1

Apuntes Tema 7:

Respuesta temporal de componentes pasivos

Contenido 7 Respuesta temporal de componentes pasivos. .......................................................................... 1

7.1 Respuesta de circuitos R-C y R-L ......................................................................................... 2

7.1.1 Introducción ................................................................................................................ 2

7.1.2 Combinación de resistencia y capacidad (R-C) ............................................................ 3

7.1.3 Preguntas de Autoevaluación ................................................................................... 11

7.1.4 Problemas. ................................................................................................................. 11

7.1.5 Combinación de resistencia y bobina (R-L) ............................................................... 13

7.1.6 Resumen .................................................................................................................... 20

7.2 Circuitos derivadores e integradores. ............................................................................... 20

7.2.1 Integradores .................................................................................................................... 24

7.2.2 Derivadores ..................................................................................................................... 27

7.2.3 Preguntas de Autoevaluación .......................................................................................... 29

7.2.4 Resumen .......................................................................................................................... 30

7.3 Series de Fourier ..................................................................................................................... 31

7.3.1 Definición de armónicas ................................................................................................... 32

7.3.3 Gráficos de series de Fourier ............................................................................................ 36

7.3.4 Preguntas de Autoevaluación .......................................................................................... 37

7.3.5 Problemas. ........................................................................................................................ 38

7.3.6 Resumem. ........................................................................................................................ 39

7.4 Bibliografía .............................................................................................................................. 41

7 Respuesta temporal de componentes pasivos.

2

7.1 Respuesta de circuitos R-C y R-L

7.1.1 Introducción

El alumno debe considerar que al aplicar una tensión de corriente continua

mediante un interruptor a los componentes pasivos, la misma se comporta

como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la

misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.

Por ello, cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una

resistencia, la respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la

fuente que lo aplica, esto se detalla en la próxima figura. Se observa, en la

misma ( a ), que al cerrar LL , escalón ascendente, en forma instantánea se

establece tanto la tensión o caída de potencial como la corriente. De la misma

forma y un instante después, escalón descendente, al abrir LL , también en

forma instantánea desaparece tanto la tensión como la corriente, ( b ).

Ello induce a pensar, que la resistencia no introduce ninguna perturbación a la

circulación de corriente (IR) ni a la caída de potencial (V), dibujadas ambas a

distinta escala. De la misma forma, cuando se aplican estos escalones a

circuitos compuestos por resistencia y capacidad (R-C) y resistencia e

inductancia (R-L), las respuestas que se producen resultan muy diferentes al

E

IR

t

V , I

Cierre de llave Apertura de llave

( b )

E

LL

IR R V

( a )

3

caso de la resistencia. Ello es debido a las características propias del capacitor

e inductancia. Recordemos que el comportamiento de la capacidad es la

acumulación de energía potencial en el mismo, equivalente a la constante de

deformación del resorte, y la inductancia acumula campo magnético

apareciendo la inercia eléctrica equivalente a la inercia mecánica.

Así entonces, el interés de estudiar estas configuraciones circuitales permite

definir circuitos conformadores de ondas o señales que tienen amplias

posibilidades en muchas aplicaciones del equipamiento electrónico. Solamente

para que se entienda esta premisa, se dirá que se puede mediante ellos

realizar las operaciones matemáticas de derivar e integrar con bastante

aproximación.

7.1.2 Combinación de resistencia y capacidad (R-C)

En la siguiente figura, se ha esquematizado un circuito compuesto por una

generador de C.C., una llave interruptora y la combinación de resistencia y

capacitor en serie (R-C). Es importante destacar que la resistencia interna de

la fuente de f.e.m. es cero o muy pequeña ( fuente ideal ). En el instante en

que se cierra la llave se establece la corriente IC. Esta corriente, cesa cuando

“C” se carga. Se estudió en el capítulo correspondiente a componentes pasivos,

que la forma de la tensión de carga, es en forma exponencial, acumulando el

capacitor, energía de campo eléctrico a la que se puede denominar potencial.

La carga total C se produce después de un cierto retardo comandado por la

constante de tiempo τ =RC y la corriente se hace cero. Posteriormente, con C

cargado al valor de E

E R

C

VR

VC

i

Aplicando Kirchoff se tiene :

𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶

𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅

𝑉 𝐶 = 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡

4

Por definición se sabe que : =

con lo que:

Separando variables queda:

Integrando ambos miembros

Llevando la integral del segundo miembro a la forma:

𝐸 = 𝑖 . 𝑅 + 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡 𝐸 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

1

𝐶

𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝐸 = 𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

1

𝐶 𝑑𝑞 𝐸 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

𝑞

𝐶

𝐸 − 𝑞

𝐶 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡

1

𝑅 𝑑𝑡 =

1

𝐸 − 𝑞 𝐶

𝑑𝑞

1

𝑅 𝑑𝑡

𝑡

0

= 1

𝐸 − 𝑞 𝐶

𝑑𝑞 𝑞

0

1

𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 𝑎

1

𝑅 𝑑𝑡

𝑡

0

= 1

1 𝐶 𝐶 𝐸 − 𝑞

𝑑𝑞 𝑞

0

1

𝑅 𝑡

𝑡

0

= 𝐶 − ln 𝐶 𝐸 − 𝑞

q

0

1

𝑅 𝐶 𝑡 − 0 = −1 ln 𝐶.𝐸 − 𝑞 − ln 𝐶 .𝐸 −

1

𝑅 𝐶 𝑡 = ln

𝐶.𝐸 − 𝑞

𝐶.𝐸

− 1

𝑅 𝐶 𝑡 = ln

𝐶 𝐸 − 𝑞 𝐶

𝐶.𝐸

5

Aplicando antilogarítmo se llega a :

Sabiendo que la tensión en el capacitor está dada por : se puede

expresar como :

Haciendo un análisis dimensional del producto se tiene :

Encontraremos el valor al cuál se carga el capacitor para tres valores de la

constante de tiempo.

Cuando se cierra la llave inicia la carga estando en el instante inicial t = 0.

𝑒 − 1

𝑅 𝐶 𝑡

𝐶 𝐸 − 𝑞

𝐶

𝐶.𝐸

= 𝐸 −

𝑞 𝐶

𝐸

𝑉 𝐶 = 𝑞

𝐶

𝑒 − 1

𝑅 𝐶 𝑡

𝐶 𝐸 − 𝑞

𝐶

𝐶.𝐸

= 𝐸 − 𝑉 𝐶

𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1

𝑅 𝐶 𝑡

" 𝑅 .𝐶 " 𝜏 = 𝑅 .𝐶

𝜏 = 𝑅 . 𝐶 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 .

𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 . 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝜏 = 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝝉 = 𝑹 .𝑪 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐

𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

0 = 𝐸 1 − 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐶 = 0

𝐶 = 𝑑𝑞

𝑑𝑉

𝑖 = 𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝐶 = 𝑖 𝑑𝑡

𝑑𝑉 𝐶 =

𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟 . 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠

6

Cuando el tiempo transcurrido es una constante de tiempo t = R C.

Cuando el tiempo transcurrido es cinco constantes de tiempo o más t = 5 R C.

Para encontrar el valor de la corriente que circula por el circuito se aplica:

𝑡 = 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 = 0,63 𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑅 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 −1

𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

5 𝑅𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒−5 𝑡 = 5 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 ≅ 𝐸

𝑉𝐶 = 1

𝐶 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝐶 𝑉𝐶 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑖𝐶 = 𝐶

𝑑𝑉𝐶

𝑑𝑡

𝑡 = 𝑅𝐶

𝑡 = 5 𝑅𝐶

𝑉𝐶 = 0,63 𝐸

𝑉𝐶 ≅ 𝐸

𝑉𝐶

𝑡

𝑽𝑪

𝑬

7

Como se sabe la tensión en la resistencia por ley de Ohm está dada por :

Cuando se cierra la llave inicia la circulación de corriente y con ello la tensión

sobre la resistencia estando en el instante inicial t = 0.

Cuando el tiempo transcurrido es una constante de tiempo t = R C.

Cuando el tiempo transcurrido es cinco constantes de tiempo t = 5 R C.

𝑖𝐶 = 𝐶

𝑑 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑡

𝑑𝑡

𝑖𝐶 = 𝐶 𝐸 0 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑡 − 1

𝑅 𝐶

𝑖𝐶 = 𝐶 𝐸 1

𝑅 𝐶 𝑒

− 1 𝑅 𝐶

𝑡 𝑖𝐶 =

𝐸

𝑅 𝑒

− 1 𝑅 𝐶

𝑡

𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝑖𝐶 𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝐸

𝑅 𝑒 −

1 𝑅 𝐶

𝑡 𝑉𝑅 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑡

𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

0 = 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐶 = 𝐸

𝑡 = 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 = 0,37 𝐸 𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑅 𝐶 = 𝐸 𝑒 −1

𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

5 𝑅𝐶 = 𝐸 𝑒−5 𝑡 = 5 𝑅𝐶 𝑉 𝐶 ≅ 0

8

Graficando la tensión en el capacitor y en la resistencia al mismo tiempo se

tiene :

Si ahora se interrumpe le excitación dada por la fuente de tensión y se

cortocircuita la fuente se tiene:

𝑉𝑅 ≅ 𝐸

𝑡 = 𝑅𝐶

𝑡 = 5 𝑅𝐶

𝑉𝐶

𝑡

𝑬

𝑉𝑅 = 0,37 𝐸 𝑽𝑹

𝑡 = 𝑅𝐶

𝑡 = 5 𝑅𝐶

𝑉𝐶 = 0,63 𝐸

𝑉𝐶 ≅ 𝐸

𝑉

𝑡

𝑽𝑪

𝑬

𝑉𝑅 = 0,37 𝐸 𝑽𝑹

9

Aplicando el mismo método anterior se tiene:

E R

C

VR

VC

i

Aplicando Kirchoff se tiene:

0 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐶

𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅

𝑉 𝐶 = 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡

0 = 𝑅 . 𝑖 + 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡 0 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

1

𝐶

𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑑𝑡

0 = 𝑅 𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

1

𝐶 𝑑𝑞 0 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡 +

𝑞

𝐶

0 − 𝑞

𝐶 = 𝑅

𝑑𝑞

𝑑𝑡 −

1

𝑅𝐶 𝑑𝑡 =

1

𝑞 𝑑𝑞 −

1

𝑅𝐶 𝑑𝑡

𝑡

0

= 1

𝑞 𝑑𝑞

𝑞

𝑞0

− 1

𝑅𝐶 𝑡 = ln 𝑞

𝑡

0

𝑞

𝑞0

− 1

𝑅𝐶 𝑡 − 0 = ln 𝑞 − ln 𝑞0

− 1

𝑅𝐶 𝑡 = ln

𝑞

𝑞0 𝑒 −

1

𝑅𝐶 𝑡 =

𝑞

𝑞0 𝑞 = 𝑞0 𝑒

− 1

𝑅𝐶 𝑡

10

Sabiendo que la corriente es:

Entonces la tensión en la resistencia es:

El signo negativo indica que la corriente circula en sentido contrario.

La tensión en el capacitor está dada por :

El signo positivo se debe a que la corriente sigue circulando en el mismo

sentido.

𝑖 = 𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝑖 = 𝑞0 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡 . − 1

𝑅𝐶 𝑖 = −

𝑞0

𝐶 1

𝑅 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡

𝑉 0

𝑖 = − 𝑉0

𝑅 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡

𝑉𝑅 = 𝑖 . 𝑅 = − 𝑉0

𝑅 𝑅 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡 𝑉𝑅 = − 𝑉0 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡

𝑉𝐶 = 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡 =

1

𝐶 −

𝑉0 𝑅

𝑒 − 1 𝑅𝐶

𝑡 𝑑𝑡 𝑉𝐶 = − 1

𝐶 𝑉0 𝑅

𝑒

− 1 𝑅𝐶

𝑡

− 1 𝑅𝐶

𝑉𝐶 = 𝑉0 𝑒 −

1 𝑅𝐶

𝑡

11

7.1.3 Preguntas de Autoevaluación

1) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en una resistencia? ¿Cómo

están dichas variables?

2) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en un circuito R-L?.

3) ¿Qué sucede con la tensión y la corriente en un circuito R-C?

7.1.4 Problemas.

𝑉𝐶

𝑡

𝑽𝑪

𝑬

𝑽𝑹

CARGA DESCARGA

12

1) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 10 µf y una

resistencia de 20 Ω. Si el tiempo en que se cierra la llave es de 10

seg. ¿A qué valor de tensión se carga el capacitor?

2) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 200 µf y una

resistencia de 2000 kΩ. Si el tiempo en que se cierra la llave es de 1

seg. ¿A qué valor de tensión se carga el capacitor? ¿Cuál es el valor de

la tensión en la resistencia?

3) En el siguiente circuito se tiene un capacitor de 1 µf con una carga de

50 V y una resistencia de 50 Ω. Si el tiempo en que se cierra la llave es

de 2 segundos. ¿A qué valor de tensión se descarga el capacitor?

13

4) Se conecta un condensador de 20 µF a un generador de 200 V a

través de una resistencia de 0,5 MΩ.

a) Hallar la carga del condensador al cabo de 0 seg, 5 seg, 10

seg, 20 seg, 40 seg y 100 seg después de haberlo conectado.

b) Hallar la intensidad de la corriente de carga en esos mismos

instantes.

c) ¿Qué tiempo sería necesario para que el condensador

adquiriese su carga final si la intensidad de la corriente de

carga fuese en todo momento igual a la inicial? Comparar este

tiempo con la corriente de tiempo del circuito.

7.1.5 Combinación de resistencia y bobina (R-L)

Para resolver esta ecuación se aplica:

Integrando ambos miembros en función de su variable se llega a:

𝐸 = 𝑖 . 𝑅 + 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 = 𝐸 − 𝑖 . 𝑅

1

𝐿 𝑑𝑡 =

1

𝐸 − 𝑖 . 𝑅 𝑑𝑖

Aplicando Kirchoff se tiene :

𝐸 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿

𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡

E R

L

VR

VC

i

14

Arreglando el segundo miembro para llevarlo a una integral conocida

Aplicando Barrow:

Aplicando antilogaritmos se tiene:

Despejando el valor de la corriente por el circuito se llega a:

1

𝐿 𝑑𝑡

𝑡

0

= 1

𝐸 − 𝑖 . 𝑅

𝑖

0

𝑑𝑖

1

𝑥 − 𝑎 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − 𝑎

1

𝐿 𝑑𝑡

𝑡

0

= 1

𝑅

1

𝐸𝑅 − 𝑖

𝑖

0

𝑑𝑖 1

𝐿 𝑡 =

1

𝑅 − ln

𝐸

𝑅 − 𝑖

𝑡

0

𝑖

0

𝑒 𝑅 𝐿

𝑡 = 𝐸

𝐸 − 𝑅 𝑖

1

𝐿 𝑡 − 0 =

1

𝑅 − ln

𝐸

𝑅 − 𝑖 + ln

𝐸

𝑅 − 0

1

𝐿 𝑡 =

1

𝑅 ln

𝐸

𝑅 − 0

𝐸

𝑅 − 𝑖

1

𝐿 𝑡 =

1

𝑅 ln

𝐸

𝑅

𝐸

𝑅 − 𝑖

1

𝐿 𝑡 =

1

𝑅 ln

𝐸

𝐸 − 𝑅 𝑖

𝑅

𝐿 𝑡 = ln

𝐸

𝐸 − 𝑅 𝑖

𝐸 − 𝑖 𝑅 = 𝐸

𝑒 𝑅 𝐿

𝑡 𝐸 − 𝑖 𝑅 = 𝐸 . 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡

15

𝑖 = 𝐸

𝑅 1 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡

𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

Haciendo el análisis dimensional de se concluye que:

La caída de tensión en la resistencia está dada por:

La caída de tensión en la bobina está dada por:

Cuando se cierra la llave , t = 0 , la tensión en ambos elementos es :

𝜏 = 𝐿

𝑅

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 𝐿 = 𝑉 𝐿

𝑑𝑡

𝑑𝑖 𝐿 = 𝑉 𝐿

𝑑𝑡

𝑑𝑖 = Volts .

𝑠𝑒𝑔

𝐴𝑚𝑝

𝜏 = 𝐿

𝑅 =

Volts . 𝑠𝑒𝑔 𝐴𝑚𝑝

𝑉𝑜𝑙𝑡𝑠 𝐴𝑚𝑝

= 𝑠𝑒𝑔 𝜏 = 𝑠𝑒𝑔

𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝑖

𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝐸

𝑅 1 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑

𝐸𝑅 1 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡

𝑑𝑡 𝑉 𝐿 = 𝐿

𝐸

𝑅 0 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡 − 𝑅

𝐿

A “ “ se lo llama

constante de tiempo.

𝜏

𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

0 = 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐿 = 𝐸

16

Cuando ha transcurrido un tiempo igual a la constante de tiempo del circuito

resulta:

Cuando ha transcurrido un tiempo igual a 5 constantes de tiempo del circuito

resulta:

𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒 − 𝑅 𝐿

0 = 𝐸 . 0 𝑡 = 0 𝑉 𝑅 = 0

𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

𝐿𝑅 = 𝐸 𝑒 −1 𝑡 =

𝐿

𝑅 𝑉 𝐿 = 0,37 𝐸

𝑡 = 𝐿

𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝐿𝑅 = 𝐸 . 0,632

𝑡 =𝐿

𝑅

𝑡 = 5 𝐿

𝑅

𝑉𝑅 = 0,63 𝐸

𝑉𝑅 ≅ 𝐸

𝑉

𝑡

𝑽𝑹

𝑬

𝑉𝐿 = 0,37 𝐸 𝑽𝑳

𝑉 𝐿 = 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

5 𝐿𝑅 = 𝐸 𝑒 −5 𝑡 = 5

𝐿

𝑅 𝑉 𝐿 = 0

𝑡 = 5 𝐿

𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 1 − 𝑒

− 𝑅 𝐿

5 𝐿𝑅 ≅ 𝐸

17

Anulando la tensión de alimentación resulta :

Integrando ambos miembros :

Aplicando antilogaritmo se llega a :

Aplicando Kirchoff se tiene :

0 = 𝑉 𝑅 + 𝑉 𝐿

𝑉 𝑅 = 𝑖 . 𝑅

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡

E R

L

VR

VL

i

𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡 = − 𝑖 . 𝑅

−1

𝑖.𝑅 𝑑𝑖 =

1

𝐿 𝑑𝑡

−1

𝑅

1

𝑖 𝑑𝑖

𝑖

𝑖0

= 1

𝐿 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑡

0

𝑖

𝑖 0

− 1

𝑅 ln 𝑖 =

1

𝐿 𝑡

− 1

𝑅 ln 𝑖 − ln 𝑖0 =

1

𝐿 𝑡 − 0

− 1

𝑅 ln

𝑖

𝑖0 =

1

𝐿 𝑡

ln 𝑖

𝑖0 =

− 𝑅

𝐿 𝑡

𝑖

𝑖0 = 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡 𝑖 = 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

18

𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

La caída de tensión en la resistencia está dada por: = .

La caída de tensión en la bobina está dada por:

Cuando se cierra la llave , t = 0 , la tensión en ambos elementos es :

Cuando ha transcurrido un tiempo igual a la constante de tiempo del circuito

resulta:

𝑉 𝑅 = 𝑅 . 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑑 𝑖0 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡

𝑑𝑡 𝑉 𝐿 = 𝐿 𝑖0 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝑡 − 𝑅

𝐿

𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

0 = − 𝐸 𝑒 0 𝑡 = 0 𝑉 𝐿 = − 𝐸

𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒 − 𝑅 𝐿

0 = 𝐸 . 1 𝑡 = 0 𝑉 𝑅 = 𝐸

𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

𝐿𝑅 = − 𝐸 𝑒 −1 𝑡 =

𝐿

𝑅 𝑉 𝐿 = − 0,37 𝐸

𝑡 = 𝐿

𝑅 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒

− 𝑅 𝐿

𝐿𝑅 = 𝐸 . 0,632

𝑉 𝐿 = − 𝑅 𝑖0 𝑒 − 𝑅 𝐿

𝑡

19

Cuando ha transcurrido un tiempo igual a 5 constantes de tiempo del circuito

resulta:

Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen

muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos

(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto

respecto al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y

𝑉 𝐿 = − 𝐸 𝑒 −𝑅 𝐿

5 𝐿𝑅 = − 𝐸 𝑒 −5 𝑡 = 5

𝐿

𝑅 𝑉 𝐿 = 0

𝑡 = 5 𝐿

𝑅 𝑉 𝑅 = 0 𝑉 𝑅 = 𝐸 𝑒

− 𝑅

𝐿 5

𝐿

𝑅 = 𝐸 𝑒 −5

𝑉

𝑡

𝑽𝑹

𝑬

𝑽𝑳

CARGA DESCARGA

20

para otras aplicaciones. En el caso de los circuitos integradores, su

aplicación es fundamental cuando se trata de filtrar ruidos o señales no

adecuadas o de lograr valores medios de alguna tensión en particular.

7.1.6 Resumen

En esta sección se considera el efecto en circuitos R-C y R-L al aplicar una

tensión de corriente continua mediante un interruptor, la misma se comporta

como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la

misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.

Cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una resistencia, la

respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la fuente que lo

aplica.

Al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con una resistencia y un

capacitor, la tensión en el capacitor seguirá una respuesta exponencial

creciente. En cambio al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con

una resistencia y una inductancia, la corriente en la inductancia seguirá la

respuesta exponencial creciente.

En ambos casos se definen constantes de tiempo en segundo, dados por

que es el valor en alcanzar el 63,2% de la tensión final (en el capacitor) o la

corriente final (en la inductancia).

7.2 Circuitos derivadores e integradores.

Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen

muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos

𝜏 = 𝑅. C ( para circuito RC ) 𝜏 = 𝐿

𝑅 ( para circuito RL )

21

(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto respecto

al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y para otras

aplicaciones.

En el caso de los circuitos integradores, su aplicación es fundamental cuando

se trata de filtrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de

alguna tensión en particular.

El Circuito derivador realiza la operación matemática de derivación, de modo

que la salida de este circuito es proporcional a la derivada en el tiempo

de la señal de entrada. En otras palabras, la salida es proporcional a la

velocidad de variación de la señal de entrada.

Teniendo en cuenta lo visto anteriormente, y variando la constante de tiempo

con respecto al semiperíodo, se podrán realizar las operaciones de integrar y

derivar, ya sea con RC o RL. El análisis de estas aplicaciones se realizará

exclusivamente con la combinación de RC.

Ello debido a que se fabrica una gran variedad de capacitores prácticamente

con dieléctricos perfectos. En cambio, las inductancias comerciales son muy

limitadas y poseen, aunque pequeña, la resistencia del arrollamiento, además

son más caras que los capacitores.

Cuando se integra o deriva una función rectangular, el resultado obtenido es el

que se expone en la siguiente figura. En ella se puede observar que la

integración matemática es el valor medio de dicha función. Se exponen la

integral y derivada matemáticas de la misma y la integral y derivada

electrónica de una tensión equivalente a la función.

22

𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑥

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

x

𝑑 𝑓 𝑥

𝑑𝑥

𝑥

Integral y derivada matemática

Integral y derivada electrónica

𝑦 = 𝑓 𝑡

𝑡

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑡

𝑑 𝑓 𝑡

𝑑𝑡

𝑡

23

Se aprecia que la aproximación electrónica es bastante cercana a la

matemática. Lo que si debe tenerse en cuenta es que el valor de la derivada

desde el punto de vista matemático para la función que crece desde cero al

máximo o decrece a cero, (flancos ascendentes o descendentes), es que lo

hace en un tiempo cero. Por ello, la derivada será infinito positivo o infinito

negativo, lo que electrónicamente no puede conseguirse, ya que existe un

cierto tiempo de crecimiento y decrecimiento para los flancos ascendentes y

descendentes de las señales eléctricas. Al tiempo que transcurre desde que la

señal toma una amplitud del 10 % al 90 % de su máxima amplitud se lo

denomina “ tiempo de crecimiento ” y por el contrario al tiempo que va desde

un 90 % a un 10 % de su amplitud se lo denomina “ tiempo de decrecimiento ”

Por ello, la derivada adquirirá la tensión aplicada, tanto para la parte

ascendente como descendente en forma no instantánea. No obstante lo

vertido, la aproximación es suficientemente buena para la mayoría de las

aplicaciones. Otra condición que se debe tener en cuenta es que

electrónicamente, a partir de un mismo circuito RC, cambiando la constante

de tiempo se puede obtener un buen integrador (tensión sobre C) o un buen

90 %

10 %

Tiempo de

crecimiento

Tiempo de

decrecimiento

24

derivador (tensión sobre R) , pero no ambos simultáneamente. Esta premisa,

se produce por la constante de tiempo , que para el caso del integrador con

RC debe ser de varias veces el semiperíodo de la señal a integrar, por lo que la

caída en R se aleja de un buen derivador. Caso contrario, con muy pequeña

respecto al semiperíodo, la integral se aleja, pero es un buen diferenciador.

7.2.1 Integradores

En la figura se ha representado un circuito cuya función será integrar. Para que

ello se cumpla, la constante de tiempo debe ser varias veces mayor que el

semiperíodo de la señal a integrar.

Un valor apropiado es que sea al menos 10 veces mayor. Con ello se logra

que la carga del capacitor alcance un valor muy pequeño y lo haga en la zona

aproximadamente lineal de la exponencial de carga.

En un principio la carga del capacitor es cero y al cargarse en un tiempo muy

corto respecto a la constante de tiempo adquiere muy poca carga.

𝐸

𝑖 𝑒𝑅 = 𝑅 . 𝑖

𝐶 𝑒𝐶 = 1

𝐶 𝑖 𝑑𝑡

𝑅 𝑇

2

𝑇

25

Tomando la descarga del capacitor ( en ausencia de tensión ) y sabiendo que

ahora el capacitor está cargado con 0,95 V se llega a

Al aplicar nuevamente la tensión ahora el capacitor ya ha adquirido una carga

de 0,86 V con la que se comienza a cargar nuevamente llegando a 1,73 V.

Luego se descarga llegando a 1,57 V y así sucesivamente.

𝑉 𝐶 = 𝐸 1 − 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑡

𝐸 = 10 𝑉

𝑅 = 500 Ω

𝐶 = 10 𝜇𝑓

𝑓 = 1000 𝐻𝑧 𝑇 = 1 𝑚𝑠𝑒𝑔 𝑇

2 = 0,5 𝑚𝑠𝑒𝑔

𝑅 𝐶 = 5 𝑚𝑠𝑒𝑔

𝑉 𝐶 = 10 1 − 𝑒 − 1 5

0,5 = 0,95 𝑉

10 𝑉

0,95 𝑉

𝑉 𝐶 = 0,95 𝑒 − 1 5

0,5 = 0,86 𝑉

𝑉 𝐶 = 𝐸 𝑒 − 1 𝑅 𝐶

𝑡

𝐸 = 0,95 𝑉

𝑅 = 500 Ω

𝐶 = 10 𝜇𝑓

𝑓 = 1000 𝐻𝑧 𝑇

2 = 0,5 𝑚𝑠𝑒𝑔

𝑅 𝐶 = 5 𝑚𝑠𝑒𝑔

10 𝑉

0,95 𝑉

0,86 𝑉

26

En la siguiente figura ha graficado el comportamiento de la tensión en la

resistencia R y en el capacitor C. En los primeros ciclos, cuando C está

descargado, comienza a cargarse y su valor va aumentando hasta alcanzar la

zona en la que se estabiliza.

Realmente, la tensión adquirida representa la energía media almacenada en el

capacitor, proporcional a la señal de entrada, y por ello equivalente a la

integral. Recordando entonces, por Kirchoff, la suma de la caída en el

capacitor “ ” más la de la resistencia “ ” debe ser igual a la entrada E, lo

10 𝑉

0,95 𝑉 0,86 𝑉 1,73 𝑉

1,57 𝑉

2,37 𝑉

. . .

. .

. . .

. .

. . .

. .

𝐸

𝐸𝐶

𝐸𝑅

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎 + 𝑏 = 𝐸 𝑐 + 𝑑 = 0

27

que gráficamente se observa y se materializa para la zona estable, donde la

suma de + = valor máximo de la señal y la suma de + = 0 valor cero

de dicha señal.

Por otro lado, de acuerdo a lo expresado en párrafos anteriores, este circuito

es un buen integrador pero no serviría como derivador. Otra premisa

importante, es que para cualquier función repetitiva, independientemente de la

forma que posea, se puede obtener su integral con bastante aproximación.

Finalmente, cabe acotar que también se produce una disminución de la señal

de salida, pero ello se compensa, cuando la aplicación así lo requiera,

utilizando un circuito operacional integrador esquematizado tal como se

observa en la figura. En ella se puede observar, tanto la resistencia como el

capacitor.

En el caso de los circuitos integradores, su aplicación es fundamental cuando

se trata de filtrar ruidos o señales no adecuadas o de lograr valores medios de

alguna tensión en particular.

7.2.2 Derivadores

En la próxima figura se ha esquematizado el mismo circuito del ítem anterior,

ahora se utilizará para realizar la función matemática de derivar. La exigencia

para que efectivamente se realice la derivación, es que ahora la constante de

tiempo debe ser varias veces menor que el semiperíodo de la señal a derivar.

𝑓 𝑡

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑅

𝐶

𝐴𝑂

28

Un valor apropiado es que sea al menos 10 veces menor que el semiperíodo.

Con ello se logra que el capacitor se cargue y descargue rápidamente.

Se ha graficado en la figura el comportamiento de la tensión en R y en C.

Nótese que la derivada es la caída en la resistencia, ya que al inicio del impulso

ascendente, el capacitor es un cortocircuito y toda la caída se produce en R,

luego se comienza a cargar C y la corriente disminuye en forma exponencial,

produciendo en R la derivada. Por otro lado y por Kirchoff, E= eC + eR , lo que

se observa gráficamente en la misma figura.

𝐶

𝑅

𝐸

𝑖

𝑒𝑅 = 𝑅 𝑑𝐸 𝑡

𝑑𝑡

𝑒𝐶 𝑇

2

𝑇

𝐸

𝐸𝐶

𝐸𝑅

29

Estos circuitos, R-C o R-L, para el caso de operar como derivadores, tienen

muchas aplicaciones, siendo una de ellas la necesidad de obtener pulsos

(señales en las cuales el semiperíodo positivo o negativo es muy corto

respecto al negativo o positivo), adecuados para accionar circuitos digitales y

para otras aplicaciones.

El análisis de lo visto indica que el valor máximo positivo de la derivada es la

tensión aplicada, y el mínimo, la misma tensión pero negativa. No se debe

descartar que en este caso también para otras señales, puede la derivada

disminuir su valor, por ello y cuando la aplicación así lo requiera, también se

puede utilizar un amplificador operacional como diferenciador para mejorar y

acercarse más a la derivada matemática. En la próxima figura se expone el

esquema circuital necesario para esta aplicación.

También se debe destacar que se pueden realizar derivadas de orden superior

si se conectan en cascada circuitos derivadores.

7.2.3 Preguntas de Autoevaluación

4) ¿Cuál es la constante de tiempo en un circuito R-C?

5) ¿Cuál es la constante de tiempo en un circuito R-L?

𝑅

𝑓 𝑡

𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡

𝐶

𝐴𝑂

30

6) ¿Se puede obtener un circuito que integre y derive la señal de entrada

al mismo tiempo? ¿Por qué?

7) ¿En qué elemento se encuentra la derivada en un circuito R-C?

8) ¿En qué elemento se encuentra la integral en un circuito R-C?

9) ¿En qué elemento se encuentra la derivada en un circuito R-L?

10) ¿En qué elemento se encuentra la integral en un circuito R-L?

11) ¿Desde qué valor se considera una buena aproximación para

relacionar la constante de tiempo con el semiperiodo en un circuito

derivador o integrador?

7.2.4 Resumen

En esta sección se considera el efecto en circuitos R-C y R-L al aplicar una

tensión de corriente continua mediante un interruptor, la misma se comporta

como si se aplicara una tensión en forma de pulso o escalón ascendente. De la

misma forma, al desconectar el circuito se produce un escalón descendente.

Cuando se aplica un escalón ascendente o descendente a una resistencia, la

respuesta (corriente o caída de tensión) sigue fielmente a la fuente que lo

aplica. Al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con una resistencia y

un capacitor, la tensión en el capacitor seguirá una respuesta exponencial

creciente. En cambio al aplicar el escalón ascendente a un circuito serie con

una resistencia y una inductancia, la corriente en la inductancia seguirá la

respuesta exponencial creciente.

En ambos casos se definen constantes de tiempo, en segundo dados por

para un circuito resistivo capacitivo y ⁄ para un circuito resistivo inductivo.

Es el tiempo en que el valor alcanza el 63,2% de la tensión final (en el

capacitor) o la corriente final (en la inductancia).

31

7.3 Series de Fourier

La forma de onda de la tensión de cualquier señal periódica alterna simple es

puramente senoidal o sinusoidal. Por ello se denomina armónica. Cualquier

otra señal que se aparte de ella, no es armónica, seguramente producida para

alguna aplicación específica, como el barrido del osciloscopio o cualquier otra

forma de onda que no es senoidal, como así también distorsiones que se

producen a las señales senoidales para diferentes aplicaciones o circuitos.

Por ello el conocimiento y análisis de las funciones armónicas en forma

matemática es muy sencillo, ya que su identificación está perfectamente

determinada. Basta como ejemplo que cuando se posee una corriente alterna

armónica la misma queda identificada fijando su valor instantáneo:

ó

y su frecuencia “ f ” , como así también su valor máximo y su valor eficaz.

Cabe citar aquí también que la función coseno también es armónica y su

diferencia con la seno es que están desfasadas 90º. Ahora bien, para distintas

funciones no armónicas, pero periódicas, como por ejemplo una función

rectangular, el problema se complica y su desarrollo y aplicación en forma

matemática es muy difícil. Por ello, el investigador y matemático francés Jean

Baptiste Joseph Fourier desarrolló varias herramientas, entre las cuales se

analizará la que corresponde a series de Fourier trigonométricas, que permite

un estudio de funciones no armónicas en forma simplificada. Esta forma de

análisis responde a que se pueden aplicar funciones trigonométricas

superpuestas y se apoya en el principio de superposición. Es una herramienta

para predecir la respuesta de un circuito lineal a cualquier entrada en forma de

sinusoides. Posee la capacidad de expresar una señal arbitraria como

superposición de senoides ó cosenoides. Por ello, parte de la premisa que

cualquier función no armónica, se puede determinar como una suma de senos

y cosenos representadas por sus armónicos pares e impares. Así entonces, se

𝑒 = 𝐸 𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑖 = 𝐼 𝑚á𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡

32

puede definir: que el teorema que se relaciona con esta serie afirma: que una

función periódica f(t) se puede escribir en la forma:

en la cual es la frecuencia angular fundamental y 0 es la componente de

corriente continua de la señal considerada. Los términos 1 + 1

es la componente fundamental.

Por otro lado, los términos: 2 2 , . . . , y 2 2 ,

, son las componentes armónicas; y 2 , 3 ,.. ; 2 , 3 , . . . ,

son las amplitudes de esas armónicas y son inversamente proporcionales a

ellas (recíprocas). En otras palabras: si la fundamental o primera armónica es

1, la segunda es 1

2 ; la tercera

1

3 , la cuarta

1

4 , etc.....

También, la serie se puede escribir en forma generalizada como:

7.3.1 Definición de armónicas

Para la interpretación de esta herramienta matemática, primero se definirá el

significado de las armónicas. Una armónica es una onda senoidal pura, cuya

frecuencia es un múltiplo entero de la fundamental.

Se entiende por fundamental a la frecuencia de la señal NO SINUSOIDAL que

se desea estudiar. En otras palabras, por ejemplo si se dispone de una onda

cuadrada de 100 Hz, la primera armónica o fundamental es de 100 Hz. Las

armónicas múltiplos poseen frecuencias superiores en un número exacto de

veces a la fundamental. Es decir que la segunda armónica es doble de la

fundamental y la tercera es tres veces la frecuencia de la fundamental, etc.

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 cos𝑤𝑡 + 𝑎2 cos 2𝑤𝑡 + … . . + 𝑏1 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + 𝑏2 𝑠𝑒𝑛 2𝑤𝑡 + … . .

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤𝑡 + 𝑏𝑛 sen 𝑛𝑤𝑡

∞

𝑛=1

∞

𝑛=1

33

2da armónica

Resultante

Fundamental

t

Fundamental

3ra armónica

Resultante

t

Fundamental

3ra armónica

5ta armónica

Resultante

t

(a) (b) (c)

Por ello se puede definir a las armónicas de orden par (o simplemente

armónicas pares) como múltiplos pares de la frecuencia fundamental así:

segunda, cuarta, sexta, etc, mientras que las armónicas de orden impar

(simplemente impares) son múltiplo impares de la fundamental: tercera,

quinta, séptima, etc.

Las ondas senoidales componentes de una señal no senoidal o compleja

(cuadrada, triangular, etc.), constituyen el contenido de armónicas de dicha

señal analizada. El estudio de estas ondas complejas en término de su

contenido en armónicas, o componentes senoidales, recibe el nombre de

análisis armónico mediante las series trigonométricas de Fourier.

Para interpretar mejor lo anterior, si se agrega cualquier armónica de orden

par a una senoidal, da origen a una resultante, cuya forma difiere radicalmente

de la senoidal. En la próxima figura (a) se muestra la forma resultante de una

onda que contiene a la fundamental y su segunda armónica. Se observa que

esta resultante se aproxima a una diente de sierra invertida. En la figura (b),

se han superpuesto la fundamental y la tercera armónica, y en la figura (c) se

ha realizado la suma de la fundamental con la impar 3ra y 5ta.

34

Para este caso, debe observarse que la resultante se comienza a parecer a una

función rectangular.

Por otro lado, es importante expresar que la superposición se realiza también

teniendo en cuenta las amplitudes de las armónicas, relacionadas con la

amplitud de la fundamental. Refiriéndose a las series de Fourier, ello está

indicado para cada armónica en los términos y que son los coeficientes o

amplitudes de cada una de ellas, que se relacionan en forma recíproca a la

amplitud de la fundamental como se expresó anteriormente.

De acuerdo a estos ejemplos, se puede comenzar a comprender lo poderosa

que es esta herramienta matemática. A continuación, como ejemplos se

escribirán las series trigonométricas de las señales de tensión cuadradas y

diente de sierra. La serie para la función cuadrada se escribe así:

en la cual: el primer término

2 es la componente de C.C. y los términos

2

, ... son las amplitudes de cada armónica impar representadas por la

fundamental, y las armónicas impares: 3 ,.....

En la figura que se ve a continuación (a), señal cuadrada, se ha representado

la resultante de superponer varias armónicas impares, es decir que solamente

está constituida por señales senos cuyo valor de armónica es impar, los

coeficientes pares de la función seno resultan todos ceros como así también los

coeficientes pares e impares de la función coseno.

𝑒 = 𝐸𝑚

2 +

2 𝐸𝑚

𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 −

2 𝐸𝑚

3 𝜋 𝑠𝑒𝑛 3𝑤𝑡 +

2 𝐸𝑚

5 𝜋 𝑠𝑒𝑛 5𝑤𝑡 − . . . . . ..

35

Respecto a la señal diente de sierra, figura (b), el análisis armónico indica que

la misma es la suma de los infinitos términos pares e impares de la función

seno (los coeficientes de la función coseno pares e impares dan todos ceros).

En este caso no es la diente de sierra con polaridad normal tal como se utiliza

en el barrido de los osciloscopios. Para que posea polaridad normal la serie

debe comenzar con la función seno con polaridad invertida, o sea −

Ello da como resultado que la serie se escriba como:

Los coeficientes de la serie coseno dan todos cero en el análisis armónico.

Esta función se esquematiza tal como se puede observar en la próxima figura.

Este dibujo se ha realizado solamente con pocas armónicas, pero aplicando el

total de las mismas, la resultante se aproxima con bastante fidelidad a la

diente de sierra. Debe recordarse también, para todas las series, que para

armónicas mayores a la décima, su intervención comienza a ser cada vez

menor. No obstante ello, esta herramienta permite obtener conclusiones que

se deben tener en cuenta y que explican el comportamiento de los circuitos R-

C y R-L a una función impulso.

𝑒 = 𝐸𝑚

2 +

2 𝐸𝑚

𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 −

2 𝐸𝑚

3 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑤𝑡 + . . . . . +

2 𝐸𝑚

𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑤𝑡

𝑎 𝑏

36

Volt

4A/

3A/

2A/

A/

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicas

A

+

0

V

olt

Diente de sierra

Volt

Onda cuadrada

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Armónicas

4A/

3A/

2A/

A/

A

+

0

V

olt

7.3.3 Gráficos de series de Fourier

Una forma muy cómoda de expresar las series de Fourier, es mediante los

gráficos o espectros de frecuencia de las funciones a las cuales se aplica. Así

entonces, se construirán los espectros de frecuencia para la señal cuadrada y

diente de sierra., mostrados en la figura siguiente.

37

Para la onda cuadrada, en la serie de Fourier, representa a la

fundamental. La magnitud o el valor máximo de la primera armónica, es 4

,

donde “A” es la amplitud máxima de un semiciclo, y “” en radianes representa

a 180º del período completo. Si por ejemplo la onda posee una frecuencia de 1

KHz, la primera armónica es una onda seno de 1 KHz con 4

Volt de

amplitud; la tercera armónica es de 3 KHz con una amplitud de 4 3

Volt,

verificándose de forma similar que la quinta armónica es de 5 KHz y tiene una

amplitud de 4

5 Volt. Estos valores se cumplen solamente para una función

cuadrada perfecta.

En cuanto a la diente de sierra, recordemos que la serie tiene armónicos pares

e impares. Aquí nuevamente la magnitud de la fundamental es 4

Volt. La

magnitud de la segunda armónica es ahora 4

2 Volt, de la tercera armónica

es 4

3 Volt y así sucesivamente. Note para ambos casos que las amplitudes

disminuyen gradualmente. Este comportamiento es típico de las ondas que

tienen características agudas de crecimiento o caída, tales como la cuadrada y

la diente de sierra.

7.3.4 Preguntas de Autoevaluación

12) ¿Qué significa la primera armónica de una señal?

13) ¿La señal cuadrada tiene armónicas pares e impares?

𝑎1 cos𝑤𝑡

38

14) ¿La señal triangular tiene armónicas pares e impares?

15) ¿Cómo se relacionan las amplitudes de las armónicas con respecto a

la fundamental?

16) ¿Por qué en un capacitor la reactancia capacitiva (oposición al paso

de C.A.) es cero?

7.3.5 Problemas.

5) Si la constante de tiempo de un circuito R-C es de 10S y es igual

al semiperíodo de la señal de entrada cuyo valor es de 10 Volt. Cuánto

valdrá en el primer semiciclo el valor de tensión en el capacitor?

6) Cuánto será el valor medio de una señal rectangular cuya tensión

máxima es de 15V ?

7) Se desea integrar una señal armónica cuya frecuencia es de 1 KHz.

Cuál será el valor de la constante de tiempo = RC. Por otro lado se

conoce el valor del capacitor que se utiliza el cual es de 0,1F. Cuánto

valdrá R?

8) Se posee un derivador en el cual su constante de tiempo es de 1mS

(un milisegundo). Qué frecuencia deberá tener la señal a derivar?

9) Se desea construir un integrador con una inductancia y resistencia. La

señal de entrada es de 500Hz. Se conoce el valor de R=100 K.

Determine el valor de L.

39

10) Se posee un buen integrador para una señal de 1 MHz.

Determine la constante de tiempo necesaria que debe tener la

constante de tiempo τ.

11) Se posee un derivador para una señal de 50 KHz. Determine la

constante tiempo τ.

12) Si la constante de tiempo τ de un circuito R-C es de 10μS y es igual

al semiperíodo de la señal de entrada cuyo valor es de 10 Volt.

¿Cuánto valdrá en el primer semiciclo el valor de tensión en el

capacitor?

13) Cuánto será el valor medio de una señal rectangular cuya

tensión máxima es de 15V?

7.3.6 Resumem.

El estudio de la respuesta de los componentes pasivos a una función impulso,

que se genera mediante un generador de funciones, permite encontrar

importantes consecuencias en componentes tales como capacitores e

inductancias. Debe recordarse que un capacitor acumula energía potencial y la

inductancia energía cinética. Esto último produce que el capacitor en serie con

una resistencia, o una inductancia también en serie con una resistencia,

pueda conformar la onda entrante de cualquier forma y periódica, y por ello

realizar con bastante aproximación la función matemática de integrar o

derivar. Para el análisis se utilizarán exclusivamente señales cuadradas porque

sus resultados son más explícitos.

La derivada matemática de una función cuadrada pura son pulsos de amplitud

infinita tanto en sentido positivo ( flanco ascendente de la señal ), como

negativo ( flanco descendente ). De la misma forma, la integral produce el

40

valor medio de dicha función representado por una recta. Electrónicamente, los

flancos ascendentes y descendentes de la señal producida por un generador se

realizan en un tiempo finito. Debido a esta consecuencia, la derivación e

integración electrónicas se produce con una aproximación bastante exacta.

Recordemos que = 1

∫ . Esta última expresión indica que la tensión en

los bornes del capacitor , es la integral.

Así entonces, si se combina un condensador en serie con una resistencia, se

tendrá una cierta constante de tiempo = RC. Relacionando esta última con el

semiperíodo de la señal periódica, se podrá integrar o derivar, pero no ambas

a la vez. Si la constante de tiempo es mayor que el semiperíodo, se obtendrá

entre los bornes del capacitor una tensión que representa la energía media del

mismo, produciendo un buen integrador, y si la constante tiempo es menor, se

obtendrá una tensión sobre los bornes de la resistencia, obteniéndose un buen

derivador. Para integrar, es necesario que sea al menos 10 veces mayor que

el semiperíodo = 10

2. Para derivar será necesario que sea al menos 10

veces menor al semiperíodo =

20 . De la misma forma, una combinación en

serie L- R, también integrará o derivará pero ahora la integral se obtiene en

los bornes de la resistencia y la derivada en los bornes de la inductancia;

recuerde =

.

En general, se pueden obtener con cualquiera de los circuitos derivadas de

mayor orden conectando circuitos en serie y además se puede integrar o

derivar a cualquier función periódica. Por otro lado, la mejor interpretación de

las señales rectangulares se puede realizar estudiando estas últimas mediante

las series de Fourier. Esta herramienta matemática permite estudiar cualquier

función no armónica, tal como una cuadrada o diente de sierra, mediante suma

de armónicas seno y coseno, descomponiendo a la señal bajo estudio en la

fundamental y sus armónicos.

Así entonces, la cuadrada es la suma de los infinitos términos “seno” impares,

y la diente sierra de los infinitos términos pares e impares “- seno”. Esto último

41

permite interpretar porqué cuando se aplica el impulso ascendente, la tensión

en los bornes del capacitor es cero. Ello es producto de la reactancia capacitiva

= 1

2 = 0 , ya que “ f ” es prácticamente infinito, y por ello la caída de

tensión es cero. En cambio en la inductancia = 2 = , por lo que la

caída de tensión es máxima (no circula corriente).

7.4 Bibliografía

[1] Knowlton, A. E.; “Manual Estándar del Ingeniero Electricista”;

Editorial LABOR; 1956.

[2] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos

Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 1”;

Editorial Alfaomega ; 2009.

[3] Pueyo, Héctor, Marco, Carlos y QUEIRO, Santiago; “Circuitos

Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales 3ra Ed. Tomo 2”;

Editorial Alfaomega ; 2011.

[4] Terman, Frederick E.; “Ingeniería en Radio”; Editorial ARBÓ;

1952.

[5] PACKMAN, Emilio; “Mediciones Eléctricas”; Editorial ARBO;

1972.

[6] CASTEJÓN, Agustín y SANTAMARIA, Germán; “Tecnología

Eléctrica”- Editorial Mc GRAW HILL; 1993.

[7] SANJURJO NAVARRO, Rafael; “Maquinas Eléctricas”; Editorial

Mc GRAW HILL; 1989.

[8] POLIMENI, Héctor G.; “Documentos de Cátedra”; 2009.