Resumen TOTAL PSU MATEMÁTICA

1

60 : 2

30 : 2

15 : 3

5 : 5

1

2 · 2 · 3 · 5

60

6 10

2 3 2 5

2 · 2 · 3 · 5

RESÚMEN DE CONTENIDOS

MÍNIMOS PARA LA PSU (Para Savane)

I) Conjuntos numéricos y proporcionalidad.

Naturales: { }1,2,3,4,5,6,...=

Notación Decimal. 8.965 = 8·103 + 9·102 + 6·101 + 5·100 Cifras o dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Suma y resta. Minuendo Sustraendo Ej. 18.343.275 - 5.637.107 = i) La suma de dos naturales siempre

resulta otro natural. ii) Si el minuendo es mayor que el

sustraendo el resultado es positivo. iii) Si el minuendo es menor que el

sustraendo el resultado es negativo. iv) El antecesor de un natural n es n – 1. v) El sucesor de un natural n es n + 1. Multiplicación. i) Al multiplicar dos naturales el resultado

es siempre natural. ii) Si a · b = c , entonces c es múltiplo de

a y b. iii) 2·n, es un número par. iv) 2·n + 1 es un número impar

+ o - Par Impar Par par Impar Impar impar par

· Par Impar

Par par par Impar par impar

Números primos: son aquellos naturales mayores que 1, que sólo tienen dos divisores; la unidad (1) y el mismo número. {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…}

Números compuestos: son aquellos números mayores que uno que no son primos. {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…} Descomposición prima de un número o factorización de un número. Tabla de descomposición 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Diagrama de árbol 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Conjunto de múltiplos. M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...} Mínimo común múltiplo (m.c.m) El m.c.m entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. Veamos el ejemplo. 6 8 :2 3 4 :2 2·2·2·3 = 24 3 2 :2 3 1 :3 1

2

División Algoritmo de la división: Dividendo = cuociente · divisor + resto i) Si el dividendo es mayor que el divisor,

entonces el cuociente es mayor o igual a 1.

ii) Si el dividendo es múltiplo del divisor el resto es 0 (división exacta).

iii) Si un número al dividirlo por otro da resto cero, se dice que es divisible por el otro.

Conjunto de divisores D6 = {1,2,3,6} Máximo común divisor (M.C.D.): es el mayor de los divisores comunes. 6 8 :2 3 4 como los números 3 y 4 no tienen divisor primo común se detiene la tabla. M.C.D.(6,8) = 2 Reglas de divisibilidad i) todo número es divisible por 2 si su

última cifra es par. ii) todo número es divisible por 3, si la

suma de las cifras o dígitos es múltiplo de 3.

iii) todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

iv) todo número es divisible por 5. si su última cifra es 0 o 5.

v) todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3.

vi) todo número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

vii) todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras o dígitos es múltiplo de 9.

ENTEROS ( )

{ }... 3, 2, 1,0,1,2,3...= − − −

Valor Absoluto: es la distancia entre un número y el 0. Ej.: 4 4= y 4 4− =

En general: n, si n 0≥ n =

-n, si n < 0 Suma: la suma de números de igual signo, conservan el signo. Resta: i) Si el minuendo es mayor que el sustraendo el resultado es positivo. ii) Si el minuendo es menor que el sustraendo, el resultado es negativo. Multiplicación: Al multiplicar cantidades de igual signo, el resultado es positivo, y si son de distinto signo el resultado es negativo. División: En la división la regla de signos es igual que en la multiplicación. Potencia: El valor de una potencia es positivo si, su base es positiva y el exponente es cualquiera, y si su base es negativa y el exponente es par. El resultado de una potencia es negativo si su base es negativa y su exponente es impar. Orden de las operaciones: Al operar un conjunto de operaciones, se debe respetar el siguiente orden 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación y división 4º Suma o resta

3

RACIONALES (Q)

Q = { a/a b b 0

b∧ ∈ Ζ ∧ ≠ }

Amplificación: a n·ab n·b= Ej. 2 2·3 6

3 3·3 9= =

Simplificación: a a:nb b :n= (esto se puede hacer cuando el

numerador y el denominador son múltiplos de n)

Ej. 18 18 : 9 2 136 36 : 9 4 2

= = =

Observación: Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de operar, los resultados se han de simplificar al máximo. Orden en racionales i) Dos racionales son iguales si:

a ca d b c

b d= ⇔ ⋅ = ⋅ Ej.

4 127 21= son

iguales ya que 4 · 21 = 7 · 12, 84 = 84. ii) Para saber cuando un racional es mayor

que otro, consideraremos tres criterios de comparación, a saber:

1er criterio: si dos racionales tienen igual de denominador entonces el mayor de ellos es aquel que tiene mayor numerador. 2º criterio: si dos racionales tiene igual numerador, entonces el mayor es aquel que tiene menor denominador.

3er criterio: a c

a d b cb d> ⇔ ⋅ > ⋅

Suma y Resta. a c ad bcb d bd

±± =

Ej. 2 1 2·5 1·3 10 3 133 5 3·5 15 15

+ ++ = = =

Multiplicación. a c ac·

b d bd=

Ej. 3 2 6 2·

5 3 15 5= =

División: a c a d a d

:b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅

Ej. 1 2 1 3 3:

2 3 2 2 4= ⋅ =

Potencias En este conjunto podemos enunciar las propiedades de potencias que nunca deben olvidar, a saber: i) a1 = a ii) 1n = 1 iii) an · bn = (ab)n iv) an · am = an+m

v) a-n = n

1

a

vi) an : bn = (a:b)n vii) an : am = an-m viii) (an)m = an·m ix) a0 = 1, si a ≠ 0 x) 0n = 0, si n >0

Fracción propia Es cuando el numerador es menor que el denominador.

Ej. 34

, 3 < 4, la representación gráfica es.

1 entero Observación: toda fracción propia es menor que un entero (0 < f.p. < 1).

4

Fracción impropia Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.

Ej. 74

, 7 > 4. la representación gráfica es:

1 entero 1 entero

1 + 34

= 31

4

Observación: toda fracción impropia es mayor que un entero, por tanto se puede expresar como número mixto. Para llevarla a número mixto se debe dividir el numerador por el denominador, el cuociente es la parte entera y el resto es el numerador de la parte racional siempre se debe conservar el denominador. Para llevar un número mixto a fracción impropia se debe multiplicar el denominador por la parte entera y a este resultado sumarle el numerador de la parte racional. Número decimal Ej. 73,84 = 7·101 + 3·100 + 8·10-1 + 4·10-2 La cifra que multiplica a: 10-1; se llama décimo 10-2; se llama centésimo 10-3; se llama milésimo, etc. Es decir el número 73,84 se lee como 73 enteros y 84 centésimos. Todo racional se puede llevar a decimal dividiendo el numerador por el denominador.

Ej. 34

= 0,75

30 : 4 = 0,75 20 0 Decimales finitos: son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte decimal.

Ej. 0,25 Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el número sin coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte decimal.

Ej. 0,25 = 025 25 1100 100 4

= =

Decimales infinitos periódicos puros: son aquellos que en su parte decimal tienen una o más cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo. Ej. 0,3333... = 0,3 Todo decimal periódico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el periodo y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 0,333... = 3 19 3=

Si además del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el número sin coma y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 2,333... = 23 2 21 79 9 3−

= =

Decimales infinitos semiperiódicos: son aquellos que en su parte decimal además del periodo tienen una o más cifras que no se repiten (ante periodo). Ej. 0,2333... = 0,23 Todo decimal semiperiódico es un racional y para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el número sin coma menos al ante periodo, y en le denominador se anotan tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo.

Ej. 0,2333... = 23 2 21 790 90 30−

= =

5

Si además de lo anterior el número tiene parte entera, se transforma de la misma forma.

Ej. 4,2333... = 423 42 38190 90−

=

Decimales infinitos no periódicos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de cifras en las cuales jamás se puede establecer un periodo. Ej. π = 3,1415... 0,1010010001... Estos decimales no se pueden llevar a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de Irracionales ( '). La unión de los Racionales con los Irracionales genera el gran conjunto de los Reales. Operatoria entre racionales e irracionales: i) Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional. ii) Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. iii) Al multiplicar un racional con un irracional en un único caso resulta racional, es cuando el racional es cero, en cualquier otro caso da irracional. iv) Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. Operatoria entre decimales. Para sumar o restar decimales estos deben ser ordenados de acuerdo a la coma. Ej. 12,356 + 103,54 =115,896 12,356 + 103,54 115,896

Para multiplicar decimales, estos se multiplican igual como si fueran enteros, y al resultado final se corre la coma tantos lugares como cifras decimales hayan en los dos números que se multiplicaron. Ej. 2,35 · 1,2 = 2,82 2 , 3 5 · 1,2 4 7 0 2 3 5 2,820 (la coma se corre 3 lugares) Para dividir decimales, estos se deben amplificar para que el divisor sea entero, esto se hace corriendo la coma hacia la derecha en ambos números y luego se rellena con ceros. Si uno requiere encontrar más decimales en una división se debe agregar cero al resto y seguir dividiendo. Ej. 4,6 : 0,23 = 20 460 : 23 = 20 00 0 Regularidades numéricas y cuadrados mágicos. Regularidades numéricas: son aquellas secuencias de números en las cuales se puede inferir un patrón que las generan. Ej. Los números pares 2, 4, 6, 8, … , estos se generan multiplicando por 2 todos los naturales (2n). Estas situaciones tiene dos formas de preguntarse, una de ellas es determinar el siguiente y la otra es determinar el término general o determinar un término muy lejano. Una de las maneras más simple de determinar el siguiente es hacer las restas de dos consecutivos, si el resultado muestra un patrón este se aplica al último para determinar el siguiente. Para determinar el patrón o un elemento muy lejano se trata de descubrir el término general. Si en las primeras restas no se distingue un patrón se hacen las restas de las primeras restas hasta que aparezca un patrón.

6

8, 11, 14, 17,

3 3 3 3

20

x

y

Ej. Si 8, 11, 14, 17, … , entonces determinar el siguiente y determinar el término 100. El siguiente El término 100 Es conveniente hacer una tabla para encontrar el patrón

Luego el término 100 es 5 + 100 · 3 = 305

Razones, proporciones y Tanto por ciento

Razón: es un cuociente entre dos reales. ab

= a : b , se lee “a es a b”

Observación: una razón es similar a un racional, por tanto se pueden amplificar o simplificar. Proporción: Es una igualdad entre dos o más razones. a cb d= , se lee “ a es a b como c es a d”

También se escribe como a : b = c : d, de esta forma de escribir es que a y d se llaman extremos, b y c se llaman medios. Propiedad fundamental:

a c

a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅

Se dice que en toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ej. Si en un cine hay 800 adultos y 400 niños, entonces podemos escribir:

adultos 800niños 400

= y simplificando, tenemos

adultos 2niños 1

= . Ahora decimos que los adultos

son a los niños como 2 es a 1. Recuerda que todo número que está dividiendo en un lado de una igualdad pasa multiplicando al otro lado o al revés. Cantidades proporcionales: Ej. 1 Si 3 kilos de manzanas cuestan $ 750, entonces,¿cuánto cuestan 5 kilos? Planteamos la regla de tres; 3 k $ 750 aumenta 5 k $ x aumenta Al hacer un análisis simple detectamos que al aumentar una la otra también aumenta, por lo tanto las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto multiplicamos cruzado e igualamos. 3 · x = 5 · 750

x = 5·750

3

x = $ 1.250 Formalmente en matemáticas dos cantidades son directamente proporcionales cuando el cuociente de ellas es constante. La gráfica de dos cantidades directamente proporcionales es una recta que comienza en el origen.

x

Cte.y=

Ej. 2. Si 6 obreros demoran en construir una muralla en 3 días, entonces ¿cuánto demoraran en terminar la misma muralla 9 obreros? Planteamos la regla de tres: 6 obreros 3 días aumenta 9 obreros x días disminuye Como al haber más obreros se deben demorar menos, entonces al aumentar una y

1 8 5+3 5+1·3 2 11 5+3+3 5+2·3 3 14 5+3+3+3 5+3·3 4 17 5+3+3+3+3 5+4·3 n 5+n·3

7

x

y

disminuir la otra, las cantidades son inversamente proporcionales, cuando descubres que las cantidades son inversamente proporcionales, debes multiplicar en línea e igualar. 6 · 3 = 9 · x 18 = 9 · x

189

= x

2 días = x Formalmente se dice que cuando las cantidades son inversamente proporcionales el producto de ellas es constante. La gráfica de cantidades inversamente proporcionales es la que se muestra a continuación. x · y = Cte. Serie de razones o proporción compuesta Si tenemos más elementos que los 4 que forman una proporción simple, entonces estamos en presencia de una proporción compuesta. a : b : c : … = m : n : p : …, am

= k ; bn

= k ; cp

= k ; … , k es lo que se

llama constante de proporcionalidad. Esto nos lleva finalmente a: a = m · k ; b = n · k ; c = p · k ; … Eje. Si la razón entre las edades de Juan, Pedro y Daniel es 1 : 2 : 3, entonces, ¿cuál es la edad de cada uno si sus edades suman 36 años? Juan = 1·k, Pedro = 2·k , Daniel = 3·k y si Juan + Pedro + Daniel = 36 años, reemplazando tenemos: 1k + 2k + 3k = 36 6k = 36 k = 6 Finalmente sustituimos k, resultando:

Juan =1 · 6 = 6 años Pedro = 2·6 = 12 años Daniel = 3·6 = 18 años Tanto por ciento o porcentaje. En matemática para hacer más fácil el entender ciertas fracciones o decimales, se crearon los porcentajes. Es decir debes entender que los porcentajes son otra forma de decir algunas fracciones.

Ej. 14

= 25% = 0,25

Por lo tanto: a

a%100

=

Ej. El 80% de los alumnos llegó a la hora, si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos alumnos llegaron a la hora? 80100

· 30 = 80·30 2.400100 100

= = 24 alumnos

Ej. En un cine hay 250 niños y 1.250 adultos, luego ¿qué porcentaje de los adultos son los niños? Obtengamos la fracción correspondiente: niños

adultos, tenemos

2501.250

, puedes

simplificarla antes o lo dejas para el final. Para llevar toda fracción a porcentaje, se debe multiplicar por 100

250

1.250 · 100 =

250·1001.250

= 1005

= 20%

Ej. En una liquidación se hace el 20% de descuento, entonces, ¿cuánto se pagará por un artículo que costaba $ 5.000? 100% - 20% = 80%, significa que debes pagar el 80% del valor inicial. 80

5.000100

⋅ = $ 4.000

Ej. El 20% del 30% de 500 es: 20 30

500100 100

⋅ ⋅ =600 50010.000

⋅= 30

8

El algebra tiene por objeto trabajar con cantidades literales, a ellas se les aplica las reglas que rigen a los Reales (algebra en ú). Cantidad literal: es una cantidad compuesta de un número real y letras, las cuales representan a números reales. 3ab2 es una cantidad literal 3; se llama factor numérico o coeficiente. ab2 se llama factor literal. Suma o resta: sólo se podrán sumar o restar cantidades literales si estas tiene el mismo factor literal. Si tiene igual factor literal se suman o restan los coeficientes, conservando el factor literal, la suma o resta de cantidades literales la sustenta la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Distributividad. a·(b + c) = ab + ac Ejemplos: 3ab2 + 5ab2 = 8ab2 Multiplicación. No existe impedimento para multiplicar cantidades literales, y se aplica la propiedad de asociatividad de la multiplicación. 3 ab2 · 5 ab = (3·5)(a·a)(b2·b) = 15a2 b3 División: en la división de cantidades literales se aplica la simplificación.

3ab2 : 5 ab = 23ab 3b

5ab 5=

Potencia: en esta operación se aplica la propiedad de potencia “ an·bn = (a·b)n. (3ab2 )3 = 33 · a3 · (b2 )3 = 27· a3 ·b6

Polinomios: están compuestos por dos o más cantidades literales de distinto factor literal, sumadas y/o restadas. 3ab2 + 5ab (por tener dos cantidades literales se llama binomio) Polinomio formal. Es aquel en que todas las cantidades literales tienen la misma letra en el factor literal pero distintas potencias de ella. 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1

Operatoria de polinomios. Suma o resta. Para sumar o restar polinomios se suman o restan las cantidades literales de ambos polinomios que tengan el mismo factor literal (reducción de términos semejantes). 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1 – (4x4 - 7x3 +5x +4) = 5x4 - 4x4 + 3x3 + 7x3 - 2x2 + 5x - 5x+1 -4 = x4 + 10x3 -2x2 – 3 Recuerda que un signo menos cambia todos los signos del paréntesis. Multiplicación. Para multiplicar polinomios el primer término se multiplica por cada uno de los términos del segundo polinomio, e segundo término de igual forma hasta el último termino de primer polinomio, luego se reúnen los términos semejantes. (-2x2 +5x +1)·(x +1) =

-2x2 ·x - 2x2 ·1 + 5x·x + 5x · 1 + 1 · x + 1 · 1

-2x3 - 2x2 + 5x2 + 5x + x + 1 Productos notables: son productos que aparecen con bastante frecuencia, por tanto hay que tenerlos siempre presente, te presentamos los dos mas usados; Cuadrado de binomio: (a " b)2 = a2 " 2ab + b2 Suma por su diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2 Factorización: es o son los métodos que permiten expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios. A continuación veremos los métodos más usados para este nivel. 1er caso: Factor común; es cuando todos los términos del polinomio tiene como factor; un número, una cantidad literal o un polinomio, para extraer el factor común se aplica la distributividad. 12a2 b + 6ab2 – 4ab 2ab(6a + 3b – 2)

9

2º caso: si un polinomio tiene dos términos este se debería factorizar mediante suma por diferencia. 16a2 – 81 (4a + 9)(4a – 9) 3º caso: polinomios de tres términos. 3-1) trinomios que son cuadrado de binomio, lo recomendable que cuando enfrentes un polinomio de tres término veas si es posible un cuadrado de binomio, y para eso debes observar lo siguiente: a) que hayan dos cuadrados perfectos positivos. b) el otro término debe ser el doble del producto de la raíz del primer cuadrado por la raíz del segundo cuadrado.

a2 + a + 14

; hay dos cuadrados; a2 y 14

,

2a = a y 14

= 12

, y 2· 2a ·14

= a,

entonces es un cuadrado de binomio, de la

forma:(a + 12

)2

3-2) Trinomios que no son cuadrados. 3-2-1) Trinomios de la forma; x2 " (a + b)x + ab = (x " a)(x " b) x2 + 11x + 18 ; ab = 18 y a + b = 11, los números a y b son 9 y 2, luego x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9) 3-2-2) Trinomios de la forma; x2 " (a - b)x - ab = (x + a)(x - b) x2 - 4x - 32 ; ab = 32 y a – b = 2, los números son 4 y 8, como el término central es negativo el número mayor será negativo. x2 - 4x - 32 = (x + 4)(x – 8) 3-2-3) Trinomios de la forma; acx2 +(ad + bc) x + bd = (ax + b)(cx + d) 6x2 + 13x + 5; en estos casos hay un método antiguo bastante agradable, y dice así: i) multiplicar el coeficiente de x2 con el término sin x, 30. ii) buscar dos números que multiplicados dan 30 y sumados den 13, 3 y 10.

iii) separar el término central de acuerdo a los números encontrados: 6x2 + 3x + 10x + 5; apareamos y sacamos factor común, 3x(2x + 1) + 5(2x + 1), ahora resulta que (2x + 1) es factor común, lo extraemos. (2x + 1)(3x + 5) Observación: en el punto ii) se respeta la misma regla de signos de los métodos 3-2-1 y 3-2-2. 4º caso. Agrupamiento: cuando un polinomio tiene más de tres términos este se debe agrupar de acuerdo a formas conocidas, es decir todas las anteriores. Es posible que intentes más de una vez agrupar, no es raro, pero debes seguir intentándolo. x2 – y2 + 2x + 1; como vez hay suma por diferencia, pero los binomios que se generan no son iguales por tanto de esta forma no se puede factorizar. (x + y)(x – y) + 2x +1 Agrupemos de otra forma: x2 + 2x + 1 - y2 ;como veras ahora aparece un cuadrado de binomio: (x + 1)2 - y2 ; ahora tenemos suma por diferencia, quedando: (x + 1 + y)( x + 1 – y) Como en muchos casos deberás factorizar un polinomio y te puedes perder en buscar la factorización, es por esto que te recomendamos seguir los siguientes pasos: Estrategia general de factorización: 1º Intentar factor común. 2º Contar el número de términos del polinomio: 2-1) si tiene dos términos intentar suma por diferencia. 2-2) si tiene tres términos intentar primero cuadrado de binomio, si no trinomio que no son cuadrados. 2-3) si tiene más de tres términos agrupar convenientemente. 3º El polinomio debe quedar totalmente factorizado.

10

Fracciones algebraicas Son aquellas en que tanto en el numerador como en el denominador aparecen expresiones algebraicas, se operan de la misma forma que los racionales y el trabajo principal en ellas es la simplificación. Ecuación: es una igualdad en la que hay uno o más términos desconocidos(incógnita) Ej. 2·x – 5 = 17 Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Propiedades de la igualdad i) a = b ⇔ b = a ; esta propiedad nos indica que la incógnita la podemos despejar en cualquier lado de la igualdad la incógnita, despéjala en el lado que quede positiva. ii) a = b ⇔ a ± c = b ± c; esta propiedad nos permite pasar sumando o restando una cantidad de un lado al otro lado. iii) Si a = b y b = c ⇒ a = c; esta nos permite despejar de una igualdad una incógnita y reemplazarla en otra igualdad. iv) a = b ⇔ a·c = b·c, si c ≠ 0; esta nos permite pasar de un lado a otro una cantidad multiplicando o dividiendo, se debe tener la precaución de que la cantidad que se va a multiplicar o dividir no sea 0. v) Si a = b y c = d ⇒ a ± c = b ± d; esta nos permite sumar o restar dos ecuaciones. Ej. 2x – 5 = 17 2x = 17 + 5 (pasamos –5 sumando al otro lado propiedad ii) 2x = 22 /:2 (dividimos por 2 la ecuación, propiedad iv) x = 11 Sistemas de ecuaciones lineales: Es el conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. ax + by = c dx + ey = f

Métodos de resolución algebraicos. Son las distintas formas que hay para resolver un sistema de ecuaciones, ahora conoceremos algunos, todos estos tiene el objetivo de transformar un sistema en una ecuación con una incógnita. Sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, para reemplazar el resultado en la otra ecuación. x – 3y = 6 2x + y = 3 Despejemos x de la primera ecuación: x = 6 + 3y, reemplazamos x en la segunda ecuación; 2(6 + 3y) + y = 3 12 + 6y + y = 3 7y + 12 = 3 7y = 3 – 12 7y = -9

y = 79−

Finalmente se reemplaza el valor de y, para obtener x. Reducción: este método consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones de manera tal que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo para restar o sumar las dos ecuaciones. x – 3y = 6 2x + y = 3 Multiplicamos la primera ecuación por 2, luego: 2x – 6y = 12 2x + y = 3 a la primera ecuación le restamos la segunda ecuación, luego: -6y – y = 12 – 3 -7y = 9

y = 9 97 7

−=

−

11

x

y

x1 x2

y1

y2

x2 -x1

y2 - y1

A

B

a b

a b

Problemas de planteos Son problemas de enunciado verbal que debe transformarse en una proposición matemática (ecuación). Lo recomendable para enfrentar adecuadamente estos problemas es la siguiente estrategia. Estrategia general para resolver problemas de planteos: 1. Leer total y cuidadosamente el problema. 2. Hacer un listado de incógnitas y datos, ordenar la información. 3. Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere. 4. Plantear y resolver la(s) ecuaciones. 5. Reemplazar el resultado obtenido en el enunciado del problema. Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en la cual aparecen un o más términos desconocidos (incógnitas). La solución de una inecuación es un subconjunto de los reales que satisface la desigualdad. Propiedades de la desigualdad: i) Si a – b > 0 ⇒ a > b ii) Si a > b ⇒ a ± c > b ± c iii) Si a > b y b > c ⇒ a > c iv) Si a > b ⇒ a · c > b · c, si c > 0 v) Si a > b ⇒ a · c < b · c, si c < 0 vi) Si x a a x a< ⇒ − < <

vii) Si x a x a o x a> ⇒ > < −

Las soluciones de una inecuación se pueden presentar mediante conjuntos o intervalos. Intervalos Intervalos abiertos: { }x / a x b∈ < <

a,b⎤ ⎡⎦ ⎣

Intervalos cerrados: { }x /a x b∈ ≤ ≤

a,b⎡ ⎤⎣ ⎦

Se pueden combinar los intervalos, es decir pueden haber abiertos por la izquierda (menores) y cerrado por la derecha (mayores). Una inecuación se despeja tan igual que una ecuación, respetando las propiedades de la desigualdad. Los sistemas de inecuaciones después de resolver cada inecuación deben intersectarse sus conjuntos soluciones.

Geometría analítica Geometría analítica: es la parte de las matemáticas que une el álgebra con la geometría Euclidiana. La idea de punto ahora es “aquello que sólo tiene ubicación” Para ubicar los puntos se requiere de un sistema de ejes ortogonales (perpendiculares), los primeros elementos de los pares van en el eje horizontal (x, eje de las abscisas) y los segundos elementos van al vertical (y, eje de las ordenadas). Distancia entre dos puntos:

dAB = 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− + −

Coordenadas del punto medio:

1 2 1 2x x y y( , )

2 2+ +

12

x

y

x1 x2

y1

y2

x2 -x1

y2 - y1

Pendiente de un segmento: es la tangente el ángulo que forma el segmento con un eje horizontal (ángulo de inclinación, α )

2 1

2 1

y ytag m

x x−

α = =−

Ecuación de la recta: La característica mas relevante de la recta es que cualquier por de puntos de ella, siempre tiene la misma pendiente. Ecuación principal de la recta: y mx c= + c: es el coeficiente de posición, es la ordenada del punto donde la recta corta al eje y. Ej. y = 3x – 4, la pendiente es 3 y corta al eje y en -4. Observaciones: i) Si m = 0 ⇒ la recta es paralela al eje x. ii) Si m es indeterminado (" = 90º) ⇒ la recta es paralela al eje y. Relaciones entre rectas: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ L1 y L2 se intersectan. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ L1 // L2 no coincidentes. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ L1 // L2 coincidentes. iv) Si m1 · m2 = -1⇒ L1 y L2 son perpendiculares.

Observación: El punto de intersección entre dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones de las dos rectas. Como toda ecuación de una recta es igual a una ecuación lineal de dos incógnitas, entonces podemos aplicar lo anterior al análisis de sistemas de ecuaciones a saber: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ el sistema tiene solución única. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ el sistema no tiene solución. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones. Función: es una relación que de cumplir con: i) todo elemento del dominio tiene su correspondiente en el recorrido. ii) a cada elemento del dominio le corresponde uno solo del recorrido. Función algebraica: y = f(x) x : es dominio (variable independiente, preimagen) y : es recorrido (variable dependiente, imagen) Para encontrar los puntos pertenecientes a la función, se le dan valores a x, y estos se reemplazan en la función, los resultados son los y correspondientes. Ej. Sea y = f(x) = x2 – 2x +5, luego: f(2) = 22 – 2·2 +5 = 5 f(2) = 5 ⇒ (2,5) Gráfica de una función: para graficar una función en el eje horizontal de un sistema de ejes ortogonales, se ubica el dominio y en el eje vertical el recorrido.

f(x) = x

x

f(x)

13

x

y

1 2 3

1

2

-1-2-3

-1

-2

-3

2

3

f(x)=(x-2)2+3

x

y

Ej: función parte entera, esta función que esta muy de moda indica que “para todo real x, lo transforma en el menor entero más cercano”. Si f(x) = x⎡ ⎤⎣ ⎦; función parte entera, entonces:

f(3,8) 3,8 3= =⎡ ⎤⎣ ⎦

f( 2,6) 2,6 3− = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

Su gráfica tiene forma de escalera, como lo muestra la figura: Desplazamientos de una gráfica: Sea f(x) = x2

Si al dominio le sumamos un número la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido inverso al número sumado. Si al recorrido (f(x)) le sumamos un número, entonces se produce un desplazamiento vertical en el mismo sentido del signo del número sumado. Función cuadrática: es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c La gráfica es una parábola como las figuras anteriores. Análisis: i) Si a > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba. ii) Si a < 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia abajo. ) = b2 – 4ac

x

y f(x) = x2

x

y f(x) = (x – 2)2

14

O

A

B

T

180º180º180º180º

α + β =β + γ =γ + δ =δ + α =

iii) Si ) > 0 ⇒ la parábola corta en dos puntos al eje x. iv) Si ) = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en un punto. v) Si ) < 0 ⇒ la parábola no corta al eje x.

vi) El eje de simetría es, x = b

2a−

vii) Coordenadas del vértice; (b b

, f( )2a 2a− −

)

Observaciones: hay dos características en la gráfica de funciones que no debes dejar de lado, a saber: i) Si y = f(x) = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje x. ii) Si x = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje y.

GEOMETRÍA ÁNGULAR

Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida: Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º. Ángulo recto: mide 90º. Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º. Ángulo extendido: mide 180º. Ángulo completo: mide 360º. Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos y los que tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman cóncavos. Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo. OT es bisectriz ⇔ AOT = TOB Relaciones entre ángulos:

i) Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo. ii) Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo. iii) Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus interiores no se intersectan.

AOB es consecutivo a BOC iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

AOB y BOC son suplementarios Teorema 1: sí dos rectas sé intersectan, entonces: α β δ γ i)

ii) α = γβ = δ

O

A

B

C

O A

B

C

15

A B

C

ab

c

A B

C

AB

C

Teorema 2: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8 ángulos que cumplen con: Ángulos alternos internos

3 5= y 4 6= Ángulos alternos externos

1 7= y 2 8= Ángulos correspondientes

1 5= , 2 6= , 3 7= y 4 8= Triángulo: es un polígono de tres lados. γ α β A, B y C son vértices

, y α β γ son ángulos interiores

AB c, BC a y CA b= = = son lados del triángulo Relaciones entre lados y ángulos interiores: i) La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c. ii) La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero; b c a− < .

iii) A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.

iv) A ángulo interior menor se opone el lado menor. v) A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales. Clasificación de los triángulos: i) Según sus lados: i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º) i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama base. i.3) Escaleno: sus tres lados distintos. ii) Según sus ángulos interiores: ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos. ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto. ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso. Teorema 3: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º. γ α β 180ºα + β + γ = Ángulo exterior: es aquel que esta formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo a él. 'γ γ 'α α β 'β

' , ' y 'α β γ son ángulos exteriores

123 4

567 8

L1

L2

L1 // L2

16

A B

C

A’ B’

C’

b a

c

b’ a’

c’

Teorema 4: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes a él.

' ' 'α = β + γ β = γ + α γ = α + β Teorema 5: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º ' ' ' 360ºα + β + γ = Puntos y rectas notables de un triángulo. Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su prolongación de manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro. Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se llama incentro. Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de las simetrales se llama circuncentro. Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de gravedad o baricentro. Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo. Observaciones: i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden. ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado distinto. iii) En un triángulo escaleno nada coincide. iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es paralela.

Congruencia de triángulos Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma. γ 'γ α β 'α 'β

'''

ABC A 'B 'C 'a a'b b 'c c '

α = α⎧⎪β = β⎪⎪γ = γ⎪

∆ ≅ ∆ ⇔ ∧⎨⎪ =⎪

=⎪⎪ =⎩

Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos, estos grupos de elementos se llaman postulados de congruencia. i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los dos ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes. Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es 360º. En todo cuadrilátero se verifica que: i) La suma e los ángulos interiores es 360º. ii) La suma de los ángulos exteriores es 360º. Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

17

Paralelogramos

Rectángulos Rombos

Diagonales

CuadradoRectánguloRomboRomboide

IGUALES BISECTRICES PERPENDICULARES

SI SI SISI NO NONO SI SINO NO NO

A B

D C

A

B

C

D

Clasificación Paralelogramos: tiene sus lados opuestos son paralelos. i) Cuadrado: sus lados iguales y sus ángulos interiores rectos. ii) Rectángulo: sus ángulos interiores rectos. iii) Rombo: sus cuatro lados iguales. iv) Romboide: sus lados opuestos paralelos. Trapecios: tiene un par de lados paralelos, llamados bases. i) Trapecio isósceles: tiene sus lados no paralelos iguales. ii) Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos interiores rectos. iii) Trapecio escaleno: tiene sus lados no paralelos distintos. Trapezoides: no tienen lados paralelos. Paralelogramos Propiedades: estas propiedades son de todos los paralelogramos. i) Sus ángulos interiores opuestos son iguales. ii) Sus pares de ángulos consecutivos son suplementarios. iii) Sus lados opuestos son iguales. iv) Sus diagonales sé intersectan dimidiándose.

Trapecios δ γ α β AB //CD (son bases del trapecio)

180º y 180ºα + δ = β + γ = Observación: sólo en el trapecio isósceles las diagonales son iguales. Trapezoides Los trapezoides solo tienen las propiedades de todo cuadrilátero, pero existe un trapezoide simétrico que tiene varias propiedades, lo que lo hace motivante para ejercicios, es más varias veces a aparecido en pruebas reales de selección Universitaria, por tanto lo estudiaremos, este trapezoide se llama Deltoide. Propiedades:

i) AD = DC y CB = BA ii) DAB BCD= iii) AC BD⊥ iv) DB es bisectriz v) DB dimidia a AC

18

O

A

B

c

D

S

T

r

OA

B

CD

E

FG

H

Propiedades de polígonos en general: Sea n el número de lados (n además es igual al número de; vértices, ángulos interiores y exteriores), luego: i) La suma de los ángulos interiores es 180º · (n – 2), n – 2 es el número de triángulos que se genera al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice. ii) La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, independiente del número de lados. iii) El número de diagonales que se pueden

trazar en un polígono es n (n 3)

2⋅ −

, donde

n – 3 es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. Polígono regular es aquel que tiene; lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos exteriores iguales. iv) La medida de un ángulo interior de un

polígono regular es 180º (n 2)

n⋅ −

.

v) La medida de un ángulo exterior de un

polígono regular es 360º

n

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro. O: centro de la circunferencia. r: radio, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c: cuerda, segmento que une dos puntos de la circunferencia. D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.

T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto e tangencia. S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.

AB : arco, es una parte e la circunferencia.

AOB ; ángulo del centro, esta formado por dos radios.

CDE , ángulo inscrito, esta formado por dos cuerdas de origen común.

HGF , ángulo semiinscrito, esta formado por un tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia. Teoremas: 1. Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.

AOB AB=

A

B

O

19

AB

CD

2. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del centro mide el doble del inscrito.

AOB 2 ACB= ⋅ Corolario:

ABACB

2=

3. Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

r T⊥

4. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semiinscrito, entonces el del centro mide el doble del semiinscrito.

AOB 2 ABC= ⋅ Corolario

ABABC

2=

5. Todo triángulo rectángulo esta inscrito en una semicircunferencia.

ABC∆ es rectángulo en C. 6. Si un cuadrilátero esta inscrito en

una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. 180ºα + γ = α δ 180ºβ + δ = β γ 7. Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.

AB AC=

´

O

B

A

C

r

T

A

B

O

C

A B

C

O

A

B

C

20

60º

30º

LD

L

h

L/2

AB

C

D

8. Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.

Si r AB AE EB⊥ ⇔ = , además si el radio es

perpendicular a la cuerda, entonces AF FB= .

9. Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.

AB CD AB CD= ⇔ =

GEOMETRÍA MÉTRICA Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple: a2 + b2 = c2 Este teorema permite obtener algebraicamente la medida de un lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos lados, para evitar cálculo existen tríos

pitagóricos, es decir números que cumplen con el teorema de Pitágoras. Aplicaciones: Diagonal de un cuadrado. D L 2= Altura de un triángulo equilátero.

Lh 3

2=

Tríos Pitagóricos: son tríos de números que satisfacen al Teorema de Pitágoras. 3, 4, 5 32 + 42 = 52 5, 12, 13 52 + 122 = 132 Cualquier múltiplo de ellas, también cumplen con el teorema de Pitágoras.

L3

2 L

L2

Perímetro: es la medida del contorno o borde de una figura. - El perímetro de un polígono cualquiera es la suma de sus lados. - En el caso de un polígono regular (iguales lados) se debe multiplicar la medida del lado por el número de lados.

a

bc

ABE

O

r

F

21

OD

rA

B

b

h

h

b

D

d

O

r

A

B

A AA A

L1

L2

A A A

Perímetro de una circunferencia: P D 2 r= π ⋅ = π

Longitud del AB = D360ºα

⋅ π

Área: es la medida de la superficie que encierra una figura, las unidades de medida son cuadrados de área unitaria (cm2, m2, km2, etc.). PARALELOGRAMOA b h= ⋅

TRIÁNGULO

1A bh

2=

RECTÁNGULOA L A= ⋅

TRAPECIOB b

A h2

B bMediana m

2

+= ⋅

+= =

El área de cualquier cuadrilátero de

diagonales perpendiculares es D dA

2⋅

=

A = π r2

α 2A r360ºα

= ⋅ π

Criterios de áreas:

i) Para encontrar el área de una figura esta se debe transformar otro conocida de acuerdo a la información recibida.

ii) Para encontrar el área de una figura esta se debe dividir en áreas conocidas, de acuerdo a la información recibida.

Casos de igualdad de áreas: Si un triángulo o un paralelogramo están inscritos en paralelas y tienen igual base tiene igual área. Si dos o más triángulo tienen sus bases iguales y colineales comparten el tercer vértice tienen igual área.

Or

22

A A

A

AA

AAA

A B A’ B’

C

C’

a

c

b

c’

a’b’

L1

L2

L3

a c

b d

A BE

A B E’

Al trazar la trazar la transversal de gravedad se generan 2 triángulos de igual área. Al trazar las tres transversales de gravedad se forman 6 de igual área. Geometría de proporciones Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes (-) si estas tienen igual forma. Semejanza de triángulos: 'α = α 'β = β

ABC A 'B 'C '∆ ∆ ⇔∼ 'γ = γ

∧

a b ca' b ' c '

= =

Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a continuación daremos dos de ellos los más usados. (A,A) ángulo, ángulo Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

(L,L,L) lado, lado, lado Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes. Teorema de Tales. Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no paralelas se forman segmentos proporcionales. Si L1 // L2 // L3, entonces

a cb d=

División de trazos: Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos segmentos que están en una razón determinada. Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo que divide al trazo en una razón determinada.

División interior AE mEB n

=

División exterior AE' mBE' n

=

23

A BE

A B

C

ab

cq p

h

ab

c

d

a

b

c

d

a

b

c

Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor. AB esta divido áureamente si:

2AB AEAE AB EB

AE EB= ⇔ = ⋅

Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las siguientes relaciones: Teorema de los catetos a2 = p · c b2 = q · c Teorema de la altura h2 = p · q Observación: Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1

Proporcionalidad en una circunferencia: Dos cuerdas. a b c d⋅ = ⋅ Dos secantes que se intersectan. a b c d⋅ = ⋅ Una tangente y una secante. 2a b c= ⋅ Observaciones:

i) Si dos figuras son semejantes, entonces

todos sus elementos lineales correspondientes están en la misma razón.

ii) Si dos figuras son semejantes, entonces

sus áreas están en una razón igual al cuadrado de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.

2p

p

24

A

B

C

a

b

c

cara

arista

vértice

Trigonometría Como basta saber que en dos triángulos rectángulos dos ángulos agudos sean iguales para concluir que dichos triángulos son semejantes y por tanto las razones entre sus lados son iguales, entonces podemos establecer que existe una relación directa entre la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo de él. β α Razones trigonométricas: Sea triángulo ABC rectángulo en C, luego:

Seno; a cateto opuesto

senc hipotenusa

α = =

Coseno; b cateto adyacentecos

c hipotenusaα = =

Tangente; a cateto opuesto

tgb cateto adyacente

α = =

Identidades trigonométricas: Es una igualdad que se verifica para cualquier ángulo agudo, las identidades elementales a saber son: i) sen cos(90º )α = −α ii) cos sen(90º )α = −α

iii) sen

tgcos

αα =

α

iv) 2 2sen cos 1α + α = Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas en que la incógnita es un ángulo afectado por una razón trigonométrica, para despejarlas se debe llevar a una sola función para determinar el ángulo (incógnita) que la

satisface, en el caso de PSU sólo se consideran ángulos desde 0º a 90º. Valores notables:

0º 30º 45º 60º 90º

Seno 0 12

22

32

1

Coseno 1 32

22

12

0

Tangente 0 33

1 3 ∃

VOLÚMENES, ISOMETRÍAS e SIMETRÍAS Cuerpo: es una figura de tres dimensiones, esta limitado por superficies planas o curvas. Prisma: cuerpo formado por dos caras paralelas congruentes y poligonales, llamadas bases. Todas las caras laterales son paralelogramos. base base Volumen: es la cantidad de cubos de volumen unitario que caben exactamente en un cuerpo. El volumen de todo prisma es área basal · altura El área de todo prisma es la suma de las áreas de todas sus caras. Algunos prismas son; el cubo, el paralelepípedo recto, etc.

25

r

r

r

PIRÁMIDE

Vol. = 13

área basal · h

h: altura Cuerpos redondos estos cuerpos están limitados por superficies curvas, los cuerpos redondos más conocidos son el cilindro, el cono y la esfera. CILINDRO Vol. = π r2h Área = 2 π r2 + 2 π rh CONO

Vol. =13π r2h

Área = π r2 + área del manto ESFERA

Vol. = 43π r3

Área = 4 π r2 Transformaciones isométricas: son todas aquellas transformaciones en que la figura original es congruente con la figura final.

Traslación: es cuando cada punto de la figura se traslada de acuerdo a un vector traslación.

figura original

figura final

Rotación: es cuando la figura es girada una cantidad de grados en torno a un punto, se dice que el giro es positivo cuando se hace en el sentido contrario a los punteros del reloj. Reflexión: es cuando la figura es reflejada con respecto a un eje, los puntos homólogos o correspondientes equidistan del eje de reflexión.

base

figura original

figura final

centro derotación

figura original figura final

eje dereflexión

26

eje de simetría

A

B

CA’

B’

C’

O

Eje de simetría: es la recta que divide a una figura en dos partes congruentes, al doblar una figura por esta línea las dos partes coinciden al enfrentarlas, esta simetría recibe el nombre de simetría axial. Centro de simetría: es el punto medio del segmento formado por el punto original y el transformado, en el caso de una figura, es el punto que equidista de todos los puntos originales y los transformados correspondientes. Se dice que una figura tiene centro de simetría, si existe un punto por el cual se rota la figura una magnitud angular y la figura resultante coincide con la figura original. La figura nos muestra a el centro de simetría O, O es el punto medio de AA’, BB’ y CC’. Teselaciones Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación. Observación: Los polígonos regulares que teselan el plano son aquellos que tienen por medida de su ángulo interior a un divisor de 360º.

También existen teselaciones con figuras que no son regulares, a saber: Consecuencia de lo anterior, todo paralelogramo tesela el plano. También pueden teselar dos figuras distintas, en especial combinaciones de polígonos regulares, en estos casos hay que verificar que en un nudo debe generarse 360º. En este caso aparece una teselación formada por un octógono regular y un cuadrado, si notamos que el ángulo interior de un octógono es 135º y 90º el cuadrado, por tanto; 135º + 135º + 90º = 360º.

Estadística y probabilidades Estadística: es la ciencia que se ocupa de la obtención, organización e interpretación de conjuntos de datos. Conceptos básicos. Dato: es la característica a estudiar. Población: universo de donde se extraen los datos. Muestra: es un subconjunto de la población.

27

Dato cualitativo: es aquel que no se puede representar con números. Ejemplos; color de ojos, preferencia política, etc. Dato cuantitativo: es aquel que se puede expresar como números. Ejemplos; la altura, el peso, etc. Variable discreta: es cuando puede tomar valores en un conjunto finito de números o cualidades. Ejemplo el número de libros leídos. Variable continua: es cuando puede tomar valores en un conjunto infinito de números. Ejemplo el peso de una persona. Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato. Rango o amplitud: Es la diferencia entre el mayor y menor dato de una muestra. Medida de tendencia central: son los datos reales o ficticios que representan a toda la población, estas son: Moda: es el dato que más se repite o la marca de clase de mayor frecuencia cuando los datos están tabulados y agrupados en clase o intervalos. Mediana: es el dato central de una muestra ordenada de manera creciente o decreciente, si la cantidad de datos es impar la mediana coincide con el dato central, si hay una cantidad par de ellos, la mediana es el promedio de los dos datos centrales. Media: es el promedio aritmético de los datos;

datos

xnºdatos

= ∑

En el caso de datos agrupados:

dato·frecuencia

xfrecuencia

= ∑∑

Probabilidad: La probabilidad es el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles, siempre y cuando todos los

casos sean equipropable (tengan la misma probabilidad de ocurrir).

C.favorables

P(s)C.posibles

=

Como los C.favorables C.posibles≤ ⇒ 0 P(s) 1≤ ≤ Propiedades: i) Si P(s) = 1 ⇒ el suceso ocurrirá. ii) Si P(s) = 0 ⇒ el suceso nunca ocurrirá. iii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A1B) iv) P(A1B) = P(A)·P(B) v) P(no ocurra s) = 1 – P(s) Como el contar los casos a veces es problemático, te indicaremos dos principios fundamentales. Principio multiplicativo (y,∧ ): si dos sucesos n y m ocurren ambos a la vez, entonces la ocurrencia de ambos a la vez es: n · m. Ej. Se disponen de tres tipos de panes y 5 tipos de quesos, ¿de cuántas maneras se puede hacer un emparedado? Resp. Como para hacer un emparedado debes usar el pan y el queso, por lo tanto 3 · 5 = 15 maneras distintas. Principio aditivo (ó,∨ ): si dos sucesos ocurren de n y m formas distintas, entonces la ocurrencia de sólo uno de ellos es n + m. Ej. Una persona dispone de 5 camisas y 3 camisetas para combinarlas con un pantalón, ¿de cuantas maneras distintas puede vestirse? Resp. Como normalmente no se usa una polera con una camisa, si no que una sola de ellas, entonces 5 + 3 = 8 son las formas distintas de vestirse. Observación: en todos estos casos debe primar el sentido común, es decir lo más usual.

28

FIN

Dedicado a una ex alumna mía que me motivo por este trabajo en vista de su angustia por la cercanía de la PSU, creo haber puesto en este material, todo lo mínimo necesario. Qué este trabajo sea lo que querías Savane. Sixto Maulén Rojas (Florindo) Noviembre del 2008

Danny Perich C.

www.sectormatematica.cl 1

REPASO GENERAL PSU

Estimados alumnos: Les he preparado

este repaso como una última actividad para

realizar antes de enfrentar la Prueba de

Selección Universitaria P.S.U. Matemática.

En él se encuentran la mayoría de las

contenidos incorporados en la prueba y para

una mayor comprensión de sus aplicaciones, he

agregado algunos ejercicios resueltos, optando

especialmente por aquellos que han salido en

los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.

Espero que este material sirva como una

última revisión antes de rendir la PSU, el que

reforzará los conocimientos que has adquirido

tras 4 años de estudio en la enseñanza media.

Números y Proporcionalidad

Lo primero es recordar las equivalencias más

utilizadas entre fracciones, decimales y

porcentaje:

%505,02

1 %

3

1333,0

3

1

%2525,04

1 %202,0

5

1

%5,12125,08

1 %101,0

10

1

%7575,04

3

*** Ejercicios PSU ***

1.

22

1

1

2

1

A) 6

1 B)

6

1 C)

2

3

D) 10

1 E) 0

El orden de resolución es muy importante para

no equivocarse. Resolvamos

6

1

6

43

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

41

1

2

1

La alternativa B es la correcta.

2.

25,08

3

1

75,08

3

1

A) 3

15 B)

3

16 C)

3

16 D) 4 E)

3

8

La alternativa correcta es B.

Porcentaje:

100

a%a

a% del b% de c= cba

100100

Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio

de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve

a leer lo que te preguntan para que no te

equivoques al responder por algo que no te

estaban consultando. (Muy común en %)


1. En un curso de 32 alumnos 8 de ellos

faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió?

A) 75% B) 25% C) 24%

D) 0,25% E) 0,75%

Lo típico es que se plantee que

x

%

al

al 100

8

32 obteniéndose para x = 25%, que

obviamente está en las alternativas, pero que

no es lo que preguntan, ¡cuidado! La

alternativa correcta es A ya que se pregunta

por el porcentaje de asistencia.

2. En un supermercado hay supervisores,

cajeros y reponedores. Si el 60% de los

trabajadores son reponedores, 18 son

supervisores y éstos son un tercio de los

cajeros, ¿cuál es el total de trabajadores?

A) 108 B) 72 C) 180 D) 90 E) 54

18 son supervisores, por lo tanto los cajeros

son 54. En total, 72 trabajadores que

corresponden al 40%. Luego se calcula el

100%

La alternativa correcta es C.

Regularidades

Se trata de obtener un patrón o regla de

formación para resolver una situación

problemática.

Ejemplo: ¿Cuántos triángulos se forman con 71

fósforos si se sigue con la secuencia de la

figura?

A) 30 B) 34 C) 35 D) 36 E) 43

Debemos fijarnos que para formar el primer

triángulo (T) se necesitan 3 fósforos, para

formar 2 triángulos, 5 fósforos y para tres

triángulos, 7 fósforos. Se van obteniendo

números impares, comenzando desde el 3, lo

cual se puede representar como 2T + 1, o sea

F=2T+1.

Luego con 71 fósforos tenemos 71=2T+1, de

donde T=35. Alternativa correcta C.


1. Las siguientes figuras están formadas por

triángulos equiláteros congruentes ¿Cuántos

triángulos se necesitan para construir la n-

ésima figura?

A) 2n B) 3n

C) n3 D) 2n2

E) n2

La alternativa correcta es E.

Danny Perich C.


2. La cantidad de cubos de acuerdo a los

escalones que se quieren obtener (n), está

dada por la fórmula )nn(2

1 2 . ¿Cuántos cubos

se necesitarán para que la escalera tenga 14

peldaños?

A) 210

B) 105

C) 14

D) 91

E) 182

Basta con reemplazar por 14. La alternativa

correcta es B

Interés simple

C = K + Knr, donde K es el capital inicial, n los

períodos, C capital acumulado y r la tasa de

interés simple.

Interés compuesto

C = K·(1 + i)n donde K es el capital inicial, n los

períodos, C capital acumulado e i la tasa de

interés compuesto.

*** Ejercicio PSU ***

1. Si $ 50.000 se invierten al 10% de interés

compuesto anual, ¿cuál es el capital total

después de dos años?

A) $ 60.000 B) $ 60.500 C) $ 70.000

D) $ 90.000 E) $ 110.000

Aplicamos la fórmula que permite calcular el

interés compuesto anual, sabiendo que

10%=0,1 o sea

21,01000.50C

21,1000.50C

21,1000.50C

C= 60.500

La alternativa B es la correcta.

2. Una persona deposita $1.000 y en tres años

gana $157,5. Calcular el interés simple anual.

A) 5% B) 5,25% C) 5,5%

D) 5,75% E) 15,75%

1.157,5 = 1.000 + 1.000·3·r. Se calcula el

interés r en forma decimal y luego como

porcentaje..

La alternativa correcta es B

Proporcionalidad Directa: (Dividir)

kb

a

Proporcionalidad Inversa: (Multiplicar)

a · b = k

Para ambos casos, k recibe el nombre de

constante de proporcionalidad.


1. y es inversamente proporcional al cuadrado

de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces

y =

A) 2

1 B)

4

1 C) 2 D) 4 E) 9

Como y es inversamente proporcional al

cuadrado de x, entonces y·x2 = k

reemplazando se obtiene 16·12 = k, de donde k

= 16. Entonces si x = 8, resulta y·82 = 16, o

sea 64y=16 donde 4

1

64

16y . Alternativa B.

2. Dos electricistas hacen un trabajo en 6 días,

trabajando 8 horas diarias. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. 4 electricistas harán el trabajo en 3

días, trabajando 8 horas diarias.

II. Los electricistas y las horas son

directamente proporcionales.

III. La constante de proporcionalidad es 3.

A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III

D) Sólo II y III E) I, II y III

La alternativa correcta es A.

3. Dada la siguiente tabla:

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?:

I. A y B son directamente

proporcionales.

II. El valor de x es 2.

III. La constante de proporcionalidad

inversa es 30.



La alternativa correcta es D.

Cuadrado del Binomio:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Suma por Diferencia:

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2


1. 3w23w222w32

A) 14w12w2 B) 22w12w2

C) 5w12w2 D) 13w12w2

E) 14w12w2

Resolvemos el cuadrado de binomio y la suma

por su diferencia, obteniéndose:

Danny Perich C.


)9w4(24w12w9 22 =

Se resuelve el paréntesis. ¡Cuidado con los

signos!

18w84w12w9 22 =

22w12w2 Alternativa B.

2. Dada la siguiente figura:

Se sabe que a y b

son positivos y a >

b. ¿Cuál(es) de las

siguientes

afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I. El área del

cuadrado de lado

(a + b) es igual

al área achurada.

II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de

las áreas del cuadrado de lado a y el de

lado b.

III. a(a + b) > a2

+ b2



FACTORIZAR

Un polinomio cuyos términos tienen un

factor común.

mx - my + mz = m( x - y + z )

Un trinomio cuadrado perfecto.

a2 2ab + b2=(a b)2

Factorización de la diferencia de dos

cuadrados

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Factorizar trinomio de la forma x2+mx+n.

x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)


1. ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes

es(son) divisor(es) de la expresión algebraica

20x6x2 2 ?

I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D)

Sólo I y III E) I, II y III

Generalmente los alumnos responden la

alternativa A, ya que se dan cuenta que todos

los términos del trinomio son múltiplos de 2,

pero no consideran que se puede factorizar y

obtener que:

)x)(x()xx(xx 52210322062 22 .

Por lo tanto la alternativa correcta es E.

ECUACION DE LA RECTA

Forma Principal: y = mx + n

Donde m corresponde a la pendiente de la

recta y n es el coeficiente de posición.

Si m > 0 la recta se “inclina” a la derecha.

Si m < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda.

Si m = 0, la recta es paralela al eje x.

Si m = ∞, la recta es paralela al eje y.

Forma General: ax + by + c = 0, donde la

pendiente b

am

y el coeficiente de posición

b

cn

Pendiente dado dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2)

12

12

xx

yym

Ecuación de la recta que pasa por dos

puntos

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

y - y1 = m(x - x1)

Rectas Paralelas

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 ≠ n2

Rectas Coincidentes

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y

n1=n2

Rectas Perpendiculares

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1


1. La ecuación de la recta que pasa por el

punto (1,-4) y que es paralela con la recta

x+5y–3=0, es:

A) –x+y+5=0 B) x+5y+19=0 C) x+y+3=0

D) –5x+y+9=0 E) x+5y+21=0

Al despejar y de la recta dada se obtiene

5

3 xy

, o sea la pendiente es –1/5. Entonces

la recta pedida también pendiente -1/5 por ser

paralelas y como pasa por el punto (1,-4)

queda determinada por la fórmula punto

pendiente, )1(5

14 xy que al resolver

resulta x+5y+19=0. La alternativa B es

correcta.

Danny Perich C.


2. Determinar el valor de K para que las rectas

y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean

perpendiculares.

A) K = 3/4 B) K = 1/2 C) K = -1/2

D) K = –4/3 E) K = -2

Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y =

Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las

pendientes de cada recta igualando a -1, ya

que deben ser perpendiculares, obteniéndose

K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es

la correcta.

3. Dada la recta L, donde a y b son positivos,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I. La pendiente de la recta L es negativa.

II. El punto (a, b) pertenece a la recta.

III. La recta L es perpendicular a la recta

b

axy

A) Sólo II

B) Sólo I y II

C) Sólo II y III

D) Sólo I y III

E) I, II y III

Como se tienen dos puntos de la recta, se

puede determinar su pendiente, también su

ecuación.


FUNCIÓN PARTE ENTERA (o Escalonada)

Para todo número real x, se puede encontrar

un número entero n, tal que cumple con las

siguientes propiedades:

El número x esté entre n y n+1

Si n x < n+1 [x] = n

En otras palabras, la parte entera de un

número es el entero menor más cercano al

número. A la función y(x) = [x], se la llama

Función parte entera.

Ej: 37,3 ; 31,3 ;

¡cuidado con esto!: 37,2 ya que -2,7

está entre -3 y -2, y el resultado debe ser el

entero menor, o sea -3.

Gráfica de la función parte entera


1. Del gráfico de la función f(x) = [x + 1] +1,

se afirma:

I) Pasa por el origen (0,0).

II) Tiene más de un punto en el eje x.

III) Intersecta al eje x en )0,2

5(

Es(son) falsa(s)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II

D) Sólo I y III E) I, II y III

2. Un taxista tiene un cobro fijo de $150 y

cobra, además, $300 por cada kilómetro

recorrido. Encontrar la función que relaciona el

valor (y) y los kilómetros recorridos (x)

A) xy 300150

B) 300150 xy

C) 3001150 xy

D) 1300150 xy

E) 1300150 xy

La alternativa correcta es A

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Se define:

x si x 0

y =

-x si x < 0

esto es equivalente a escribir y = | x |

Ej: 777

55

Gráfica de la función valor absoluto


1. Dada la función x

xx)x(f

2

3 entonces

f(-4)=

A) 6

11 B)

2

1 C)

2

1 D)

6

11 E) Otro valor

2. ¿Cuál es la expresión que representa la

función valor absoluto de la figura?

A) 1xy

B) 1xy

C) 1xy

D) 1xy

E) xy


y

1 x

Danny Perich C.


PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

nmnm aa·a

nmnm aa:a

10 a ; a≠0

n

n

aa

1 , a≠0

considerar que

nn

a

b

b

a

a≠0, b≠0

mnnm aa


1.

1

11

5

43

A) 35

12 B)

12

35 C)

5

7 D)

7

5 E)

12

5

12

35

5

112

7

5

112

34

5

14

1

3

1

5

431

11


2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es(son)

correcta(s) cuando x = -3?

I. 64

14 x II. 144 3 x III. 644 1 x

A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III



3. Si x = -1, entonces el valor de 432 xxx

es:

A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) 27


PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Producto y división de raíces

Del mismo índice:

nnn abba

nn

n

b

a

b

a

De distinto índice

mnmn baba

11

Raíz de una raíz

mnm n aa


1. 3 2

2

A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1

33

1

6

2

6

13

6

1

2

1

6

1

2

1

6322222

2

2

2

2

2

2

Alternativa B.

2. Si t3232 , entonces el valor

de 2t2 es:

A) 222 B) 2 C) 32 D) 0 E) -2

Primero determinemos 2t , elevando ambos

lados de la ecuación. Lo principal es darse

cuenta que el lado izquierdo es un binomio, por

lo tanto:

22

t3232

Se desarrolla el cuadrado del binomio:

2t323232232

Se reducen los términos semejantes y

multiplicamos las raíces: 2t3424

4 – 2 = t2

2 = t2

Nos preguntan por 2t2 , por lo tanto la

respuesta es 2 – 2 = 0.

Alternativa D.

3. 3 32727 x =

A) 93 2727 x B) 93 33 x C) 33 x

D) 39 x E) 33 x

333 93 33 93 3333333 xxxx


4. 344322222222 es un

número:

A) racional positivo B) racional negativo

C) irracional positivo D) irracional negativo

E) no real

3333222222222222 )()(

= 33 42222242 ))(()()(

21616281628228228 )()(


ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Danny Perich C.


Si ax2 + bx + c = 0, entonces

a2

ac4bbx

2


Las raíces (o soluciones) de la ecuación

x(x–1)=20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5

D) 4 y –5 E) –4 y 5

Se efectúa el producto y se obtiene que x2

– x = 20, o sea x2 – x – 20 = 0.

Entonces 2

91

2

8011

x de donde

x1 = 5 y x2 = -4. Alternativa E.

Suma de las soluciones o raíces de una

ecuación de segundo grado:

a

bxx 21

Producto de las soluciones o raíces de

una ecuación de segundo grado:

a

cxx 21


Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2

+ 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de c?

A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 3

5

Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser

reemplazado en la ecuación obteniéndose 32 +

5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24.

Alternativa A.

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f(x) = ax2 + bx + c

Su gráfica corresponde a una PARÁBOLA.

Concavidad

El coeficiente a indica si las ramas de la

parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia

abajo (a<0)

Vértice

Para determinar el vértice es conveniente

determinar primero a

bx

2

, posteriormente se

reemplaza el valor obtenido en la función para

calcular el valor y.

Eje de simetría de la parábola

Corresponde a la recta a

bx

2

, paralela al eje

y.

Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la

izquierda del eje x.

Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la

derecha del eje x.

Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la

derecha del eje x.

Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la

izquierda del eje x.

Intersección con los ejes

La intersección con el eje y la da el coeficiente

c y corresponde al punto (0, c).

La intersección con el eje x está determinada

por el valor del discriminante b2-4ac.

Si b2-4ac>0, la parábola intersecta en dos

puntos al eje x.

Si b2-4ac=0, la parábola intersecta en un punto

al eje x.

Si b2-4ac<0, la parábola no intersecta al eje x.


1. Considere la parábola 2)1x(2

1y


es(son) verdadera(s)?

I) La parábola se abre hacia arriba.

II) Su vértice se encuentra en (1, 0).

III) Su eje de simetría es x = 1.



Resolvamos:

2

1xx

2

1)1x2x(

2

1)1x(

2

1y 222

I. Se cumple ya que el coeficiente 2

1a es

mayor que 0.

II. Se cumple. Basta con reemplazar x por 1 en

la ecuación original y el resultado es 0.

III. Se cumple. El eje de simetría es

1

2

12

1

a2

b

. La alternativa es E.

2. Según la ecuación ax2xy 2 es correcto

afirmar que:

I. Si a > 1, existen 2 intersecciones con el

eje x

II. Si a = 1, existe 1 intersección con el eje

x

III. Si a < 1, no hay intersección con el eje

x

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III

D) Sólo I y III E) Sólo II y III


3. Dada la siguiente figura:

¿Cuál es la ecuación que

mejor representa al gráfico

de la figura?

A) y=x2 B) y=x3

C) y=4x4 D) y=4x

E) y=4x2

Danny Perich C.



TRIGONOMETRÍA

En un triángulo rectángulo se cumple que:

( ángulo agudo)

hipotenusa

opuestocatetosen

hipotenusa

adyacentecatetocos

adyacentecateto

opuestocatetotg

opuestocateto

adyacentecatetoctg

adyacentecateto

hipotenusasec

opuestocateto

hipotenusaeccos

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

1.

cos

sec1

2.

sen

eccos1

3.

cos

sentg 4.

sen

cosctg

5. 122 cossen 6. 22 1 tgsec

7. 22 1 ctgeccos

ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

CONOCIDAS

0º 30º 45º 60º 90º

sen 0 2

1

2

2

2

3 1

cos 1 2

3

2

2

2

1 0

tg 0 3

3 1 3 ∞


1. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo

en C, AB=5 cm. y tg = 2

3,

entonces BC =

A) 3 cm B) 13

15 cm.

C) 13

10 cm D)

2

15 cm. E)

2 cm.

Como tg = 2

3 =

p

p

2

3, se plantea por Pitágoras

que 2549 22 pp de donde 13

5p . Luego

13

15BC La alternativa B es correcta.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden

5 cm. y 12 cm., entonces el coseno del ángulo

menor es:

A) 13

5 B)

13

12 C)

12

5 D)

5

12 E)

12

13

Como tenemos los catetos, podemos obtener la

hipotenusa a través del teorema de Pitágoras. 222 x125 , de donde x = 13.

El coseno del ángulo menor (opuesto al lado

menor) es 13

12. Alternativa B.

3. Un ratón observa a un águila en la copa de

un árbol con un ángulo de elevación de 70º. Si

la distancia del ratón al árbol es 12m.,

determinar la distancia entre el águila y el

ratón.

A) ºtan70

12 B)

ºcos70

12 C)

ºsen70

12

D) 12

70ºsen E)

12

70ºtan


4. Dada la siguiente figura

Es verdadero que:

I. 29

5sen

II. 29

2cos

III. 2

5tg

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II



LOGARITMOS

Logaritmo de base a de un número n

naxnlog xa

Logaritmo del producto de dos números:

log(ab) = loga + logb

Logaritmo del cociente de dos números:

blogalogb

alog

Logaritmo de una potencia:

alognalog n

Logaritmo de una raíz.

alogn

alogn 1

Logaritmo de un número a, en base a.

1aloga

A

B

C

Danny Perich C.


Cambio a base 10:

b

xxb

log

loglog

Valores de algunos logaritmos:

log 1 = 0 log 10 = 1

log 100 = 2 log 1000 = 3

log 0,1 = -1 log 0,01 = -2

log 0,001 = -3


1. Si 21

1

)

xlog( , entonces x vale

A) 100

99 B) –99 C)

100

99 D)

100

101 E)

20

19

Si 21

1

)

xlog( , entonces 100

1

1log)

xlog(

Entonces 1001

1

xde donde 1=100 – 100x.

Por lo tanto 100x = 99 y x = 100

99

Alternativa C.

2. ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a

log 12?

A) log 6 · log 2 B) log 10 + log 2 C) 2log 6

D) log 2 · log 2 · log 3 E) log 6 + log 2

Debemos descomponer el 12 de manera

conveniente para obtener la alternativa

correcta y en este caso es 12 = 6 · 2.

Luego log 12 = log (6 · 2) = log 6 + log 2.

Alternativa correcta E.

INECUACIONES LINEALES

Desigualdades

En los números reales se cumple que dos

números x e y son x>y, x<y o x=y.

Las desigualdades corresponden a expresiones

relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.

Una desigualdad no cambia al sumarle o

restarle una cantidad a ambos lados de ella.

Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por

un real positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o

dividirla por un número negativo.

Ejemplo: 3 < 5 y si multiplicamos la

desigualdad por -1 se obtiene que -3 > -5.

Intervalos

Conjunto de números reales los cuales pueden

ser cerrados, abiertos, semiabierto o infinitos.

Cerrado: incluye a los valores extremos b,a ,

o sea bxa .

Abierto: No incluye los valores extremos b,a ,

o sea bxa

Semiabierto: No incluye uno de los extremos b,a

Infinito: Uno de los extremos tiende a un

valor infinito. b,

Inecuaciones de Primer Grado

Es una desigualdad que contiene una o más

incógnitas la cual se resuelve aplicando las

propiedades de las desigualdades.

Ejemplo:

4x – 1 > 7

4x > 8

x > 2

Solución: x pertenece al intervalo ,2


1. La solución de la inecuación 5

2

15

8x

3

x

es el

intervalo:

A)

,

2

1 B)

,

2

1 C)

,

2

1

D)

,

2

1 E)

2

1,

2

1


2. Si 0 < x < 1. ¿Cuál de las siguientes

opciones es verdadera?

A) xx B) xx

1 C) x

x

1

D) x > 1 E) xx

Alternativa correcta C.

Cálculo de probabilidades

PosiblesCasos

FavorablesCasos)A(P

1 )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de

que no ocurra el suceso A.


Si la probabilidad de que ocurra un suceso es

de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el

suceso no ocurra?

A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65

D) -0,45 E) -0,55

0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 =

0,55. Alternativa B.

PROBABILIDAD TOTAL

Probabilidad de que ocurra el suceso A o el

suceso B o ambos sucesos.

Danny Perich C.


)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Si los eventos son excluyentes (A B = ), la

probabilidad de que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad que se den simultáneamente dos

sucesos:

)A/B(P)A(P)BA(P

o sea la probabilidad de A multiplicada por la

probabilidad de B, una vez ocurrido A.

Si el suceso B es independiente de la

ocurrencia del suceso A, se dice que son

eventos independientes. En este caso se da

que:

)B(P)A(P)BA(P


1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin

devolución, de una baraja de 40 cartas.

Calcular la probabilidad de que ambas cartas

sean reyes.

A) 100

1 B)

5

1 C)

130

1 D)

130

23 E)

20

1

La probabilidad de obtener un rey en la primera

sacada es 4/40 y luego de extraer otro rey, sin

devolución, es 3/39, , por lo tanto la

probabilidad total es 130

1

13

1

10

1

39

3

40

4 .

La alternativa C es correcta.

2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera

contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras;

mientas que la segunda contiene 4 bolas

blancas y una bola negra. Si se elige una urna

al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la

probabilidad de que la bola extraída sea

blanca?

A) 5

6 B)

25

8 C)

5

2 D)

5

3 E)

5

4

Para obtener la probabilidad pedida se debe

efectuar la siguiente operación 5

3

5

4

2

1

5

2

2

1 ,

donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de

elegir una de las urnas, el 2/5, de sacar una

bola blanca de la primera urna y el 4/5 de

sacar una bola blanca de la segunda urna.

Alternativa correcta: D.

3. En una caja hay 50 fichas de igual peso y

tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son

amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una

roja, una café, una amarilla y nuevamente una

roja, en ese orden y sin reposición?

A) 50

11

50

18

50

20

50

12 B)

47

11

48

18

49

20

50

12

C) 50

11

50

18

50

20

50

12 D)

47

12

48

18

49

20

50

12

E) 47

11

48

18

49

20

50

12


4. Se tienen 10 fichas con los números: 44, 44,

45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la

probabilidad de sacar una ficha con un número

mayor que 46?

A) 0,4 B) 0,41 C) 0,42

D) 0,5 E) Ninguno de los valores anteriores.

Alternativa correcta A.

5. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál

es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?

A) 6

1 B)

36

7 C)

36

4 D)

36

5 E)

36

21

Alternativa correcta D.

6. Una ruleta está dividida en 8 sectores

iguales, numerados del 1 al 8. ¿Cuál es la

probabilidad de obtener un número impar y

mayor que 3?

A) 8

7 B)

4

1 C)

2

1

D) 8

3 E)

8

5

Alternativa correcta B.

Estadística

Principalmente las preguntas están

relacionadas con la Media (Promedio), la Moda,

la Mediana.

Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3,

4, 7, 7, 1, 8.

La Media (Promedio) es

5,510

55

10

8177439673

La Moda corresponde al valor que más se repite

(con mayor frecuencia), en este caso, el 7.

(Puede haber más de un valor que sea moda)

Para obtener la Mediana se deben ordenar los

datos en forma ascendente o descendente, o

sea 1, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 9. La mediana,

valor que divide a los datos en dos partes

iguales, está entre 6 y 7 por lo que es 6,5.


1. Las notas de pablo en Biología son 6,3; 3,8;

6,7 y 6,7. ¿Qué nota debe obtener Pablo en su

quinta prueba para que su promedio final sea

un 6,0?

A) 7,0 B) 6,5 C) 6,3 D) 6,0 E) 5,9

Danny Perich C.


En total son 5 las notas que se deben

promediar, 4 de ellas conocidas, o sea

0,65

x7,67,68,33,6

, de donde

23,5 + x = 30

x = 6,5.


2. Dados los siguientes datos: a – 3d, a – 2d, a

– d, a, a + d, a + 2d, a + 3d con d>0.


es(son) verdadera(s)?

I) La moda es a + 3d.

II) La media aritmética es a.

III) La mediana es a.



Son verdaderas II y III. En la II se suman

todos los datos se divide por 7 y así se obtiene

que la media es a. La mediana corresponde al

valor a (los datos ya están ordenados)

3. Se compran 5 pantalones a $5.000, $8.000,

$10.000, $10.000 y $15.000. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. La moda es $10.000.

II. La mediana es $10.000

III. El promedio es $9.600.

A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II



GEOMETRÍA

Triángulos congruentes: Un ABC es

congruente con otro DEF si sus lados

respectivos (homólogos) son congruentes y sus

ángulos respectivos (homólogos) también los

son.

En la figura vemos que AB DE; BC EF; AC

DF; y CAB FDE, CBA FED, BCA

DFE, entonces el ABC DEF.

Para que dos triángulos sean congruentes, es

suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos

sean congruentes. Las condiciones requeridas

para esto se conocen como criterios de

congruencia y se expresan en los siguientes:

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos

lados congruentes y el ángulo comprendido por

ellos también congruente.

ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y

BC EF.

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)


ángulos congruentes y el lado común a ellos,

también congruente.

GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y

HIG KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres

lados respectivamente congruentes.

MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM

RP

Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)


lados congruentes y el ángulo opuesto al lado

de mayor medida, también congruente.

ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA

DFB, siendo AC y BD los lados de mayor

medida.


1. Los triángulos ABC y DEF de la figura son

congruentes, entonces la medida de EF es:

A) 9 B) 15 C) 17

D) 40 E) Falta información


A

C

17

B

40

80

15

F

D

E

60 80

Danny Perich C.


2. En la figura, el ABC DEF, entonces se

verifica que:

A) AC DF B) BC DE C) AB FE

D) AC FE E) AB FD


Transformaciones Isométricas

Traslación: Los pares indican si la traslación

es hacia la izquierda o hacia la derecha

(abscisa del par) y si la traslación es hacia

arriba o hacia abajo (ordenada del par).

Rotaciones de un punto (x, y)

Al rotar: En 90º se transforma en (-y, x)

En 180º se transforma en (-x, -y)

En 270º se transforma en (y, -x)

En 360º vuelve a ser (x, y)

A la derecha (sentido horario), rotación

negativa.

A la izquierda (sentido antihorario), rotación

positiva.

Simetrías (o Reflexiones)

Axial: Simetría con respecto a un eje. La

reflexión de un punto A en torno a una recta L,

es un punto A’ tal que L'AA y 'PAAP .

Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x,

obtenemos el punto A’(x, -y). Si reflejamos

A(x, y) en torno al eje y, obtenemos el punto

A’(-x, y).

Central: Simetría con respecto a un punto. La

reflexión de un punto A en torno a un punto P,

es un punto A’ tal que A, P y A’ son colineales y

'PAAP . Si reflejamos el punto A(x, y) en

torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x,

-y)


1. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5),

B(2,1) y C(3,1), según el vector de traslación

(4,-1), el vértice homólogo de B es:

A) (3,4) B) (2,1) C) (6,0) D) (4,-1) E) (7,0)

Como el vector traslación es (4,-1) debemos

trasladar los puntos dados 4 unidades a la

derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el

punto B quedará ubicado en (6,0).


2. En la figura, las coordenadas del punto A

son (-4, -1), ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El punto simétrico de A con respecto al

eje y es el punto (4, -1)

II) Al rotar el punto

A en 90º en

sentido horario,

en torno al

origen se

obtiene el punto

(-1, 4).

III) Al trasladar el

punto A dos unidades a la derecha y 2

unidades hacia arriba, se obtiene el punto

(-2, 1)



El I es verdadero, ya que para que sea

simétrico con respecto al eje y, debe estar a

igual distancia de éste, pero en sentido

opuesto. El II es verdadero ya que al rotar se

aplica (-y, x) y el III verdadero y sólo hay que

contar los espacio para darse cuenta de ello.


3. ¿Cuál(es) de los siguientes polígonos

regulares permite(n) teselar (embaldosar) el

Plano?

I) Pentágonos

II) Triángulos Equiláteros

III) Hexágonos

A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III


Para teselar el plano al unir las figuras y que no

queden huecos entre ellas, debe cumplirse que

la suma de los ángulos en la unión de los

vértices debe ser 360º.

Por lo tanto, cumplen con esa condición los

triángulos equiláteros (60º cada ángulo

interior) y los hexágonos (120º cada ángulo

interior). Los ángulos interiores del pentágono

miden 108º, por lo que al unir tres de ellos,

completan en los vértices 324º y no 360º.


4. El triángulo ABC tiene coordenadas A(2, 3),

B(-3,8) y C(3, 7). Si se aplica una traslación

según el vector (5, -7), las nuevas coordenadas

del triángulo serán:

I. A’(7,-4)

II. B’(-8, 1)

III. C’(8, 0)

A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III



Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos

son iguales uno a uno, respectivamente; los

C

A B

D

F E

Danny Perich C.


lados opuestos a dichos ángulos son

proporcionales

Para determinar la semejanza entre dos

triángulos existen tres criterios que son los

siguientes:

Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos de

sus ángulos respectivamente iguales.

Si se dice que A = D y que el C = F,

entonces el ABC DEF

Segundo Criterio: Lado-Ángulo-Lado (LAL)

Dos triángulos son semejantes si dos de sus

lados son proporcionales respectivamente y

congruente el ángulo que forman.

Si se dice que EF

BC

DE

AB y que B = E,

entonces el ABC DEF

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados

son respectivamente proporcionales.

Si se dice que FD

CA

EF

BC

DE

AB entonces el ABC

DEF


Los triángulos ABC y DEF son semejantes. AB =

6 cm., BC = 12 cm., DE = 10 cm. y DF = 7,5

cm. Determinar AC + EF.

A) 7,2 cm. B) 12,5 cm. C) 19,5 cm.

D) 19,7 cm. E) 24,5 cm.


Teorema de Thales

Algunas proporciones:

BD

PB

AC

PA ;

PD

PB

PC

PA ;

CD

PC

AB

PA (Esta es la

principal)


1. En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB

= 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR :

RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:

A) 96 cm

B) 72 cm

C) 48 cm

D) 36 cm

E) 24 cm

Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm.

Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.

Luego BC

AB

PS

AP reemplazando por los valores

correspondientes y despejando CB, se obtiene

que su medida es 72 cm.

Alternativa correcta B.

2. La figura muestra un rectángulo ABEF con

BC=10, CF=5 y CD=4. ¿Cuánto mide el

perímetro del trapecio ABCD?

A) 16

B) 22

C) 28

D) 32

E) 36


Teoremas de la circunferencia

1. El ángulo del centro

mide el doble que

todos aquellos

ángulos inscritos que

subtienden el mismo

arco.

<AOC = 2<ABC

2. Todos los ángulos inscritos que subtienden

el mismo arco, miden lo mismo.

3. Todo ángulo inscrito en una

semicircunferencia es recto.

4. Todo ángulo semi-inscrito en una

circunferencia tiene medida igual a la mitad

D

F C

B E A

F

E D

C

A B

Danny Perich C.


de la medida del ángulo del centro, que

subtiende el mismo arco.

5. La intersección de un radio y la tangente a

la circunferencia forman un ángulo recto.

5. Si desde un punto se trazan dos tangentes

a una circunferencia, los trazos formados

son congruentes.

6. La medida de un ángulo interior es igual a

la semisuma de las medidas de los arcos

correspondientes.

2

CDABAEB

7. La medida de un ángulo exterior es igual a la

semidiferencia de las medidas de los arcos

correspondientes.

2

BECDCAD

Proporcionalidad en la circunferencia

Dos cuerdas

PA PC = PB PD

Dos secantes

PB PA = PD PC

Una secante y una tangente

PC2 = PB PA


1. En la figura siguiente, AC y BC son

tangentes a la circunferencia de centro O. Si

<ACB = 70°, entonces el <ABO =

A) 20° B) 35° C) 45°

D) 55° E) 70°

El ángulo ACB = 70º,

además los ángulos

CBO y CAO, son rectos,

obteniéndose para el ángulo AOB = 110º.

Como AO = OB, por ser radios, entonces el

ángulo ABO = 35º. La alternativa B es la

correcta.

2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de

una circunferencia se ha trazado a ésta una

tangente de 3 cm de longitud. Determinar la

medida del diámetro de la circunferencia.

A) 2,5cm B) 4cm C) 5cm

D) 8cm E) 10cm

Se aplica el teorema de la tangente y la

secante o el teorema de Pitágoras,

obteniéndose que el radio de la circunferencia

es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm.

Alternativa D: correcta.

3. En la circunferencia de la figura AB // CD.

¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es(son)

verdadera(s)

I.

II.

III. º180


D) Sólo I y II E) I, II y III


4. Se tiene el triángulo ABC isósceles

rectángulo en A. Sus catetos miden 1. AD, DE

y DF son radios de la semicircunferencia y DF

es perpendicular a BC. ¿Cuánto vale el radio de

la semicircunferencia inscrita?

A) 12 B) 2

2

C) 12 D) 13

E) 22


TEOREMAS DE EUCLIDES

BDADCD2

ADABAC2

BDABBC2

AB

BCACCD

o sea

hipotenusa

catetocatetoaltura


1. En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm,

entonces ¿cuánto mide CD?

C

D B A

Danny Perich C.


A) 5 cm

B) 6 cm

C) 26 cm

D) 6 cm

E) 25 cm


2. En la circunferencia de centro O, AB es

diámetro, CD BD; CD = 4; BD = 3. El radio

es:

A) 5 B) 3

25

C) 3

5 D)

9

25

E) 6

25


Perímetros, Áreas y Volumenes

Triángulo Cualquiera

p = a + b + c

2

h·c

2

altura·baseá

Triángulo Rectángulo

p = a + b + c

2

b·a

2

cateto·catetoá

Triángulo Equilátero

p = 3a 2

3ah

4

3aá

2

Cuadrado

p = 4a

á = a2

2

dá

2

Rectángulo

p = 2a + 2b

á = lado · lado = a·b

Rombo

p = 4a

á = base · altura = b · h

2

f·e

2

diagonal·diagonalá

Romboide

p = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

p = a + b + c + d

2

h)·ca(

2

altura)·2base1base(á

á = Mediana · altura = M · h

Circunferencia y Círculo

p = 2·r

á = ·r2

Sector Circular

360

r2r2ABr2p

360

·rá

2

Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres

dimensiones son iguales.

26aA

3aV

Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas

bases son dos rectángulos.

A = 2(ab+ac+bc)

V = abc

Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado

por la revolución de un rectángulo alrededor de

uno de sus lados

)(2 rHrA

HrV 2

Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un

polígono cualquiera y sus caras laterales

triángulos

lateralbase AAA

HBV 3

1

Danny Perich C.


Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por

la revolución de un triángulo rectángulo

alrededor de uno

lateralbase AAA

HrV 2

3

1

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la

revolución completa de un semicírculo

alrededor de su diámetro.

24 RA

3

3

4RV


1. Unas pelotas se venden en latas de forma

cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si

el diámetro de la lata es de 6 cm. Calcular el

volumen, en cm3, que queda libre en el interior

de una lata.

a) 162 b) 126 c) 108

d) 54 e) Ninguno de los valores anteriores

El volumen del cilindro del enunciado queda

determinado por 16218·3· 2 y el volumen de

cada esfera por 3633

4 3· y como son 3

esferas, 108363 . Por lo tanto, el volumen

libre al interior de la lata es 162 - 108 = 54

cm3.

La alternativa D es la correcta.

2. Se tiene un prisma cuya base es un

hexágono regular de lado 2 . La altura del

prisma es 3 . ¿Cuál es el volumen del prisma?

A) 9 B) 18 C) 29

D) 39 E) 69

Como la base es un

hexágono regular, esta formado por 6

triángulos equiláteros. Por lo tanto su área es

334

312

4

326

4

36

22

a

A

Voumen del prisma A·h = 9333


Geometría del espacio

Aquí lo fundamental es ubicar puntos en el

sistema de coordenadas tridimensional. Es

conveniente practicar para tener claridad en la

posición de cada punto, utilizando para ello

paralelepípedos.


1. El triángulo ABC de la figura tiene sus

vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0,

0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su

perímetro miden, respectivamente:

A) 22

1 y 23 B) 3

2

1 y 2

C) 3 y 23 D) 32

1 y 23

E) 22

1 y 2

Los puntos A, B y C están a una distancia 1 del

origen. Por Pitágoras se obtiene que AB = BC =

AC = 2 , por lo tanto el perímetro del

triángulo es 23 . Para determinar el área de

este triángulo, que es equilátero, lo hacemos

aplicando la fórmula 4

3aA

2

donde el lado a

= 2 . Por lo tanto, 2

3

4

3·2A

2

.


2. Un plano queda determinado mediante:

I. Tres puntos cualesquiera

II. Una recta y un punto no contenido en

ella.

III. Dos rectas paralelas no coincidentes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III



3. Un cubo tiene lado 2, como el de la figura.

¿Cuáles son las coordenadas del centro de

gravedad del cubo?

A) (0, 1, 0)

B) (2, 2, 2)

C) (1, 0, 1)

D) (0, 0, 0)

E) (1, 1, 1)


Danny Perich C.


TUS APUNTES

Danny Perich C.

FORMULARIO PSU

He preparado este formulario como una última actividad para realizar antes

de enfrentar la Prueba de Selección Universitaria P.S.U. En él se encuentran la mayoría de las fórmulas a utilizar en la Prueba y para

una mayor comprensión de sus aplicaciones, he agregado a algunas de ellas ejercicios resueltos, optando especialmente por aquellos que han salido en los ensayos oficiales publicados por el DEMRE.

Espero que este material sirva como un último repaso antes de rendir la PSU, que se implementará con el conocimiento que has adquirido tras 4 años de estudio en la enseñanza media. Porcentaje:

100a

%a =

a% del b% de c= cba

⋅⋅100100

Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve a leer lo que te preguntan para que no te equivoques al responder por algo que no te estaban consultando. (Esto en muy común en %) *** Ejercicio PSU *** En un curso de 32 alumnos 8 de ellos faltaron a clases. ¿Qué porcentaje asistió?

A) 75% B) 25% C) 24% D) 0,25% E) 0,75% Lo típico es que se plantee que

x%

alal 100

832

= obteniéndose para x = 25%, que obviamente está en las alternativas,

pero que no es lo que preguntan, ¡cuidado! La alternativa correcta es A ya que se pregunta por el porcentaje de asistencia. Interés simple C = K·(1 + nr), donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado y r la tasa de interés simple. Interés compuesto C = K·(1 + i)n donde K es el capital inicial, n los períodos, C capital acumulado e i la tasa de interés compuesto. *** Ejercicio PSU *** ¿A qué % anual se colocaron $ 75.000 que en 24 días han producido $ 250?

a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5%

Considerando que el tiempo está dado en días, debemos resolver el producto 36.000 por 250 y el producto 75.000 por 24. Luego se efectúa la división entre ambos lo que determina el porcentaje anual. La alternativa E es la correcta.

www.sectormatematica.cl

Danny Perich C.

Proporcionalidad Directa:

kba

=

Proporcionalidad Inversa: a · b = k Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. *** Ejercicio PSU *** y es inversamente proporcional al cuadrado de x, cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =

A) 21

B) 41

C) 2 D) 4 E) 9

Como y es inversamente proporcional al cuadrado de x, entonces y·x2 = k reemplazando se obtiene 16·12 = k, de donde k = 16. Entonces si x = 8, resulta

y·82 = 16, o sea 64y=16 de donde 41

6416

==y . Alternativa B.

Cuadrado del Binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2


Si y , entonces a · b = 2)ba(n += 2)ba(p −=

A) 2

pn − B)

4

44 pn − C)

4

22 pn − D)

4pn −

E) 4(n – p)

222 2 baba)ba(n ++=+= 222 2 baba)ba(p +−=−=

n – p = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab - b2

O sea n – p = 4ab

De donde 4

pnab

−= . Alternativa D

Suma por Diferencia: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 FACTORIZAR Un polinomio cuyos términos tienen un factor común. mx - my + mz = m( x - y + z ) Un trinomio cuadrado perfecto. a2 2ab + b± 2=(a ± b)2


Danny Perich C.

Factorización de la diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b). Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) *** Ejercicio PSU *** ¿Cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) divisor(es) de la expresión algebraica ? 20x6x2 2 −−

I) 2 II) (x – 5) III) (x + 2)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Generalmente los alumnos responden la alternativa A, ya que se dan cuenta que todos los términos del trinomio son múltiplos de 2, pero no consideran que se puede factorizar y obtener que:

)x)(x()xx(xx 52210322062 22 −+=−−=−− . Por lo tanto la alternativa correcta es E. ECUACION DE LA RECTA

Forma General: ax + by + c = 0


En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. Pendiente dado dos puntos

12

12xxyy

m−−

=

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

1

1

12

12xxyy

xxyy

−−

=−−

Ecuación de la recta dado punto-pendiente y - y1 = m(x - x1)

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Paralelas L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2


Danny Perich C.

Coincidentes L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2

Perpendiculares L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2, Entonces L1 ⊥ L2 sí y sólo si m1· m2 = -1 *** Ejercicio PSU *** 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-4) y que es paralela con la recta x+5y–3=0, es:

a) –x+y+5=0 b) x+5y+19=0 c) x+y+3=0 d) –5x+y+9=0 e) x+5y+21=0

Al despejar y de la recta dada se obtiene 5

3 xy −= , o sea la pendiente es –1/5.

Entonces la recta pedida también pendiente -1/5 por ser paralelas y como pasa por

el punto (1,-4) queda determinada por )1(514 −−=+ xy que al resolver resulta

x+5y+19=0. Alternativa B es correcta. 2. Determinar el valor de K para que las rectas y + 3 = Kx y 2x = -4K – y sean perpendiculares.

a) K = 3/4 b) K = 1/2 c) K = -1/2 d) K = –4/3 e) K = -2 Se despeja y de ambas ecuaciones. Luego y = Kx-3 ; y = -2x-4K. Se multiplican las pendientes de cada recta igualando a -1, ya que deben ser perpendiculares, obteniéndose K·(-2) = -1. Luego K=1/2. La alternativa B es la correcta.


PosiblesCasosFavorablesCasos

)A(P =

1=+ )A(P)A(P , siendo )A(P la probabilidad de que no ocurra el suceso A. *** Ejercicio PSU *** Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso no ocurra? A) 0,45 B) 0,55 C) 0,65 D) -0,45 E) -0,55

0,45 + )A(P = 1, entonces )A(P = 1 – 0,45 = 0,55. Alternativa B.


Danny Perich C.

PROBABILIDAD TOTAL Probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos.

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ Si los eventos son excluyentes (A ∩ B = φ), la probabilidad de que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P +=∪

PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad que se den simultáneamente dos sucesos:

)A/B(P)A(P)BA(P ⋅=∩ Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del suceso A, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que:

)B(P)A(P)BA(P •=∩ *** Ejercicio PSU *** 1. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes.

a) 1/100 b) 1/5 c) 1/130 d) 23/130 e) 1/20 La probabilidad de obtener un rey en la primera sacada es 4/40 y luego de extraer otro rey, sin devolución, es 3/39, , por lo tanto la probabilidad total es

1301

131

101

393

404

=⋅=⋅ . La alternativa C es correcta.

2. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?

a) 6/5 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/5 e) 4/5 Para obtener la probabilidad pedida se debe efectuar la siguiente operación

53

54

21

52

21

=⋅+⋅ , donde el 1/2 corresponde a la probabilidad de elegir una de las

urnas, el 2/5, de sacar una bola blanca de la primera urna y el 4/5 de sacar una bola blanca de la segunda urna. Alternativa correcta: D. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

nmnm aa·a += nmnm aa:a −=

10 =a ; a≠0

nn

aa

1=− , considerar que

nn

ab

ba

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−


Danny Perich C.

( ) mnnm aa = *** Ejercicio PSU ***

=+−

−−

1

11

543

A) 3512

B) 1235

C) 57

D) 75

E) 125

1235

51

127

51

1234

51

41

31

543

1

11==

+

=+

=+−

−−

Alternativa B.

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Producto y división de raíces Del mismo índice:

nnn abba =⋅

nn

n

ba

b

a=

De distinto índice

mnmn baba11

⋅=⋅ Raíz de una raíz

mnm n aa = *** Ejercicio PSU ***

=3 22

A) 3 4 B) 3 2 C) 6 8 D) 6 2 E) 1

331

62

613

61

21

61

21

6322222

2

222

22

=======−

−

Alternativa B. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Si ax2 + bx + c = 0, entonces

a2ac4bb

x2 −±−

=


Danny Perich C.

*** Ejercicio PSU *** Las raíces (o soluciones) de la ecuación x(x – 1) = 20 son

A) 1 y 20 B) 2 y 20 C) 4 y 5 D) 4 y –5 E) –4 y 5

Se efectúa el producto y se obtiene que x2 – x = 20, o sea x2 – x – 20 = 0.

Entonces 2

912

8011 ±=

+±=x de donde x1 = 5 y x2 = -4. Alternativa E.

Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

ab

xx 21−

=+

Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

ac

xx 21 =⋅

*** Ejercicio PSU *** Si x = 3 es una solución (raíz) de la ecuación x2 + 5x + c = 0, ¿cuál es el valor de c?

A) -24 B) -8 C) -2 D) 2 E) 35

Al ser x = 3 una solución, este valor puede ser reemplazado en la ecuación obteniéndose 32 + 5·3 + c = 0 de donde c = -9 – 15 = -24. Alternativa A. FUNCIÓN CUADRÁTICA f(x) = ax2 + bx + c Concavidad El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (a>0) o hacia abajo (a<0) Vértice

Para determinar el vértice es conveniente determinar primero ab

x2−

= ,

posteriormente se reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor y. Eje de simetría de la parábola

Corresponde a la recta ab

x2−

= , paralela al eje y.

Si a>0 y b>0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x. Si a>0 y b<0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b>0 el eje de simetría está a la derecha del eje x. Si a<0 y b<0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.


Danny Perich C.

Intersección con los ejes La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto (o, c). La intersección con el eje x está determinada por el valor del discriminante b2-4ac. Si b2-4ac>0, la parábola corta en dos puntos al eje x. Si b2-4ac=0, la parábola corta en un punto al eje x. Si b2-4ac<0, la parábola no corta al eje x. TRIGONOMETRÍA

hipotenusaopuestocateto

sen =α

hipotenusaadyacentecateto

cos =α

adyacentecatetoopuestocateto

tg =α

opuestocatetoadyacentecateto

ctg =α

adyacentecatetohipotenusa

sec =α

opuestocatetohipotenusa

eccos =α


1. α

=αcos

sec1

2. α

=αsen

eccos1

3. αα

=αcossen

tg

4. αα

=αsencos

ctg

5. 122 =α+α cossen

6. α+=α 22 1 tgsec

7. α+=α 22 1 ctgeccos ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIDAS

0º 30º 45º 60º 90º

sen 0 21

22

23

1

cos 1 23

22

21

0

tg 0 33

1 3 ∞


Danny Perich C.


En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C, AB=5 cm. y tg �= 23

, entonces

BC = B

α A

C

a) 3 cm. b)

1315

cm. c) 13

10 cm. d)

215

cm. e) 2 cm.

Como tgα = 3/2 = 3p/2p, se plantea por Pitágoras que de donde 2549 22 =+ pp

135

=p . Luego 13

15=BC La alternativa B es correcta.

LOGARITMOS Logaritmo de base a de un número n

naXnlog xa =⇔=

Logaritmo del producto de dos números: log(a⋅b) = loga + logb Logaritmo del cociente de dos números:

blogalogba

log −=

Logaritmo de una potencia: alognalog n ⋅=

Logaritmo de una raíz.

alogn

alogn 1=

Logaritmo de un número a, en base a. 1=aloga

Cambio de base:

bx

xa

ab log

loglog =

A base 10

bxxb log

loglog =


Danny Perich C.

Valores de algunos logaritmos:

log 1 = 0

log 10 = 1

log 100 = 2

log 1000 = 3

log 0,1 = -1

log 0,01 = -2

log 0,001 = -3


Si 21

1=

−)

xlog( , entonces x vale

A) 10099

− B) –99 C) 10099

D) 100101

− E) 2019

Si 21

1=

−)

xlog( , entonces 100

11

log)x

log( =−

Entonces 1001

1=

− xde donde 1 = 100 – 100x.

Por lo tanto 100x = 99 y x = 10099

Alternativa C.


Danny Perich C.

GEOMETRÍA

Teorema de Thales

Algunas proporciones:

BDPB

ACPA

= ; PDPB

PCPA

= ; CDPC

ABPA

= (Esta es la principal)

*** Ejercicio PSU *** En el ∆ ABC de la figura 13, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = 1 : 2 : 3, entonces el valor de CB es:

A) 96 cm B) 72 cm C) 48 cm D) 36 cm E) 24 cm

Como AP:PR:RB = 1:2:3 y AB=48 cm. Entonces AP+2AP+3AP=48; AP=8.

Luego BCAB

PSAP

= reemplazando por los valores correspondientes y despejando CB,

se obtiene que su medida es 72 cm. Alternativa correcta B.

Teoremas de la circunferencia 1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que

subtienden el mismo arco.

<AOC = 2<ABC 2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo. 3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad

de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco. 5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los

trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.


Danny Perich C.

6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

2CDAB

AEB+

=<

7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de

los arcos correspondientes.

2BECD

CAD−

=<

Proporcionalidad en la circunferencia Dos cuerdas

PA • PC = PB • PD Dos secantes

PB • PA = PD • PC. Una secante y una tangente

PC2 = PB • PA


Danny Perich C.

*** Ejercicio PSU *** 1. En la figura siguiente, AC y BC son tangentes a la circunferencia de centro O. Si <ACB = 70°, entonces el <ABO =

a) 20° b) 35° c) 45° d) 55° e) 70° El ángulo ACB = 70º, además los ángulos CBO y CAO, son rectos, obteniéndose para el ángulo AOB = 110º. Como AO = OB, por ser radios, entonces el ángulo ABO = 35º. La alternativa B es la correcta.

2. Desde un punto distante 5 cm. del centro de una circunferencia se ha trazado a ésta una tangente de 3 cm de longitud. Determinar la medida del diámetro de la circunferencia.

a) 2,5 cm. b) 4 cm. c) 5 cm. d) 8 cm. e) 10 cm.

Se aplica el teorema de la tangente y la secante o el teorema de Pitágoras, obteniéndose que el radio de la circunferencia es 4 cm. Luego el diámetro mide 8 cm. Alternativa D: correcta.


A B D

C BDADCD2 •=

ADABAC2 •=

BDABBC2 •=

ABBCAC

CD⋅

= (Muy útil, apréndela)

*** Ejercicio PSU *** En la figura 9, si AD = 1 cm y AB = 6 cm, entonces ¿cuánto mide CD?

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 26 cm D) 6 cm E) 25 cm


Danny Perich C.

Transformaciones Isométricas Traslación: Los pares indican si la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha (abscisa del par) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del par). *** Ejercicio PSU *** Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,1) y C(3,1), según el vector de traslación (4,-1), el vértice homólogo de B es:

a) (3,4) b) (2,1) c) (6,0) d) (4,-1) e) (7,0) Como el vector traslación es (4,-1) debemos trasladar los puntos dados 4 unidades a la derecha y 1 hacia abajo. Por consiguiente el punto B quedará ubicado en (6,0). La alternativa correcta es C. Rotaciones de un punto (x, y)

En 90º se transforma en (-y, x)

En 180º se transforma en (-x, -y)

En 270º se transforma en (y, -x)

En 360º vuelve a ser (x, y)


Danny Perich C.

Figura Geométrica Perímetro y Área

Triángulo Cualquiera

p = a + b + c

2h·c

2altura·base

á ==


p = a + b + c

2b·a

2cateto·cateto

á ==

Triángulo Equilátero

p = 3a

23a

h =

43a

á2

=

Cuadrado

p = 4a á = a2

2d

á2

=

Rectángulo

p = 2a + 2b


Rombo

p = 4a


2f·e

2diagonal·diagonal

á ==

Romboide

p = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

p = a + b + c + d

2h)·ca(

2altura)·2base1base(

á+

=+

=



Danny Perich C.


p = 2π·r á = π·r2

Sector Circular

360r2

r2ABr2pαπ

+=+=

360·r

á2 απ

=

Nombre Figura Área Volumen Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.

26aA = 3aV =

Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.

A = 2(ab+ac+bc) V = abc

Cilindro: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados

)(2 rHrA += π HrV ⋅= 2π

Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos

lateralbase AAA += HBV ⋅=31

Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno

lateralbase AAA += HrV ⋅= 2

31 π

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

24 RA π= 3

34 RV π=


Danny Perich C.

*** Ejercicio PSU *** Unas pelotas se venden en latas de forma cilíndrica que contienen 3 pelotas cada una. Si el diámetro de la lata es de 6,5 cm. Calcular el volumen, en cm3, que queda libre en el interior de una lata.

a) 162π b) 126π c) 108π d) 54π e) Ninguna de las anteriores

El volumen del cilindro del enunciado queda determinado por y el

volumen de la esfera por

π=π 16218·3· 2

π=π 1083·34 3 . Por lo tanto, el volumen libre al interior de la

lata es 162π - 108π = 54π cm3. La alternativa D es la correcta


RESUMEN PSU

ORDEN DE OPERACIÓN

Para operar correctamente no te olvides que existe un orden(prioridad) que se debe respetar y es el siguiente:

1º Paréntesis2º Potencias3º Multiplicación y División4º Suma y Resta

Números en potencia de 10

Todo número puede ser expresado en potencia de diez. Veamos el siguiente ejemplo:739 = 7·100 + 3·10 + 9·1 = 7·102 + 3· 101 + 9·100 = 7 centenas + 3 decenas + 9 unidades.

Debes tener presente al operar con 0 que la división por 0 no está definida.

Un número de dos cifras se representa por 10+y.Un número de tres cifras se representa por 100x+10y+z

Orden en Q

Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elementoUn método es el de los productos cruzados ¿Cuál

fracción es menor 97

o´711

?

Se efectúa el producto 77 = 49 y 911 = 99, como

49 es menor que 99, se concluye que 97

<711

Fracción de Fracción

La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas.

Decimales a fracción

Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.

Decimal Períodico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo lacantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. _ Ejemplo: 0,4 = 4/9 Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número la parteentera como lo indican los siguientes ejemplos: _2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9 Si el decimal es semiperiódico, se procede similarmente al caso anterior. _Ejemplo: 2,53 = (253-25)/90 = 228/90 =114/45 = 38/15

NÚMEROS IRRACIONALES

Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria, como decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes.

Ejemplo: 3 , , e

LENGUAJE ALGEBRAICO

Números consecutivos cualesquiera -----> x, x+1, x+2, x+3, x+4, .....

Números pares consecutivos -----> 2x, 2x+2, 2x+4,2x+6, 2x+8 .....

Números impares consecutivos -----> 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 .....

Múltiplos de 5 consecutivos -----> 5x, 5x+5, 5x+10,5x+15, 5x+20, ......

Antecesor de un número cualquiera -----> x - 1

Sucesor de un número cualquiera -----> x + 1

Semi-suma de dos números -----> 2

yx

Semi-diferencia de dos números -----> 2

yx

Proporcionalidad Directa:

Dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cuociente es constante.

kba

Proporcionalidad Inversa:

Dos cantidades a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante.

a · b = kpara ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Cuadrado del BinomioCorresponde al producto de un binomio por sí mismo.

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos términospor su diferencia.Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia,o sea (a – b)

(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2

FACTORIZACIÓN

Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

Factorizar un polinomio cuyos términos tienen un factor común. Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz. Luego, factorizar este último polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor común. O sea mx - my + mz = m( x - y + z ). Factorizar un trinomio cuadrado perfecto. Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2. Luego, se tendrá inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.

Factorización de la diferencia de dos cuadrados. Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2. Luego, se tendrá inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n. Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Luego, se tendrá inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizara) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 4·3 = (x + 4)

(x + 3)b) x2 + 5x – 14 = x2 + (7 – 2)x - 7·-2 = (x + 7)(x

– 2)

Embaldosado o Teselaciones

Embaldosar o teselar, significa recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que al unir las figuras se recubre completamente el plano y la intersección de dos figuras es vacía (sin huecos).

Teselación Regular

La Teselación regular es el cubrimiento del plano con polígonos regulares y congruentes. Son sólo tres los polígonos regulares que cubren (o embaldosan) el plano: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.

TRASLACIÓN

Isometría determinada por un vector. O sea, el movimiento de traslación tiene: Dirección: horizontal, vertical y oblicua.Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.Magnitud: Distancia entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura.

ROTACIÓN

Isometría en quetodos los puntosgiran un ánguloconstante conrespecto a unpunto fijo. Elpunto fijo sedenomina centrode rotación y lacantidad de girose denomina ángulo derotación. O sea todos los puntos de la figura son rotadas a través de círculos concéntricos en O y ellos describen los mismos arcos (en medida angular) de estos círculos.

REFLEXIÓN

Una reflexión osimetría axial esuna simetría queestádeterminada poruna rectallamada eje desimetría.

En la figura se ve que la parte que está a la derecha del eje y, es exactamente igual a la parte que está a la izquierda de este mismo eje. Entonces hablamos de figuras

simétricas y el eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas.La distancia desde A al eje y es la misma que de A’ a este eje. Lo mismo ocurre con los restantes puntos homólogos del triángulo.

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.

ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF. Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo)Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.

GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG KLJ

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP

Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.

ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB,siendo AC y BD los lados de mayor medida.

ECUACION DE LA RECTA

La ecuación de la recta puede ser representada en dos formas:

Forma General: ax + by + c = 0


En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

12

12xxyy

m

Una recta que es paralela al eje x, tiene pendiente 0.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

1

1

12

12xxyy

xxyy

Ecuación de la recta dado punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por un punto P(x1,y1) y tiene pendiente m es:

y - y1 = m(x - x1)

Rectas Paralelas, coincidentes y perpendiculares

Dos rectas son paralelas cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición distintos, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 // L2 sí y sólo si m1 = m2; n1 distinto a n2

Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2

Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de suspendientes es -1, o sea

L1: y = m1x + n1 L2: y = m2x + n2,

Entonces L1 L2 sí y sólo si m1· m2 = -1

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales

Primer Criterio: Ángulo – Ángulo (AA)Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulosrespectivamente iguales.

Segundo Criterio: Lado - Ángulo- Lado ( LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo queforman.

Tercer Criterio: Lado - Lado - Lado (LLL)Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Teorema de Thales

BDPB

ACPA

CDPC

ABPA

Teoremas de la circunferencia

Recordemos las relaciones fundamentales que se cumplen en las circunferencias.1. El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos

ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

<AOC = 2<ABC

2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

3. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

4. Todo ángulo semi-inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

5. Si los lados de un ángulo son tangentes a una circunferencia, entonces los trazos desde el vértice a los puntos de tangencia son congruentes.

6. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

2CDAB

AEB

7. La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

2BECD

CAD

Proporcionalidad en la circunferencia

1. Si dos cuerdas de una circunferencia se interceptan en un punto P, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra cuerda.

PA PC = PB PD

2. Si por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de la medida de una secante por la medida de su segmento exterior es igual al producto de la medida de la otra secante por la medida de su exterior.

PB PA = PD PC.

3. Si a una circunferencia se trazan una secante y una tangente, el cuadrado de la medida de la tangente es igual al producto de la medida de la secante por la medida de su exterior.

PC2 = PB PA


La probabilidad toma valores entre 0 y 1 que en tanto por ciento significa entre 0% y 100%.

Regla de Laplace: La probabilidad de que se cumpla un suceso está determinado por el cociente entre los casos favorables y los casos posibles.

PosiblesCasosFavorablesCasos

)A(P

Suceso Imposible: Corresponde al valor cero.

Suceso Seguro: Corresponde al valor uno.

Sucesos Independientes: Si el suceso B es independientes de la ocurrencia del suceso A, la probabilidad total se dará por el producto de ambas probabilidades.

PROBABILIDAD TOTAL

Se define la Probabilidad Total como la probabilidad de queocurra el suceso A o el suceso B o ambos sucesos. La podemos determinar a través de la siguiente fórmula:

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

Si los eventos son excluyentes (A B = ), la probabilidad de que se produzca A o B es:

)B(P)A(P)BA(P

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Las probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha incorporado información adicional a la situación inicial.

La probabilidad de que se den simultáneamente dos sucesos es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del suceso A. O sea:

)A/B(P)A(P)BA(P

Si el suceso B es independiente de la ocurrencia del sucesoA, se dice que son eventos independientes. En este caso se da que:

)B(P)A(P)BA(P

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

1. Suma y resta de raíces:

Solo se pueden sumar y restar raíces semejantes, o sea del mismo índice y mismo radicando

2. Producto y división de raíces:

Del mismo índice:

621627827•8 3333 De distinto índice:

12 1112 812 33 24 aaaaa =

3. Raíz de una raíz:

Para calcular la raíz de una raíz, se multiplican los índices.

63 aa

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.

Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo. Si a>0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.

Si a>0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.

Si a<0 y b>0, entonces la parábola se encuentra hacia la derecha del eje y.

Si a<0 y b<0, entonces la parábola se encuentra hacia la izquierda del eje y.

Si b=0, el eje y, es eje de simetría de la parábola.

El punto (0,c) indica la intersección de la parábola con el ejey.

Para resolver una ecuación de segundo grado de

la forma ax2 + bx + c = 0, se aplica la fórmula:

a2ac4bb

x2

Se denomina Discriminante a la expresión b2 - 4ac, y se representa por , letra griega delta mayúscula.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

Si > 0, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas.Si = 0, las dos soluciones son la misma, o sea, x1 = x2.

Si < 0, la ecuación de segundo grado no tiene solución real.

1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado es:

ab

xx 21

2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado es:

ac

xx 21


BDADCD2

ADABAC2

BDABBC2

ABBCAC

CD

TRIGONOMETRÍA

ca

hipotenusaopuestocateto

sen

c

b

hipotenusa

adyacentecatetocos

b

a

adyacentecateto

opuestocatetotg

a

b

opuestocateto

adyacentecatetoc tg

b

c

adyacentecateto

hipotenusasec

a

c

opuestocateto

hipotenusaec cos


1.

cos

1sec

2.

sen

1cos ec

3.

cos

sentg

4.

sen

costg c

5. 1cossen 22 6. 22 tg1sec

7. 22 ctg1eccos

30 45 60

sen2

1

2

2

2

3

cos2

3

2

22

1

tg3

31 3

LOGARITMOS Y SUS PROPIEDADES

Definición:Logaritmo de base a de un número n, es el exponente

al que debemos elevar el número a, positivo y distinto de 1, para obtener el número n:

naXnlog xa

1 ) El logaritmo del producto de dos números:

log(ab) = loga + logb

2 ) El logaritmo del cociente de dos números:

bab

alogloglog

3 ) El logaritmo de una potencia:

ana n loglog

4 ) El logaritmo de una raíz.

an

an log1

log

5 ) El logaritmo de 1.

01log a

6 ) El logaritmo de un número a, en base a.

1log aa

7) Se cumple que: b

xx

a

ab log

loglog siendo la más

utilizada aquella en que debemos trasformar logaritmos a

base 10, o sea b

xxb log

loglog

Ojo: En algunas ecuaciones logarítmicas podemos obtener soluciones numéricas que no son válidas, lo que nos obliga a comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación inicial para decidir sobre su validez

ESTADÍSTICA

Población: Se le llama población o universo, al conjunto total de individuos u objetos que se desean investigar.

Muestra: Es un grupo de una población. Se utiliza cuando la población es muy numerosa, infinita o muy difícil de examinar.

Distribución de Frecuencias: Las distribuciones de frecuencias, son series estadísticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificación de grupo de datos, de acuerdo a una característica cuantitativa.

Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados):

Para ello debemos considerar cada intervalo con límites cerrado y abierto.

Frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo.

Las frecuencias relativas que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta.

C

D BA

Frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores.

La marca de clase corresponde al valor medio de cada intervalo.

Gráfico de Barras: Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representación de series cronológicas o históricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas(%), y el otro para la escala de clasificación utilizada.

Gráfico circular: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta.En este gráfico se hace corresponder la medida del ángulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestión. Si los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le corresponderán 3,6º. Luego, para obtener el tamaño del ángulo para un sector dado bastaría con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6º (por simple regla de tres).

Histograma: Este gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable

Polígono de frecuencias: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, perocomo no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en elmismo gráfico más de una distribución.

Ojiva: Su objetivo, al igual que el histograma y el polígono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero sólo para frecuencias acumuladas

Pictograma: Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de gráfica atrae la atención porlos dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada.

Medidas de Tendencia Central

La media aritmética: comúnmente conocida como media opromedio. Se representa por medio de una letra M en otros casos por X .

La mediana: la cual es el puntaje que es ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md.

La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo.

Para determinar la mediana, se ordenan los valores de mayor a menor o lo contrario. Se divide el total de casos entre dos, una vez el valor resultante corresponde al número del caso que representa la mediana de la distribución.

Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos, se suma cada uno de los valores y se divide entre el total de casos.

La moda se identifica al observar el valor que se presenta con más frecuencia en la distribución.

Figura Geométrica Perímetro y ÁreaTriángulo Cualquiera

p = a + b + c

2h·c

2altura·base

á


p = a + b + c

2b·a

2cateto·cateto

á

Triángulo Equiláterop = 3a

23a

h

43a

á2

Cuadradop = 4aá = a2

2d

á2

Rectángulo

p = 2a + 2b


Rombo p = 4a


2f·e

2diagonal·diagonal

á

Romboide

p = 2a + 2b

á = a · h

Trapecio

p = a + b + c + d

2h)·ca(

2altura)·2base1base(

á



p = 2·r á = ·r2

Sector Circular

360r2

r2ABr2p

360·r

á2

Nombre Figura Área Volumen

Cubo o Hexaedro: Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales.

26aA 3aV

Paralelepípedo u ortoedro: Prisma cuyas bases son dos rectángulos.

A = 2(ab+ac+bc) V = abc

Cilindro: Es el Cuerpogeométrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados

)(2 rHrA HrV 2

Pirámide: Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triángulos

lateralbase AAA HBV 3

1

Cono: Es el Cuerpo geométrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno

lateralbase AAA HrV 2

3

1

Esfera: Cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa deun semicírculo alrededor de su diámetro.

24 RA 3

3

4RV

Resumen TOTAL PSU MATEMÁTICA

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