Samenvatting H29 Parabolen

Havo: alleen parabolen

Vwo: parabolen en hyperbolen

Standaardvorm en aanpassingen• Standaard parabool: y = x2

• Verticale verschuiving: y = x2 + b• b > 0 betekent verschuiving naar boven• b < 0 betekent verschuiving naar beneden

• Horizontalen verschuiving: y = (x – a)2 + b• -a > 0 betekent verschuiving naar links (let op!)• -a < 0 betekent verschuiving naar rechts (let op!)

• Breedte aanpassen: y = c • (x – a)2 + b• c > 1 betekent parabool wordt smaller• c < 1 betekent parabool wordt breder

Voorbeelden:y = x2

Let op dat het assenstelsel van -5 tot 5 loopt!

Voorbeelden:y = x2 – 5

Let op dat het assenstelsel van -5 tot 5 loopt!

Voorbeelden:y = x2 + 5

Let op dat het assenstelsel van -5 tot 5 loopt!

Voorbeelden:y = (x – 3)2 en y = (x + 3)2

Let op dat het assenstelsel links nu van -5 tot 8 loopt en rechts van -8 tot 5!

Gecombineerde voorbeelden:y = (x – 3)2 + 5 en y = (x + 3)2 – 5

Let op dat het assenstelsel links nu van -5 tot 8 loopt en rechts van -8 tot 5!

Voorbeelden:y = 2x2 en y = ½x2

Let op dat het assenstelsel nu van -5 tot 5 loopt!

Gecombineerde voorbeelden:y = 2(x – 3)2 + 5 en y = ½(x + 3)2 – 5

Let op dat het assenstelsel nu van -5 tot 5 loopt!

Top en symmetrie-as bepalen• y = 2(x – 3)2 + 5

• Top is 3 naar rechts en 5 naar boven verschoven• Top dus: (3,5)• Symmetrie-as door de top• Symmetrie-as dus x = 3

• y = ½(x + 3)2 – 5• Top is 3 naar links en 5 naar beneden verschoven• Top dus: (-3,-5)• Symmetrie-as door de top• Symmetrie-as dus x = -3

Tot zover• Moet je uit een formule:

– Top en symmetrie-as bepalen– Verschuiving links/rechts boven/onder bepalen– Verbreding/versmalling bepalen– Grafiek maken

• Moet je uit een grafiek:– top en symmetrie-as bepalen– Verschuiving links/rechts boven/onder bepalen– Verbreding/versmalling bepalen– Formule maken

1) y = c • (x – a)2 + b vs.2) y = ax2 + bx + c

• Door haakjes wegwerken kan 1) geschreven worden als 2)y = 2(x – 3)2 + 5

y = 2(x2 – 6x + 9) + 5

y = 2x2 – 12x + 18 + 5

y = 2x2 – 12x + 23

Deze laatste vorm is handig voor abc-formule

• Door kwadraatafsplitsen kan 2) geschreven worden als 1)y = 2x2 + 8x + 24y = 2(x2 + 4x) + 24y = 2((x + 2)2 – 4) + 24y = 2(x + 2)2 – 8 +24y = 2(x+2)2 +16

Havo, rustig maar! Is alleen voor Vwo

1) y = c • (x – a)2 + b vs.2) y = ax2 + bx + c

y = ax2 + bx + c• Deze vorm is onhandig irt de grafiekvorm

• Deze vorm is nuttig voor de abc-formule:

• y = -b +/- √(b2 – 4ac) / 2a

• Je berekent de nulpunten• dus de snijpunten met de x-as• de hoogte is hier 0 oftewel y = 0

• D = b2 – 4ac• D > 0 dan 2 antwoorden• D = 0 dan 1 antwoord• D < 0 dan geen antwoord

Voorbeeld• y = -2x2 + 8x + 24• D = 82 – (4 • -2 • 24)• D = 64 – (-192)• D = 256• y1 = -8 +√256 / -4 y2 = -8 -√256 / -4

y1 = -8 +16 / -4 y2 = -8 -16 / -4 y1 = 8 / -4 y2 = -24 / -4

y1 = -2 y2 = 6

(-2,0) (6,0)

ff checken:

• Standaardformule: x • y = c• c kan elk getal zijn behalve 0• Hoe groter c,

hoe verder de bogen van oorsprong• Hoe kleiner c,

hoe dichter de bogen bij oorsprong

Blauw: x • y = 5

Rood: x • y = 25

Groen: x • y = 50

Hyperbolen, vorm en aanpassingen

• Indien c = negatief, grafiek klapt om• Andere aanpassingen blijven geldig

Blauw: x • y = -5

Rood: x • y = -25

Groen: x • y = -50

Hyperbolen, vorm en aanpassingen

Verschuiving en asymptoot• Standaard, hor. asymptoot: y = 0

• Standaard, ver. asymptoot: x = 0

• Hor. verschuiving: (x – a)• ver. asymptoot: x = a

• Ver. verschuiving: (y – b)• hor. asymptoot: y = b

• Formule: (x – a)(y – b) = c

Voorbeeld(x – 5)y = 10

Alleen horizontale verschuiving, ver. asymptoot: x = 5

Voorbeeld(x – 5)(y + 10) = 10

Horizontale en verticale verschuiving:

ver. asymptoot: x = 5

hor. asymptoot: y = -10

Andersom:

• Hor. asymptoot: y =10• Ver. asymptoot: x = -4• Formule: (x + 4)(y – 10) = c• Punt: (0,15)

(0 + 4)(15 – 10) = 20

• Formule: (x + 4)(y – 10) = 20

Zowel voor Havo als Vwo:

• Stel nou dat je het even helemaal niet meer weet……???????

• Dan kun je altijd nog een tabel maken!!!– Dit is tevens handig bij het maken van grafieken

Formule: y = -2x2 + 4x + 8

Pak je rekenmasjiene!• Typ in: -2 x (-5)2 + 4 x -5 + 8 = -62• Dus x = -5 geeft y = -62 (nou lekker handig dan!)• We gaan verder met -4, -3, -2 etc• Typ in: -2 x (-4)2 + 4 x -4 + 8 = -40• Typ in: -2 x (-3)2 + 4 x -3 + 8 = -22

Alle getallen invullen geeft dan:

• Nu kun je de grafiek tekenen• Tevens zie je dat de top bij (1,10) ligt• De symmetrie-as ligt dus bij x = 1• Handig hè! • Grafiek tekenen geeft:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y -62 -40 -22 -8 2 8 10 8 2 -8 -22

Alle punten neerzetten en vloeiende lijn erdoor trekken:

Nog eentje oefenen:y = 3(x + 1)2 – 6

• Typ in: 3 x (-5+1)2 -6 = 42

• Dus x = -5 geeft y = 42 (nou lekker handig dan!)

• We gaan verder met -4, -3, -2 etc

• Typ in: 3 x (-4+1)2 -6 = 21

• Typ in: 3 x (-3+1)2 -6 = 6

Alle getallen invullen geeft dan:

• Nu kun je de grafiek tekenen• Tevens zie je dat de top bij (-1,-6) ligt• De symmetrie-as ligt dus bij x = -1• Handig hè! • Grafiek tekenen geeft:

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 42 21 6 -3 -6 -3 6 21 42 69 102

Alle punten neerzetten en vloeiende lijn erdoor trekken:

Ten slotte:

• Deze samenvatting bevat zoveel mogelijk informatie maar ongetwijfeld zijn er onderdelen niet opgenomen.

• Kijk dus goed de opgaven in het hoofdstuk na• Leer de samenvatting en zelftoets• Maak nog verschillende opgaven

• Veel succes bij het proefwerk!!!

Eindelijk klaar!

• Tijd voor pauze!