgenişliği Hz

olan ve 400 Hz örnekleme frekansında çalışan 2. derece sayısal

çentik filtre tasarlayalım.

• 0=2π(60/400)=0.3π, Bw=2π(6/400)=0.03π elde edilir. ve β

hesaplanırsa =0.90993, β=0.587785 bulunur. Karşılık gelen

transfer fonksiyonu ile genlik ve faz yanıtları aşağıda verilmiştir.

))HAKAN((

Daktilo

6


• Örnek: Aşağıda verilen karakteristiklere sahip alçak geçiren

Butterworth sayısal filtre tasarlayalım: p=0.25π, s=0.55π,

p=0.5 dB, s=15 dB.

• Verilenlerden 2=0.1220185, A2=31.622777 bulunur. Ters ÇDD

kullanılarak karşılık gelen analog frekanslar

olarak elde edilir. 1/k ve 1/k1

şeklinde elde edilir. Derece hesaplanırsa

bulunur. N=3 seçilir.


c’yi hesaplamak için

eşitliği kullanılırsa c=1.419915(p)=0.588148 bulunur. c = 1için

3. derece alçak geçiren Butterworth transfer fonksiyonu

şeklinde tablolarda mevcuttur. c= 0.588148 olacak şekilde

normalleştirme yapılırsa gerekli analog transfer fonksiyonu

olarak bulunur.


Ha(s)’ye ÇDD uygulanırsa gerekli sayısal transfer fonksiyonu elde

edilir.

G(z)’nin genlik ve kazanç yanıtları aşağıda çizilmişitir.

YG, BG ve BS IIR Sayısal Filtre Tasarımı

Bu amaçla iki yaklaşım mevcuttur. İki yaklaşımın da detayları

aşağıda verilmiştir:

• Birinci yaklaşım

1. Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön

bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans

karakteristikleri belirlenir.

2. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle

prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür.

3. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır.

4. İkinci adımda kullanılan frekans dönüşümünün tersi

kullanılarak HLP(s), HD(s)’ye dönüştürülür.

5. HD(s)’ye ÇDD uygulanarak gerekli sayısal filtre GD(z) elde

edilir.

))HAKAN((

Vurgula

))HAKAN((

Vurgula

))HAKAN((

Ok

))HAKAN((

Daktilo

(TERS ÇDD)


• İkinci yaklaşım

1. Gerekli sayısal filtre GD(z)’nin frekans karakteristiklerine ön

bükme uygulanarak aynı tür analog filtre HD(s)’nin frekans

karakteristikleri belirlenir.

2. HD(s)’nin karakteristikleri uygun bir frekans dönüşümüyle

prototip alçak geçiren filtre HLP(s)’ye dönüştürülür.

3. Analog alçak geçiren filtre HLP(s) tasarlanır.

4. HLP(s)’ye ÇDD dönüşüm uygulanarak sayısal alçak geçiren

transfer fonksiyonu GLP(z) elde edilir.

5. Sayısal uzayda uygun bir frekans dönüşümü kullanılarak

GLP(z), gerekli sayısal filtre GD(z)’ye dönüştürülür.

))HAKAN((

Vurgula

))HAKAN((

Ok

))HAKAN((

Daktilo

(TERS ÇDD)


• Örnek: 1. yaklaşımı kullanarak aşağıdaki karakteristiklere sahip

1. tür Chebyshev IIR sayısal yüksek geçiren filtre tasarlayalım:

Fp=700 Hz, Fs=500 Hz, p=1dB, s=32 dB, FT =2 kHz.

• İlk önce, radyan cinsinden band kenar frekansları hesaplanır:

• Sonra, ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar bulunur:

• Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip

ilişkisinden Ωs = 1.962105 bulunur.

• O halde, analog alçak geçiren filtre karakteristikleri şöyle elde

edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 1.962105, p=1dB, s=32 dB.


• Filtre tasarımında kullanılan MATLAB komutları ve komutlar

çalıştırılarak elde edilen kazanç grafiği aşağıda verilmiştir.


• Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip Butterworth IIR sayısal

band geçiren filtre tasarlayalım: ωp1=0.45π, ωp2=0.65π, ωs1=0.3π

ωs2=0.75π , p=1dB, s=40 dB.

• Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:

• Bandgenişliği olduğundan

olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi

gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.


• Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωp = 1 seçilip

ilişkisinden


edilmiş oldu: Ωp = 1, Ωs = 2.3617627, p=1dB, s=40 dB.




• Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal band

söndüren filtre tasarlayalım: ωp1=0.3π, ωp2=0.75π, ωs1=0.45π

ωs2=0.65π , p=1dB, s=40 dB.

• Ön bükmeyle karşılık gelen analog frekanslar hesaplanır:

• Bandgenişliği olduğundan

olup çarpımlar eşit olacak şekilde band kenarlarının değiştirilmesi

gereklidir. Seçilirse çarpımlar eşit olur.


• Prototip alçak geçiren analog filtre için Ωs = 1 seçilip

ilişkisinden


edilmiş oldu: Ωs = 1, Ωp = 0.4234126, p=1dB, s=40 dB.



))HAKAN((

Satır

))HAKAN((

Satır

))HAKAN((

Ok

))HAKAN((

Daktilo

0.577303 olacak

IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri

• Amaç: Verilen bir alçak geçiren sayısal transfer fonksiyonu

GL(z)’yi alçak, yüksek, bandgeçiren veya bandsöndüren bir

filtreye karşılık gelen diğer bir transfer fonksiyonu ye

dönüştürmek.

• Karışıklığı önlemek için prototip alçak geçiren filtrenin transfer

fonksiyonunda bağımsız değişken için z, gerekli filtreninki için

ise kullanılmıştır.

• İki uzaydaki birim çemberler ve uzaylar arasındaki dönüşüm

aşağıda gösterildiği şekilde olur:

IIR Sayısal Filtrelerin Spektral Dönüşümleri

• ilişkisinden, elde edilir. O halde,

• Kararlı bir tüm geçiren transfer fonksiyonu A(z) şu koşulu sağlar:

• O halde, genel şekli aşağıda verilen kararlı bir tüm

geçiren transfer fonksiyonu olmalıdır.

AG-AG Spektral Dönüşümü

• c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim

frekanslı diğer bir alçak geçiren filtre ye dönüştürmek için

gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:

• Formüldeki parametresi verilen frekanslardan şöyle hesaplanır:

• AG-AG spektral dönüşümü, YG-YG, BG-BG ve BS-BS spektral

dönüşümleri için de kullanılabilir.

AG-AG Spektral Dönüşümü

• Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak

geçiren filtrenin transfer fonksiyonundan yararlanarak kesim

frekansı 0.35π olan alçak geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu

elde ediniz.

• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır:

• O halde,

AG-YG Spektral Dönüşümü

• c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtre GL(z)’yi, kesim

frekanslı bir yüksek geçiren filtreye dönüştürmek için gerekli

dönüşüm aşağıda verilmiştir:

• AG-YG spektral dönüşümü, c kesim frekanslı yüksek geçiren

bir filtreyi kesim frekanslı bir alçak geçiren filtreye

dönüştürmek ve 0 merkez frekanslı bandgeçiren bir filtreyi

merkez frekanslı bandsöndüren bir filtreye dönüştürmek

amacıyla da kullanılabilir.

AG-YG Spektral Dönüşümü

• Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak


frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer

fonksiyonunu elde ediniz.

• Dönüşüm için gerekli parametresi hesaplanır:

• O halde,

AG-BG Spektral Dönüşümü

• c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst

kesim frekanslı bandgeçiren filtreye dönüştürmek için gerekli

dönüşüm aşağıda verilmiştir:

• Not: c = - durumunda dönüşüm basitleşir:

AG-BS Spektral Dönüşümü

• c kesim frekanslı alçak geçiren bir filtreyi alt ve üst

kesim frekanslı bir bandsöndüren filtreye dönüştürmek için

gerekli dönüşüm aşağıda verilmiştir:

MATLAB ile Tüm Geçiren Fonksiyonun Üretilmesi

[tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(wag,wyg) % AG-YG

[tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bp(wag,wbg) % AG-BG

[tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2bs(wag,wbs) % AG-BS

Örnek: AG-YG dönüşümünde wag= 0.25π ve wyg = 0.55π için

[tumgecpay,tumgecpayda] = allpasslp2hp(0.25, 0.55)

komutunun çalıştırılması sonucunda aşağıdaki dönüşümü elde edilir:

MATLAB ile Spektral Dönüşüm

[pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, wag,wyg) % AG-YG

[pay,payda] = iirlp2bp(payag, paydaag, wag,wbg) % AG-BG

[pay,payda] = iirlp2bs(payag, paydaag, wag,wbs) % AG-BS

Örnek: Kesim frekansı 0.25π olan aşağıda verilen sayısal alçak


frekansı 0.55π olan yüksek geçiren filtrenin transfer fonksiyonunu

elde edelim

Gerekli MATLAB satırları şöyledir:

payag=0.0662*[1 3 3 1];

paydaag=[1 -0.9353 -0.5669 -0.1015 ];

[pay,payda] = iirlp2hp(payag, paydaag, 0.25,0.55);

MATLAB ile Sayısal IIR Filtre Tasarımı

Derece kestirim komutları:

Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip 2. tür Chebyshev sayısal

yüksek geçiren filtrenin derceseni belirleyelim: Fp=1 kHz, Fs=0.6

kHz, p=1dB, s=40 dB, FT =4 kHz.

İlk önce, verilen frekanslar [0,1] aralığına normalize edilmelidir.

Verilen değerlerden ωp=2x1/4=0.5, ωs=2x0.6/4=0.3 bulunur.

Daha sonra, [N,Wn]=cheb2ord(0.5, 0.3, 1, 40) komutunun

çalıştırılması sonucunda N=5, Wn=0.3224 elde edilir.


Filtre Tasarım Komutları:

Elde edilen transfer fonksiyonunun şekli b ve a vektörlerinin

katsayılarına bakılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir:

Transfer fonksiyonundan frekans yanıtını bulmak için freqz(b,a,w)

komutu kullanılabilir. Komuttaki w, frekans yanıtının hesaplanmak

istendiği açısal frekans değerleridir. Komutun çalıştırılması

sonucunda her frekans değerinde sistemin frekans yanıtı elde edilir.

Daha sonra, genlik ve faz yanıtı kolay bir şekilde belirlenebilir.


Örnek: Aşağıdaki karakteristiklere sahip elliptik IIR sayısal alçak

geçiren filtre tasarlayalım: Fp=0.8 kHz, Fs=1 kHz, p=0.5 dB, s=40

dB, FT =4 kHz.

Verilen değerlerden ωp=2x0.8/4=0.4, ωs=2x1/4=0.5 bulunur.

MATLAB komutları ve komutların çalıştırılması sonucunda elde

edilen kazanç yanıtı aşağıda verilmiştir.

Bigisayar Destekli Sayısal IIR Filtre Tasarımı

• Şimdiye kadar tartışılan IIR filtre tasarım algoritmaları AG, YG,

BG veya BS genlik yanıtına sahip fitre gerektiren uygulamalarda

kullanılmaktadır.

• Diğer tür IIR filtrelerin tasarımı, bigisayarla üretilen filtre ile

gerekli filtre arasındaki hatayı minimum yapan yinelemeli

optimizasyon yöntemleri içermektedir.

• H(ej) bilgisayarla üretilen transfer fonksiyonu H(z)’nin frekans

yanıtını, D(ej) gerekli frekans yanıtını belirtsin. Amaç, H(ej) ile

D(ej) arasındaki hata minimum olacak şekilde H(z)’yi

tasarlamaktır.


• H(ej) ile D(ej) arasındaki hata aşağıda gösterildiği gibi genelde

ağaırlıklandırılmış bir hata fonksiyonu olarak belirtilir:

• W(ej) önceden belirtilmiş pozitif bir ağırlıklandırma fonksiyonu

olmak üzere, E(), 0 ≤ ≤ π aralığında her değeri için

minimum yapılır.

• Chebyshev veya minimaks ölçütü denen sıklıkla kullanılan bir

yaklaşıklık ölçütü aşağıda gösterildiği gibi E()’nın mutlak tepe

değerini minimum yapmaktır:

• Eşitlikteki R, gerekli frekans yanıtının tanımlandığı 0 ≤ ≤ π

aralığında kesişmeyen frekans bandları kümesidir.


• Filtreleme uygulamalarında, R tasarlanacak filtrenin gerekli

geçirme ve söndürme bandlarından oluşur. Örneğin, alçak

geçiren filtre tasarımında p ve s tasarlanacak filtrenin geçirme

ve söndürme bandı kenar frekansları olmak üzere, R [0, p] ile

[0, s] frekans aralıklarının birleşimidir.

• En küçük-p ölçütü denen diğer bir yaklaşıklık ölçütü, E()’nın p.

kuvvetinin integralini belirtilen frekans aralığı R üzerinde

minimum yapmaktır:


• p = 2 için elde edilen en küçük kareler ölçütü genelde basitlik

açısından tercih edilir.

• p sonsuza gittiğinde en küçük-p çözümünün minimaks

çözümüne yaklaştığı gösterilebilir.

• Pratikte, integral hata ölçütü aşağıda gösterildiği gibi sonlu bir

toplamayla yaklaşık olarak hesaplanır:

• Eşitlikteki i’ler 1 ≤ i ≤ K, yeterince sık miktarda alınmış sayısal

açısal frekansları göstermektedir.

Sayısal IIR Filtrelerin Grup Gecikme Denkleştirmesi

• Bir işaretin, verilen frekans aralığında sayısal bir filtreden

bozunumsuz iletimi için filtrenin transfer fonksiyonu birim

genlik yanıtına ve doğrusal faz yanıtına, yani ilgili frekans

aralığında sabit grup gecikmesine sahip olmalıdır.

• Şimdiye kadar tartışılan sayısal IIR filtre tasarım yöntemleri

doğrusal olmayan faz yanıtlı transfer fonksiyonlarıyla sonuçlanır.

• O halde, sabit grup gecikmeli sayısal IIR filtre etmek için pratik

bir yaklaşım belirtilien genlik yanıtını sağlayan sayısal IIR filtre

ile tüm geçiren bir filtreyi toplam grup gecikmesi sabit olacak

şekilde seri bağlamaktır.

• Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi optimizasyon yöntemleri

kullanılarak tasarlanır. Aşağıda bir yöntem verilmiştir.


• H(z), grup gecikmesi τH(ω) olan sayısal IIR filtrenin transfer

fonksiyonu olsun. Amacımız, grup gecikmesi τA(ω) ve transfer

fonksiyonu

olan tüm geçiren bir filtreyi, tüm geçiren filtre ile H(z) aşağıda

gösterildiği gibi seri bağlandığında toplam grup gecikmesi τ(ω) =

τH(ω) + τA(ω) sabit olacak şekilde tasarlamaktır.

• Kararlılığı garantilemek için aşağıdaki koşul da sağlanmalıdır:


• Tüm geçiren gecikme denkleştiricisi tasarım problemi

şeklinde verilen hatanın maksimum mutlak değerinin minimum

yapıldığı bir optimizasyon problemi olarak ifade edilebilir.

• Hesaplanacak parametreler, gerekli gecikme τ0 ve tüm geçiren

filtrenin katsayıları d1,l, d2,l’dir.

• MATLAB’de, bu optimizasyon problemi iirgrpdelay M-dosyası

kullanılarak çözülebilir.


• Örnek: Geçirme bandı kenar frekansı 0.3π, geçirme bandı

dalgalanması 1 dB ve söndürme bandı dalgalanması 30 dB olan

4. derece elliptik alçak geçiren filtrenin grup gecikmesini 8.

derece tüm geçiren denkleştirici tasarlayarak denkleştirelim.

• Alçak geçiren filtrenin ve toplam sistemin grup gecikmeleri

aşağıda gösterilmiştir:

SAYISAL FİLTRE TASARIMI

Documents

Transcript of SAYISAL FİLTRE TASARIMI