Resolucion de ciertas ecuaciones diferenciales mediante ... Resolucion mediante cambios de variables...

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  • Tema 4

    Resolucion de ciertas ecuacionesdiferenciales mediante cambios devariables

    4.1 Introduccion

    Existen muchas ecuaciones diferenciales de primer orden que no son lineales ni de variables separa-bles, pero que mediante un adecuado cambio de funcion incognita, comunmente llamado cambiode variable, se pueden transformar en otra ecuacion diferencial que s es lineal o de variablesseparables. De esta forma podramos aplicarle todo lo visto en los dos temas anteriores a lanueva ecuacion diferencial y, posteriormente, deshaciendo el cambio de funcion incognita podramosobtener las soluciones de la ecuacion original. Aunque estos son los casos que vamos a tratar eneste tema, la idea del cambio de variable es mas general: conseguir transformar una ecuaciondiferencial dada en otra que sepamos resolver, de modo que exista una biyeccion conocida entrelas soluciones de ambas. As, resuelta la segunda ecuacion, podremos obtener las soluciones de laprimera deshaciendo el cambio.

    La idea que se aplica es analoga a la empleada en el calculo integral o calculo de primitivas,en la que se aplica un cambio de variable que transforma nuestra integral en otra inmediata o quesabemos tratar mediante un metodo ya conocido. Cuando se hace un cambio de variable para elcalculo de una primitiva

    f(x) dx en un intervalo I, consideramos una funcion h : J R derivable

    (usualmente h(y) "= 0 para cada y para que sea inyectiva y tenga sentido h1) y hacemos el cambiox = h(y) y calculamos la primitiva H(y) =

    f(h(y))h(y) dy en el intervalo J , suponiendo que

    esta sea mas facil. De esta forma calculamos una primitiva de f en I deshaciendo el cambio asy = h1(x) y sustituyendo en la expresion de H(y). As, F (x) = H(h1(x)) sera una primitiva def en I.

    Podramos llevar a cabo, inicialmente, un estudio teorico de los distintos tipos de cambios defuncion incognita que se pueden realizar en una EDO de primer orden x = f(t, x), pero preferimosabordar directamente distintos tipos de ecuaciones diferenciales y explicar en cada caso el cambioconcreto que se necesita en tal ecuacion. Mas adelante, en otros temas, veremos otros ejemplos. Eneste vamos a tratar cuatro tipo de ecuaciones diferenciales. Las dos primeras se van a transformaren ecuaciones de variables separables y las otras dos en ecuaciones lineales. El primer tipo quevamos a estudiar no suele recibir un nombre especial; las otras tres son conocidas como ecuaciones

    71

  • 72 Resolucion mediante cambios de variables

    homogeneas, ecuaciones de Bernoulli y ecuaciones de Ricatti. Estas ultimas presentan una proble-matica muy especial y un estudio mas profundo de ellas requiere conocimientos que quedan fuerade este curso.

    La idea a transmitir es que no sera necesario, en ningun caso, recordar formulas; simplemente,deberemos reconocer el tipo de ecuacion, conocer el cambio de funcion incognita a realizar y tenerla certeza de que, si no nos equivocamos en los calculos, nuestro problema se reducira a resolver unaecuacion de variables separables o una lineal (segun los casos). Una vez resuelta esta, obtendremoslas soluciones de la ecuacion original deshaciendo el cambio.

    4.2 Ecuaciones del tipo x(t) = (at+ bx(t) + c)

    En una ecuacion del tipo

    (4.1) x(t) = (at+ bx(t) + c

    )

    suponemos que a, b y c son constantes conocidas y s $ (s) es una funcion conocida. En formareducida escribimos la ecuacion como x = (at+ bx+ c). En los siguientes ejemplos indicamos, encada caso, la funcion .

    x = (t+ x+ 2)3 (s) = s3.

    x = sen2(t x) (s) = sen2 s.x = 1 + e(2t+x1) (s) = 1 + es .

    x = 3 + cos(2t+ 3x 5) (s) = 3 + cos s.x = (t+ x) arctan(t+ x) (s) = s arctan s.

    Puede comprobarse que ninguna de las ecuaciones planteadas es lineal ni de variables separables. Laconstante c puede ser nula, como sucede en el segundo y quinto ejemplos, pero no as las constantesa o b. Observese que si b = 0 la ecuacion resultante es del tipo: x(t) = g(t), cuyas soluciones sonlas primitivas de la funcion g y si a = 0 la ecuacion resultante es una ecuacion autonoma y, portanto, son casos que ya hemos estudiados.

    La forma de la ecuacion sugiere el cambio de funcion incognita

    (4.2) y(t) = at+ bx(t) + c

    Observese que de (4.2) se puede despejar sin problemas la funcion incognita x as:

    (4.3) x(t) = 1b(y(t) at c

    )

    Siempre que se haga un cambio de funcion incognita es importante confirmar que despues se puededeshacer el cambio, es decir escribir x(t) en funcion de y(t).

    Vamos a comprobar que el cambio de funcion (4.2) transforma la ecuacion (4.1) en una ecuacionde variables separables, mas concretamente autonoma; es decir, el problema de resolver (4.1) va aser equivalente a resolver una ecuacion autonoma.

    En efecto, supongamos que x : I R es una solucion de (4.1). Entonces, y : I R definidapor la expresion (4.2) es derivable en I y verifica

    y(t) = a+ bx(t) = a+ b(at+ bx(t) + c) = a+ b(y(t))

    Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

    Universidad de Malaga

  • 4.2. Ecuaciones del tipo x(t) = (at+ bx(t) + c) 73

    y as la nueva funcion incognita y es solucion de la ecuacion diferencial autonoma

    (4.4) y = a+ b(y) = h(y).

    Recprocamente, si y : I R es solucion de la ecuacion autonoma (4.4), deshaciendo el cambio, esdecir, considerando la funcion x : I R definida por (4.3), tenemos

    x(t) = 1b(y(t) a

    )= 1b

    (a+ b(y(t)) a

    )= (y(t)) = (at+ bx(t) + c),

    y as x es solucion en el intervalo I de la ecuacion original (4.1).

    En definitiva, hemos obtenido el siguiente resultado:

    Proposicion 4.1. x : I R es solucion de (4.1) si, y solo si, y : I R, definida por (4.2) essolucion de la ecuacion autonoma (4.4).

    De esta forma, se establece una correspondencia biunvoca entre las soluciones de la ecuaciondada y las soluciones de la ecuacion autonoma resultante. En consecuencia, encontrando todas lassoluciones de la ecuacion autonoma se determinan todas las soluciones de la ecuacion original (enel proceso no se pierde ninguna solucion).

    Como siempre, se sugiere recordar las menos formulas posibles, y mas aun cuando los calculosson simples, por lo que se recomienda que el procedimiento a seguir para resolver una ecuacioncomo (4.1) sea el siguiente:

    1. Reconocer el tipo de ecuacion (4.1) (a veces esto es lo que da mas problemas).

    2. Recordar el cambio de funcion incognita: y(t) = at+ bx(t) + c.

    3. Derivar la funcion y y, eliminando la funcion x, llegar a una ecuacion autonoma (se tiene lacerteza de que esto funciona).

    4. Resolver la ecuacion autonoma resultante.

    5. Determinar las soluciones de la ecuacion original (4.1) a partir de las expresiones obtenidasde las soluciones de la ecuacion autonoma, deshaciendo el cambio as: x(t) = 1b

    (y(t)atc

    ).

    Vamos a ilustrar este simple metodo con dos ejemplos. Que el desarrollo del problema sea maso menos largo solo estriba en la dificultad que presente la resolucion de la ecuacion autonoma.

    Ejemplo 4.1. Soluciones de la ecuacion diferencial x(t) = (9t x(t) + 2)2.

    Como se puede apreciar no es lineal ni de variables separables. En este caso la ecuacion es deltipo (4.1) donde (s) = s2.

    Segun lo visto anteriormente el cambio de funcion incognita y(t) = 9t x(t) + 2 debe trans-formar nuestra ecuacion diferencial inicial en una ecuacion diferencial autonoma. En efecto, bastacon derivar la funcion y para obtener y(t) = 9 x(t) = 9 (9t x(t) + 2)2 = 9 y2(t). De estaforma, el problema se reduce a resolver la ecuacion autonoma

    y = 9 y2.

  • 74 Resolucion mediante cambios de variables

    Esta tiene obviamente dos, y solamente dos, soluciones constantes, que son las definidas en R pory0(t) = 3 e y0 (t) = 3. Las demas soluciones de la autonoma, cuyas graficas no cortan a lasgraficas de las soluciones constantes, vienen dadas implcitamente por ecuaciones del tipo

    1

    9 y2 dy = t+K.

    Estamos en un caso muy parecido al de las ecuaciones logsticas, que tratamos en el tema ante-rior para un modelo de poblacion. Calculamos la primitiva que aparece en el primer miembro,descomponiendo 19y2 en fracciones simples

    1

    9 y2 =A

    3 y +B

    3 + y=

    3(A+B) + (AB)y9 y2 ,

    de donde {3(A+B) = 1

    AB = 0y, por tanto A = B = 16 . As,

    1

    9 y2 dy =1

    6

    (1

    3 y dy +

    1

    3 + ydy

    )=

    1

    6( log |3 y|+ log |3 + y|) = 1

    6log

    3 + y

    3 y

    .

    Por tanto, las soluciones referidas de la ecuacion autonoma vienen definidas implcitamente por

    log3 + y

    3 y

    = 6t+ 6K,

    lo que equivale a 3 + y

    3 y

    = Ce6t siendo C una constante positiva,

    y, por tanto, 3 + y

    3 y = Ce6t donde C "= 0.

    Despejando y de la ecuacion anterior obtenemos

    y =3Ce6t 31 + Ce6t

    .

    De esta forma, llegamos a las expresiones de las funciones derivables

    yC (t) =3(Ce6t 1)1 + Ce6t

    donde C "= 0.

    C ! "2

    C ! "2

    C ! 1

    y0!t" ! "3

    y0#!t" ! 3"3

    3

    Figura 4.1: Graficas de algunas soluciones de y = 9 y2 (las dos constantes y las correspondientesa C = 1 y C = 2).

    Apuntes de Ecuaciones Diferenciales IProf. Diego Gallardo Gomez

    Universidad de Malaga

  • 4.2. Ecuaciones del tipo x(t) = (at+ bx(t) + c) 75

    Observese que si admitimos en la expresion anterior el caso C = 0, para este se obtiene lasolucion constante y0(t) = 3, pero la expresion de y0(t) = 3 no se obtiene para ningun valorde C. Para C > 0 las soluciones estan definidas en R mientras que si C < 0 estan definidas enintervalos del tipo I = (, t0) e I = (t0 ,), donde t0 = 16 log(C). No vamos a entretenernosen el comportamiento de las soluciones en los extremos de sus intervalos de definicion, pero sepuede comprobar facilme