Ctedra: Probabilidad y Estadstica Profesor: Lic. Oscar Ral Zapata JTP: Lic. Andrea Roldn ATP: Ing. Valeria Cordero Taller N 4 Momentos, sesgo y curtosis. Ciclo Lectivo: 2014

Ejercicio N 1

Hallar a travs del clculo de momentos correspondientes, para el conjunto 2, 3, 7, 8, 10:1. La media aritmtica.2. Desviacin estndar.3. Determinar sesgo (asimetra) y curtosis

Recordemos que, de la relacin entre los momentos naturales relativos de una variable () y los momentos relativos centrados () podemos calcular, lo que nos pide la consigna. Primero calculamos entonces la probabilidad para cada valor de variable (p(x)) = frecuencias relativas: f/n. A partir de p(x), podemos calcular los momentos naturales relativos de la variable:

1234

Xfp(x)x*p(x)x^2*p(x)x^3*p(x)x^4*p(x)

210,20,40,81,63,2

310,20,61,85,416,2

710,21,49,868,6480,2

810,21,612,8102,4819,2

1010,22202002000

51645,23783318,8

1. = 1= = 6 Recordemos que el smbolo de la media muestral es y el smbolo que representa la media de una poblacin, es .

La media aritmtica, coincide con el momento natural relativo de orden 1

2.

La varianza coincide con el momento relativo centrado de orden 2, podemos calcularla entonces con los momentos naturales de orden 1 y 2:

= 45,2- 9,2

Como la desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza:

= =

3. Sabemos que el coeficiente de Fisher o coeficiente momento de asimetra: = 378 3 * 6 * 45,2 + 2 * (6)3 = - 3,6

El coeficiente de simetra de Fisher, o coeficiente momento de asimetra es igual a 0,129.

Sabemos que el coeficiente de curtosis de Fisher o coeficiente momento de curtosis:

=

3318,8 4 * 6 * 378 + 6 * (6)2 *45,2 - 3 * (6)4 = 122

El coeficiente de curtosis de Fisher, o coeficiente momento de curtosis es igual a 1,4414.

4. Interpretar los resultados obtenidos.

El valor promedio o media aritmtica de la distribucin es 6, con una desviacin tpica de 3,03, lo que significa que la distribucin es bastante dispersa.Respecto de la asimetra o sesgo, podemos concluir que la distribucin tiene asimetra negativa, o sesgo negativo; es decir, posee concentracin de datos a la derecha. En este caso que cada valor tiene igual frecuencia absoluta (1), la asimetra est dada, por el mayor peso de los valores 7, 8 y 10. Recordemos que la asimetra se toma con respecto a los valores centrales de la variable (Media).

0 2 3 6 7 8 10 El valor de curtosis 1,4414, al ser menor a 3, representa una distribucin platicrtica, es decir aplastada o achatada.

Ejercicio N 2Se realiza una estadstica, calculndose el puntaje global obtenido en pruebas de calidad. La distribucin de frecuencias agrupadas, es la siguiente:PuntajesFrecuencias

4,58

5,510

6.515

7.530

8.520

9.515

a. Hallar el segundo Coeficiente de sesgo de Pearson y el ndice de Yule.

Segundo coeficiente de asimetra de Pearson:

=

=

ndice de asimetra de Yule:

b. Calcular el coeficiente momento de curtosis.

Calculamos los momentos naturales y relativos centrados:

PuntajesFrecuenciasp(x)x*p(x)x^2*p(x)x^3*p(x)x^4*p(x)

4,580,081632650,367346941,653061227,4387755133,4744898

5,5100,102040820,561224493,0867346916,977040893,3737245

6,5150,153061220,994897966,4668367342,0344388273,223852

7,5300,306122452,2959183717,2193878129,145408968,590561

8,5200,204081631,7346938814,744898125,3316331065,31888

9,5150,153061221,4540816313,8137755131,2308671246,69324

9817,4081632756,9846939452,1581633680,67474

=

3680,67 4 * 7,4081 * 452,158 + 6 * (7,4081)2 *56,9846 - 3 * (7,4081)4 = 10,5167

c. Graficar la distribucin e interpretar los resultados obtenidos.

De los resultados obtenidos al calcular ambos coeficientes de asimetra, podemos concluir que la distribucin es asimtrica negativa, es decir tiene un sesgo del lado izquierdo y concentra sus datos a la derecha de la media. El segundo coeficiente de Pearson es ms adecuado que el ndice de Yule, ste ltimo no es tan exacto para calcular asimetra en grado leve, como en el caso de esta variable. En trminos de la variable podemos decir que existe mayor cantidad de puntajes superiores a 7,40 puntos.El coeficiente de curtosis de Fisher, indica que la distribucin es levemente aplanada, lo cual muestra una variable, bastante dispersa.

Ejercicio N 3

A la finalizacin del curso "Informtica e Internet" se realiz un examen tipo test a los 300 alumnos obtenindose la siguiente tabla referente al nmero de preguntas acertadas:N preguntas acertadasN de alumnos

0-910

10-1420

15-1960

20-24100

25-2970

30-3430

35-3910

a. Hallar el coeficiente momento de sesgo y graficar la distribucin.

=

14208,10 3 * 22,4166 * 547,541 + 2 * (22,4166)3 = - 85,01157

Atencin: Recuerden que para graficar, hay que ajustar las frecuencias, cuando el mdulo de los intervalos no es igual en todos ellos.

b. Concluye sobre la interpretacin de los resultados.

La distribucin de esta variable, tiene un leve sesgo a la izquierda, esto quiere decir, que el nmero de respuestas acertadas de la mayora, fue levemente superior a la media, (22,41 respuestas acertadas).

Ejercicio N 4

La siguiente tabla, registra la distribucin de acciones de una sociedad empresarial.Acciones0-4950-99100-149150-199200-249250-299300-349350-399400-449

Accionistas237262481914875

a- Hallar los momentos de sesgo y curtosis.Construyo la tabla:12 3 4

AccionesAcciones (x)Accionistas (f)p(x) = frx*p(x) x^2*p(x) x^3*p(x) x^4*p(x)

04924,5230,089147292,1841085353,51065891311,0111432119,77301

509974,5720,2790697720,79069771548,90698115393,578596820,948

100149124,5620,2403100829,91860473724,86628463745,85257736358,54

150199174,5480,1860465132,46511635665,16279988570,907172505623,3

200249224,5190,0736434116,53294573711,64632833264,598187067902,3

250299274,5140,0542635714,89534884088,773261122368,26308090087

300349324,580,0310077510,06201553265,124031059532,75343818376,7

350399374,570,0271317810,16085273805,239341425062,13533685768,9

400449424,550,019379848,226744193492,252911482461,36629304846,9

n=2581145,23643429355,48267491710,442240837904

=

7491710,44 3 * 145,236434 * 29355,4826+ 2 * (145,236434)3 = 828378,43

El coeficiente de simetra de Fisher, o coeficiente momento de asimetra es igual a 1,1030926.

=

2240837904 4*145,236434*7491710,44 +6*(145,236434)2 *29355,4826 - 3* (145,236434)4 = 269018706

El coeficiente de curtosis de Fisher, o coeficiente momento de curtosis es igual a 3,94118.

b- Graficar convenientemente.

c- Analizar los resultados y concluir.

Podemos concluir que la distribucin es asimtrica positiva, es decir tiene un sesgo del lado derecho y concentra sus datos a la izquierda de la media. En trminos de la variable podemos decir que existe mayor cantidad de accionistas que poseen menos de 145 acciones. El coeficiente de curtosis de Fisher, indica que la distribucin es levemente puntiaguda, lo cual muestra una variable, cuyos datos, se encuentran bastante concentrados alrededor de la media.

Ejercicio N 5

A continuacin se presentan los dimetros en centmetros de una muestra de 30 engranajes:4.014.004.024.024.034.003.983.993.994.01

3.993.983.974.004.024.014.024.004.013.99

3.903.953.983.933.974.003.994.024.003.97

a- Agrupar los datos.

Para agrupar: calculamos:rango= 0,13N Sturges= 5,91 5 (podemos tomar 6 tambin, pero el mdulo me queda muy pequeo y de 3 decimales)Mdulo= 0,03

1 2 3 4

DimetrosDimetros =xfp(x)=frx*p(x)x^2*p(x)x^3*p(x)x^4*p(x)

3,93,933,91510,033333330,13050,51090752,000202867,83079421

3,933,963,94520,066666670,2631,0375354,0930755816,1471831

3,963,993,97560,20,7953,16012512,561496949,9319501

3,994,024,005200,666666672,6710,6933542,8268668171,521601

4,024,054,03510,033333330,13450,54270752,189824768,83594292

3013,99315,94462563,6714668254,267472

b- Calcular la media aritmtica.Por definicin: . = 1= = 3,993 cm. Recordemos que el smbolo de la media muestral es y el smbolo que representa la media de una poblacin, es .

La media aritmtica, coincide con el momento natural relativo de orden 1c- Calcular la desviacin estndar..

La varianza coincide con el momento relativo centrado de orden 2, podemos calcularla entonces con los momentos naturales de orden 1 y 2:

= 15,944625 - 0,000576cm2

Como la desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza:

= =

d- Cul es el dimetro correspondiente al 95 % de los engranajes?Como los datos estn agrupados, necesitamos calcular el percentil 95:

P95= )*0,03= 4,01925cm.e- Calcular los coeficientes de: asimetra de Yule Bowley y curtosis de la muestra.

Para el clculo del coeficiente de asimetra de Yule Bowley, necesitamos calcular los Cuartiles 1, 2 y 3.

Q1= OQ1= 30/4=7,5 )*0,03= 3,9645cm.

Q2= OQ2= 2*30/4=15 )*0,03= 3,996cm.

Q3= OQ3= 3*30/4=22,5 )*0,03= 4,0035cm.

= -0,61538 cm.

Curtosis: La consigna no especifica con cual ndice calcular. Se puede elegir.

=

254,267472 4*3,993 *63,6714668+6*(3,993)2 *15,944625- 3* (3,993)4 = 0,000001726

f- Realizar un anlisis de cada resultado y redactar las conclusiones correspondientes.

El dimetro promedio de los engranajes es cm. con una desviacin con respecto a esa media, de 0,024 cm.El 95% de los engranajes poseen un dimetro menor o igual a 4,01925 cm.De los resultados obtenidos al calcular el coeficiente de asimetra, podemos concluir que la distribucin es asimtrica negativa, es decir tiene un sesgo del lado izquierdo y concentra sus datos a la derecha de la media. En trminos de la variable podemos decir que existe mayor cantidad de dimetros superiores a 3,993 cm.El coeficiente de curtosis de Fisher, indica que la distribucin es leptocrtica, lo cual muestra una variable, con frecuencias concentradas cercanas a la media de la variable.

g- Graficar la distribucin.

Ejercicio N 6

A continuacin se presenta la distribucin de edades de los empleados de una empresa. Se conoce que la edad de jubilacin est dada por los 65 aos de edad.

EdadEmpleados

Ms de 18184

Ms de 25162

Ms de 35114

Ms de 4563

Ms de 5527

Primero necesitamos construir nuevamente la tabla con los intervalos y frecuencias correspondientes, la cual quedara de la siguiente manera. Observemos que los empleados son en este caso las frecuencias absolutas acumuladas, y estn presentadas en orden decreciente:

MduloEdadEdad (Xm)Fa fFa

71925221842222

10263530,51624870

10364540,511451121

10465550,56336157

10566560,52727184

n=184

a- Calcular la media aritmtica.

= = 40,57 aos

b- Calcular la desviacin estndar.

= =

c- Qu comportamiento tiene el 50% central de los datos?

Para calcular el orden de los cuartiles 1 y 3, necesitamos primero, recalcular las Frecuencias absolutas acumuladas, en orden creciente.Q1= OQ1= 184/4=46 )*10Q3= OQ3= 3*184/4=138 )*10=

d- Calcular los coeficientes: 2 coef. De asimetra de Pearson, Asimetra de excel y curtosis de la muestra.

Segundo coeficiente de asimetra de Pearson:

=

40,57 aos

Med = 39,8137255aos

= 0,06280219

El coeficiente de asimetra de Excel, slo lo utilizamos en datos no agrupados. En este caso, no podemos utilizarlo.

Coeficiente de curtosis:

El problema no especifica ndice. Puedo calcularlo con el Coeficiente de Kelley, deYule o el de Fisher.

Coeficiente de Curtosis de Kelley:

K=0 mesocrtica ; K>0 Leptocrtica; K1 Leptocrtica; K3 Leptocrtica;