Respuesta temporal de sistemas - isa.cie.uva.esmaria/temporal.pdf · ISA-UVA 4 Respuesta temporal...

Respuesta temporal de sistemas

Prof. Mª Jesús de la FuenteISA-UVA

ISA-UVA 2

Conceptos

• Respuesta temporal de sistemas de primer orden

• Respuesta temporal de sistemas de segundo orden

• Introducción a la identificación de sistemas• Respuesta de sistemas de orden superior• Nociones de estabilidad

ISA-UVA 3

Basado en modelos…

Análisis

Las características de la respuesta del sistema se deducen del modelo

Diseño

El proceso o el controlador se diseñan usando el modelo y las especificaciones

Control

El modelo se usa explícitamente en el controlador para el cálculo de la señal de control

ISA-UVA 4

Respuesta temporalSeñales normalizadas

2

3

1 Tiempo Transformada en s tiempo

Deducir las características de la respuesta en tiempo del sistema directamente de la función de transferencia G(s)

Identificación: inferir el modelo (G(s)) a partir de datos experimentales (datos de entrada u(t) y salida y(t)).

ISA-UVA 5

Sistemas de primer ordenq

h

F kh2

K k

h2A

qKhdt

hd

00 ==τ

Δ=Δ+Δτ

Función de transferencia:

1sK+τ

U(s) Y(s)

)t(Ku)t(ydt

)t(dy=+τ

Respuesta a una entrada salto en u(t) desde el equilibriot=0u=0

u(t)=u

ISA-UVA 6

Respuesta a un salto en u

1sK+τ

U(s) Y(s))t(Ku)t(y

dt)t(dy

=+τ

( ) ( )

[ ]

)e1(Ku)t(y

1s1L

s1LKu)s(YL)t(y);

1s1

s1(Ku)s(Y

Ku;Ku1s paraKu ;Ku0s para

)1s(ss

)1s(s)1s(

1sssu

1sK

su

1sK)s(Y

t

111

τ−

−−−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ+

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

τ+−=

−=βτβ−=τ⇒τ−==ατα=τ⇒=

τ+β

+τ+τ+α

=τ+

β+

α=

τ+τ

=+τ

=

Ku)e1(KueKut

t

=−+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ττ τ

−τ−

Comprobación:

ISA-UVA 7

Respuesta a un salto en u

1sK+τ

U(s) Y(s))t(Ku)t(y

dt)t(dy

=+τ

)e1(Ku)t(yt

τ−

−=

t

y(t)

Kuτ > 0 constante de tiempo

Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada

Ganancia = K = Ku/u

u

ISA-UVA 8

Interpretación en s

1sK+τ

U(s) Y(s))e1(Ku)t(y

tτ

−

−=

t

y(t)

KuPlano s

x

polo en la parte real izquierda del plano s

τ s+1=0

polo = -1/τ

Si τ > 0 Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada

ISA-UVA 9

Estabilidad Entrada-Salida BIBO

G(s)U(s) Y(s)

Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada

inestable

estable

ISA-UVA 10

Interpretación en s (τ<0)

1sK+τ

U(s) Y(s))e1(Ku)t(y

tτ

−

−=

t

y(t)

Plano s

x

polo en la parte real derecha del plano s

τ s+1=0

polo = -1/τpositivo

Si τ < 0 Respuesta inestable

ISA-UVA 11

Otros tipos de entradas

( ) ( )

[ ]

τ−

−−

τ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡τ+τ

==

τ+τ

=+τ

=

t

11

eKu)t(y

1s1LKu)s(YL)t(y

u1s

Ku1s

K)s(Y

1sK+τ

U(s) Y(s)Ejemplo: Impulso

La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada

ISA-UVA 12

Tiempo de asentamiento

t

y(t)

t95

0.95Ku

Plano s

x1s

K+τ

U(s) Y(s)

τ1 < τ2

x-1/τ1 -1/τ2

)e1(Ku)t(yt

τ−

−=

τ=−== τ

−

3t)e1(KuKu95.0)t(y

95

t

95

95

ISA-UVA 13

Constante de tiempo

1sK+τ

U(s) Y(s)

Ku632.0)e1(Ku)(y)e1(Ku)t(y

1

t

=−=τ

−=−

τ−

t

y(t)

Ku

t = τ

0.63Ku

τ=

τ=

=

τ−

Kudt

)t(yd

)e(Kudt

)t(yd

0t

t

tKuτ

Derivada en el origen

SysQuake

resp

ISA-UVA 14

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo

ISA-UVA 15

Identificación t

y(t)

t

y(t)

Δy

t = τ

0.63 Δy

Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de primer orden

Estimación de parámetros:

K = Δy/ Δu

τ dos métodos

Δuu(t)

ISA-UVA 16

Sistemas de segundo orden

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

121

2221

1211

2

1

1413

1211

2

1

xx

ccy

ubbbb

xx

aaaa

tdxdtd

xd

CAi(s)

F(s) CB(s)111.0s666.0s

12 ++

111.0s666.0s24.0s09.0

2 +++−

A ⇒ B

F

CA CB

CAi

AReactor isotérmico

2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ωU(s) Y(s)

ISA-UVA 17


A ⇒ B

CB

CAi

2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ωU(s) Y(s)

)t(uK)t(ydt

)t(dy2dt

)t(yd 2n

2nn2

2

ω=ω+δω+

Respuesta a una entrada salto en u(t)

t=0u=0

u(t)=u K ganancia

δ amortiguamiento

ωn frecuencia propia no amortiguada

ISA-UVA 18


2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ωU(s) Y(s)

2nn

n

2nn

2n

2n

2n

2nn

2

1j

conjugadas complejas raices 2 1 si negativas reales raices 2 1 si

0 si

12

442s

0s2s

δ−ω±δω−

<δ≥δ

>ω

−δω±δω−=ω−ωδ±δω−

=

=ω+δω+Polos:

ISA-UVA 19

( )( )

121Kub)-Kua/(a a)(-b)(-bKabu -bs para

121Ku)ba/(Kub)ba)(a(Kabuas para

KuabKabu 0s para)bs)(as(s

)as(s)bs)(as(s

)bs(s)bs)(as(s)bs)(as(

bsasssu

bsasKab)s(Y

2

2

2

2

−δ−δ+δ−

=−=γ+γ=⇒=

−δ−δ−δ−

=−=β+−−β=⇒−=

=αα=⇒=++

+γ+

+++β

+++++α

=

=+γ

++β

+α

=++

=

Respuesta a un salto en u, δ >1

)bs)(as(Kab

++

U(s) Y(s)1b

1a2

nn

2nn

−δω+δω=

−δω−δω=

ISA-UVA 20

[ ]

creciente monótonafunción Ku)(y0)0(y

)e12

1e12

11(Kuee)t(y

bsL

asL

sL)s(YL)t(y

);bsass

()s(Y

bt2

2at

2

2btat

1111

=∞=−δ

−δ+δ−−

−δ−δ−δ−

+=γ+β+α=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+γ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+β

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡α

==

+γ

++β

+α

=

−−−−

−−−−


)bs)(as(Kab

++

U(s) Y(s)

1b

1a2

nn

2nn

−δω+δω=

−δω−δω=)1s

b1)(1s

a1(

K

++

2 constantes de tiempo 1/a, 1/b

ISA-UVA 21

)e12

1e12

11(Kuee)t(y bt2

2at

2

2btat −−−−

−δ−δ+δ−

−−δ

−δ−δ−+=γ+β+α=


)bs)(as(Kab

++

U(s) Y(s))1s

b1)(1s

a1(

K

++

t

y(t)Ku

u

Respuesta estable, sin retardo con cambio de concavidad y sobreamortiguada

Ganancia = K = Ku/u

1b

1a2

nn

2nn

−δω+δω=

−δω−δω=

ISA-UVA 22


Plano s

x

polos en la parte real izquierda del plano s

t

y(t)Ku

u

)bs)(as(Kab

++

U(s) Y(s)

x-a-b

btat ee)t(y −− γ+β+α=El polo mas a la derecha domina en la desaparición del transitorio

SysQuake

respxP. Dominantesconcavidad

ISA-UVA 23

Identificación t

y(t)

t

y(t)

Δy

Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de segundo orden con raices reales


K = Δy/ Δu

constantes de tiempo difíciles de estimar

Δuu(t)

t

ISA-UVA 24

Aproximacióny(t)

t

La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden mas un retardo

)bs)(as(Kab

++

1sKe ds

+τ

−

d

ISA-UVA 25

Identificación con un salto en u

Kes

ds−

+τ 1

Κ= Δy/Δu

y

t

u

tΔu

Δy

d τ

tg de máxima pendiente

valor estacionario

ISA-UVA 26

Identificación de FOPDy(t)

t

d

1sKe ds

+τ

−

)e1(Ku)t(ydt

τ+−

−=

Evaluando la respuesta para instantes de tiempo t1 =d+τ y t2 = d+τ/3 :

Ku283.0)e1(Ku)t(yKu632.0)e1(Ku)t(y

3/1

1

=−=

=−=−

−

t1t2

Tomando medidas de t1 =d+τ y t2 = d+τ/3 pueden calcularse d y τ

ISA-UVA 27

Identificación con un salto en u

τ = 1.5 (t2 - t1)d = t2 - τ

Κ= Δy/Δu

Kes

ds−

+τ 1

y

t

u

tΔu

Δy0.632Δy0.283Δy

t2t1

Problema03

ISA-UVA 28

Cambiador de calorTest en lazo abierto

ISA-UVA 29

Cambiador de calor

K = (135.4-140)/10 = -0.46

d = 0.75 τ = 1.4

ISA-UVA 30

( ) ( )

-Ku Kua2aa4KuuKa as para

KuKua)a(uKaas paraKuauKa 0s para

)as(ss

)as(s)as(s

)as(s)as(

asasssu

asKa)s(Y

2222n

2

22

222

2

22

2

=β−β+=⇒=

δω=−=γ−γ=⇒−=

=αα=⇒=

+γ

++

+β+

++α

=

=+γ

++β

+α

=+

=

Respuesta a un salto en u, δ =1

2

2

)as(Ka+

U(s) Y(s)

na δω−=

ISA-UVA 31

[ ]

Ku)(y0)0(y)tee1(Ku

tee)t(y

)as(L

asL

sL

)s(YL)t(y

);)as(ass

()s(Y

atn

at

atat

2111

1

2

=∞=δω+−=

=γ+β+α=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+γ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+β

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡α

=

==

+γ

++β

+α

=

−−

−−

−−−

−


2

2

)as(Ka+

U(s) Y(s)

na δω−=

y(t)Ku

u

Función monótona creciente

ISA-UVA 32

[ ]

δδ−

=φ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−==

ω+δω+ω

=

δω−

2

2n

t2

2nn

2

2n

1arctg

)t1(sene1

11Ku)s(Y)t(y

su

s2sK)s(Y

n1-L

Respuesta a un salto en u, δ <1

U(s) Y(s)2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ω

t

y(t)

Si δωn>0 Respuesta estable, sin retardo y subamortiguada

ISA-UVA 33wnt

ISA-UVA 34

:oscilación de Frecuencia

K Ku/u :GananciaKu;)y(0;y(0)

1arctg)t1(sene1

11Ku)t(y2

2n

t2

n

==∞=δ

δ−=φ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−= δω−

Respuesta a un salto en u, δ <1U(s) Y(s)

2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ω

t

y(t)

Ku2nd 1 δ−ω=ω

ISA-UVA 35

[ ]2n

2n

t2n

tn2

tt

22

nt

2

1)t1cos(e)t1(sene1

Kutd

)t(yd

0td

)t(yd

1arctg;)t1(sene1

11Ku)t(y

nn

p

n

δ−ωφ+δ−ω+φ+δ−ωδω−δ−

−=

=

δδ−

=φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−=

δω−δω−

=

δω−

Tiempo de pico

t

y(t)

Kutp = Tiempo que transcurre hasta el primer máximo tp

ISA-UVA 36

[ ]

π±=δ−ω

φ=δ

δ−=φ+δ−ω

δ−ωφ+δ−ω=φ+δ−ωδω

=

δ−ωφ+δ−ω+φ+δ−ωδω−δ−

−=

δω−δω−

=

δω−δω−

nt1

)(tg1)t1(tg

1)t1cos(e)t1(sene

0td

)t(yd

1)t1cos(e)t1(sene1

Kutd

)t(yd

p2

n

2

p2

n

2np

2n

tp

2n

tn

tt

2n

2n

t2n

tn2

pnpn

p

nn

Tiempo de pico

t

y(t)Ku

tpd2

np 1

tωπ

=δ−ω

π=

tg

φ−φ−

=φ+πφ+π

cossen

)cos()(sen

ISA-UVA 37

212

12

12p

2n

pp

p

22

nt

2

1e1100

)(sene1100)(sene

1100M

1t%en 100

KuKu)t(y

M

1arctg)t1(sene1

11Ku)t(y

2

22n

n

n

δ−δ−

=

=φδ−

=φ+πδ−

−=

δ−ωπ

=−

=

δδ−

=φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−=

δ−

πδ−

δ−

πδ−

δ−ω

πδω−

δω−

Sobrepico

t

y(t)

Ku%en e100M 21

pδ−

πδ−

= tp

ISA-UVA 38

05.0)t1(sene1

1 que talmax t

)t1(sene1

11Ku0.95Ku

1arctg)t1(sene1

11Ku)t(y

ss2

nt

2ss

ss2

nt

2

22

nt

2

ssn

ssn

n

=φ+δ−ωδ−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−=

δδ−

=φ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−=

δω−

δω−

δω−

Tiempo de asentamiento

t

y(t)

Kutss

%5±Aproximadamente:

nnss

53tδωδω

= L

Ecuación implícita

ISA-UVA 39

Interpretación en sU(s) Y(s)

2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ω

t

y(t)

Plano sx

polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo

x

2nn 1j δ−ω±δω−Polos:

nδω−

2n 1 δ−ω

ISA-UVA 40


t

y(t)

Plano sx

polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo

x

2nn 1j δ−ω±δω−Polos:

nδω−

2n 1 δ−ω

2nd 1 δ−ω=ω

d2

np 1

tωπ

=δ−ω

π=

%en e100M 21p

δ−

πδ−

=

nnss

53tδωδω

= L

β

21)(tg

δ−δ

=β

resp

ISA-UVA 41

inestable sistema 0 si

)t1(sene1

11Ku)t(y

n

2n

t2

n

<δω

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ φ+δ−ω

δ−−= δω−


U(s) Y(s)2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ω t

y(t)Plano s

x

xnδω−

2n 1 δ−ω

ISA-UVA 42

Identificación t

Si la respuesta desde el equilibrio a un salto Δuen u(t) es como la figura ⇒ sistema de segundo orden con raicescomplejas conjugadas


K = Δy/ Δu

Δuu(t)

t

y(t)

tp

Δy

d2

np 1

tωπ

=δ−ω

π=

%en e100M 21p

δ−

πδ−

=2nn

2

2n

s2sK

ω+δω+ω

Problema56

ISA-UVA 43

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+ω−==

ω+ω

=

)2

t(sen1Ku)s(YL)t(y

su

sK)s(Y

n1-

2n

2

2n


U(s) Y(s)2n

2

2n

sK

ω+ω

t

y(t)Como δ = 0 la respuesta no se amortigua nunca. Respuesta en el límite de la estabilidad

Ku

ISA-UVA 44


Plano sx

x

njω+

t

y(t)

Ku

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ π

+ω−== )2

t(sen1Ku)s(YL)t(y n1-

n2n

22n

2

2n js0s:polos

sK

ω±=⇒=ω+ω+

ω

njω−

Polos sobre el eje imaginario: límite de estabilidad SysQuakeresp

ISA-UVA 45

Polos en el origen: Integradores

( )

a/Ku-Ku2Ku2aKu

a a2a2Kau as paraa/KuaKauas para

KuaKau 0s para)as(s

s)as(s)as(

)as(s)as(s

assssu

sasKa)s(Y

22

2

2

2

22

2

=α⇒++α=γ+β+α=⇒=

=γγ=⇒−=

=ββ=⇒=+

γ+

++β

+++α

=

=+γ

+β

+α

=+

=

)as(sKa+

U(s) Y(s)

Respuesta a un salto u en la entrada

ISA-UVA 46


( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

+++=

+=

−−

−−−−

atat

12

111

2

ea1t

a1Kuet)t(y

asL

sL

sL)]s(Y[L)t(y

assssu

sasKa)s(Y

γβα

γβα

γβα

)as(sKa+

U(s) Y(s)

t

y(t)

Plano sx

SysQuakerespx

ISA-UVA 47


( )[ ]at1 e1Ku)]s(Y[)t(y

usas

Ka)s(Y

−− −==

+=

L

)as(sKa+

U(s) Y(s)

Plano sx

Entrada: Impulso u

t

y(t)

Ku

Límite de estabilidad: depende de la entrada

ISA-UVA 48

Sistemas de orden superior

G(s)U(s) Y(s)

[ ]

...)1(sene...teee)t(y

...s2s

...)bs(bsass

)s(YL)t(y

....);s2s

...)bs(bsass

()s(Y

2n

tbtbtat

2nn

21

21111

1

2nn

22

n +φ+δ−ω++υ+γ+β+α=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+δω+

σ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+υ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+γ

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+β

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡α

=

==

+ω+δω+

σ++

+υ

++γ

++β

+α

=

δω−−−−

−−−−−

−

LLLLL

La estabilidad y tipos de respuesta la determinan los polos. Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la estabilidad

respx

ISA-UVA 49

Efecto de ceros sobre la respuesta

)s(sGc1)s(G)1s

c1)(s(G +=+

La respuesta a la misma entrada del sistema con un cero en s = -c, se obtiene sumando a la respuesta del sistema sin cero su derivada multiplicada por un factor 1/c

ISA-UVA 50


y(t)

u

td)t(yd

Con c > 0, se adelanta la respuesta.

No produce oscilaciones si la respuesta sin cero no la tiene, pero puede producir sobrepico

+1/c Plano s

x

cero en la parte real izquierda del plano s

x-a-b-c

ISA-UVA 51


y(t)

u

td)t(yd

Con c < 0, se produce una respuesta inversa inicialmente (fase no-mínima)

+1/c Plano s

x

cero en la parte real derecha del plano s

x-a-b -c

ISA-UVA 52

Interpretación de los ceros

U(s) Y(s))1as(K1

+

)1bs(K2

+

+

-

)s(U)1bs)(1as(

)KK(s)aKbK()s(U)1bs)(1as(

)1as(K)1bs(K)s(U)1bs(

K)1as(

K)s(Y 21212121

++−+−

=++

+−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

=

Se genera un cero como resultado de dos efectos diferentes de la misma causa. Si los efectos son de sentidos contrarios puede aparecer un cero inestable

respcero

ISA-UVA 53

Cambiador de calor

ISA-UVA 54

Reactor Isotermo

CAi(s)

F(s) CB(s)111.0s666.0s

12 ++

111.0s666.0s24.0s09.0

2 +++−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ

Δ

AiB

A

B

A

cF

009.0333.009.0

cc

33.03033.0

tdcdtdcd

A ⇒ B

F

CA CB

CAi

A

-0.3330 + 0.0105i

-0.3330 - 0.0105i

ISA-UVA 55

Matlab

ISA-UVA 56

Cstation

ISA-UVA 57

Dos depositos

h1

h2

q

F

LT

Punto de operación:q=17.8 l/m u= 70 % F=2 l/m h20= 4 mA1=0.2 dm2 A1=0.2 dm2

u

F(s)

U(s) H2(s)

% m)1s14.1)(1s01.1(

126.0++

1s01.1505.0

+−

ISA-UVA 58

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo

ISA-UVA 59

Metodología de la identificación

Conocimiento previo y diseño de experimentos

Análisis y tratamiento de datos

Selección del tipo de modelo

Estimación de parámetros

Validación del modelo

Toma de datos experimentales

ISA-UVA 60

Identificación por respuesta salto

h2

u

F

LT

)s(F1s99.0

5.0)s(F1s

K)s(H

)s(U1s64.1

e127.0)s(U1s

eK)s(H

f

f2

s71.0

q

dsq

2

+−

=+τ

=

+=

+τ=

−−

Dos experimentos:•Cambio en u con F cte.•Cambio en F con u cte.Ajuste con funciones deprimer orden

ISA-UVA 61

Mínimos cuadrados

[ ]VN

e tN

y t y tt

N

mt

N

= = −= =

∑ ∑1 12

1

2

1

( ) ( ( ) ( , )θ

Criterio de estimación: Dado un conjunto de datos experimentales u(t), y(t), buscar los parámetros del modelo, θ, que minimizan la función de coste V :

Procesou

v

Modeloy

y

m

e(t)

m

ISA-UVA 62

Cstation

ISA-UVA 63

Cambiador de calor (LS)

ISA-UVA 64

Cambiador de calor (LS)

ISA-UVA 65

Reactor QuímicoEstudio simplificado: Se consideran ctes. las variables relacionadas con el producto: F, Ti, CaiSolo se estudia la temperatura en el reactor

ReactorT

TT

Refrigerante

MV: caudal de refrigeranteCV: Temperatura del reactorDV: temperatura de entrada

del refrigerante

Fr

Tri

Tr

ISA-UVA 66

Reactor Químico - Temperatura

ISA-UVA 67

Modelo reducido, con conversión x

Vd cd t

Fc Fc Vke cAAi A

ERT

A= − − −

V cd Td t

F c T F c T Vke c H UA T Te e i e

ERT

A rρ ρ ρ= − + − −− Δ ( )

V cd Td t

F c T F c T UA T Tr r err

r r e ri r r er r rrρ ρ ρ= − + −( )

Conversión x x = cB/cAi cA = cAi(1- x )

ISA-UVA 68

Modelo reducido, linealización

)x1(kexVF

tdxd RT

E−+−=

−

)TT(UAH)x1(cVkeTcFTcFtdTdcV rAi

RTE

eiee −−Δ−+ρ−ρ=ρ−

T)x1(eRTkEx)ke

VF(

tdxd

0RT

E

20

RTE

0 00 Δ−+Δ+−=Δ −−

Taxatdxd

1211 Δ+Δ=Δ

⇒

re

ee

0Ai20

RTE

0

e

AiRT

E

T)cV

UA(

T)cV

UAc

H)x1(cRT

kEeVF(x)

cHcke(

tdTd 00

Δρ

+

+Δρ

−ρ

Δ−+−+Δ

ρΔ−

=Δ

−−

r232221 TaTaxatdTd

Δ+Δ+Δ=Δ

⇒

ISA-UVA 69

Modelo reducido, linealización)TT(UATcFTcF

tdTdcV rrerrrrierr

rerrr r

−+ρ−ρ=ρ

rir

0rr

r

0r0rir

r

0r

errrerrr

r T)VF(F)

VTT(T)

VF

cVUA(T)

cVUA(

tdTd

Δ+Δ−

+Δ+ρ

−Δρ

=Δ

ri32r31r3332r TbFbTaTa

tdTd

Δ+Δ+Δ+Δ=Δ

⇒

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

ri

r

r

ri

r

3232r3332

232221

1211

r

TF

00TTx

010T

TF

bb0000

TTx

aa0aaa0aa

TTx

&

&

&

ISA-UVA 70


Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

u

Para calcular los parámetros del modelo (U, F0, E,….) necesitamos hacer medidas del proceso. Usaremos datos tomados de Cstation en algunos puntos estacionarios, y los sustituiremos en el modelo para calcular los parámetros desconocidos, pero este procedimiento no permite calcular todos los parámetros.

ISA-UVA 71

Punto de operación

Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

T = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %

T = 88.6 ºC x = 0.881 Tr = 71.8 ºCFr = 30. l/m Tri = 30 ºC u = 22.2 %

Otro:

u

T = 33.6 ºC x = 0.102 Tr = 32.2 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 30 ºC u = 42 %Otro:

ISA-UVA 72

Estimación de parámetros)x1(VkeFx0 RT

E−−=

−

)TT(c

UA)TT(F0 rer

rrirr

−ρ

+−=


)6.7592(c

UA)6.7550(8.470rer

−ρ

+−=

)6.7592(c

UAc

Hc)902.01(Vke)92T(F0ee

Ai)2.27392(R

E

i −ρ

−ρ

Δ−+−=

+−

)902.01(VkeF902.00 )2.27392(RE

−−= +−

)TT(c

UAc

Hc)x1(Vke)TT(F0 ree

AiRT

E

i −ρ

−ρ

Δ−+−=

−

)902.01ln()2.27392(R

EVkFln902.0ln −+

+−=+⇒

5.74c

UAerr

=ρ

⇒

ISA-UVA 73

Estimación de parámetrosT = 88.8 ºC x = 0.882 Tr = 72 ºCFr = 56.8 l/m Tri = 50 ºC u = 52 %


)902.01ln()2.27392(R

EVkFln902.0ln −+

+−=+

)882.01ln()2.2738.88(R

EVkFln882.0ln −+

+−=+

⇒012-6.46e

VkF

8598.9RE

=

=

)6.7592(c

UAc

Hc)902.01(Vke)92T(F0ee

Ai)2.27392(R

E

i −ρ

−ρ

Δ−+−=

+−

)728.88(c

UAc

Hc)882.01(Vke)8.88T(F0ee

Ai)2.2738.88(R

E

i −ρ

−ρ

Δ−+−=

+−

54.25T

011-1.460eVkc

UA

114.783c

Hc

i

e

e

Ai

=

=ρ

=ρ

Δ

T = 24.5 ºC x = 0.047 Tr = 21.9 ºCFr = 100 l/m Tri = 20 ºC u = 100 %

Mas otra en el tercer punto

ISA-UVA 74


Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

u

012-6.46eVkF

8598.9RE

=

=

54.25T

011-1.460eVkc

UA

114.783c

Hc

i

e

e

Ai

=

=ρ

=ρ

Δ

5.74c

UAerr

=ρ

Suponiendo:

V = Vr = 68.8941 lF = 34.4471 l/min ρce = 4180 j/k l ρrcer = 4000 j/k l

Resulta:

k = 7.7399e+010 cAiΔH = 479792.94 UA = 311410

Reactor Matlab

ISA-UVA 75

Modelo linealizado

Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

uT = 92 ºC x = 0.902 Tr = 75.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 50 ºC u = 42 %

En el punto de operación:

rir

0rr

r

0r0rir

r

0r

errrerrr

r T)VF(F)

VTT(T)

VF

cVUA(T)

cVUA(

tdTd

Δ+Δ−

+Δ+ρ

−Δρ

=Δ

reee

0Ai20

RTE

0

e

AiRT

E

T)cV

UA(T)cV

UAc

H)x1(cRT

kEeVF

(x)c

Hcke(tdTd 00

Δρ

+Δρ

−ρ

Δ−+−+Δ

ρΔ−

=Δ

−−

T)x1(eRTkEx)ke

VF(

tdxd

0RT

E

20

RTE

0 00 Δ−+Δ+−=Δ −−

Sustituyendo en:

ISA-UVA 76

Matriz de transferencia

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

=Δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔ

ri

r

r

ri

r

rr

TF

00TTx

010T

TF

694.037.00000

TTx

77.1081.1013.1707.12.5280029.01.5

TTx

&

&

&

[ ] BAsICG(s) 1−−=

5.566 s11.45s5.17s2.142 - s 0.4199 - s 10 8.882

23

216-

+++

5.566 s11.45s5.17s4 s 0.784 s 10 8.882-

23

216-

+++++Tri(s)

Fr(s) T(s)?

u

ISA-UVA 77

5.566 s 11.45s5.17s2.142-s0.4199-

23 +++

5.566 s 11.45s5.17s4s0.784

23 ++++Tri(s)

Fr(s) T(s)

Modelo en s Reactor

roots(denominador)-2.2571 + 1.8435i-2.2571 - 1.8435i -0.6554

Ceros Ganancia

-5.1 (Tri) 0.718

- 5.1 (Fr) - 0.385

Punto de operación estable

ISA-UVA 78

Respuesta salto

Fr

1

roots(d2)-2.2571 + 1.8435i-2.2571 - 1.8435i -0.6554

Polo dominante

T

ISA-UVA 79

Otro punto de operación

Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

uT = 74.9 ºC x = 0.747 Tr = 58.9 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 34 ºC u = 42 %


Tri(s)

Fr(s) T(s)0.6078 s1.516s2.37s

1.527 s 0.784 23 +++

+

0.6078 s1.516s2.37s0.7954 s 0.4084-

23 +++−

ISA-UVA 80

Otro punto de operación

0.007578s0.4339s2.173 s0.4975 s 0.359-

23 −++−

Tri(s)

Fr(s) T(s)0.007578s0.4339s2.173 s

1.086 s 0.784 23 −++

+

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-1.5

-1

-0.5

0Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Fr

1

TPolos:-1.6834 -0.3432 + 0.4933i-0.3432 - 0.4933i

ISA-UVA 81

Un punto de operación inestable

Reactor

TT

Fr

Tri

Tr

T, x

uT = 68.1 ºC x = 0.651 Tr = 54.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 32.7 ºC u = 42 %


0.007578 s0.4339s2.173s0.4975 s 0.359-

23 −++−

Tri(s)

Fr(s) T(s)0.007578 s0.4339s2.173s

1.086 s 0.784 23 −++

+

ISA-UVA 82

Un punto de operación inestableT = 68.1 ºC x = 0.651 Tr = 54.6 ºCFr = 47.8 l/m Tri = 32.7 ºC u = 42 %

0.007578s0.4339s2.173 s0.4975 s 0.359-

23 −++−

Tri(s)

Fr(s) T(s)0.007578s0.4339s2.173 s

1.086 s 0.784 23 −++

+

Polos: -1.9487-0.24080.0161

ISA-UVA 83

Bloques en serie

G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)

G (s) Y(s)U(s)

G(s) = G2(s)G1(s)

ISA-UVA 84

G(s)R(s)U(s)

+-

Y(s)W(s)

Sistemas realimentados

E(s)

[ ][ ]

)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y

)s(W)s(R)s(G)s(R)s(G1)s(Y)s(Y)s(W)s(R)s(G)s(E)s(R)s(G)s(U)s(G)s(Y

+=

=+−===

ISA-UVA 85

G(s)R(s)U(s)

+-

Y(s)W(s)

Sistemas realimentados

E(s)

[ ][ ]

)s(W)s(H)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y

)s(W)s(R)s(G)s(H)s(R)s(G1)s(Y)s(Y)s(H)s(W)s(R)s(G)s(E)s(R)s(G)s(U)s(G)s(Y

+=

=+−===

H(s)

ISA-UVA 86

G(s)RU(s)

+-

Y(s)W(s)

Perturbaciones

E(s)

[ ][ ]

)s(V)s(H)s(R)s(G1

)s(D)s(W)s(H)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y

)s(V)s(D)s(W)s(R)s(G)s(H)s(R)s(G1)s(Y)s(V)s(D)s(H)s(Y)s(W)s(R)s(G

)s(V)s(D)s(E)s(R)s(G)s(V)s(D)s(U)s(G)s(Y

++

+=

+=++−=

=+=+=

D(s)V(s)

H(s)

ISA-UVA 87

G(s)U(s) %

V(s)D(s)

Y(s) ºCR(s)

W(s) E(s)+ -

ºC → mAmA→ ºC

Transmisor-Regulador

mA

Si el regulador usa la calibración del transmisor, y la dinámica del transmisor es rápida frente a la del proceso, puede despreciarse la función de transferencia en la realimentación.

ISA-UVA 88

G(s)R(s)U(s)

+-

Y(s)W(s)

Lazo cerrado

E(s)

)s(V)s(R)s(G1

)s(D)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y+

++

=

D(s)V(s)

Expresión fundamental para analizar o diseñar

ISA-UVA 89

G(s)R(s)U(s)

+-

Y(s)W(s)

Lazo cerrado- Señal de control

E(s)

)s(V)s(R)s(G1

)s(D)s(R)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(U

)]s(V)s(D)s(W)[s(R)]s(G)s(R1)[s(U)]s(V)s(D)s(U)s(G)s(W)[s(R)]s(Y)s(W)[s(R)s(E)s(R)s(U

++

+=

−=+=−−=−==

D(s)V(s)

ISA-UVA 90

G(s)R(s)U(s)

+-

Y(s)W(s)

Respuesta en lazo cerrado

E(s)

)s(V)s(R)s(G1

)s(D)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y+

++

=

D(s)V(s)

La respuesta temporal ante cambios en w(t) ó v(t) puede calcularse con la F.T. en lazo cerrado:

ISA-UVA 91

KpU(s)

+-

Y(s)W(s)

Ejemplo

E(s)

)s(V)1s)(KK1s(

)1s(K)s(WKK1s

KK

)s(VK

1sK1

1sK

)s(WK

1sK1

K1s

K

)s(VK)s(G1

)s(D)s(WK)s(G1

K)s(G)s(Y

dp

d

p

p

p

d

d

p

p

pp

p

+τ++τ+τ

+++τ

=

=

+τ+

+τ+

+τ+

+τ=+

++

=

V(s)

1sK+τ

1sK

d

d

+τ

ISA-UVA 92

Ecuación característica

)s(V)s(R)s(G1

)s(D)s(W)s(R)s(G1

)s(R)s(G)s(Y+

++

=

El tipo de respuesta y la estabilidad en lazo cerrado vienen determinadas por los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, que son las raíces de la ecuación característica:

1+G(s)R(s) = 0

Cambiando el regulador R(s) podemos modificar la forma de la respuesta

ISA-UVA 93

Ceros en lazo cerrado)s(V

)s(R)s(G1)s(D)s(W

)s(R)s(G1)s(R)s(G)s(Y

++

+=

)s(Num)s(Den)s(D)s(Den

)s(Den)s(Num1

)s(D)s(R)s(G1

)s(D

)s(Num)s(Den)s(Num

)s(Den)s(Num1

)s(Den)s(Num

)s(R)s(G1)s(R)s(G

)s(Den)s(Num)s(R)s(G

+=

+=

+

+=

+=

+

= Los ceros en lazo abierto aparecen también como ceros en lazo cerrado

ISA-UVA 94

Ceros inestables

y(t) yc(t)

)s(Num)s(Den)s(D)s(Den

)s(Den)s(Num1

)s(D)s(R)s(G1

)s(D

)s(Num)s(Den)s(Num

)s(Den)s(Num1

)s(Den)s(Num

)s(R)s(G1)s(R)s(G

)s(Den)s(Num)s(R)s(G

+=

+=

+

+=

+=

+

=

Si la respuesta en lazo abierto presenta fase no minima, tambien la presentara en lazo cerrado independientemente de R(s)

ISA-UVA 95

Reactor Químico

ISA-UVA 96

Reactor Químico

ISA-UVA 97

Reactor Químico

Para Kp = -4 los polos en lazo cerrado son: -1.5810 + 2.028i -1.5810 – 2.028i -2.709

El cero es: -5.1

La respuesta en salto ante un cambio de 2 grados en el SP

Respuesta temporal de sistemas - isa.cie.uva.esmaria/temporal.pdf · ISA-UVA 4 Respuesta temporal...

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