INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

Institución Universitaria adscrita a la Alcaldía de Medellín

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA DE TRABAJO INDEPENDIENTE

MATEMÁTICAS BÁSICAS

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS POR SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Elaborada por: Elizabeth Bedoya, Francisco Córdoba y Jorge Agudelo

JUSTIFICACIÓN

[http://iveatlan.blogspot.com/2007/09/sistema-de-

ecuaciones-lineales-con-dos.html]

Estaba un gavilán posado en la rama de un árbol.

Admirado de ver a las hermosas palomas volar, le

dijo a una de ellas: “Adiós mis cien palomas, que

bellas se ven”.

Una de ellas, llena de amabilidad, le dijo: disculpe

señor gavilán, no somos cien, pero con nosotras,

más nosotras, más la mitad de nosotras, más un

cuarto de nosotras más usted sí sumamos cien.

¿Dígame, señor gavilán, cuantas somos?

[http://www.scribd.com/doc/2437413/semanaciencia2 ]

Muchas situaciones o problemas que se dan no

solo en el campo de las Matemáticas sino también

en otras ramas del saber como la ingeniería, la

economía o inclusive las ciencias sociales pueden

modelarse mediante una ecuación o sistema de

ecuaciones que representan las condiciones o

restricciones de un problema en particular. En

esta guía se estudiaran sistemas de ecuaciones

lineales con dos y tres incógnitas y las diferentes

técnicas o procedimientos para su solución.

Una vez el estudiante adquiera cierta habilidad

operativa, nos concentraremos en la resolución de

problemas (verbales) que conducen al

planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales

y la forma en que se debe abordar dicha

resolución.

OBJETIVO

Modelar y resolver problemas en contexto mediante sistemas de ecuaciones lineales

Método de Sustitución

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Planteamiento de expresiones algebraicas a partir de situaciones específicas

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

COMPLEMENTO A LAS NOTAS DE CLASE

Solución Algebraica de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Así por

ejemplo

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas o un sistema . La solución es el conjunto de

valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones (la solución del sistema anterior es

El método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales se basa, como su nombre lo indica,

en sustituir o reemplazar una variable o incógnita, que ha sido previamente despejada en una ecuación, en

otra de las ecuaciones del sistema. De esta forma, la ecuación en la que se sustituyó la variable queda en

términos de una sola y así se puede despejar o encontrar su valor. Con este valor se puede encontrar la

primera variable despejada. Ilustremos el procedimiento con un ejemplo:

1.

Solución

1. Se despeja una de las variables en la primera ecuación (en este caso vamos a despejar a ), pero lo

conveniente es despejar la variable cuyo coeficiente sea el más fácil de manipular:

2. Se sustituye esta variable en la segunda ecuación, dejando todos los demás términos como están así:

3. Se hacen las operaciones correspondientes y se resuelve la ecuación para hallar el valor de :

4. Con el valor hallado de podemos encontrar :

Método de Igualación

5. Para saber si las soluciones obtenidas son correctas, se reemplazan los valores de y en las dos

ecuaciones originales y en ambos casos debería dar una igualdad:

Se puede comprobar que en ambos casos da una igualdad, es decir, las soluciones obtenidas son correctas.

Actividad 1 Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de sustitución

1. R.

2. R.

3. R.

Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales por el método de igualación procedemos así:

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones, luego se igualan los resultados obtenidos y se

determina el valor de la incógnita en la ecuación resultante y por último, éste valor se sustituye en cualquiera

de las ecuaciones dadas, con el fin de obtener el valor de la otra incógnita.

Ilustración:

1. Resolver el sistema

Solución

Despejamos la misma incógnita (por ejemplo ) en las ecuaciones dadas

Igualamos con y encontramos el valor de

Sustituimos en cualquiera de las ecuaciones dadas o mejor en o que son

equivalentes (por ejemplo en

Los valores y satisfacen el sistema.

2. Resolver el sistema

Solución

Despejamos en y

De

De

Igualamos con y resolvemos para

Método de Reducción

Sustituimos en

Los valores y satisfacen el sistema.

Actividad 2 Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de igualación

1.

2.

3.

Este método consiste en resolver un sistema de ecuaciones equivalente en el que los coeficientes de una de

las variables sean iguales en magnitud y de signo contrario en ambas ecuaciones.

Para comprender el método, analice los siguientes ejemplos.

1. Resolver

El primer paso consiste en seleccionar la variable que se desea eliminar. Por ejemplo se elimina la variable .

Para igualar los coeficientes de en ambas ecuaciones se halla el m.c.m entre ellos, esto es se halla el

m.c.m entre 3 y 2 el cual es 6.

Por tanto, para que los coeficientes de la variable queden iguales y de signo contrario, se debe multiplicar la

ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por -3.

El segundo y último paso consiste en sumar las ecuaciones resultantes y despejar la variable .

Así entonces el procedimiento es:

2*(1):

-3*(2):

(+) : y en consecuencia

Finalmente, para hallar el valor de la variable se sustituye el valor de encontrado en cualquiera de las

ecuaciones inicialmente dadas, por ejemplo en la ecuación (1):

Así,

Por tanto, la solución de sistema es el punto

¡Observación! Es equivalente si se multiplica la ecuación (1) por -2 y la ecuación (2) por 3.

2. Resolver

Se eliminan los signos de agrupación

Se transponen términos

Se reducen términos semejantes

Se divide la primera ecuación por 2

El sistema de ecuaciones inicial es equivalente al sistema de ecuaciones obtenido. Para resolverlo se elimina

la variable . Para ello se multiplica la ecuación (4) por 3 y se suman las ecuaciones así resultantes. Esto es,

Sustituyendo el valor de hallado en la segunda ecuación se tiene,

Así la solución es

Actividad 3 Resolver los siguientes sistemas aplicando el método de reducción.

1.

2.

3.

¡RECOMENDACIÓN IMPORTANTE!

Visita la página http://es.youtube.com/watch?v=UOOZDxEdMvE para complementar la teoría

AUTOEVALUACIÓN

Si tu respuesta a la siguiente pregunta es No recuerda la sugerencia anterior de revisar nuevamente la teoría

y pedir orientación a tu profesor

¿Puedo resolver un sistema de ecuaciones lineales con facilidad, utilizando cualquiera de los métodos

descritos en la teoría?

Si ____ No ____ ¿Por qué?___________________________________________________________

Actividad 4 Consultar en qué consiste el método de solución de sistemas 2x2 de ecuaciones lineales

mediante la Regla de Cramer (Kramer) y proponer dos ejemplos resueltos

Método Gráfico

Actividad 5 Resolver los siguientes sistemas aplicando cada uno de los tres métodos

1.

2.

3.

4.

Este método consiste en graficar en el mismo plano cartesiano las ecuaciones lineales, las cuales

representan rectas. Si las rectas no son paralelas entonces las coordenadas del punto de intersección

representan la solución del sistema. Veamos el siguiente ejemplo:

Si graficamos estas rectas en el mismo plano cartesiano obtenemos lo siguiente:

1. Se ingresa la primera ecuación en la parte inferior izquierda Entrada:

Punto de intersección

Esta gráfica se puede obtener con la ayuda del

programa Geogebra siguiendo los siguientes pasos

Al dar Enter se obtiene

De la misma manera graficamos la segunda ecuación y se obtiene:

Se observa que en la columna izquierda aparecen las ecuaciones, y cada recta es nombrada con una letra

diferente.

Para hallar las coordenadas del punto de intersección se al segundo comando y se selecciona Intersección de

dos objetos así

Luego se selecciona cada recta y aparece el punto marcado con la letra A, las coordenadas del punto

aparecen en la columna izquierda:

Ejemplo 2:

Consideremos el sistema:

En este caso, veremos que al graficar las rectas no hay punto de intersección, es decir, las rectas son

paralelas y por lo tanto el sistema no tiene solución:

Intenta resolver el sistema utilizando algunos de los métodos estudiados, ¿qué sucede en este caso?

Con el fin de verificar las respuestas obtenidas en las actividades 1, 2, 3 y 4 utilizar el Matlab tal y como lo

propone el siguiente ejemplo:

Ejemplo Resolver

Verificación de resultados en Matlab

o

Directrices para la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones

Para resolver un sistema de ecuaciones tenga en cuenta lo siguiente.

i. Reconozca las cantidades que se piden determinar y nómbrelas con alguna letra. Generalmente se

identifican mediante una lectura cuidadosa de la pregunta planteada al final del problema. Asegúrese de

escribir claramente lo que representan las variables.

ii. Lea de nuevo cada una de las frases del problema, y exprese todas las cantidades mencionadas en

términos de las variables definidas. Para organizar esta información, algunas veces resulta útil dibujar un

diagrama.

iii. Identifique las condiciones del problema que relacionan dos o más de las expresiones establecidas en el

paso anterior. Un enunciado que dice que una cantidad “es igual a” o “es lo mismo que” o “es el doble de”

otra, generalmente señala el tipo de relación que se está buscando.

Observemos lo siguiente:

Las variables van en el primer corchete separadas por un espacio

Las ecuaciones van entre comillas simples separadas por una coma

Finalmente se da clic en Enter y se obtiene la solución

iv. Plantee las ecuaciones que expresen las condiciones del problema identificadas en el paso anterior. A

veces es necesario el uso de algunas fórmulas matemáticas para obtener la expresión algebraica.

v. Resuelva el sistema de ecuaciones planteado usando alguno de los métodos expuestos anteriormente,

verifique que la solución satisface el problema original, y exprese la respuesta en la forma de un enunciado

que responda a la pregunta planteada en el problema.

Ejemplos de problemas que se resuelven por ecuaciones simultáneas

1. La República Popular de China, ganó los juegos olímpicos Beijing 2008 al obtener el mayor número de

medallas de oro, el segundo lugar lo ocupó Estados Unidos, entre los dos países ganaron un total de 87

preseas doradas. Si los de las medallas ganadas por China, más fueron las medallas obtenidas por

Estados Unidos. ¿Cuál fue el número de medallas que obtuvo cada país?

Solución

Sea número de medallas ganadas por China

número de medallas ganadas por Estados Unidos

Según las condiciones: … pues, entre los dos países ganaron un total de 87 preseas

doradas y ya que, los de las medallas ganadas por China, más fueron las medallas

obtenidas por Estados Unidos

De y , se tiene el siguiente sistema

Resolviendo el sistema anterior, encontramos la solución medallas de oro, número de medallas

ganadas por China y medallas de oro, número de medallas ganadas por Estados Unidos.

2. Si a las dos cantidades de una fracción se añade , el valor de la fracción es , y si a las dos

cantidades se resta 2, el valor de la fracción es . Hallar la fracción. R/4/3}

Solución

Sea el numerador

el denominador

De acuerdo a las condiciones del problema: como se le añade a cada cantidad de la fracción, esto lo

podemos expresar como y el valor de la fracción es , por lo tanto

Y como se le resta 2 cada fracción, esto es, y el valor de la fracción es , entonces tenemos que

Y si

3. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es y el residuo es y si veces el

menor se divide por el mayor el cociente es y el residuo es . Hallar los números.

Solución

Sea número mayor

número menor

Veamos primero en un ejemplo con cantidades conocidas lo que vamos a aplicar a continuación.

Si dividimos por , el cociente o resultado es y el residuo es , pero si le restamos al dividendo la

división sería exacta, esto es

De acuerdo a lo anterior es posible decir,

Ahora apliquemos lo anterior en nuestro problema, se tiene que, el mayor de dos números se divide por el

menor, el cociente es y el residuo el , entonces el número mayor es el dividendo, es decir, y el número

menor es el divisor, o sea, . De acuerdo al ejemplo anterior para que la división sea exacta y se establezca

la igualdad, aplicando

Y si se divide por y aplicando nuevamente se tiene

Resolviendo el sistema dado por y , se tiene y . Los números buscados son y

4. La suma de tres números es , un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al menor

disminuido en y si a de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el número del medio el

resultado es . Hallar los números.

Solución

Sea número mayor

número del medio

número menor

Como la suma de los tres números es 320, es tiene entonces que

De acuerdo a las condiciones, se tiene también, que un cuarto de la suma del mayor y el mediano equivale al

menor disminuido en , luego,

de la diferencia entre el mayor y el menor se suma el número del medio, según las condiciones, el resultado

es , luego,

De , y , se tiene el siguiente sistema

Resolviendo el sistema se encuentra número mayor, número del medio

y número menor.

5. Las entradas de un teatro valen $5000 para adultos y $2000 para niños. Sabiendo que asistieron 280

personas y que la recaudación por concepto de entradas fue de $800000, encontrar el número de niños y

adultos que asistieron a la función

Solución

Una vez hemos leído el problema hasta comprender lo que nos piden podemos definir las incógnitas o

variables del problema y con la información adicional que nos dan modelar el problema mediante las

respectivas ecuaciones. Veamos:

1. Nos piden encontrar el número de niños y de adultos, las incógnitas entonces estarían relacionadas con

esta información:

2. Leemos de nuevo el problema y las condiciones que nos da constituyen las ecuaciones:

a. La primera condición dice: …sabiendo que asistieron 280 personas…, esta condición nos daría la

primera ecuación: el número de niños más el número de adultos es igual al total de personas, así:

(I)

b. La segunda condición dice: …y que la recaudación fue de $800000…, esta condición se puede interpretar

así: Si una entrada para adultos vale $5000 entonces entradas valen . Lo mismo para los niños,

entradas valdrán . La suma del valor de las entradas de niños y adultos es $80000, luego en forma de

ecuación quedaría:

(II)

3. Resolviendo las ecuaciones (I) y (II) por cualquiera de los métodos estudiados obtenemos el siguiente

resultado:

Lo que significa que entraron 200 niños y 80 adultos.

6. Una persona ha invertido $45000 en dos fondos. Uno de ellos le da un interés del 2% mensual y el otro del

3% mensual. Sabiendo que los intereses que recibe mensualmente ascienden a $1100, encontrar las

cantidades que tiene colocadas en cada uno de los fondos

Solución

1. En este problema se trata de encontrar la cantidad de dinero invertida en cada fondo, que es lo que se

pregunta en el problema. Esta información sugiere que las incógnitas deben estar relacionadas con estas

cantidades:

2. Según las condiciones del problema:

a. La condición: …ha invertido $45000 en dos fondos… sugiere que la suma de las dos cantidades es igual

a $45000:

(I)

b.La segunda condición: … los intereses que recibe mensualmente ascienden a $1100… nos permite

encontrar la segunda ecuación. En este caso, el dinero que da el fondo al 2% es la cantidad invertida en ese

fondo multiplicada por 0.02 (este valor representa el interés ), así

, lo mismo para el fondo al 3%, es decir, . La ecuación completa queda de la siguiente manera:

(II)

3.Al resolver las ecuaciones (I) y (II), se obtiene:

Luego las cantidades invertidas fueron: $25000 al 2% y $20000 al 3%.

7. Un auto viaja a 40millas/hora durante tres horas, en ese instante sale un segundo auto detrás del primero a

una velocidad de 60millas/hora. ¿A qué distancia del punto de partida y al cuanto tiempo alcanza al primero?

Solución

Para resolver este problema, vamos a asumir que la velocidad se define como la distancia sobre el tiempo, es

decir

Ilustremos la situación gráficamente:

Vamos a llamar a los autos A y B. En la primera condición el auto A ha viajado durante tres horas lo que

equivale a 120 millas:

Cuando el auto A está en la posición 1 ha recorrido 120 millas y en ese momento sale el auto B con una

velocidad de 60millas/hora. Después de cierta distancia, el auto B alcanza al auto A. Si en el momento en que

sale el auto B activáramos un cronómetro, el tiempo que se demora A en ir de 1 a 2 sería el mismo que se

demoraría B para ir de 0 a 2, es decir

Se tiene para el auto A:

Para el auto B:

A

B

A A

B

3h, 120 millas x

x+120 millas

0

0

1 2

2

La distancia del punto de partida a la que se alcanzan los autos es: 120 + 240 = 360 millas

El tiempo se puede calcular con o :

8. El largo de un campo rectangular excede a su ancho en 30m. Si el largo se disminuye en 20m y el ancho

se aumenta en 15m, el área se disminuye en 150m2. Encontrar las dimensiones del rectángulo

Solución

1. En muchos de los problemas es conveniente realizar un gráfico que permita visualizar la situación y ubicar

los diferentes datos del problema, veamos:

Si llamamos el ancho del rectángulo X, entonces el largo será X+30 (no vamos a escribir las unidades pues

sabemos que las dimensiones se dan en metros lineales. Solo las pondremos al final)

2. La primera condición está dada por el área inicial del rectángulo:

Largo

Ancho

3. La segunda condición está dada por las nuevas dimensiones del rectángulo

En este caso el área tiene un valor de .

4. Según el enunciado el nuevo valor del área es igual al primero pero disminuido en 150 m2. Así la ecuación

quedaría:

Al reemplazar y se obtiene:

Al destruir los signos de agrupación:

Al simplificar términos semejantes y pasar todo al lado izquierdo, nos queda:

Luego de hacer las operaciones correspondientes:

Al despejar la incógnita X se obtiene:

Es decir, el ancho del rectángulo es X= 60m, y el largo es 60m + 30m = 90m

Actividad 6 Resolver los siguientes problemas en contexto, tomados de: ALARCÓN, V., Sergio y otros.

CUADERNILLO DE TRABAJO ACADÉMICO No. 2. Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín.

1. Un maratonista está compitiendo en una carrera de 8500m. Sufre una lesión y se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba por recorrer. ¿Cuántos metros corrió realmente? Rta: 1700 m.

2. Se tienen dos números consecutivos. La suma de 1/5 del mayor y ¼ del menor es 1 menos que 15/33 del mayor ¿Cuáles son los número?

3. La suma de un número y tres veces su recíproco es 52 / 7. ¿Cuál es el número?

4. Siendo 68m el perímetro de un rectángulo y 12,5m uno de sus lados, ¿cuál es la longitud del otro? Rta: 21,5 m.

5. Juan y Pedro son mellizos. Julián tiene 3 años más que ellos y las edades de los tres sumadas es 42. ¿Qué edad tiene Julián? Rta: 16 años.

6. La suma de tres números pares consecutivos es 72. ¿Cuáles son esos números? Rta: 22, 24 y 26.

7. Tengo $66 en billetes de $2 y de $5. Si en total tengo 18 billetes, ¿cuántos billetes de cada valor tengo? Rta: 8 billetes de $2 y 10 de $5.

8. Dos toneles contienen en conjunto 108 litros de vino. Si pasáramos 4 litros de un tonel al otro, éste contendría el doble de vino que el primero. ¿Cuántos litros de vino contiene cada tonel? Rta: 40 y 68 litros.

9. José nació 2 años después que Pablo y 3 años antes que César. ¿Cuántos años tiene cada uno si la suma de sus edades es 17? Rta: José 6 años, Pablo 8 años y César 3 años.

10. ¿Cuál es el número natural tal que la mitad del producto por su consecutivo es 105? Rta. 14

11. Tres personas reúnen un pequeño capital de $9500 para establecer un comercio minorista. Si la primera persona aporta 3/5 de lo que aporta la segunda, y la tercera ½ de lo que aporta la primera, ¿a cuánto asciende la contribución de cada uno de ellos? Rta: $3000, $5000 y $1500.

12. Un comerciante quiere preparar 10 kg. de te para venderlo a $15 el kg. Va a utilizar un te de $22 el kg. y otro de $12 el kg. Calculá cuántos kg de cada clase de te debe colocar. Rta: 3kg. del de $22 y 7 kg. del de $12.

13. Encuentra un número de dos cifras que al sumarle 9 se convierte en otro número con las mismas dos cifras en orden invertido. ¿Puedes encontrar otro? ¿Hay más? ¿Cuántos? Rta: todos los números que cumplen esa condición son: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78 y 89.

14. En un triángulo rectángulo, el cateto menor es igual a 3/5 de la hipotenusa. Esta supera por 3 cm al cateto mayor. ¿Cuál es la medida de cada lado? Rta. 9,12 y 15 cm. (opcional)

15. Un tren, obligado por una nevada, debió marchar a 5 km por hora más lentamente que su velocidad promedio habitual. Llegó a destino con un atraso de 1 hora en su recorrido, de 280 km ¿Cuál fue su velocidad durante la emergencia? Rta. 35 km/h.

16. He pensado un número natural menor que cien; tiene la suma de sus cifras igual a 10. Si se invierten las cifras y al número así formado se le suma 3, resulta otro número 57 unidades mayor que el pensado. ¿Cuál es el número que pensé? Rta. 28.

17. En un rectángulo cuya base es menor que la altura, el perímetro es 17cm y el área es 15 cm2. ¿Cuál es la longitud de la base? Rta. 2,5 cm. (opcional)

18. Viajando en su automóvil, Pablo se desplazó de una ciudad a otra a una velocidad media de 40 km/h. El trayecto de regreso lo realizó a 60 km/h de promedio. ¿Cuál fue la velocidad promedio del viaje completo? Rta. 48 km/h.

19. Daniel y Roberto disfrutaban de un viaje en sus motocicletas cuando, a 100 km de arribar a una ciudad, la moto de Daniel sufrió una ligera avería. Por esta causa debió reducir su velocidad de los 100 km/h que promediaban a 50 km/h. Decidieron que Roberto continuaría su marcha a la velocidad inicial prevista, yendo a la ciudad a comprar el repuesto necesario y retornando hacia el encuentro con Daniel. Suponiendo que no demoró en comprar el repuesto, ¿Cuánto tiempo demoraron en encontrarse? Rta. 1hora 20minutos

20. Guillermo fue a comprar las gaseosas para un cumpleaños. Disponía para esto de $18. Se encontró con que cada una costaba 30 centavos más de lo esperado y por eso el dinero le alcanzó para 3 botellas menos de las planeadas. ¿Cuántas compró? Rta. 12.

21. José María suma las notas obtenidas en la última prueba de matemática, historia y geografía obteniendo 25. La nota de historia es 2 unidades menor que la de matemática y 1 unidad mayor que la de geografía. ¿Cuál es la nota de cada evaluación? Rta. 10 en matemática, 8 en historia y 7 en geografía?

PRODUCTO

Documento con actividades 4 y 5 resueltas, acompañado de bibliografía consultada.

Documento con actividad 6 resuelta.

AUTOEVALUACIÓN

Si tu respuesta a las siguientes preguntas es No recuerda la sugerencia anterior de revisar nuevamente la

teoría y pedir orientación a tu profesor

Cuándo me enfrento a la resolución de un problema, usando sistemas de ecuaciones, manifiesto dificultades

con alguno de los pasos descritos en las directrices para resolver dichos problemas?

Si ____ No ____ Si tu respuesta fue No, responde la siguiente pregunta:

En cuál? ___________________________ Por qué?_____________________________________________

BIBLIOGRAFÍA

ALARCÓN, V., Sergio y otros. CUADERNILLO DE TRABAJO ACADÉMICO No. 2. Instituto Tecnológico

Metropolitano, Medellín

BALDOR, Aurelio. Álgebra.

STEWART, James, REDLIN, Lothar y WATSON, Saleem. Precálculo. Quinta edición. Bogotá: Thompson

editores, 2006.