ECUACIONES - … · simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de...

4 Ecuaciones

110Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad continúa con el trabajo comenzado el curso pasado, las ecuaciones y su resolución, ampliándolo notablemente.

Comienza con un epígrafe de repaso, aclarando todas las definiciones necesarias. A partir de aquí, se divide en dos partes claramente diferenciadas. En la primera, las ecuaciones de primer grado, se recuerda la regla de la suma y del producto aplicándolas a la hora de re-

solver una ecuación, y en la resolución de ecuaciones con paréntesis. La segunda parte se centra en las ecuaciones de segundo grado, primero analizando la forma general y después, la resolución de las ecuaciones completas e incompletas.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y la adquisición de la competencia matemática, y también del resto de competencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de la sección Lee y comprende las matemáticas en la que se trabaja la comprensión lectora partiendo de artículos y activi-dades relacionados con ecuaciones de primer y segundo grado.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con ecuaciones de primer y segundo grado.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es calcular la puntuación en un partido, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de las ecuaciones de primer y segundo grado.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar los elementos principales de una ecuación, en particular el concepto de solución.

❚❚ Identificar ecuaciones equivalentes y ser capaz de hallarlas.

❚❚ Resolver ecuaciones sencillas de primer grado y una incógnita, con o sin paréntesis o con denominadores.

❚❚ Reconocer ecuaciones de segundo grado e identificar sus coeficientes.

❚❚ Diferenciar ecuaciones de segundo grado completas o incompletas y resolver ambos tipos.

❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de ecuaciones.

❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando las ecuaciones.

ECUACIONES4

111

4Ecuaciones

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre ecuaciones, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las ecuaciones de primer y segundo grado pueden acceder a las lecciones 1160, 1171, 1181 y 1185 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Elementos de una ecuación. Ecuaciones equivalentesSolución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

1. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y formular expresiones del lenguaje cotidiano.

2. Reconocer identidades y ecuaciones, e identificar los elementos y soluciones de una ecuación.

1.1. Formula algebraicamente una situación de la vida real mediante ecuaciones y comprende su significado.

2.1. Identifica los elementos de una ecuación.

2.2. Comprueba, dada una ecuación, si un número es solución de la misma.

1, 856, 61

2-557, 586, 729-3159, 60, 66, 78, 79

CMCTCLCSCCAACSIEE

Ecuaciones de primer gradoResolver ecuaciones sencillas

3. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado, aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los resultados obtenidos.

3.1. Resuelve ecuaciones de primer grado utilizando las reglas de la suma y del producto, medios tecnológicos o de cálculo mental.

9-14, 16-2262-65, 67-76

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Resolución de ecuaciones de primer grado

3.2. Emplea adecuadamente el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado para resolver problemas cotidianos contextualizados.

15, 2342-4650, 51, 5588-9193, 95, 97, 99Matemáticas vivas 2, 3, 4, 7, 8

Ecuaciones de segundo gradoNúmero de soluciones

4. Reconocer ecuaciones de segundo grado e identificar sus coeficientes.

5. Identificar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

6. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de segundo grado, aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los resultados obtenidos.

4.1. Identifica una ecuación de segundo grado, sus coeficientes y diferencia si son completas e incompletas.

5.1.Indica el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

6.1. Resuelve ecuaciones de segundo grado completas.6.2. Resuelve ecuaciones de segundo grado incompletas.6.3. Emplea adecuadamente el planteamiento y resolución de ecuaciones de segundo grado para resolver problemas cotidianos contextualizados.

24-2877, 80

41

33-3681, 82, 8737-4083-8747-4952-5492, 94, 96, 98Matemáticas vivas 9, 10

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Resolución de ecuaciones de segundo gradoEcuaciones completasEcuaciones incompletas


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Ecuaciones de primer grado • Resolver ecuaciones sencillas

3. Resolución de ecuaciones de primer grado

4. Ecuaciones de segundo grado • Número de soluciones

AvanzaEcuaciones bicuadradas

Cálculo mentalEstrategias para comprobar ecuaciones de segundo grado

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. La agrimensura

1. Elementos de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

• Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

Vídeo. Ecuaciones con paréntesis y denominadores

5. Resolución de ecuaciones de segundo grado

• Ecuaciones completas (ax2 + bx + c = 0)

• Ecuaciones incompletas (ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0, ax2 = 0)

Vídeo. Ecuaciones de segundo grado

Vídeo. Otras ecuaciones de primer grado

MisMates.esLecciones 1160, 1171, 1181 y 1185 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Lee y comprende las matemáticasEl epitafio de Diofanto • Utilización de ecuaciones para

averiguar información

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

112

4 Ecuaciones

¿Qué tienes que saber? • Ecuaciones de primer grado con

paréntesis • Ecuaciones de primer grado con

denominadores • Ecuaciones de segundo grado

completas e incompletas

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasPuntos en baloncesto • Estudio de resultados de partidos de

baloncesto

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson

113

4Ecuaciones


Sugerencias didácticas

La unidad comienza recordando las antiguas balanzas que no hace tanto tiempo había en las tiendas y que muy pro-bablemente nuestros alumnos no conozcan.

El ejemplo de estas balanzas antiguas, en las que se tenía que hacer cocincidir el peso del platillo de la izquierda con el peso del platillo de la derecha, suele ser muy útil a la hora de que los alumnos entiendan qué es una ecuación y qué transformaciones podemos hacer sin que esta cambie.

Contenido WEB. LA AGRIMENSURA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se explica en qué consiste la agri-mensura y cómo se ha desarrollado desde la Antigüedad hasta la actualidad. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Aplica la propiedad distributiva y resuelve.

a) (−2) ⋅ (5 − 8) b) (−8 + 12) ⋅ (−3)

2. Saca factor común en estas expresiones.

a) 4 ⋅ 7 − 4 ⋅ 9 b) −2 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2

3. Calcula las siguientes raíces enteras.

a) 36 b) −9 c) 121 d) 196

4. Opera con estos monomios.

a) 3x2 + 5x − 7x2 + 8x2 b) x ⋅ (8x − 1)

75

4Actualmente, en cualquier tienda, tienen modernas balanzas electrónicas con las que calculan el peso de los productos que compramos.

No hace tanto tiempo, este tipo de mediciones se realizaba con balanzas de platillos. En un platillo de la balanza se colocaba el artículo que se iba a pesar, y en el otro, se iban poniendo pesas cuyo peso era conocido hasta conseguir que los dos platos estuvieran en equilibrio. En ese momento, el contenido de los dos platillos pesaba lo mismo y así se determinaba el peso del producto en cuestión.

Pues bien, en una ecuación se establece una situación similar. El valor de ambas expresiones de la ecuación es el mismo. Por eso, debemos manipular los datos, sin perder este equilibrio, hasta descubrir el valor de la incógnita.

ECUACIONES

Actualmente, en cualquier tienda, tienen modernas balanzas electrónicas con las que calculan el peso de los productos que compramos.

No hace tanto tiempo, este tipo de mediciones se realizaba con balanzas de platillos. En un platillo de la balanza se colocaba el artículo que se iba a pesar, y en el otro, se iban poniendo pesas cuyo peso era conocido hasta conseguir que los dos platos estuvieran en equilibrio. En ese momento, el contenido de los dos platillos pesaba lo mismo y así se determinaba el peso del producto en cuestión.

Pues bien, en una ecuación se establece una situación similar. El valor de ambas expresiones de la ecuación es el mismo. Por eso, debemos manipular los datos, sin perder este equilibrio, hasta descubrir el valor de la incógnita.

IDEAS PREVIAS

❚ Propiedad distributiva y

sacar factor común.

❚ Operaciones con

números enteros.

❚ Cálculo de raíces

enteras.

❚ Operaciones con

polinomios.

ma2e12

Desde la Antigüedad, la agrimensura estudia la medición y repartición de las tierras. Los problemas de limitación de los terrenos entre socios y herederos se resuelven habitualmente mediante problemas de ecuaciones de primer y segundo grado.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Aplica la propiedad distributiva y resuelve.

a) (−2) ⋅ (5 − 8) b) (−8 + 12) ⋅ (−3)

a) (−2) ⋅ 5 − (−2) ⋅ 8 = −10 + 16 = 6 b) (−8) ⋅ (−3) + 12 ⋅ (−3) = 24 − 36 = −12

2. Saca factor común en estas expresiones.

a) 4 ⋅ 7 − 4 ⋅ 9 b) −2 ⋅ 5 + 7 ⋅ 2

a) 4 ⋅ (7 − 9) b) 2 ⋅ (−5 + 7)

3. Calcula las siguientes raíces enteras.

a) 36 b) −9 c) 121 d) 196

a) ±6 b) No tiene. c) ±11 d) ±13

4. Opera con estos monomios.

a) 3x2 + 5x − 7x2 + 8x2 b) x ⋅ (8x − 1)

a) 4x2 + 5x b) 8x2 − x

4 Ecuaciones


1. Elementos de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

77

4Actividades4 Ecuaciones

76

Aprenderás a… ● Identificar los elementos principales de una ecuación.

● Conocer el concepto de solución de una ecuación.

● Identificar ecuaciones equivalentes.

1. ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN. ECUACIONES EQUIVALENTES

Observa la siguiente conversación.

La igualdad 2x − 4 = x + 1 es una ecuación que se verifica para algunos valores numéricos de x.

Los elementos de una ecuación son:

2x − 4 = x + 1 → Miembros: son las expresiones algebraicas a cada lado de la igualdad.

2x − 4 = x + 1 → Términos: son cada uno de los sumandos que aparecen en cada miembro.

2x − 4 = x + 1 → Incógnitas: son las letras de la expresión algebraica.

2x − 4 = x + 1 → Grado: es el mayor grado de los términos de la ecuación.(1) (0) (1) (0)

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para algunos valores de las variables.

Solución de una ecuación. Ecuaciones equivalentes

Al sustituir la variable x por el número 5, la igualdad es correcta.

2x − 4 = x + 1

2 ⋅ 5 − 4 = 5 + 1

10 − 4 = 5 + 1

6 = 6

Las soluciones de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar sus soluciones.

La solución de estas ecuaciones es x = 2.

2x + 2 = 6 x + 1 = 3 2x + 2

3= 2

Sustituimos la incógnita por su valor (x = 2) para confirmar que es cierto.

2 ⋅ 2 + 2 = 4 + 2 = 6 2 + 1 = 3 2 ⋅2 + 2

3=

4 + 2

3=

6

3= 2

Vemos, así, que las tres ecuaciones tienen la misma solución: 2

Varias ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Una igualdad entre dos expresiones algebraicas es una identidad si es cierta para todos los valores de x.

x + x = 2x

x=1⎯ →⎯⎯ 1 + 1 = 2 ⋅ 1

x=5⎯ →⎯⎯ 5 + 5 = 2 ⋅ 5x=−2⎯ →⎯⎯⎯ (−2) + (−2) = 2 ⋅ (−2)

Recuerda

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus letras.

xyz → grado 3

Recuerda

Escribe las ecuaciones que se representan en las siguientes balanzas.1

Señala los términos de las siguientes ecuaciones.

a) 3xy − 2x = 4 − x2 c) 5 xy

3=

3 y

4− 2 y2

b) −a2 + 3ab = −a2 + 5a =3a

2− 4 d)

2x3 + 2x

3=

3

5y

Calcula el grado de estas ecuaciones.

a) 3x2 − 5x3 + 3x + 1 = 0 c) 1−5ab

3=

3b

2−

3

5a2

b) xyz − x2 + 3y = 2xz d) −z3 − 4z − 3z2 + 1 = 2z

Expresa de forma sencilla cada miembro de la ecuación. ¿Cuál es el grado de la ecuación en cada caso? Responde en tu cuaderno.a) 3x2 − 2x − 3x2 = 5x + 3 c) x − 5x2 = (3x − 5x4 − 4x4) : xb) 1 − 3x = 5x2 + 2 − 5x2 d) 3x ⋅ (6x5 + 4x) = x5

Copia y completa la siguiente tabla.

Miembros Términos Variables Grado

3xy + 2 = x O O O O

x2 − 3x3 + x + 2 = 0 O O O O

2x2 = 3x2y3 + 1 O O O O

ab = ab2 − b3 O O O O

Indica cuál de los siguientes valores numéricos es solución de esta ecuación.−3x + 5 = 2 ⋅ (3 − x)

a) x = 0 b) x = 2 c) x = −1 d) x = 1

Asocia cada ecuación con su solución. Justifica tu respuesta.

3x − 1 = x − 5 3(x + 2) − 1 = 6x + 2 x2 − 4x + 6 = x + 2 5(x − 1) = −5

x = 1 x = 4 x = −2 x = 0

2

3

4

5

6

7

DESAFÍOEntre 8 bolas de aspecto idéntico solo hay una que tiene un peso diferente.

Si usas una balanza de platillos, ¿cuál es el menor número de pesadas que puedes hacer para adivinar cuál es la bola de peso diferente?

8

Presta atención

Una ecuación es similar a la situación de equilibrio que hay en una balanza.

Los dos platillos han de estar en equilibrio.

2x + 3

5

2x + 3 = 5

a) b) c)

Soluciones de las actividades1 Escribe las ecuaciones que se representan en las siguientes balanzas.

a) b) c)

a) 2x + 1 = 5 b) 2x + 3 = x + 5 c) 2x + 4 = 3x + 32 Señala los términos de las siguientes ecuaciones.

a) 3xy − 2x = 4 − x2 b) −a2 + 5a =3a

2− 4 c)

5 xy

3=

3 y

4− 2 y2 d)

2x3 + 2x

3=

3

5y

a) 3xy, 2x, 4, −x2 b) −a2, 5a, 3a

2, −4 c)

5 xy

3,

3 y

4,− 2 y2 d)

2x3

3,

2x

3,

3

5y


En este primer epígrafe tenemos que intentar que los alum-nos recuerden los conocimientos sobre ecuaciones que ya adquirieron en el curso anterior.

Los alumnos suelen recordar las ecuaciones aunque tienen problemas a la hora de utilizar las definiciones correctas, confunden término con miembro, etc.

Hay que hacer hincapié en que todavía no estamos resol-viendo ecuaciones, tan solo poniendo nombres a las cosas.

Cuando se habla de solución, hay que recordarles que com-probar si un número es solución de una ecuación no tiene nada que ver con resolverla.

El concepto de ecuación equivalente es importante. Sobre esta idea vamos a trabajar en el siguiente epígrafe.

115

4Ecuaciones


3 Calcula el grado de estas ecuaciones.

a) 3x2 − 5x3 + 3x + 1 = 0 c) 1−5ab

3=

3b

2−

3

5a2

b) xyz − x2 + 3y = 2xz d) −z3 − 4z − 3z2 + 1 = 2z

a) Grado 3 b) Grado 3 c) Grado 2 d) Grado 34 Expresa de forma sencilla cada miembro de la ecuación. ¿Cuál es el grado de la ecuación en cada caso? Responde en tu

cuaderno.

a) 3x2 − 2x − 3x2 = 5x + 3 c) x − 5x2 = (3x − 5x4 − 4x4) : xb) 1 − 3x = 5x2 + 2 − 5x2 d) 3x ⋅ (6x5 + 4x) = x5

a) −2x = 5x + 3; Grado 1 c) x − 5x2 = 3 − 9x3; Grado 3

b) 1 − 3x = 2; Grado 1 d) 18x6 + 12x2 = x5; Grado 65 Copia y completa la siguiente tabla.

Miembros Términos Variables Grado

3xy + 2 = x 3xy + 2; x 3xy, 2, x x, y 2

x2 − 3x3 + x + 2 = 0 x2 − 3x3 + x + 2; 0 x2, −3x3, x, 2, 0 x 3

2x2 = 3x2y3 + 1 2x2; 3x2y3 + 1 2x2, 3x2y3, 1 x, y 5

ab = ab2 − b3 ab; ab2 − b3 ab, ab2, −b3 a, b 3

6 Indica cuál de los siguientes valores numéricos es solución de esta ecuación.

−3x + 5 = 2 ⋅ (3 − x)

a) x = 0 b) x = 2 c) x = −1 d) x = 1

a) −3 ⋅ 0 + 5 = 5 ≠ 6 = 2 ⋅ (3 − 0) → No es solución.

b) −3 ⋅ 2 + 5 = −1 ≠ 2 = 2 ⋅ (3 − 2) → No es solución.

c) −3 ⋅ (−1) + 5 = 8 = 2 ⋅ (3 − (−1)) → Es solución.

d) −3 ⋅ 1 + 5 = 2 ≠ 4 = 2 ⋅ (3 − 1) → No es solución.7 Asocia cada ecuación con su solución. Justifica tu respuesta.

3x − 1 = x − 5 3(x + 2) − 1 = 6x + 2 x2 − 4x + 6 = x + 2 5(x − 1) = −5

x = −1 x = 4 x = −2 x = 0

3x − 1 = x − 5 → x = −2 porque: 3 ⋅ (−2) − 1 = −2 − 5

3(x + 2) − 1 = 6x + 2 → x = 1 porque: 3(1 + 2) − 1 = 6 ⋅ 1 + 2

x2 − 4x + 6 = x + 4 → x = 4 porque: 42 − 4 ⋅ 4 + 6 = 4 + 2

5(x − 1) = −5 → x = 0 porque: 5(0 − 1) = −5

Desafío8 Entre 8 bolas de aspecto idéntico solo hay una que tiene un peso diferente.

Si usas una balanza de platillos, ¿cuál es el menor número de pesadas que puedes hacer para adivinar cuál es la bola de peso diferente?

Son necesarias 3 pesadas. Primero pesamos 2 frente a 2, si pesan distinto, entre esas 4 está la distinta, en otro caso, está entre las otras 4. Repetimos esta idea con las 4 bolas que sabemos que contienen una diferente, separando en dos gru-pos de 2 bolas y pesando 1 contra 1 de las dos parejas. Si pesan distinto, la buscada es una de ellas, si no, está en la otra pareja. Ahora con solo dos candidatas compramos una cualquiera con otra de las descartadas para hallar la bola distinta. Si supieramos si la bola distinta pesa más o menos, bastarían dos pesadas.

4 Ecuaciones


2. Ecuaciones de primer grado

Soluciones de las actividades9 Aplica la regla de la suma para dejar la incógnita sola en un miembro de la ecuación.

a) 3x − 5 = 7x − 2 − 5x c) 1 − 2x + 7 = 5x + 10 e) x + 4 − 3x = 6x + 1

b) −3x + 5 = 7x − 2 + x d) −2 + 3x = 5 − 7 f) 3x − 1 = 5 − 4x + 12

a) − 5 + 2 = 7x − 5x − 3x → −3 = −x d) 3x = 5 − 7 + 2 → 3x = 0

b) 5 + 2 = 7x + x + 3x → 7 = 11x e) x − 3x − 6x = 1 − 4 → −8x = −3

c) 1 + 7 − 10 = 5x + 2x → −2 = 7x f) 3x + 4x = 5 + 12 + 1 → 7x = 1810 Aplica la regla del producto para despejar la incógnita.

a) 7x = 14 b) 3x = −6 c) 2x = 9 d) 5 =x

3 e)

x

2= 5 f)

8

3=−5 x

2

a) x = 14

7 = 2 b) x =

−6

3 = −2 c) x =

9

2 d) x = 5 ⋅ 3 = 15 e) x = 5 ⋅ 2 = 10 f) x =

8 ⋅2

3 ⋅ −5( )= −

16

15


Es muy importante que los alumnos entiendan que aplicar las reglas de la suma y del producto no significa «pasar» incógnitas o números de un lado a otro de la igualdad.

Mediante estas dos reglas vamos a conseguir ecuaciones equivalentes manteniendo el equilibrio que se da en una ecuación, obteniendo ecuaciones más sencillas, hasta co-nocer el valor de la incógnita.

Vídeo. OTRAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO

En el vídeo se resuelven dos ecuaciones, una sin solución y otra con infinitas soluciones, indicando qué expresiones debe recono-cer el alumno para identificar el tipo de ecuación a resolver.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de la página o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

79


78

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Celia tiene una balanza equilibrada con diferentes objetos en cada platillo. Si añade lo mismo en cada platillo, la balanza seguirá en equilibrio.

Podemos proceder de igual modo para obtener ecuaciones equivalentes, es decir, incluyendo lo mismo en cada miembro de la ecuación.

Celia coloca en los platillos de sus balanzas cubos que aumentan el peso y globos que lo disminuyen.

Regla de la suma. Si a los dos miembros de la ecuación se les suma o se les resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Aplicar esta regla equivale a trasponer términos.

Aprenderás a… ● Hallar ecuaciones equivalentes a una dada.

● Resolver ecuaciones sencillas de primer grado y una incógnita.

Regla del producto. Si los dos miembros de la ecuación se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de 0, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

Resolver ecuaciones sencillas

Para hallar la solución de una ecuación, aplicamos las reglas de la suma y del producto hasta dejar la x sola en uno de los miembros y su valor en el otro. Este proceso se llama despejar la incógnita. Así, resolvamos: 5x + 2 = x − 6 − 3x

1 Elegimos el miembro donde vamos a dejar la incógnita.

5x + 2 = x − 6 − 3x

2 Aplicamos la regla de la suma.

5x + 2 − 5x = x − 6 − 3x − 5x → 2 = x − 6 − 8x

2 + 6 = x − 6 − 8x + 6 → 8 = −7x

3 Aplicamos la regla de producto.

8

−7=−7 x

−7

8

−7= x

Aplica la regla de la suma para dejar la incógnita sola en un miembro dela ecuación.a) 3x − 5 = 7x − 2 − 5x d) −2 + 3x = 5 − 7 b) −3x + 5 = 7x − 2 + x e) x + 4 − 3x = 6x + 1 c) 1 − 2x + 7 = 5x + 10 f) 3x − 1 = 5 − 4x + 12

Aplica la regla del producto para despejar la incógnita.

a) 7x = 14 c) 2x = 9 e) x

2= 5

b) 3x = −6 d) 5 =x

3 f)

8

3=−5 x

2

Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x − 1 = 8 c) 2x − 4 = 3 + x e) 5x = −3 + 4xb) 1 − 4x = 3 − 5x d) −x + 2 = 2x + 1 f) 6x − 2 = 5x − 1

Halla el valor de x en cada caso.a) 3x − 1 = 4x + 5 c) −5 + 3x = 3 − x e) −3x + 1 = −5xb) 2 − 3x = 5x − 6 d) −4x + 2 = 2x − 10 f) 2x − 1 = 4x − 3

Resuelve.a) 4x − 2 + x = 5 − 7x + 1 c) −3x − 4 + 2 = 5x − 3 + xb) −7 − 3x + 5x = −5x + 7 + 2x d) 6 + 3x − 2 = −3 − 2x − 6x

9

10

11

12

13

Resuelve estas ecuaciones.a) 3x − 5 = 4 − 5x + 3 c) 7x − 3 − x = 6x − 3 b) 7 − 3x + 2 = −9x + 5 + 6x d) 3 − 5x + 9 = 2 − 4x

1214

Presta atención

Al aplicar la regla de la suma, un número o expresión positiva pasa al otro miembro como negativa, y viceversa.

3x + 2 = 7 3x = 7 − 2

4x = 6 − 2x 4x + 2x = 6

Presta atención

Al aplicar la regla del producto, un número que está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo, y viceversa.

4x = 8 → x =8

4

x

3= 4 → x = 4 ⋅ 3

DESAFÍOEnlaza estas fichas de este dominó de ecuaciones.

Escríbelo en tu cuaderno.

15

Sumamos 1 en ambos platillos.

2x − 1 + 1 = 4 + 1 − 3x

Restamos 2xen ambos platillos.

2x − 2x − 1 = 4 − 3x − 2x

2x − 1 = 4 − 3x

2x = 5 − 3x

−1 = 4 − 5x

Multiplicamos por 2 en ambos platillos.

(2x − 4) ⋅ 2 = (−2) ⋅ 2

Dividimos por 2 en ambos platillos.

(2x − 4) : 2 = (−2) : 2

2x −4 = −2

4x − 8 = −4

x − 2 = −1

ma2e13

} Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 3x + 5 = 5x − 3 − 2x b) 5 − 2x + 1 = −7x + 6 + 5x

Solución

EJERCICIO RESUELTO

117

4Ecuaciones


11 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x − 1 = 8 c) 2x − 4 = 3 + x e) 5x = −3 + 4x

b) 1 − 4x = 3 − 5x d) −x + 2 = 2x + 1 f) 6x − 2 = 5x − 1

a) x − 1 = 8 → x = 8 + 1 → x = 9

b) 1 − 4x = 3 − 5x → −4x + 5x = 3 − 1 → x = 2

c) 2x − 4 = 3 + x → 2x − x = 3 + 4 → x = 7

d) −x + 2 = 2x + 1 → −x − 2x = 1 − 2 → −3x = −1 → x =1

3

e) 5x = −3 + 4x → 5x − 4x = −3 → x = −3

f) 6x − 2 = 5x − 1 → 6x − 5x = −1 + 2 → x = 112 Halla el valor de x en cada caso.

a) 3x − 1 = 4x + 5 c) −5 + 3x = 3 − x e) −3x + 1 = −5x

b) 2 − 3x = 5x − 6 d) −4x + 2 = 2x − 10 f) 2x − 1 = 4x − 3

a) 3x − 1 = 4x + 5 → 3x − 4x = 5 + 1 → −x = 6 → x = −6

b) 2 − 3x = 5x − 6 → −3x − 5x = −6 − 2 → −8x = −8 → x = 1

c) −5 + 3x = 3 − x → 3x + x = 3 + 5 → 4x = 8→ x = 2

d) −4x + 2 = 2x − 10 → −4x − 2x = −10 − 2 → −6x = −12 → x = 2

e) −3x + 1 = −5x → −3x + 5x = −1 → 2x = −1 → x =−1

2

f) 2x − 1 = 4x − 3 → 2x − 4x = −3 + 1 → −2x = −2 → x =113 Resuelve.

a) 4x − 2 + x = 5 − 7x + 1 c) −3x − 4 + 2 = 5x − 3 + x

b) −7 − 3x + 5x = −5x + 7 + 2x d) 6 + 3x − 2 = −3 − 2x − 6x

a) 4x − 2 + x = 5 − 7x + 1 → 4x + x + 7x = 5 + 1 + 2 → 12x = 8 → x =8

12=

2

3

b) −7 − 3x + 5x = −5x + 7 + 2x → −3x + 5x + 5x − 2x = 7 + 7 → 5x = 14 → x =14

5

c) −3x − 4 + 2 = 5x − 3 + x → −3x − 5x − x = −3 + 4 − 2 → −9x = −1 → x =1

9

d) 6 + 3x − 2 = −3 − 2x − 6x → 3x + 2x + 6x = −3 − 6 + 2 → 11x = −7 → x =−7

11

14 Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x − 5 = 4 − 5x + 3 c) 7x − 3 − x = 6x − 3

b) 7 − 3x + 2 = −9x + 5 + 6x d) 3 − 5x + 9 = 2 − 4x

a) 3x − 5 = 4 − 5x + 3 → 3x + 5x = 4 + 3 + 5 → 8x = 12 → x =12

8=

3

2

b) 7 − 3x + 2 = −9x + 5 + 6x → −3x + 9x − 6x = 5 − 7 − 2 → 0x = − 4 → No tiene solución.

c) 7x − 3 − x = 6x − 3 → 7x − x − 6x = −3 + 3 → 0x = 0 → Tiene infinitas soluciones.

d) 3 − 5x + 9 = 2 − 4x → −5x + 4x = 2 − 3 − 9 → −x = −10 → x = 10

Desafío15 Enlaza las fichas de este dominó de ecuaciones. Escríbelo en tu cuaderno.

Existen varias soluciones distintas. Respuesta tipo.

2x + 3 = 15 | −x = −1 + 6 ↔ x − 7 = 3x + 3 | 2x − 5x = 12 ↔ 4x = −12 + x | 3 − x = x + 9 ↔↔ −2x − 1= x + 8 | 1 − 3x = x − 1 ↔ 3x − 3 = x − 2 | 6x = −12 ↔ x + 3 = 5 + 2x | 5x = −25

4 Ecuaciones


3. Resolución de ecuaciones de primer grado

Soluciones de las actividades16 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.

a) 4x + 3(2 − 5x) = x + 6 b) 7 − 5x = 2 + 4(3x + 5) c) 7 + 3(4x − 1) = 5 + 3x d) 3x − 8 = 2x + 5 (1 − x)

a) x = 0 b) x = −15

17 c) x =

1

9 d) x =

13

6

17 Halla el valor de la incógnita.

a) 4 − (2x − 3) = 5 + 3x c) 2(x − 3) − (4x − 1) = 7

b) 7 − x = 2x − (6 − 3x) d) 2x + 1 = 3(x − 1) − (2 + 3x)

a) x =2

5 b) x =

13

6 c) x = −6 d) x = −3


Es aconsejable recordar la propiedad distributiva de la mul-tiplicación antes de resolver ecuaciones con paréntesis, ha-ciendo hincapié en el caso de que el número que multiplica al paréntesis sea negativo.

También es recomendable recordar cómo se obtienen frac-ciones con el mismo denominador antes de resolver ecua-ciones con denominadores, así como insistir en que los de-nominadores no desaparecen si no que aplicamos la regla del producto para simplificarlos.

Vídeo. ECUACIONES CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES

En el vídeo se resuelve una ecuación de primer grado con parén-tesis y denominadores, indicando los pasos a seguir para hallar la solución.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

81


80

3. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Para resolver ecuaciones con paréntesis, aplicamos las propiedades de los números, la regla de la suma y la regla del producto.

5 − 3 ⋅ (2 − x) = −5 + 2 ⋅ (2x + 1)

1 Para eliminar los paréntesis, aplicamos la propiedad distributiva.

2 Utilizamos la regla de la suma y del producto para resolver la ecuación.

Para resolver ecuaciones con denominadores, aplicamos las propiedades de los números, la regla de la suma y la regla del producto.

x − 3

6−−5− 2x

9= 2 +

x

3

1 Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo.

2 Simplificamos las fracciones.

3 Eliminamos los paréntesis y resolvemos la ecuación.

Aprenderás a… ● Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis.

● Resolver ecuaciones de primer grado con denominadores.

Presta atención

❚ Al multiplicar por el m.c.m., las fracciones se pueden simplificar.

❚ Si alguna no se pudiera simplificar, es que el m.c.m. está mal calculado.

} Resuelve esta ecuación: 2( x −1)

3− 2(2− x ) = 2−

7− 2x

2Solución

EJERCICIO RESUELTO

ma2e14

Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.a) 4x + 3(2 − 5x) = x + 6 c) 7 + 3(4x − 1) = 5 + 3xb) 7 − 5x = 2 + 4(3x + 5) d) 3x − 8 = 2x + 5(1 − x)

Halla el valor de la incógnita.a) 4 − (2x − 3) = 5 + 3x c) 2(x − 3) − (4x − 1) = 7b) 7 − x = 2x − (6 − 3x) d) 2x + 1 = 3(x − 1) − (2 + 3x)

Calcula el valor de x en cada ecuación.a) 5 − 3(2x − 7) = 4(x − 2) − (7 − x)b) 12 + 7(2 − x) = 2x − (6x + 5) − 2(3 − 4x)c) 7x − (9 − 3x) = 4(3x − 5) − (8 − 9x) + 1d) 7x + 2(5 − x) = 3 − 2(x − 3) − (6 − 5x) + 2x

Resuelve estas ecuaciones con denominadores.

a) x

3+ 2 =

3

5− x c)

x

5= 1−

3x

2

b) 3

4−

x

3= 1−

5 x

6 d) x −

5

3=

1

6+x

2

Halla la solución de estas ecuaciones.

a) 2− x

4−

5− x

3=

x + 3

6 c)

2x + 5

6=

4− x

9−

2x −5

3

b) 3x −5

2=

5 + 3x

4−

x

8 d)

−3 + 5 x

12−−5− 2x

18=

5 x

9

Resuelve.

a) 4− 3x

9+

3x

4−

6−5 x

6= 1− 3x

b) 2 +3x −5

5+x

3= 1−

3− 8 x

15+ 3x

Halla el valor de la incógnita.

a) 3(2− x )

4− 2( x −1) =

5 x

6−

2(3− 2x )

3

b) 3x −7

9−1 =

3(1− x )

6− 2(3− 2x ) +

x

18

c) 4(2− 3x )−1− 2x

4=

7 x

8−

3(4− 2x )

6−1

d) 1−3(5− x )

10+

7 x

30= 12− 2(3x − 4)−

x −1

15

16

17

18

19

20

21

22

DESAFÍOEl matemático y astrónomo Bhaskara II (1114-1185) está considerado como el mejor matemático indio de su época. Es conocido por su obra Lilavati, nombre de su hija, a quien dedicó este compendio de resultados y problemas matemáticos. Resuelve, a continuación, uno de los problemas de este libro.La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba, y la tercera parte, sobre una flor de silinda. El triple de la diferencia entre estos dos números vuela sobre una flor de krutja, y una abeja vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín. Dime, hermosa niña, el número de abejas.

23

5 − 3 ⋅ (2 − x) = −5 + 2 ⋅ (2x + 1)

5 − 6 + 3x = −5 + 4x + 23x − 4x = −5 + 2 − 5 + 6

−x = −2

x =−2

−1= 2

x − 3

6−−5− 2x

9= 2 +

x

3m.c.m. (6, 9, 3) = 18

18( x − 3)

6−18(−5− 2x )

9= 18 ⋅2 +

18 x

3

x = 35

3(x − 3) − 2(−5 − 2x) = 36 + 6x

3x − 9 + 10 + 4x = 36 + 6x3x + 4x − 6x = 36 + 9 − 10

119

4Ecuaciones


18 Calcula el valor de x en cada ecuación.

a) 5 − 3(2x − 7) = 4(x − 2) − (7 − x) c) 7x − (9 − 3x) = 4(3x − 5) − (8 − 9x) + 1

b) 12 + 7(2 − x) = 2x − (6x + 5) − 2(3 − 4x) d) 7x + 2(5 − x) = 3 − 2(x − 3) − (6 − 5x) + 2x

a) x =41

11 b) x =

37

11 c) x =

18

11 d) No tiene solución.

19 Resuelve estas ecuaciones con denominadores.

a) x

3+ 2 =

3

5− x b)

3

4−

x

3= 1−

5 x

6 c)

x

5= 1−

3x

2 d) x −

5

3=

1

6+x

2

a) x =−21

20 b) x =

1

2 c) x =

10

17 d) x =

11

3

20 Halla la solución de estas ecuaciones.

a) 2− x

4−

5− x

3=

x + 3

6 c)

2x + 5

6=

4− x

9−

2x −5

3

b) 3x −5

2=

5 + 3x

4−

x

8 d)

−3 + 5 x

12−−5− 2x

18=

5 x

9

a) x = −20 b) x =30

7 c) x =

23

20 d) x = 1

21 Resuelve.

a) 4− 3x

9+

3x

4−

6−5 x

6= 1− 3x b) 2 +

3x −5

5+x

3= 1−

3− 8 x

15+ 3x

a) x =56

153 b) x =

−3

−39=

1

13


a) 3(2− x )

4− 2( x −1) =

5 x

6−

2(3− 2x )

3 c) 4(2− 3x )−

1− 2x

4=

7 x

8−

3(4− 2x )

6−1

b) 3x −7

9−1 =

3(1− x )

6− 2(3− 2x ) +

x

18 d) 1−

3(5− x )

10+

7 x

30= 12− 2(3x − 4)−

x −1

15

a) x =66

59 b) x =

67

64 c) x =

86

107 d) x =

617

198

Desafío23 El matemático y astrónomo indio Bhaskara II (1114–1185) está considerado como el mejor matemático indio de su época.

Es conocido por su obra Lilavati, nombre de su hija, a quien dedicó este compendio de resultados y problemas matemá-ticos. Resuelve, a continuación, uno de los problemas de este libro.

La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba, y la tercera parte, sobre una flor de silinda. El triple de la diferencia entre estos dos números vuela sobre una flor de krutja, y una abeja vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín. Dime, hermosa niña, el número de abejas.

x

5+x

3+ 3

x

3−

x

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+ 1 = x →x

5+x

3+ 3 ⋅

2x

15+ 1 = x → 3x + 5 x + 6 x + 15 = 15 x → −x = −15 → x = 15

El número de abejas es 15.

4 Ecuaciones


4. Ecuaciones de segundo grado

Soluciones de las actividades24 Averigua si las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) 2x2 − 3x + 1 = 2 x2 −1( ) d) 2x − x2 + 7 = 3x2 − 2 + 4 x − x2( )

b) 3x + x2 = 1 − x2 e) 1 − 3x2 = −x2 + 2 − 2x2

c) 5x2 + x − 1 = 3x − 1 − x f) 4 x2 −1( ) = x2 + 2x − 4

a) 2x2 − 3x + 1 = 2 x2 −1( ) → 2x2 − 3x + 1 = 2x2 − 2 → −3x + 3 = 0

b) 3x + x2 = 1 − x2 → 3x + 2x2 = 1

c) 5x2 + x − 1 = 3x − 1 − x → 5x2 − x = 0

d) 2x − x2 + 7 = 3x2 − 2 + 4 x − x2( ) → 2x − x2 + 7 = 3x2 − 2 + 4x − 4x2 → −2x + 9 = 0

e) 1 − 3x2 = −x2 + 2 − 2x2 → −1 = 0 → No es una ecuación.

f) 4 x2 −1( ) = x2 + 2x − 4 → 4x2 − 4 = x2 + 2x − 4 → 3x2 − 2x = 0

Son ecuaciones de segundo grado las expresiones de los apartados b), c) y f).


Este epígrafe es totalmente nuevo para los alumnos. El pri-mer paso es hacerles ver la imposibilidad de resolver este tipo de ecuaciones con las reglas de la suma y del produc-to. Posteriormente, se trabaja la posibilidad de escribir una ecuación de segundo grado en la forma general:

ax2 + bx + c = 0

También es importante trabajar la clasificación de la ecua-ciones de segundo grado en completas e incompletas antes de empezar a resolverlas.

Los alumnos están aconstumbrados a que las ecuaciones tienen solo una solución y les puede sorprender que este tipo de ecuaciones tengan dos soluciones.

83


82

4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Gema y Pablo no se ponen de acuerdo.

Para comprobar si una ecuación es de segundo grado, pasamos todos los términos a un lado de la ecuación y simplificamos.

❚ 3x − x2 = 6 − x2 → 3x − x2 − 6 + x2 = 0 → 3x − 6 = 0

No es una ecuación de segundo grado; es una ecuación de primer grado.

❚ 2x2 − 5 = 4x + x2 → 2x2 − 5 − 4x − x2 = 0 → x2 − 4x − 5 = 0

Es una ecuación de segundo grado.

Una ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números conocidos, con a ≠ 0, llamados coeficientes.

Observa cómo son los coeficientes de estas ecuaciones de segundo grado, que ya están expresadas en la forma general.

3x2 − 5x + 6 = 0 → a = 3 b = −5 c = 6 Completas (b ≠ 0 y c ≠ 0)

−6x2 + 5x = 0 → a = −6 b = 5 c = 0

x2 − 9 = 0 → a = 1 b = 0 c = −9 Incompletas (b = 0 o c = 0)

2x2 = 0 → a = 2 b = 0 c = 0

Una ecuación de segundo grado, expresada en forma general, es completa si todos sus coeficientes son distintos de cero, e incompleta cuando b o c son igual a cero.

Número de soluciones

Gema y Pablo siguen trabajando con la única ecuación de segundo grado de la pizarra: x2 − 4x − 5 = 0

Gema afirma que la solución es x = 5, y Pablo, que es x = −1. ¿Quién tiene razón?

x = 5⎯ →⎯⎯ 52 − 4 ⋅ 5 − 5 = 25 − 20 − 5 = 0 → x = 5 es solución.

x2 − 4x − 5 = 0 x = −1⎯ →⎯⎯⎯ (−1)2 − 4 ⋅ (−1) − 5 = 1 + 4 − 5 = 0 → x = −1 es solución.

Los dos tienen razón: ambos números son solución de la ecuación.

Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Aprenderás a… ● Reconocer ecuaciones de segundo grado.

● Identificar los coeficientes de una ecuación de segundo grado.

● Diferenciar ecuaciones de segundo grado completas o incompletas.

Averigua si las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) 2x2 − 3x + 1 = 2 x2 −1( ) d) 2x − x2 + 7 = 3x2 − 2 + 4 x − x2( )

b) 3x + x2 = 1 − x2 e) 1 − 3x2 = −x2 + 2 − 2x2

c) 5x2 + x − 1 = 3x − 1 − x f) 4 x2 −1( ) = x2 + 2x − 4

Copia y completa la siguiente tabla.

EcuaciónCoeficientes

a b c

5x2 − 3x + 1 = 0 O O O

−2x2 + x − 7 = 0 O O O

x2 + 5x − 3 = 0 O O O

−x2 + 6x + 3 = 0 O O O

Copia y completa en tu cuaderno con las ecuaciones que corresponden.

CoeficientesEcuación

a b c

−1 3 −2 O

3 1 −3 O

5 −1 2 O

1 1 −4 O

Clasifica las siguientes ecuaciones en completas e incompletas.a) 3x2 − 2x + 1 = 0 d) 2x − 5x2 = 0b) 2x − 3x2 = 0 e) 7 − 6x2 = 0c) 5 − x2 = 0 f) 9x2 + 32 − x = 0

Escribe estas ecuaciones de segundo grado en la forma general. Identifica sus coeficientes e indica si son completas o incompletas.a) 3x2 − 6 = 2x2 + x − 3 d) 5(x − 1) = 3x2 − 2x − 1 b) 7 − 3x − x2 = x2 + 3x + 7 e) 4x − 7 = 5x2 + 3x + 2 + xc) 2 − (1 − x2) = 3x − 3 f) 3x2 − 2x = 5x − 2(1 − x2)

Indica cuáles de estas ecuaciones tiene por solución x = 3.a) x2 − 3x = 0 c) 2x2 − 4x − 6 = 0b) x2 + 6x + 9 = 0 d) 3x2 − 29 = 0

Comprueba qué ecuaciones tienen por solución x = −1.a) 3x2 − 5 = −2x2 c) x2 − 2x + 2 = 1b) 2 + x = x2 d) 3x2 − 1 = 2x + 3

Averigua qué ecuaciones tienen por soluciones x = −2 y x = 3.a) x2 + x − 2 = 0 c) x2 − x − 6 = 0b) x2 − 2x − 3 = 0 d) x2 + 4x + 3 = 0

24

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29

30

31

Investiga

Investiga sobre la vida de Diofanto de Alejandría, matemático griego del siglo @@@, que enunció varias reglas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

32

121

4Ecuaciones


25 Copia y completa la siguiente tabla.



a b c a b c

5x2 − 3x + 1 = 0 O O O 5x2 − 3x + 1 = 0 5 −3 1

−2x2 + x − 7 = 0 O O O −2x2 + x − 7 = 0 −2 1 −7

x2 + 5x − 3 = 0 O O O x2 + 5x − 3 = 0 1 5 −3

−x2 + 6x + 3 = 0 O O O −x2 + 6x + 3 = 0 −1 6 3

26 Copia y completa en tu cuaderno con las ecuaciones que corresponden.



a b c a b c

−1 3 −2 O −1 3 −2 −x2 + 3x − 2 = 0

3 1 −3 O 3 1 −3 3x2 + x − 3 = 0

5 −1 2 O 5 −1 2 5x2 − x + 2 = 0

1 1 −4 O 1 1 −4 x2 + x − 4 = 0

27 Clasifica las siguientes ecuaciones en completas e incompletas.

a) 3x2 − 2x + 1 = 0 b) 2x − 3x2 = 0 c) 5 − x2 = 0 d) 2x − 5x2 = 0 e) 7 − 6x2 = 0 f) 9x2 + 32 − x = 0

Son completas las ecuaciones de los apartados a) y f). El resto son incompletas.28 Escribe estas ecuaciones de segundo grado en forma general. Identifica sus coeficientes e indica si son completas o in-

completas.

a) 3x2 − 6 = 2x2 + x − 3 c) 2− 1− x2( ) = 3x − 3 e) 4x − 7 = 5x2 + 3x + 2 + x

b) 7 − 3x − x2 = x2 + 3x + 7 d) 5 x −1( ) = 3x2 − 2x −1 f) 3x2 − 2x = 5 x − 2 1− x2( )

a) x2 − x − 3 = 0 → Completa. a = 1, b = −1, c = −3 d) −3x2 + 7x − 4 = 0 → Completa. a = −3, b = 7, c = −4

b) −2x2 − 6x = 0 → Incompleta. a = −2, b = −6, c = 0 e) −5x2 − 9 = 0 → Incompleta. a = −5, b = 0, c = −9

c) x2 − 3x + 4 = 0 → Completa. a = 1, b = −3, c = 4 f) x2 − 7x + 2 = 0 → Completa. a = 1, b = −7, c = 229 Indica cuáles de estas ecuaciones tiene por solución x = 3.

a) x2 − 3x = 0 b) x2 + 6x + 9 = 0 c) 2x2 − 4x − 6 = 0 d) 3x2 − 29 = 0

a) 32 − 3 ⋅ 3 = 9 − 9 = 0. Es solución. c) 2 ⋅ 32 − 4 ⋅ 3 − 6 = 18 − 12 − 6 = 0. Es solución.

b) 32 + 6 ⋅ 3 + 9 = 9 + 18 + 9 ≠ 0. No es solución. d) 3 ⋅ 32 − 29 = 27 − 29 ≠ 0. No es solución.30 Comprueba qué ecuaciones tienen por solución x = −1.

a) 3x2 − 5 = −2x2 b) 2 + x = x2 c) x2 − 2x + 2 = 1 d) 3x2 − 1 = 2x + 3

a) 3 ⋅ (−1)2 − 5 = −2 ⋅ (−1)2 → −2 = −2. Es solución. c) (−1)2 − 2 ⋅ (−1) + 2 = 1 → 5 ≠ 1. No es solución.

b) 2 + (−1) = (−1)2 → 2 − 1 = 1 → 1 = 1. Es solución. d) 3 ⋅ (−1)2 − 1 = 2 ⋅ (−1) + 3 → 2 ≠ 1. No es solución.31 Averigua qué ecuaciones tienen por soluciones x = −2 y x = 3.

a) x2 + x − 2 = 0 b) x2 − 2x − 3 = 0 c) x2 − x − 6 = 0 d) x2 + 4x + 3 = 0

a) (−2)2 + (−2) − 2 = 0 → 4 − 2 − 2 = 0. Es solución. 32 + 3 − 2 = 9 + 3 − 2 = 10 ≠ 0. No es solución.

b) (−2)2 − 2 ⋅ (−2) − 3 = 0 → 4 + 4 − 3 = 5 ≠ 0. No es solución. 32 − 2 ⋅ 3 − 3 = 9 − 6 − 3 = 0 . Es solución.

c) (−2)2 − (−2) − 6 = 0 → 4 + 2 − 6 = 0. Es solución. 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0. Es solución.

d) (−2)2 + 4 ⋅ (−2) + 3 = 0 → 4 − 8 + 3 = − 1 ≠ 0. No es solución. 32 + 4 ⋅ 3 + 3 = 9 + 12 + 3 ≠ 0. No es solución.

Investiga32 Investiga sobre la vida de Diofanto de Alejandría, matemático griego del siglo iii, que enunció varias reglas para resolver

ecuaciones de primer y segundo grado.

Respuesta abierta.

4 Ecuaciones


5. Resolución de ecuaciones de segundo grado

Soluciones de las actividades33 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas.

a) x2 + 4x − 5 = 0 c) x2 + 4x + 3 = 0 e) x2 − 2x − 8 = 0

b) x2 − x − 6 = 0 d) x2 − 5x + 6 = 0 f) x2 − 8x + 12 = 0

a) x1 = 1 y x2 = −5 c) x1 = −1 y x2 = −3 e) x1 = 4 y x2 = −2

b) x1 = 3 y x2 = −2 d) x1 = 3 y x2 = 2 f) x1 = 6 y x2 = 234 Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 − 6x + 9 = 0 c) x2 − 3x + 9 = 0 e) x2 + 2x + 1 = 0

b) x2 − 6x − 7 = 0 d) x2 + 4x + 6 = 0 f) x2 − 6x + 18 = 0

a) x = 3 c) Sin solución e) −1

b) x1 = 7 y x2 = −1 d) Sin solución f) Sin solución


Antes de comenzar, puede ser aconsejable comentar a los alumnos que esta fórmula se deduce de un binomio al cua-drado, aunque es posible que no estén preparados para hacerlo pero sí para empezar a practicarla.

Es importante trabajar primero las dos soluciones de la ecuación de segundo grado por separado, una con el signo más y otra con el signo menos, para después utilizar la fór-mula clásica con el signo ±.

Vídeo. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

En el vídeo se resuelve una ecuación de segundo grado con pa-réntesis, indicando los pasos a seguir para simplificar la ecuación y aplicar la fórmula general para hallar las soluciones.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de la página o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.

85


84

5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ecuaciones completas (ax2 + bx + c = 0)

Para encontrar las soluciones de ecuaciones completas, se aplican estas fórmulas:

x =−b + b2 − 4ac

2a y x =

−b− b2 − 4ac

2a

Observa cómo se aplica la fórmula en estas ecuaciones.

❚ x2 + 2x − 3 = 0 → a = 1, b = 2 y c = −3

x =−2 ± 22 − 4 ⋅1⋅ (−3)

2 ⋅1=−2 ± 4 + 12

2=−2 ± 16

2=−2 ± 4

2→

x1 =−2 + 4

2=

2

2= 1

x2 =−2− 4

2=−6

2= −3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x =−2 ± 22 − 4 ⋅1⋅ (−3)

2 ⋅1=−2 ± 4 + 12

2=−2 ± 16

2=−2 ± 4

2→

x1 =−2 + 4

2=

2

2= 1

x2 =−2− 4

2=−6

2= −3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

La ecuación tiene dos soluciones: x = 1 y x = −3

❚ x2 − 4x + 4 = 0 → a = 1, b = −4 y c = 4

x =4 ± (-4)2 - 4 ◊1◊ 4

2 ◊1=

4 ± 16-16

2=

4 ± 0

2=

4 ± 0

2=

4

2= 2

La ecuación tiene una única solución: x = 2

❚ x2 + 4x + 5 = 0 → a = 1, b = 4, y c = 5

x =−4 ± 42 − 4 ⋅1⋅5

2 ⋅1=−4 ± 16− 20

2=−4 ± −4

2

La ecuación no tiene solución.

Ecuaciones incompletas (ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0, ax2 = 0)

Para encontrar las soluciones de este tipo de ecuaciones, aplicamos las propiedades de los números.

Observa el proceso de resolución de las ecuaciones de segundo grado incompletas.

Ecuación de segundo grado incompleta con c = 0

1 Sacamos x como factor común.

2 Obtenemos las soluciones al igualar a cero los dos factores.

Ecuación de segundo grado incompleta con b = 0

1 Despejamos la incógnita de grado 2.

2 El valor de x es la raíz cuadrada de un número, que puede ser positivo o negativo.

Ecuación de segundo grado incompleta con b = 0 y c = 0

El valor de x es siempre cero.

No existe la raíz de un número negativo.

x → ± 4 → x = +2

x = −2

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ x = ±2

Aprenderás a… ● Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.

Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas.a) x2 + 4x − 5 = 0 d) x2 − 5x + 6 = 0b) x2 − x − 6 = 0 e) x2 − 2x − 8 = 0c) x2 + 4x + 3 = 0 f) x2 − 8x + 12 = 0

Halla las soluciones de estas ecuaciones.a) x2 − 6x + 9 = 0 d) x2 + 4x + 6 = 0b) x2 − 6x − 7 = 0 e) x2 + 2x + 1 = 0c) x2 − 3x + 9 = 0 f) x2 − 6x + 18 = 0

Copia, completa los huecos y resuelve.

a) 8x2 − §x − 1 = 0 → x =2 ± 4− 4 ⋅§ ⋅ (−1)

2 ⋅§

b) 2x2 − 5x + § = 0 → x =! ± 25− 4 ⋅! ⋅3

2 ⋅2

c) §x2+ x − 3 = 0 → x =§ ± 1− 4 ⋅ 4 ⋅§

2 ⋅ 4

d) 15x2 − x − § = 0 → x =1± §− 4 ⋅§ ⋅ (−2)

2 ⋅§

Halla el valor de x en cada caso.

Completa en tu cuaderno y resuelve.a) 3x2 − 9x = 0 → x ⋅ (§x − §) = 0b) x2 + 5x = 0 → x ⋅ (§x + §) = 0c) 12x2 + 4x = 0 → x ⋅ (§x + §) = 0d) 5x2 − x = 0 → x ⋅ (§x − §) = 0

Halla el valor de la incógnita en estas ecuaciones de segundo grado incompletas.a) 3x2 − 6x = 0 d) 2x2 − 5x = 0b) 2x2 + 8x = 0 e) x2 − 4x = 0c) 7x2 − 21x = 0 f) 3x2 + 7x = 0

33

34

35

36

37

38

Resuelve.a) x2 − 16 = 0 d) 3x2 − 75 = 0b) 4x2 − 36 = 0 e) 5x2 + 45 = 0c) 3x2 + 9 = 0 f) x2 − 121 = 0

39

Resuelve.

a) 3 x2 − 2( ) + 3x = −2x − x2

b) 5− 2 x2 −1( ) = 7− 3 2x − 3x2( )

40

a) 3x2 + 8x − 3 = 0b) 2x2 − 11x + 15 = 0c) −4x2 + 4x + 3 = 0d) −2x2 + 5x − 12 = 0e) −20x2 − 11x + 3 = 0

f) 8x2 + 14x + 5 = 0

} Resuelve estas ecuaciones incompletas.

a) 3x2 + 12 = 0 b) 4x2 − 20 = 0

Solución

a) 3x2 + 12 = 0 → 3x2 = −12 → x2 = −12

3 = −4

→ x = ± −4 → No existe esta raíz.Por tanto, la ecuación no tiene solución.

b) 4x2 − 20 = 0 → 4x2 = 20 → x2 = 20

4 = 5

→ x = ± 5Se deja el resultado en forma de raíz.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOLas ecuaciones de segundo grado pueden tener dos, una o ninguna solución. Las soluciones de la

ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 son x =−b ± b2 − 4ac

2a. Averigua cómo deben ser a, b

y c para que podamos asegurar que la ecuación tiene:a) Dos soluciones b) Una solución c) Ninguna solución

41

Presta atención

Las fórmulas que se utilizan para calcular las soluciones de una ecuación completa se simplifican en esta expresión:

x =−b ± b2 − 4ac

2a

2x2 − 5x = 0 → x (2x − 5) = 0

x = 0; 2x − 5 = 0 → x =5

2

3x2 − 12 = 0 → 3x2 = 12 → x2 = 12

3 = 4

} Resuelve.

4 x2 −1( )− 7x = −2 1− x2( )−5

Solución

EJERCICIO RESUELTO

ma2e15

123

4Ecuaciones


35 Copia, completa los huecos y resuelve.

a) 8x2 − §x − 1 = 0 → x =2 ± 4− 4 ⋅§ ⋅ (−1)

2 ⋅§ c) §x2 + x − 3 = 0 → x =

§ ± 1− 4 ⋅ 4 ⋅§

2 ⋅ 4

b) 2x2 − 5x + § = 0 → x =§ ± 25− 4 ⋅§ ⋅3

2 ⋅2 d) 15x2 − x − § = 0 → x =

1± §− 4 ⋅§ ⋅−2

2 ⋅§

a) x1 =1

2y x2 =

−1

4 b) x1 =

3

2y x2 = 1 c) x1 =

3

4y x2 = −1 d) x1 =

2

5y x2 =

−1

3

36 Halla el valor de x en cada caso.

a) 3x2 + 8x − 3 = 0b) 2x2 − 11x + 15 = 0c) −4x2 + 4x + 3 = 0d) −2x2 + 5x − 12 = 0e) −20x2 − 11x + 3 = 0

f) 8x2 + 14x + 5 = 0

a) x1 = 1

3 y x2 = −3 d) Sin solución

b) x1 = 3 y x2 = 5

2 e) x1 = −

3

4 y x2 =

1

5

c) x1 = −1

2 y x2 =

3

2 f) x1 =

1

2 y x2 = −

5

4

37 Completa en tu cuaderno y resuelve.

a) 3x2 − 9x = 0 → x ⋅ (§x − §) = 0 c) 12x2 + 4x = 0 → x ⋅ (§x + §) = 0

b) x2 + 5x = 0 → x ⋅ (§x + §) = 0 d) 5x2 − x = 0 → x ⋅ (§x − §) = 0

a) x = 0 y x = 3 b) x = 0 y x = −5 c) x = 0 y x = −1

3 d) x = 0 y x =

1

5

38 Halla el valor de la incógnita en estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 − 6x = 0 c) 7x2 − 21x = 0 e) x2 − 4x = 0

b) 2x2 + 8x = 0 d) 2x2 − 5x = 0 f) 3x2 + 7x = 0

a) x = 0 y x = 2 c) x = 0 y x = 3 e) x = 0 y x = 4

b) x = 0 y x = −4 d) x = 0 y x = 5

2 f) x = 0 y x = −

7

3

39 Resuelve.

a) x2 − 16 = 0 c) 3x2 + 9 = 0 f) 5x2 + 45 = 0

b) 4x2 − 36 = 0 d) 3x2 − 75 = 0 h) x2 − 121 = 0

a) x = ± 16 = ±4 c) x = ± −3 . No tiene solución. e) x = ± −9 . No tiene solución.

b) x = ± 9 = ±3 d) x = ± 25 = ±5 f) x = ± 121 = ±1140 Resuelve.

a) 3 x2 − 2( ) + 3x = −2x − x2 b) 5− 2 x2 −1( ) = 7 2x − 3x2( )

a) x1 = 3

4 y x2 = −2 b) x1 = 0 y x2 =

6

11

Desafío41 Las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos, una o ninguna solución. Las soluciones de la ecuación de segundo

grado ax2 + bx + c = 0 son x =−b ± b2 − 4ac

2a. Averigua cómo deben ser a, b y c para que podamos asegurar que la

ecuación tiene:

a) Dos soluciones. b) Una solución. c) Ninguna solución.

b) b2 − 4ac > 0 b) b2 − 4ac = 0 c) b2 − 4ac < 0

4 Ecuaciones


Lee y comprende las matemáticas

4 LEE Y COMPRENDE LAS MATEMÁTICAS

86 87

4Actividades

Vamos a hallar cuántos años vivió Diofanto usando los datos que nos da su epitafio y utilizando ecuaciones.

Analiza la pregunta

Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.

❚ Llamamos x a los años que vivió Diofanto.

❚ Volvemos a leer el epitafio y sustituimos todos los datos en los que aparece la edad de Diofanto por x.

Busca los datos

La sexta parte de ella la ocupó su infancia.

Había transcurrido, además, una doceava parte de su vida cuando de pelo se cubrió su barba.

A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio y,

cinco años después de casarse, nació su precioso primogénito,

cuya vida duró nada más que la mitad de la de su padre.

Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena, habiendo sobrevivido cuatro años a la muerte de su hijo.

Entonces, la vida de Diofanto duró: x

6+

x

12+x

7+ 5 +

x

2+ 4 = x

Utiliza las matemáticas

Por un lado, tenemos la edad que nos describe el epitafio y, por otro, la edad de Diofanto, que habíamos llamado x.

Como ambas son iguales, planteamos una ecuación y la resolvemos.

x

6+

x

12+x

7+ 5 +

x

2+ 4 = x

m.c.m. (6, 12, 7, 2) = 84

→14 x

84+

7 x

84+

12x

84+

420

84+

42x

84+

336

84=

84 x

84

14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x

14x + 7x + 12x + 42x − 84x = −420 − 336

−9x = −756 → x =−756

−9= 84

Luego, Diofanto vivió 84 años.

x

6x

12

x

7

5

x

2

4

El epitafio de Diofanto

Diofanto de Alejandría fue un antiguo matemático griego que es considerado por muchos el padre del álgebra y autor de la obra Aritmética.

Nada se conoce con seguridad sobre su vida; ni siquiera está clara la fecha en la que vivió, aunque todo parece indicar que fue en torno a los siglos III o IV.

Sin embargo, sí se conoce la edad a la que falleció gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega.

¡Caminante! Aquí se sepultaron los restos de Diofanto.

Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla!, la duración de su larga vida.

La sexta parte de ella la ocupó su infancia.

Había transcurrido, además, una doceava parte de su vida cuando de pelo se cubrió su barba.

A partir de ahí, pasó la séptima parte de su existencia hasta contraer matrimonio y, cinco años después de casarse, nació su precioso primogénito, cuya vida duró nada más que la mitad de la de su padre.

Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena, habiendo sobrevivido cuatro años a la muerte de su hijo.

Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le llegó la muerte.

Si a la mitad de un número le sumamos primero su tercera parte y luego 7, nos queda el propio número. Averigua de cuál se trata.

Rosa construye un cuadrado con unas cuantas varillas de la misma longitud. Como le sobran algunas, las agrega y construye cuadrados iguales de la siguiente forma:

a) ¿Cuántas varillas necesitaría para poder formar la siguiente pieza de la serie?

b) ¿Cuántos cuadrados puede formar con 73 varillas?

Uma y su padre se llevan 22 años. Si Uma tiene ahora 17 años, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que la edad de Uma sea la mitad que la de su padre?

La edad de Ramón es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que la edad de la madre sea el doble que la de Ramón?

En una convención de una multinacional coinciden 19 directivos de tres países diferentes. Los españoles son los más numerosos, los franceses son un tercio del doble más uno que los españoles, y los ingleses, que forman el grupo más reducido, son un quinto de los españoles. ¿Cuántos directivos hay de cada nacionalidad?

Si aumentamos 5 cm un lado de un cuadrado y disminuimos 2 cm el otro lado, obtenemos un rectángulo de 60 cm2 de área. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

Averigua los dos números consecutivos cuyos cuadrados, sumados, den 61.

Descompón el número 10 en dos sumandos tales que su producto sea 16.

42

43

44

45

46

47

48

49

Tres hermanos se reparten cierta cantidad de dinero de forma que al mayor le corresponde la mitad de la cantidad; al mediano, la cuarta parte de lo que queda, y al pequeño, los 150 € restantes. ¿Qué cantidad de dinero se han repartido?

En un concesionario se han colocado 370 neumáticos a 108 vehículos nuevos. Si están repartidos entre motos o coches, ¿cuántos vehículos nuevos de cada tipo hay en el concesionario?

Un trabajador ha ganado 84 € por trabajar cierto número de horas. Si el precio de cada hora hubiera sido 1 € menor, tendría que haber trabajado 2 h más para ganar el mismo dinero.a) ¿Cuántas horas ha trabajado?b) ¿Cuál ha sido el precio de la hora?

Para cercar un terreno rectangular de 96 m2, se han necesitado 40 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

Ayer, Ana se gastó 96 € en varios libros del mismo precio. Al pasar hoy por la librería, ha visto que esos libros estaban rebajados y costaban 2 € menos cada uno. Si con este nuevo precio se podría haber comprado 4 libros más, ¿cuánto costó cada libro y cuántos libros se compró?

50

51

52

53

54

Tres amigos tienen que pagar 25 € por unas raciones, para lo que cada uno de ellos pone 10 €. Pagan, así, con los 30 €, y el camarero les da 5 € de vuelta. De ese dinero, cada uno de los amigos coge 1 € y dejan los otros 2 € de propina al camarero. Por tanto, cada amigo ha pagado 9 €, que, multiplicados, por 3 son 27 €, más los 2 € de la propina son 29 €. ¿Dónde ha ido a para el euro que falta?

55

tipo hay en el concesionario?1

2

4

3

Soluciones de las actividades42 Si a la mitad de un número le sumamos primero su tercera parte y luego 7, nos queda el propio número. Averigua de cuál

se trata.

Planteamos la ecuación: x

2+x

3+ 7 = x → 3x + 2x + 42 = 6 x → 42 = x → Se trata del número 42.

43 Rosa construye un cuadrado con unas cuantas varillas de la misma longitud. Como le sobran algunas, las agrega y cons-truye cuadrados iguales de la siguiente forma:

1

2

4

3

a) ¿Cuántas varillas necesitaría para poder formar la siguiente pieza de la serie?

b) ¿Cuántos cuadrados puede formar con 73 varillas?

a) Necesitaría 16 varillas.

b) 3x + 1 = 73 → 3x = 72 → x = 24

Puede formar 24 cuadrados.


En esta sección se trabaja la comprensión lectora desde las matemáticas. Se presenta un artículo y, tras su lectura, se plantea a los alumnos alguna situación que pueden encon-trarse en su vida cotidiana y que deben resolver extrayendo información de dicha noticia.

Para llegar a la solución del problema propuesto deben se-guir estos pasos:

1.º Analizar la pregunta que se les plantea.

2.º Buscar los datos necesarios en la noticia.

3.º Utilizar las matemáticas para poder resolver la pregunta.

En este caso, se pretende que los alumnos reflexionen sobre cómo plantear ecuaciones para resolver problemas.

Una vez analizado este ejemplo resuelto los alumnos se en-frentan a otras situaciones similares.

125

4Ecuaciones


44 Uma y su padre se llevan 22 años. Si Uma tiene ahora 17 años, ¿cuánto tiempo tiene que pasar para que la edad de Uma sea la mitad que la de su padre?

Si Uma tiene 17 años, su padre tiene 17 + 22 = 39 años.

Llamamos x al tiempo que tiene que pasar par que la edad de Uma se la mitad que la de su padre.

2(17 + x) = 39 + x → 34 + 2x = 39 + x → x = 5

Tienen que pasa 5 años.45 La edad de Ramón es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que la edad de la

madre sea el doble que la de Ramón?

Si llamamos y a la edad de Ramón, su madre tiene 3y años.

Ahora llamamos x al tiempo que tiene que pasar. Entonces:

2(y + x) = 3y + x → 2y + 2x = 3y + x → x = y

Tienen que pasar los mismos años que la edad que tiene Ramón ahora mismo. 46 En una convención de una multinacional coinciden 19 directivos de tres países diferentes. Los españoles son los más

numerosos, los franceses son un tercio del doble más uno que los españoles, y los ingleses, que forman el grupo más reducido, son un quinto de los españoles. ¿Cuántos directivos hay de cada nacionalidad?

Si llamamos x al número de españoles se tiene que:

x +2x + 1

3+x

5= 19 → 15 x + 10 x + 5 + 3x = 285 → 28 x = 280 → x = 10

Hay 10 españoles, 7 franceses y 2 ingleses.47 Si aumentamos 5 cm un lado de un cuadrado y disminuimos 2 cm el otro lado, obtenemos un rectángulo de 60 cm2 de

área. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?

(x + 5) ⋅ (x − 2) = 60 → x2 − 2x + 5x − 10 = 60 → x2 + 3x − 70 = 0

x =−3 ± 9− 4 ⋅1⋅ (−70)

2 ⋅1=−3 ± 289

2=−3 ± 17

2→ x1 = 7 y x2 = −10

El lado del cuadrado mide 7 cm.48 Averigua los dos números consecutivos cuyos cuadrados, sumados, den 61.

x2 + (x + 1)2 = 61 → x2 + x2 + 2x + 1 = 61 → 2x2 + 2x − 60 = 0 → x2 + x − 30 = 0

x =−1± 1− 4 ⋅1⋅ (−30)

2 ⋅1=−1± 121

2=−1± 11

2→ x1 = 5 y x2 = −6

Los números son 5 y 6, o −6 y −5.49 Descompón el número 10 en dos sumandos tales que su producto sea 16.

Los sumandos son son x y 10 − x. Entonces:

x ⋅ (10 − x) = 16 → 10x − x2 = 16 → x2 − 10x + 16 = 0

x =10 ± 100− 4 ⋅1⋅16

2 ⋅1=

10 ± 36

2=

10 ± 6

2→ x1 = 8 y x2 = 2

Los sumandos son 8 y 2.50 Tres hermanos se reparten cierta cantidad de dinero de forma que al mayor le corresponde la mitad de la cantidad; al

mediano, la cuarta parte de lo que queda, y al pequeño, los 150 € restantes. ¿Qué cantidad de dinero se han repartido?

Al mayor le corresponde x

2, al mediano

1

4 de

x

2=

x

8, y al pequeño, 150 €. Entonces:

x

2+x

8+ 150 = x → 4 x + x + 1200 = 8 x → 1200 = 3x → x = 400

El total son 400 €, luego el mayor recibe 200 €, y el mediano, 50 €.

4 Ecuaciones


51 En un concesionario se han colocado 370 neumáticos a 108 vehículos nuevos. Si están repartidos entre motos o coches, ¿cuántos vehículos nuevos de cada tipo hay en el concesionario?

En el concesinario hay x coches y 108 − x motos. Entonces:

4x + 2(108 − x) = 370 → 4x + 216 − 2x = 370 → 2x = 154 → x = 77

Hay 77 coches y 31 motos.52 Un trabajador ha ganado 84 € por trabajar cierto número de horas. Si el precio de cada hora hubiera sido 1 € menor,

tendría que haber trabajado 2 h más para ganar el mismo dinero.

a) ¿Cuántas horas ha trabajado?

b) ¿Cuál ha sido el precio de la hora?

a) Si llamamos x al precio de cada hora, tenemos que ha trabajado 84

x horas. Entonces:

( x −1) ⋅84

x+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 84 → 84 + 2x −84

x− 2 = 84 → 84 x + 2x2 − 84− 2x = 84 x → x2 − x − 42 = 0

x =1± 1− 4 ⋅1⋅ (−42)

2 ⋅1=

1± 169

2=

1± 13

2→ x1 = 7 y x2 = −6

Ha trabajado 12 horas.

b) El precio de la hora ha sido 7 €.53 Para cercar un terreno rectangular de 96 m2, se han necesitado 40 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

Si llamamos x al largo de la finca, tenemos que el ancho es 20 − x. Entonces:

x ⋅ (20 − x) = 96 → 20x − x2 = 96 → x2 − 20x + 96 = 0

x =20 ± 400− 4 ⋅1⋅96

2 ⋅1=

20 ± 16

2=

20 ± 4

2→

x1 =24

2= 12

x2 =16

2= 8

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Las dimensiones de la finca son 12 m de largo y 8 m de ancho.54 Ayer, Ana se gastó 96 € en varios libros del mismo precio. Al pasar hoy por la librería, ha visto que esos libros estaban re-

bajados y costaban 2 € menos cada uno. Si con este nuevo precio se podría haber comprado 4 libros más, ¿cuánto costó cada libro y cuántos libros se compró?

Si llamamos x al número de libros, el precio de cada uno es 96

x. Entonces:

( x + 4) ⋅96

x− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 96 → 96− 2x +384

x− 8 = 96 → 96 x − 2x2 + 384− 8 x = 96 x → x2 + 4 x −192 = 0

x =−4 ± 16− 4 ⋅1⋅ (−192)

2 ⋅1=−4 ± 784

2=−4 ± 28

2→ x1 = 12 y x2 = −16

Ha comprado 12 libros a 8 € cada uno.

Analiza55 Tres amigos tienen que pagar 25 € por unas raciones, para lo que cada uno de ellos pone 10 €. Pagan, así, con los 30 €,

y el camarero les da 5 € de vuelta. De ese dinero, cada uno de los amigos coge 1 € y dejan los otros 2 € de propina al camarero. Por tanto, cada amigo ha pagado 9 €, que, multiplicados, por 3 son 27 €, más los 2 € de la propina son 29 €. ¿Dónde ha ido a para rel euro que falta?

Ellos pagan 9 ⋅ 3 = 27 € más los 3 € euros de la vuelta suman los 30 €.

Los 2 € del camarero está en los 9 € que pagan.

127

4Ecuaciones



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis.

❚❚ Resolver ecuaciones de primer grado con denominadores.

❚❚ Resolver ecuaciones de segundo grado completas.

❚❚ Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.

Actividades finalesSoluciones de las actividades56 Escribe las ecuaciones que representan estos dibujos.

a) b)

a) 2 − x = 4x − 3 b) 3 − x = 4x − 2

¿Qué tienes que saber?

88 89

¿QUÉ4 tienes que saber? Actividades Finales 4

Ecuaciones de segundo grado completasTen en cuenta

Para resolver la ecuación de segundo grado de la forma

ax2 + bx + c = 0

aplicamos la fórmula:

x =−b ± b2 − 4ac

2a

Resuelve esta ecuación de segundo grado: x2 + 4x − 21 = 0

x2 + 4x − 21 = 0 → a = 1, b = 4 y c = −21

Aplicamos la fórmula:

x =−4 ± 42 − 4 ⋅1⋅ (−21)

2 ⋅1=−4 ± 16 + 84

2=−4 ± 100

2=−4 ± 10

2→

x1 =−4 + 10

2=

6

2= 3

x2 =−4−10

2=−14

2= −7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

x =−4 ± 42 − 4 ⋅1⋅ (−21)

2 ⋅1=−4 ± 16 + 84

2=−4 ± 100

2=−4 ± 10

2→

x1 =−4 + 10

2=

6

2= 3

x2 =−4−10

2=−14

2= −7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Ecuaciones de segundo grado incompletasTen en cuenta

Incompleta con c = 0: se saca factor común a x y seigualan a 0 los dos factores.

Incompleta con b = 0. Se despeja x2 y se hace la raíz cuadrada positiva y negativa.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 + 2x = 0 b) 2x2 − 18 = 0

2x2 = 18

2x2 = 9 → x = ± 9 = ±3

Ecuaciones de primer grado con denominadoresTen en cuenta

Para de resolver una ecuación con denominadores:1 Eliminamos los

denominadores, multiplicando por su mínimo común múltiplo

2 Simplificamos las fracciones.3 Eliminamos los paréntesis y

resolvemos la ecuación.

Resuelve la siguiente ecuación con denominadores: x − 3

4+ 5 =

7x

2−

2− 3x

6

12( x − 3)

4+ 12 ⋅5 =

12 ⋅7 x

2−

12(2− 3x )

6 3(x − 3) + 12 ⋅ 5 = 6 ⋅ 7x − 2(2 − 3x)

3x − 9 + 60 = 42x − 4 + 6x

−9 + 60 + 4 = 42x + 6x − 3x

55 = 45x → x =55

45=

11

9

m.c.m. (4, 2, 6) = 12

Multiplicamos por el m.c.m todos los términos.

Ecuaciones

Escribe las ecuaciones que representan estos dibujos.

Identifica los términos de las ecuaciones y escribe el grado de cada una.a) 3x4 − 2x2 = 5x − 6x5 − 3

b) 5a

3=

3b

2− ab

c) xyz

3= 3x2 + 2 y2 − z2

d) 3ab2 −b3

4+ 1 =

a2b5

5− a6

Copia y completa los exponentes que faltan para que la ecuación tenga el grado indicado.a) Grado 2 → 3xy + 2x§ = 5yb) Grado 3 → 7a − 7ab§ + b3 = 0c) Grado 4 → 9x2y − x§y2 + y3 = 2x3

d) Grado 5 → 6xyz + 3x2y = xz§ − 1

Indica si el valor x = −1 es solución de alguna de estas ecuaciones. Justifica tu respuesta.a) 3x + 5 = x2 + 1 c) x2 − 3x + 4 = 0

b) x

3=

3x

2+

7

6 d) (x + 2)2 = x − 1

Comprueba qué valores son solución de esta ecuación:

2xy − x2 = 1

a) x = 0, y = 2 d) x = 0, y = 1

2

b) x = 1, y = 1 e) x = 2, y = 5

4

c) x = 1

3, y =

1

3 f) x = −1, y = −1

Escribe las siguientes ecuaciones.a) El doble de un número más uno es 7.b) La mitad de un número más 5 es igual a 8.c) La suma del cuadrado de un número más su

triple es 5.d) Un número más su doble más su mitad es 35.

56

57

58

59

60

61

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Resuelve estas ecuaciones.

a) 3x − 9 = 2x + 1 c) 8x − 9 = 9x − 3

b) 6 + 5x = 4x − 3 d) 3 − 6x = 2 − 7x

Halla el valor de x.

a) 6x = 18 d) 9 = 5x

b) x

3= 7 e) 2x = −8

c) 7 =x

2 f)

−9

7=

3x

2

Resuelve.

a) 3x − 5 + 7 − x = 4x + 3 − 5x + 1

b) 5 − x + 6x = 10 − 2x + 5x − 2

c) −x + 8x − 7 = 7 − 4x − 8 + 12x

d) 7x − 4 = −x + 6 − 7x + 4x

Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 3x − 8 = −x + 9 + 4x

b) −x + 5 − 6x = 3 − 7x + 2

c) 12x − 7 = 3x − 5 + 2x

Los siguientes miembros de las ecuaciones aparecen desordenados. Agrúpalos formando una ecuación cuya solución es x = 1.

Primer miembro Segundo miembro

7x − 1 5x + 3

3x + 5 2 − 4x

4x − 3 2x + 4

3x − 5 2 − x

Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.

a) 3x + 2(4x − 5) = 3x − 2

b) 5 − 3x = 3 + 4(1 − 2x)

c) 7 + 3(2 − 3x) = 5 − 6x

d) 3x + 1 = 2(x − 2) − 1

Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) 2 − 3(4x − 3) = 6 − 2x

b) −8x + 3 = 6 − 2(3x + 4)

c) 7x − 4(−2 − x) = 7x + 3

Resuelve.

a) 3(x − 4) + 1 = 5 − 2(3 − 2x)

b) 5 − (x − 1) = 3x + 4(2 − 3x)

c) 6x − 2(3 − 4x) = 12 − (3x − 7)

d) 2(6x − 4) − (3 − 2x) = 1 − 2(3x − 5)

62

63

64

65

66

67

68

69

a) b)

x ⋅ (x + 2) = 0x = 0

x + 2 = 0 → x = −2

Ecuaciones de primer grado con parentesisTen en cuenta

Para resolver una ecuación con paréntesis:1 Eliminamos los paréntesis

aplicando la propiedad distributiva.

2 Utilizamos la regla de la suma y la del producto para resolver la ecuación.

Resuelve la siguiente ecuación con paréntesis: 3x − 2(x + 5) = 5 − 3(2 − 3x)

3x − 2 (x + 5) = 5 − 3 (2 − 3x)

3x − 2x − 10 = 5 − 6 + 9x

3x − 2x − 9x = 5 − 6 + 10

−8 x = 9 → x =9

−8= −

9

8

El signo negativo delante del paréntesis afecta a todo el paréntesis.

4 Ecuaciones


57 Identifica los términos de las ecuaciones y escribe el grado de cada una.

a) 3x4 − 2x2 = 5x − 6x5 − 3 c) xyz

3= 3x2 + 2 y2 − z2

b) 5a

3=

3b

2− ab d) 3ab2 −

b3

4+ 1 =

a2b5

5− a6

a) Términos: 3x4, −2x2, 5x, −6x5, −3. Grado: 5 c) Términos: xyz

3, 3x2 , 2 y2 ,− z2 . Grado: 3

b) Términos: 5a

3,

3b

2,− ab. Grado: 2 d) Términos: 3ab2 ,−

b3

4, 1,

a2b5

5,− a6 . Grado: 7

58 Copia y completa los exponentes que faltan para que la ecuación tenga el grado indicado.

a) Grado 2 → 3xy + 2x§ = 5y c) Grado 4 → 9x2y − x§y2 + y3 = 2x3

b) Grado 3 → 7a − 7ab§ + b3 = 0 d) Grado 5 → 6xyz + 3x2y = xz§ − 1

a) 3xy + 2x2 = 5y c) 9x2y − x2y2 + y3 = 2x3

b) 7a − 7ab2 + b3 = 0 d) 6xyz + 3x2y = xz4 − 159 Indica si el valor x = −1 es solución de alguna de estas ecuaciones. Justifica tu respuesta.

a) a) 3x + 5 = x2 + 1 b) x

3=

3x

2+

7

6 c) x2 − 3x + 4 = 0 d) (x + 2)2 = x − 1

a) 3 ⋅ (−1) + 5 = (−1)2 + 1 → −3 + 5 = 1 + 1 → 2 = 2. Es solución.

b) (−1)

3=

3 ⋅ (−1)

2+

7

6→−1

3=−3

2+

7

6→−1

3=−9

6+

7

6=−2

6=−1

3. Es solución.

c) (−1)2 − 3(−1) + 4 = 0 → 1 + 3 + 4 = 8 ≠ 0. No es solución.

d) ((−1) + 2)2 = (−1) − 1 → 1 ≠ −2. No es solución. 60 Comprueba qué valores son solución de esta ecuación: 2xy − x2 = 1

a) x = 0, y = 2 c) x = 1

3, y =

1

3 e) x = 2, y =

5

4

b) x = 1, y = 1 d) x = 0, y = 1

2 f) x = −1, y = −1

a) 2 ⋅ 0 ⋅ 2 − 02 = 0 ≠ 1. No es solución.

b) 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 12 = 2 − 1 = 1. Es solución.

c) 2 ⋅1

3⋅1

3−

1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=2

9−

1

9=

1

9≠ 1. No es solución.

d) 2 ⋅0 ⋅1

2− (0)2 = 0 ≠ 1. No es solución.

e) 2 ⋅2 ⋅5

4− (2)2 = 5− 4 = 1. Es solución.

f) 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) − (−1)2 = 2 − 1 = 1. Es solución.61 Escribe las siguientes ecuaciones.

a) El doble de un número más uno es 7.

b) La mitad de un número más 5 es igual a 8.

c) La suma del cuadrado de un número más su triple es 5.

d) Un número más su doble más su mitad es 35.

a) 2x + 1 = 7 b) x

2+ 5 = 8 c) x2 + 3x = 5 d) x + 2x +

x

2= 35

129

4Ecuaciones



a) 3x − 9 = 2x + 1 b) 6 + 5x = 4x − 3 c) 8x − 9 = 9x − 3 d) 3 − 6x = 2 − 7x

a) 3x − 9 = 2x + 1 → 3x − 2x = 1 + 9 → x = 10 c) 8x − 9 = 9x − 3 → 8x − 9x = −3 + 9 → −x = 6 → x = −6

b) 6 + 5x = 4x − 3 → 5x − 4x = −3 − 6 → x = −9 d) 3 − 6x = 2 − 7x → −6x + 7x = 2 − 3 → x = −163 Halla el valor de x.

a) 6x = 18 b) x

3= 7 c) 7 =

x

2 d) 9 = 5x e) 2x = −8 f)

−9

7=

3x

2

a) x = 3 b) x = 21 c) x = 14 d) x = 9

5 e) x = −4 f) x =

−6

7

64 Resuelve.

a) 3x − 5 + 7 − x = 4x + 3 − 5x + 1 c) −x + 8x − 7 = 7 − 4x − 8 + 12x

b) 5 − x + 6x = 10 − 2x + 5x − 2 d) 7x − 4 = −x + 6 − 7x + 4x

a) 3x − 5 + 7 − x = 4x + 3 − 5x + 1 → 3x = 2 → x =2

3 c) −x + 8x − 7 = 7 − 4x − 8 + 12x → −x = 6 → x = −6

b) 5 − x + 6x = 10 − 2x + 5x − 2 → 2x = 3 → x =3

2 d) 7x − 4 = −x + 6 − 7x + 4x → 11x = 10 → x =

10

11

65 Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 3x − 8 = −x + 9 + 4x b) −x + 5 − 6x = 3 − 7x + 2 c) 12x − 7 = 3x − 5 + 2x

a) 3x − 8 = −x + 9 + 4x → 0x = 17 → No tiene solución.

b) −x + 5 − 6x = 3 − 7x + 2 → 0x = 0 → Tiene infinitas soluciones.

c) 12x − 7 = 3x − 5 + 2x → 7x = 2 → Tiene una solución.66 Los siguientes miembros de las ecuaciones aparecen desordenados. Agrúpalos formando una ecuación cuya solución es

x = 1.Primer miembro Segundo miembro

7x − 1 5x + 3 7x − 1 = 2x + 43x + 5 2 − 4x 3x + 5 = 5x + 3

4x − 3 2x + 4 4x − 3 = 2 − x3x − 5 2 − x 3x − 5 = 2 − 4x

67 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.

a) 3x + 2(4x − 5) = 3x − 2 b) 5 − 3x = 3 + 4(1 − 2x) c) 7 + 3(2 − 3x) = 5 − 6x d) 3x + 1 = 2(x − 2) − 1

a) x = 1 b) x =2

5 c) x =

8

3 d) x = −6

68 Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) 2 − 3(4x − 3) = 6 − 2x b) −8x + 3 = 6 − 2(3x + 4) c) 7x − 4(−2 − x) = 7x + 3

a) x =1

2 b) x =

5

2 c) x =

−5

4

69 Resuelve.

a) 3(x − 4) + 1 = 5 − 2(3 − 2x) c) 6x − 2(3 − 4x) = 12 − (3x − 7)

b) 5 − (x − 1) = 3x + 4(2 − 3x) d) 2(6x − 4) − (3 − 2x) = 1 − 2(3x − 5)

a) x = −10 b) x =1

4 c) x =

25

17 d) x =

11

10

4 Ecuaciones


70 Resuelve estas ecuaciones con denominadores.

a) 3−x

2= 3x + 3 b)

x

4= 1−

3x

2 c) 1−

7 x

3=

5

4+x

6 d)

x

9+

2

3=

5

6+x

3

a) x = 0 b) x =4

7 c) x = −

1

10 d) x = −

3

4

71 Resuelve.

a) 1+3x − 2

4= 2−5 x c)

3− 2x

5+x + 1

2= 1+

3x −5

10

b) x + 3

6+ 1 =

3

4− x d)

4− 3x

9−

5

4=

5− x

12+x + 3

18

a) x =6

23 b) x =

−9

14 c) x = 3 d) x = −

50

11

72 Halla el valor de x para estas ecuaciones.

a) 5 x − 3

2−1 =

3x + 1

5−

x −1

10 c) 1−

2x − 3

12=

3x

4+

2− x

3

b) 2x

3−

5 x − 2

6=

4 x − 3

2− 9 d) 5 x +

4 x −7

2=

5 x

3−

3− 2x

6

a) x =7

5 b) x = 5 c) x = 1 d) x =

3

5

91

Actividades Finales 4

90

4 Ecuaciones

Resuelve estas ecuaciones con denominadores.

a) 3−x

2= 3x + 3 c) 1−

7 x

3=

5

4+x

6

b) x

4= 1−

3x

2 d)

x

9+

2

3=

5

6+x

3

Resuelve.

a) 1+3x − 2

4= 2−5 x

b) x + 3

6+ 1=

3

4− x

c) 3− 2x

5+x + 1

2= 1+

3x −5

10

d) 4− 3x

9−

5

4=

5− x

12+x + 3

18

Halla el valor de x para estas ecuaciones.

a) 5 x − 3

2−1 =

3x + 1

5−

x −1

10

b) 2x

3−

5 x − 2

6=

4 x − 3

2− 9

c) 1−2x − 3

12=

3x

4+

2− x

3

d) 5 x +4 x −7

2=

5 x

3−

3− 2x

6

Resuelve.

a) 3x + 1

45−

3x −1

9−

3− 4 x

15= 1

b) 2 + x

9−

2x − 3

6= 3−

x −7

18−

2− 3x

12

c) 1−2x − 3

30= 3x −

2− x

5−

x −1

6

d) x −3x −7

4= 1−

5− x

12−

7 x −5

6

Halla el valor de la incógnita.

a) 2x + 5

5−

1+ 3x

9−

2 + x

3= 3

b) 1− x

9−

5+ x

4=

x + 3

3−

4 x −1

6

Resuelve.

a) 5(2 + x )

6−

2( x − 3)

4= 1−

x −7

12

b) x −3( x − 3)

9=

2x −7

4−

2(7 x − 3)

12

c) 2x −3(2x − 3)

15−

3−5 x

10= 1−

2( x −7)

5

70

71

72

73

74

75

Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente c.a) 3x2 − 12x = 0 e) 7x2 + 21x = 0b) x2 + 2x = 0 f) 15x2 − 5x = 0c) −3x2 + 4x = 0 g) −7x2 − 2x = 0d) 12x2 − 4x = 0 h) −x2 + 3x = 0

Halla el valor de x sin resolver el producto.a) x(x + 5) = 0 d) (3x − 6)(2x + 4) = 0 b) (x − 5)(x + 3) = 0 e) (2x − 5)(3x − 7) = 0c) (2x − 4)(x − 5) = 0 f) (7x − 2)(3x − 5) = 0

Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente b.a) x2 − 100 = 0 e) 4x2 + 1 = 0 b) 3x2 − 27 = 0 f) −x2 + 25 = 0c) 2x2 + 8 = 0 g) 3x2 − 6 = 0d) 4x2 − 1 = 0 h) −12x2 + 12 = 0

Halla el valor de x en cada caso.a) 3x2 = 27x e) 0 = 3x − 5x2

b) 6x − 12x2 = 0 f) 12x = 18x2

c) 0 = 8x2 g) 3x − 6x2 = 0d) −6 = −24x2 h) 12x2 = 4

Resuelve estas ecuaciones.a) (2x + 3)(x − 1) − (x − 1) = 6

b) 3 2x −5( )− 2− x2( ) = −5− 3 4− x2( )

c) x 2x −1( )− 2 x − 3x2 + 1( ) = 1+ 2 x2 + 3( )

d) 3 x −1( )− x −1( )2 = 5− 4 x − x2( )

Problemas con ecuaciones

El triple de un número más el doble del que le sigue menos la mitad del que le antecede es 43. ¿Cuál es ese número?

Reparte 2 250 € entre estas tres personas con las condiciones que dice cada uno.

Una madre tiene un hijo que es 25 años menor que ella. Si, pasados 10 años, la edad de la madre es el doble que la del hijo, ¿qué edad tiene ahora cada uno?

83

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90

En estas ecuaciones han desaparecido algunos números. Si la solución de cada ecuación es x = −1, escribe en tu cuaderno las ecuaciones con todos los datos.a) 2(x − 1) − 3x = §b) x − §(3x − 1) = x + 8c) 4 − 3(§x − 3) = 5(6 + x) + 3

Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Indica cuáles son los coeficientes de estas ecuaciones y clasifícalas en completas o incompletas.a) 3x2 − 2x + 1 = 0 e) 8 + x2 = 0b) 7x + 5x2 = 0 f) 5x − x2 = 0c) 5 + x2 − x = 0 g) −7x2 = 0d) 7x2 − 7 = 0 h) −x2 − 5 + 12x = 0

Asocia en tu cuaderno cada valor de x con la ecuación de la que es solución. 3x2 − 2x − 1 = 0 x = 1 x2 − 4x + 4 = 0 x = −2 3x2 + x − 10 = 0 x = −1 2x2 − x − 3 = 0 x = 2

Sin resolver las ecuaciones, indica cuáles tienen por solución x = −3.a) 3x2 + 5x = 2 c) x2 + 6x + 9 = 0b) x2 − 3x = 0 d) 27 = 3x2

En la tabla aparecen los coeficientes de ecuaciones de segundo grado. Copia y completa y, después, resuelve las ecuaciones.

a b c Ecuación

1 −1 −12 O

3 5 7 O

2 6 −20 O

1 −10 25 O

Halla el valor de la incógnita.a) 8x + 15 + x2 = 0 e) 6 − 5x + x2 = 0b) x2 − 7 − 6x = 0 f) x2 + 14x + 49 = 0c) 9 + 6x + x2 = 0 g) x2 − 8 + 2x = 0d) x2 − 3x + 7 = 0 h) −4x − 5 + x2 = 0

Resuelve.a) 15x2 + x = 6 e) 3x2 + 3 = 10xb) 5x2 = 4x + 1 f) 2x = 3 − 8x2

c) 24x = 9x2 + 16 g) 3x2 = 4x − 4 d) x = 3 − 2x2 h) 20 + 6x2 = 23x

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82

Entre Celia y Quique suman 14 €. Si Celia tuviera 1 € más, tendría el doble de dinero que Quique. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Dentro de 5 años, la edad de Marcos será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 7 años. Calcula la edad de Marcos.

Adriana y Daniel son dos grandes coleccionista de cómics. Adriana tiene 36 ejemplares y cada mes se compra dos nuevos; Daniel, por su parte, cuenta con 30 y cada mes adquiere 3 más. ¿Cuántos meses tienen que pasar para que los dos amigos tengan el mismo número de cómics?

La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 340. ¿Cuáles son estos números?

El precio de seis bolígrafos y dos cuadernos es de 6,80 €. Si un cuaderno cuesta 80 cts. más que un bolígrafo, ¿cuál es el precio de cada bolígrafo? ¿Cuánto vale cada cuaderno?

Un terreno rectangular de 30 m de largo por 15 m de ancho está rodeado a lo largo de todo su recorrido por un camino de igual anchura . Halla esta anchura si el área del camino es de 250 m2.

Un examen tipo test consta de 20 preguntas. Por cada una bien contestada se dan 3 puntos, mientras que por cada fallo se restan 2 puntos. Si Angelines ha obtenido un total de 40 puntos en el examen, ¿cuántas preguntas ha contestado bien?

El área de un rectángulo es de 24 cm2. Si la base es 5 cm mayor que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Un hotel dispone de 52 habitaciones entre dobles y sencillas. Si en el hotel hay 99 camas, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?

91

92

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98

99

131

4Ecuaciones


73 Resuelve.

a) 3x + 1

45−

3x −1

9−

3− 4 x

15= 1 c) 1−

2x − 3

30= 3x −

2− x

5−

x −1

6

b) 2 + x

9−

2x − 3

6= 3−

x −7

18−

2− 3x

12 d) x −

3x −7

4= 1−

5− x

12−

7 x −5

6

a) 0x = 48 → No tiene solución. c) x =40

93

b) x = −6 d) x = −1

4


a) 2x + 5

5−

1+ 3x

9−

2 + x

3= 3 b)

1− x

9−

5 + x

4=

x + 3

3−

4 x −1

6

a) 9(2x + 5) − 5(1 + 3x) − 15(2 + x) = 135 → x = −125

12 b) 4(1 − x) − 9(5 + x) = 12(x + 3) − 6(4x − 1) → x = −83

75 Resuelve.

a) 5(2 + x )

6−

2( x − 3)

4= 1−

x −7

12 a) x =

−19

5

b) x −3( x − 3)

9=

2x −7

4−

2(7 x − 3)

12 b) x =

−27

16

c) 2x −3(2x − 3)

15−

3−5 x

10= 1−

2( x −7)

5 c) x =

7

5

76 En estas ecuaciones han desaparecido algunos números. Si la solución de cada ecuación es x = −1, escribe en tu cuaderno las ecuaciones con todos los datos.

a) 2(x − 1) − 3x = § b) x − §(3x − 1) = x + 8 c) 4 − 3(§x − 3) = 5(6 + x) + 3

a) 2((−1) − 1) − 3(−1) = k → −4 + 3 = k → k = −1 → 2(x − 1) − 3x = −1

b) (−1) − k(3 ⋅ (−1) − 1) = (−1) + 8 → −1 − k ⋅ (−4) = 7 → 4k = 8 → k = 2 → x − 2(3x − 1) = x + 8

c) 4 − 3(k(−1) − 3) = 5(6 + (−1)) + 3 → 4 + 3k + 9 = 28 → 3k = 15 → k = 5 → 4 − 3(5x − 3) = 5(6 + x) + 377 Indica cuáles son los coeficientes de estas ecuaciones y clasifícalas en completas o incompletas.

a) 3x2 − 2x + 1 = 0 c) 5 + x2 − x = 0 e) 8 + x2 = 0 g) −7x2 = 0

b) 7x + 5x2 = 0 d) 7x2 − 7 = 0 f) 5x − x2 = 0 h) −x2 − 5 + 12x = 0

a) Coeficientes: a = 3, b = −2, c = 1. Completa. e) Coeficientes: a = 1, b = 0, c = 8. Incompleta.

b) Coeficientes: a = 5, b = 7, c = 0. Incompleta. f) Coeficientes: a = −1, b = 5, c = 0. Incompleta.

c) Coeficientes: a = 1, b = −1, c = 5. Completa. g) Coeficientes: a = −7, b = 0, c = 0. Incompleta.

d) Coeficientes: a = 7, b = 0, c = −7. Incompleta. h) Coeficientes: a = −1, b = 12, c = −5. Completa.78 Asocia en tu cuaderno cada valor de x con la ecuación de la que es solución.

3x2 − 2x − 1 = 0 x = 1 3x2 − 2x − 1 = 0 → x = 1x2 − 4x + 4 = 0 x = −2 x2 − 4x + 4 = 0 → x = 2

3x2 + x − 10 = 0 x = −1 3x2 + x − 10 = 0 → x = −22x2 − x − 3 = 0 x = 2 2x2 − x − 3 = 0 → x = −1

79 Sin resolver las ecuaciones, indica cuáles tienen por solución x = −3.

a) 3x2 + 5x = 2 b) x2 − 3x = 0 c) x2 + 6x + 9 = 0 d) 27 = 3x2

El valor −3 es solución de los apartados c) y d).

4 Ecuaciones


80 En la tabla aparecen los coeficientes de ecuaciones de segundo grado. Copia y completa y, después, resuelve las ecuaciones.

a b c Ecuación a b c Ecuación

1 −1 −12 O 1 −1 −12 x2 − x − 12 = 0

3 5 7 O 3 5 7 3x2 + 5x + 7 = 0

2 6 −20 O 2 6 −20 2x2 + 6x − 20 = 0

1 −10 25 O 1 −10 25 x2 − 10x + 25 = 0


a) 8x + 15 + x2 = 0 c) 9 + 6x + x2 = 0 e) 6 − 5x + x2 = 0 g) x2 − 8 + 2x = 0

b) x2 − 7 − 6x = 0 d) x2 − 3x + 7 = 0 f) x2 + 14x + 49 = 0 h) −4x − 5 + x2 = 0

a) x1 = −3 y x2 = −5 c) x = −3 e) x1 = 3 y x2 = 2 g) x1 = 2 y x2 = −4

b) x1 = 7 y x2 = −1 d) Sin solución f) x = −7 h) x1 = 5 y x2 = −182 Resuelve.

a) 15x2 + x = 6 c) 24x = 9x2 + 16 e) 3x2 + 3 = 10x g) 3x2 = 4x − 4

b) 5x2 = 4x + 1 d) x = 3 − 2x2 f) 2x = 3 − 8x2 h) 20 + 6x2 = 23x

a) x1 =3

5y x2 = −

2

3 c) x =

4

3 e) x1 = 3 y x2 =

1

3 g) Sin solución

b) x1 = 1 y x2 = −1

5 d) x1 = 1 y x2 = −

3

2 f) x1 =

1

2y x2 = −

3

4 h) x1 =

5

2y x2 =

4

3

83 Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente c.

a) 3x2 − 12x = 0 c) −3x2 + 4x = 0 e) 7x2 + 21x = 0 g) −7x2 − 2x = 0

b) x2 + 2x = 0 d) 12x2 − 4x = 0 f) 15x2 − 5x = 0 h) −x2 + 3x = 0

a) x = 0 y x = 4 c) x = 0 y x =4

3 e) x = 0 y x = −3 g) x = 0 y x = −

2

7

b) x = 0 y x = −2 d) x = 0 y x =1

3 f) x = 0 y x =

1

3 h) x = 0 y x = 3

84 Halla el valor de x sin resolver el producto.

a) x(x + 5) = 0 c) (2x − 4)(x − 5) = 0 e) (2x − 5)(3x − 7) = 0

b) (x − 5)(x + 3) = 0 d) (3x − 6)(2x + 4) = 0 f) (7x − 2)(3x − 5) = 0

a) x = 0 y x = −5 c) x = 2 y x = 5 e) x =5

2y x =

7

3

b) x = 5 y x = −3 d) x = 2 y x = −2 f) x =2

7y x =

5

3

85 Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente b.

a) x2 − 100 = 0 c) 2x2 + 8 = 0 e) 4x2 + 1 = 0 g) 3x2 − 6 = 0

b) 3x2 − 27 = 0 d) 4x2 − 1 = 0 f) −x2 + 25 = 0 h) −12x2 + 12 = 0

a) x2 − 100 = 0 → x = ± 100 = ±10 e) 4x2 + 1 = 0 → x2 = −1

4→ x = ± −

1

4. Sin solución.

b) 3x2 − 27 = 0 → x2 = 9 → x = ± 9 = ±3 f) −x2 + 25 = 0 → x2 = 25 → x = ± 25 = ±5

c) 2x2 + 8 = 0 → x2 = −4 → x = ± −4 . Sin solución. g) 3x2 − 6 = 0 → x2 = 2 → x = ± 2

d) 4x2 − 1 = 0 → x2 =1

4→ x = ±

1

4= ±

1

2 h) −12x2 + 12 = 0 → x2 = 1→ x = ± 1 = ±1

133

4Ecuaciones


86 Halla el valor de x en cada caso.

a) 3x2 = 27x c) 0 = 8x2 e) 0 = 3x − 5x2 g) 3x − 6x2 = 0

b) 6x − 12x2 = 0 d) −6 = −24x2 f) 12x = 18x2 h) 12x2 = 4

a) x = 0 y x = 9 c) x = 0 e) x = 0 y x =3

5 g) x = 0 y x =

1

2

b) x = 0 y x =1

2 d) x = 0 y x = ±

1

2 f) x = 0 y x =

2

3 h) x = 0 y x = ±

3

3


a) (2x + 3)(x − 1) − (x − 1) = 6 c) x 2x −1( )− 2 x − 3x2 + 1( ) = 1+ 2 x2 + 3( )

b) 3 2x −5( )− 2− x2( ) = −5− 3 4− x2( ) d) 3 x −1( )− x −1( )2 = 5− 4 x − x2( )

a) (2x + 3)(x − 1) − (x − 1) = 6 → 2x2 − 2x + 3x − 3 − x + 1 − 6 = 0 → 2x2 − 8 = 0 → x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

b) 3 2x −5( )− 2− x2( ) = −5− 3 4− x2( ) → 6x − 15 − 2 + x2 + 5 + 12 − 3x2 = 0 → −2x2 + 6x = 0

→ x(−2x + 6) = 0 →x = 0

−2x + 6 = 0 → x = 3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) x 2x −1( )− 2 x − 3x2 + 1( ) = 1+ 2 x2 + 3( ) → 2x2 − x − 2x + 6x2 − 2 − 1 − 2x2 − 6 = 0 → 6x2 − 3x − 9 = 0

x =3 ± 9− 4 ⋅6 ⋅ (−9)

2 ⋅6=

3 ± 225

12=

3 ± 15

12→ x1 =

3

2y x2 = −1

d) 3 x −1( )− x −1( )2 = 5− 4 x − x2( ) → 3x − 3 − x2 + 2x − 1 − 5 + 4x − x2 = 0 → −2x2 + 9x − 9 = 0

x =−9 ± 81− 4 ⋅ (−2) ⋅ (−9)

2 ⋅ (−2)=−9 ± 9

−4=−9 ± 3

−4→ x1 =

3

2y x2 = 3

88 El triple de un número más el doble del que le sigue menos la mitad del que le antecede es 43. ¿Cuál es ese número?

3x + 2( x + 1)−x −1

2= 43 → 6 x + 4 x + 4− x + 1 = 86 → 9 x = 81→ x = 9

El número es el 9.89 Reparte 2 250 € entre estas tres personas con las condiciones que dice cada uno.

(100 + x) + x + (x − 100) = 2 250

3x = 2 250

x = 750

Tienen 850 €, 750 € y 650 €.

90 Una madre tiene un hijo que es 25 años menor que ella. Si, pasados 10 años, la edad de la madre es el doble que la del hijo, ¿qué edad tiene ahora cada uno?

x + 10 = 2(x − 25 + 10) → x + 10 = 2x − 30 → 40 = x

La madre tiene 40 años, y el hijo, 40 − 25 = 15 años.91 Entre Celia y Quique suman 14 €. Si Celia tuviera 1 € más, tendría el doble de dinero que Quique. ¿Cuánto dinero tiene

cada uno?

Llamamos x al dinero que tiene Celia. Entonces Quique tiene 14 − x. Luego:

x + 1 = 2(14 − x) → x + 1 = 28 − 2x → 3x = 27 → x = 9

Celia tiene 9 €, y Quique, 14 − 9 = 5 €.

4 Ecuaciones


92 Dentro de 5 años, la edad de Marcos será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 7 años. Calcula la edad de Marcos.

x + 5 =( x −7)2

2→ 2x + 10 = x2 −14 x + 49 → x2 −16 x + 39 = 0

x =16 ± 256− 4 ⋅1⋅39

2 ⋅1=

16 ± 100

2=

16 ± 10

2→ x1 = 13 y x2 = 3

Marcos tiene Tiene 13 años, porque si x = 3, hace 7 años tendría edad negativa.93 Adriana y Daniel son dos grandes coleccionista de cómics. Adriana tiene 36 ejemplares y cada mes se compra dos nue-

vos; Daniel, por su parte, cuenta con 30 y cada mes adquiere 3 más. ¿Cuántos meses tienen que pasar para que los dos amigos tengan el mismo número de cómics?

36 + 2x = 30 + 3x → 6 = x

Tienen que pasar 6 meses.94 La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 340. ¿Cuáles son estos números?

(2x)2 + (2x + 2)2 = 340 → 4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 340 → 8x2 + 8x − 336 = 0

x =−8 ± 64− 4 ⋅8 ⋅ (−336)

2 ⋅8=−8 ± 10 816

16=−8 ± 104

16→ x1 = 6 y x2 = 7

Los números son 12 y 14 o −14 y −12.95 El precio de seis bolígrafos y dos cuadernos es de 6,80 €. Si un cuaderno cuesta 80 cts. más que un bolígrafo, ¿cuál es el

precio de cada bolígrafo? ¿Cuánto vale cada cuaderno?

Llamamos x al precio de un bolígrafo y x + 0,8 al precio de un cuaderno. Entonces:

6x + 2(x + 0,8) = 6,8 → 6x + 2x + 1,6 = 6,8 → 8x = 5,2 → x = 0,65

Un bolígrafo cuesta 0,65 €, y un cuaderno, 0,65 + 0,8 = 1,45 €.96 Un terreno rectangular de 30 m de largo por 15 m de ancho está rodeado a lo largo de todo su recorrido por un camino

de igual anchura. Halla esta anchura si el área del camino es de 250 m2.

(30 + x)(15 + x) − 30 ⋅ 15 = 250 → 450 + 30x + 15x + x2 − 450 = 250 → x2 + 45x − 250 = 0

x =−45 ± 2025− 4 ⋅1⋅ (−250)

2 ⋅1=−45 ± 3025

2=−45 ± 55

2→ x1 = 5 y x2 = −50

El ancho del camino es de 5 m. La solución x = −50 no es válida.97 Un examen tipo test consta de 20 preguntas. Por cada una bien contestada se dan 3 puntos, mientras que por cada fallo

se restan 2 puntos. Si Angelines ha obtenido un total de 40 puntos en el examen, ¿cuántas preguntas ha contestado bien?

Llamamos x al número de aciertos y 20 − x al número de fallos. Se tiene que:

3x − 2(20 − x) = 40 → 3x − 40 + 2x = 40 → 5x = 80 → x = 16

Tiene 16 aciertos y 20 − 16 = 4 fallos.98 El área de un rectángulo es de 24 cm2. Si la base es 5 cm mayor que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

x(x + 5) = 24 → x2 + 5x = 24 → x2 + 5x − 24 = 0

x =−5 ± 25− 4 ⋅1⋅ (−24)

2 ⋅1=−5 ± 121

2=−5 ± 11

2→ x1 = 3 y x2 = −8

Las medidas del rectángulo son 3 cm y 3 + 5 = 8 cm. La solución x = −8 no es válida para este problema.99 Un hotel dispone de 52 habitaciones entre dobles y sencillas. Si en el hotel hay 99 camas, ¿cuántas habitaciones hay de

cada tipo?

Llamamos x al número de habitaciones sencillas y 52 − x al de dobles. Entonces:

x + 2(52 − x) = 99 → x + 104 − 2x = 99 → −x = −5 → x = 5

Hay 5 habitaciones sencillas y 52 − 5 = 47 dobles.

135

4Ecuaciones


Matemáticas vivas. Puntos en baloncesto


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, calcular la puntuación de un partido de baloncesto, en la que intervienen las ecuaciones.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Piensa y Razona, Utiliza el lenguaje matemático, Resuelve, Argumenta o Comunica.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es 1 − 2 − 4, de Pere Pujolàs, a partir de David y Roger Johnson.

Los alumnos investigarán sobre la presencia de las matemáticas en otras disciplinas que estén relacionadas con el deporte. Describirán otras situaciones donde estén presentes trayectorias como la representada para el tiro del balón de baloncesto.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos formarán grupos de 4 personas. Cada uno pensará la respuesta durante unos minu-tos y formulará su respuesta junto con un compañero de su grupo. Las parejas contrastarán sus respuestas dentro del equipo y consensuarán una respuesta final. El profesor pedirá a un miembro de cada equipo que explique la respuesta del grupo.

Soluciones de las actividades

En una cancha de baloncesto, lo importante es encestar la pelota en la canasta contraria y, si es posible, que sea más veces que el equipo contrario. Aún así, esto no implica que ganes el partido, ya que hay tiros libres que valen 1 punto, canastas de 2 puntos y los triples, que valen 3 puntos.

Para determinar los puntos que ha conseguido un equipo, necesitamos saber las canastas metidas de cada puntuación o la relación entre ellas.

4 MATEMÁTICAS VIVAS 4Puntos en baloncesto

92 93

En una cancha de baloncesto, lo importante es encestar la pelota en la canasta contraria y, si es posible, que sea más veces que el equipo contrario. Aún así, esto no implica que ganes el partido, ya que hay tiros libres que valen 1 punto, canastas de 2 puntos y los triples, que valen 3 puntos.

Para determinar los puntos que ha conseguido un equipo, necesitamos saber las canastas metidas de cada puntuación o la relación entre ellas.

RELACIONA

En un cuarto de un partido se han metido 9 canastas.

a. ¿Cuáles son las posibles distribuciones de las canastas?

b. Si nos informan de que han conseguido un total de 19 puntos, ¿dirías que es única esa distribución?

El siguiente gráfico muestra la distribución de puntos conseguidos por cierto equipo de baloncesto en un cuarto en un partido.

El problema es que el gráfico se ha mojado y se han perdido todas las escalas, por lo que no se puede saber cuántas canastas de cada tipo se han encestado.

Si nos informan de que el equipo ha conseguido 23 puntos en este cuarto, ¿cuántas canastas de cada tipo ha encestado?

Al finalizar el partido, el marcador del equipo refleja 84 puntos. Un espectador comenta que los cuatro resultados de los cuartos son números pares consecutivos. ¿Cuántos puntos han metido en cada cuarto?

5

6

COMUNICAARGUMENTA

7

COMPRENDE

Un equipo ha encestado en el primer cuarto 4 tiros libres, 8 canastas de 2 puntos y 2 triples.

a. ¿Cuál ha sido la puntuación en este cuarto?

b. ¿Cuál sería la puntuación si hubiera encestado el doble de canastas de cada tipo? ¿Y si hubieran sido la mitad?

En el segundo cuarto, el equipo ha metido n canastas de 2 puntos, el doble de tiros libres y la mitad de triples.

a. ¿Cuál es la expresión de los puntos que han encestado el equipo en el segundo cuarto?

b. Si sabemos que ha metido en este cuarto 44 puntos, ¿cuántas canastas ha hecho de cada tipo?

Gracias a una defensa magistral, en el tercer cuarto se han encestado n tiros libres, la mitad más uno de tiros de 2 puntos y un tercio de n menos dos de tiros de 3 puntos. Si se han conseguido 32 puntos, ¿cuál ha sido la cantidad de canastas de cada tipo?

En el último cuarto se mete el triple de tiros libres que tiros de 2 y el doble de tiros de 2 que triples. Si se han conseguido 26 puntos, ¿cuál es la distribución de canastas?

1

2

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

3

RESUELVE

4

Un locutor de un partido de baloncesto hace el siguiente resumen al término del encuentro:

El equipo local ha realizado un buen partido. Ha encestado el doble de tiros de 2 puntos que tiros triples. El partido lo ha perdido en los libres; solo ha encestado la mitad que tiros triples.

a. Si el equipo local ha terminado el partido con 80 puntos, ¿crees que puede ser cierta la información del partido?

b. Si el resultado ha sido mayor que esos 80 puntos, sin haber llegado a los 100 puntos, ¿qué puntuación ha conseguido el equipo local?

En el último cuarto han metido x canastas libres, el cuadrado de canastas de 2 puntos y 2 triples. Si se han metido en total 14 canastas, ¿cómo se distribuyen estas por puntuación?

La trayectoria que sigue un balón de baloncesto hacia la canasta se llama parábola y es una expresión algebraica de segundo grado.

Los técnicos del equipo han constatado que la relación entre la altura del balón, en metros, y el tiempo transcurrido, en segundos, viene dada aproximadamente por la expresión:

h = 4t − 3t2 + 2

En ella, h es la altura alcanzada por el balón t segundos después de que haya salido de las manos del jugador.

a. Calcula cuánto tiempo ha trascurrido desde que el jugador lanzase la pelota si ahora está a una altura de 2 m del suelo.

b. ¿Cuánto tiempo pasará, aproximadamente, hasta que la pelota llegue al suelo?

8

ARGUMENTA

PIENSA Y RAZONA

9

10

RESUELVE

REFLEXIONA

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

Investigad sobre la presencia de las matemáticas en otras disciplinas deportivas.

Escribid otras situaciones donde también se den trayectorias como la representada para el tiro del balón de baloncesto.

COMUNICA

PIENSA Y RAZONA

4 Ecuaciones


Comprende1 Un equipo ha encestado en el primer cuarto 4 tiros libres, 8 canastas de 2 puntos y 2 triples.

a) ¿Cuál ha sido la puntuación en este cuarto?

b) ¿Cuál sería la puntuación si hubiera encestado el doble de canastas de cada tipo? ¿Y si hubieran sido la mitad?

a) 4 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 4 + 16 + 6 = 26 puntos

b) 2 ⋅ 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 8 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 8 + 32 + 12 = 52 puntos

2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 2 + 8 + 3 = 13 puntos2 En el segundo cuarto, el equipo ha metido n canastas de 2 puntos, el doble de tiros libres y la mitad de triples.

a) ¿Cuál es la expresión de los puntos que ha encestado el equipo en el segundo cuarto?

b) Si sabemos que ha metido en este cuarto 44 puntos, ¿cuántas canastas ha hecho de cada tipo?

a) 2n + 2n + 3 ⋅n

2=

4n + 4n + 3n

2=

11

2n

b) 11

2n = 44 → 11n = 88 → n = 8

Se han encestado 8 canastas de 2 puntos, 16 tiros libres y 4 triples.3 Gracias a una defensa magistral, en el tercer cuarto se han encestado n tiros libres, la mitad más uno de tiros de 2 puntos

y un tercio de n menos dos tiros de 3 puntos. Si se han conseguido 32 puntos, ¿cuál ha sido la cantidad de canastas de cada tipo?

n + 2n

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

+ 3n

3− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= 32 → n + n + 2 + n− 6 = 32 → 3n = 36 → n = 12

Se han encestado 12 tiros libres, 7 canastas de 2 puntos y 2 triples.4 En el último cuarto se mete el triple de tiros libres que tiros de 2 y el doble de tiros de 2 que triples. Si se han conseguido

26 puntos, ¿cuál es la distribución de canastas?

6n + 2(2n ) + 3n = 26 → 13n = 26 → n = 2 Se han metido 2 triples, 4 canastas de 2 puntos y 12 tiros libres.

Relaciona5 En un cuarto de un partido se han metido 9 canastas.

a) ¿Cuáles son las posibles distribuciones de las canastas?

b) Si nos informan de que han conseguido un total de 19 puntos, ¿dirías que es única esa distribución?

a) Todas las posibles combinaciones de tres números enteros entre 0 y 9 que conjuntamente sumen 9. Hay 55 combina-ciones distintas.

b) Existen 5 soluciones distintas: 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 1 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 0 ⋅ 1 + 8 ⋅ 2 + 1 ⋅ 3 = = 4 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3 = 19

6 El siguiente gráfico muestra la distribución de puntos conseguidos por cierto equipo de baloncesto en un cuarto en un partido.

El problema es que el gráfico se ha mojado y se han perdido todas las escalas, por lo que no se puede saber cuántas canastas de cada tipo se han encestado.

Si nos informan de que el equipo ha conseguido 23 puntos en este cuarto, ¿cuántas canastas de cada tipo ha encestado?

Probando cada columna con un número de puntos, tenemos que se han encestado 2 tiros libres, 6 de dos puntos y 3 triples:

2 ⋅ 1 + 6 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 2 + 12 + 9 = 23 puntos7 Al finalizar el partido, el marcador del equipo refleja 84 puntos. Un espectador comenta que los cuatro resultados de los

cuartos son números pares consecutivos. ¿Cuántos puntos han metido en cada cuarto?

2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 84 → 8n + 12 = 84 → 8n = 72 → n = 9

Han metido 18, 20, 22 y 24 puntos en cada cuarto.

137

4Ecuaciones


Reflexiona8 Un locutor de un partido de baloncesto hace el siguiente resumen al término del encuentro:

El equipo local ha realizado un buen partido. Ha encestado el doble de tiros de 2 puntos que tiros triples. El partido lo ha perdido en los libres; solo ha encestado la mitad que tiros triples.

a) Si el equipo local ha terminado el partido con 80 puntos, ¿crees que puede ser cierta la información del partido?

b) Si el resultado ha sido mayor que esos 80 puntos, sin haber llegado a los 100 puntos, ¿qué puntuación ha conseguido el equipo local?

a) n

2+ 2(2n ) + 3n = 80 → 15n = 160 → n = 10,66... No puede encestar un número decimal de canastas.

b) Si n = 11, el número de puntos no es un número natural. Entonces, tomamos n = 12.

12

2+ 2(2 ⋅12) + 3 ⋅12 = 6 + 48 + 36 = 90 <100

Luego han encestado 6 tiros libres, 24 de 2 puntos y 12 triples, consiguiendo 90 puntos.9 En el último cuarto han metido x canastas libres, el cuadrado de canastas de 2 puntos y 2 triples. Si se han metido en total

14 canastas, ¿cómo se distribuyen estas por puntuación?

x + x2 + 2 = 14 → x2 + x − 12 = 0 → x =−1± 1− 4 ⋅1⋅ (−12)

2 ⋅1=−1± 49

2=−1± 7

2→ x1 = 3 y x2 = −4

Han metido 3 canastas libres, 9 de dos puntos y 2 triples.10 La trayectoria que sigue un balón de baloncesto hacia la canasta se llama parábola y es una expresión algebraica de

segundo grado. Los técnicos del equipo han constatado que la relación entre la altura del balón, en metros, y el tiempo transcurrido, en segundos, viene dada aproximadamente por la expresión: h = 4t − 3t2 + 2

En ella, h es la altura alcanzada por el balón t segundos después de que haya salido de las manos del jugador.

a) Calcula cuánto tiempo ha trascurrido desde que el jugador lanzase la pelota si ahora está a una altura de 2 m del suelo.

b) ¿Cuánto tiempo pasará, aproximadamente, hasta que la pelota llegue al suelo?

a) −3t2 + 4t + 2 = 2 → −3t2 + 4t = 0 → t(−3t + 4) = 0 → t = 0 y t = 1,3

Han pasado 1,3 s.

b) −3t2 + 4t + 2 = 0 → t =−4 ± 16− 4 ⋅ (−3) ⋅2

2 ⋅ (−3)=−4 ± 40

−6=−4 ± 6,3

−6→ x1 = −0,38 y x2 = 1,7

Tarda 1,7 segundos, aproximadamente.

Trabajo cooperativo

TAREAInvestigad sobre la presencia de las matemáticas en otras disciplinas deportivas.

Escribid otras situaciones donde también se den trayectorias como la representada para el tiro del balón de baloncesto.

Respuesta abierta.

4 Ecuaciones


94

4 Ecuaciones

Para resolver una ecuación de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0, realizamos un cambio de variable.

Si llamamos z = x2, entonces: z2 = x2( )2 = x4

Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante.

x4 − 5x2 − 36 = 0 Realizamos el cambio

x2 =z x4 =z2⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯ z2 − 5z − 36 = 0

Resolvemos la ecuación para z⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ z =5 ± (−5)2 − 4 ⋅1⋅ (−36)

2=

5 ± 25 + 144

2=

5 ± 169

2=

5 ± 13

2→

z1 =5 + 13

2= 9

z2 =5−13

2= −4

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

Tenemos que la ecuación z2 − 5z − 36 = 0 tiene por soluciones z1 = 9 y z2 = −4, pero necesitamos las soluciones de la ecuación x4 − 5x2 − 36 = 0. Luego, deshacemos el cambio.

Como z1 = 9 y z = x2, se tiene que: x2 = 9 → x = ± 9 →x1 = 3

x2 = −3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Y puesto que z2 = −4 y z = x2, se tiene que: x2 = −4 → x = ± −4 → No tiene solución.

Así, las soluciones de la ecuación x4 − 5x − 36 = 0 son x1 = 3 y x2 = −3.

AVANZA

A1. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 5x2 + 4 = 0 c) x4 − 3x2 + 2 = 0

b) x4 − 13x2 + 36 = 0 d) x4 − 8x2 + 16 = 0

A2. Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) x4 − 24x2 − 25 = 0 b) x4 + 5x2 + 4 = 0

A3. Resuelve.

a) 4x4 − 17x2 + 4 = 0 b) 36x4 − 13x2 + 1

A4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas incompletas.

a) x4 − 9x2 = 0 c) 2x4 − 162 = 0

b) x4 − 16 = 0 d) 4x4 − 16x2 = 0

Ecuaciones bicuadradas

CÁLCULO MENTAL Estrategias para COMPROBAR ECUACIONES DE 2.º GRADO

Al aplicar la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, es fácil equivocarse en alguna operación. Con objeto de comprobar las soluciones, podemos realizar los siguientes cálculos, siempre que el coeficiente a sea igual a 1.

Las soluciones de la ecuación x2 + 3x − 10 = 0 son x1 = 2 y x2 = −5.

Comprobación: x2 + 3 x − 10 = 0

CM1. Comprueba mentalmente si los valores indicados pueden ser solución de cada ecuación.a) x = 4 y x = 5 → x2 − 9x + 20 = 0b) x = 3 y x = −2 → x2 + x − 6 = 0c) x = −3 y x = 1 → x2 − 2x − 3 = 0d) x = 2 y x = 2 → x2 − 4x + 4 = 0

CM2. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado aplicando mentalmente la comprobación sobre las posibles soluciones.a) x2 − 5x + 6 = 0b) x2 − 4x − 5 = 0c) x2 + 7x + 12 = 0

La suma de las soluciones, cambiadas de signo, es el coeficiente b.

(−2) + 5 = 3

El producto de las soluciones es el coeficiente c.

2 · (−5) = −10


En la sección Avanza de esta unidad se introducen las ecua-ciones bicuadradas. Este tipo de ecuaciones se estudiará en el siguiente curso.

La idea del cambio de variable para resolver una ecuación es bastante abstracta y es posible que los alumnos no lo lleguen a comprender completamente. Hay que incidir en deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación.


A1. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 5x2 + 4 = 0 c) x4 − 3x2 + 2 = 0

b) x4 − 13x2 + 36 = 0 d) x4 − 8x2 + 16 = 0

Hacemos el cambio de variable z = x2 y z2 = x4.

a) z2 − 5z + 4 = 0

→ z =5 ± 25− 4 ⋅1⋅ 4

2 ⋅1=

5 ± 9

2=

=5 ± 3

2→

z1 = 4 → x = ±2

z2 = 1→ x = ±1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) z2 − 13z + 36 = 0 → z =13 ± 169− 4 ⋅1⋅36

2 ⋅1=

13 ± 25

2=

13 ± 5

2→

z1 = 9 → x = ±3

z2 = 4 → x = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

c) z2 − 3z + 2 = 0 → z =3 ± 9− 4 ⋅1⋅2

2 ⋅1=

3 ± 1

2=

3 ± 1

2→ z1 = 2 → x = ± 2

z2 = 1→ x = ±1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

d) z2 − 8z + 16 = 0 → z =8 ± 64− 4 ⋅1⋅16

2 ⋅1=

8 ± 0

2= 4 → x = ±2

A2. Halla el valor de x en estas ecuaciones.

a) x4 − 24x2 − 25 = 0 b) x4 + 5x2 + 4 = 0


a) z2 − 24z − 25 = 0 → z =24 ± 576− 4 ⋅1⋅ (−25)

2 ⋅1=

24 ± 676

2=

24 ± 26

2→

z1 = 25 → x = ±5

z2 = −1→ Sin solución

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) z2 + 5z + 4 = 0 → z =−5 ± 25− 4 ⋅1⋅ 4

2 ⋅1=−5 ± 9

2=−5 ± 3

2→

z1 = −1→ Sin solución

z2 = −4 → Sin solución

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪A3. Resuelve.

a) 4x4 − 17x2 + 4 = 0 b) 36x4 − 13x2 + 1


a) 4z2 − 17z2 + 4 = 0 → z =17 ± 289− 4 ⋅ 4 ⋅ 4

2 ⋅ 4=

17 ± 225

8=

17 ± 15

8→

z1 = 4 → x = ±2

z2 =1

4→ x = ±

1

2

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

Avanza. Ecuaciones bicuadradas

139

4Ecuaciones


b) 36z2 − 13z2 + 1= 0 → z =13 ± 169− 4 ⋅1⋅36

2 ⋅36=

13 ± 25

72=

13 ± 5

72→

z1 =18

72=

1

4→ x = ±

1

2

z2 =8

72=

1

9→ x = ±

1

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪A4. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas incompletas.

a) x4 − 9x2 = 0 b) x4 − 16 = 0 c) 2x4 − 162 = 0 d) 4x4 − 16x2 = 0

a) x4 − 9x2 = 0 → x2(x2 − 9) = 0 →x2 = 0 → x = 0

x2 − 9 = 0 → x2 = 9 → x = ±3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) x4 − 16 = 0 → x4 = 16 → x = ± 164 = ±2

c) 2x4 − 162 = 0 → 2x4 = 162 → x4 = 81 → x = ± 814 = ±3

d) 4x4 − 16x2 = 0 → 4x4(x2 − 4) = 0 →4 x2 = 0 → x = 0

x2 − 4 = 0 → x2 = 4 → x = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Cálculo mental. Estrategias para comprobar ecuaciones de 2.° gradoSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja una estrategia de cálculo mental para comprobar las soluciones de una ecuación de segundo grado basada en la suma y el producto de la soluciones obtenidas. Es una técnica rápida que puede eliminar fallos de cálculo al aplicar la fórmula de la resolución de una ecuación de segundo grado. Además esta técnica se puede usar también para calcu-lar las raíces de una ecuación de 2.° grado cuando ambas son enteras. Si encontramos una pareja de números de manera que la suma de sus opuestos sea b y su producto c, estos serán las dos soluciones de la ecuación ax2 + bx + c, siempre que a sea 1.


CM1. Comprueba mentalmente si los valores indicados pueden ser solución de cada ecuación.

a) x = 4 y x = 5 → x2 − 9x + 20 = 0 c) x = −3 y x = 1 → x2 − 2x − 3 = 0

b) x = 3 y x = −2 → x2 + x − 6 = 0 d) x = −2 y x = −2 → x2 − 4x + 4 = 0

a) (−4) + (−5) = −9 y 4 ⋅ 5 = 20. Es solución.

b) −3 + 2 = −1 y 3 ⋅ (−2) = −6. No es solución.

c) 3 + (−1) = −2 y (−3) ⋅ 1 = −3. Es solución.

d) (−2) + (−2) = −4 y 2 ⋅ 2 = 4. Es solución.

CM2. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado aplicando mentalmente la comprobación sobre las posibles soluciones.

a) x2 − 5x + 6 = 0 b) x2 − 4x − 5 = 0 c) x2 + 7x + 12 = 0

a) La soluciones son 3 y 2 porque: (−3) + (−2) = −5 y 3 ⋅ 2 = 6

b) Las soluciones son 5 y −1 porque: (−5) + 1 = −4 y 5 ⋅ (−1) = −5

c) Las soluciones son −4 y −3 porqueÑ 4 + 3 = 7 y (−4) ·(−3) = 12

4 Ecuaciones


1. Averigua cuál de los siguientes valores de x es solución de la ecuación 3x3 − 2x = 5x2 − 4.

a) x = 0 b) x = 1

a) 3 ⋅ 03 − 2 ⋅ 0 = 0

5 ⋅ 0 − 4 = 0 − 4 = −4

Como 0 ≠ −4 se tiene que x = 0 no es solución.

b) 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 1 = 3 − 2 = 1

5 ⋅ 12 − 4 = 5 − 4 = 1

Como 1 = 1 se tiene que x = 1 es solución.

2. Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 5x − 2 − x = 3x − 7 b) 7 − 3x = 4 − 2x + 5

a) 5x − 2 − x = 3x − 7 → 5x − x − 3x = −7 + 2 → x = −5

b) 7 − 3x = 4 − 2x + 5 → −3x + 2x = 4 + 5 − 7 → −x = 2 → x = −2

3. Halla el valor de la incógnita de esta ecuación con paréntesis.

3 − 2(5 − x) = 7 + 3(2x − 5)

3 − 2(5 − x) = 7 + 3(2x − 5) → 3 − 10 + 2x = 7 + 6x − 15 → 2x − 6x = 7 − 15 − 3 + 10

→ −4x = −1 → x =−1

−4=

1

4

4. Escribe la siguiente ecuación de segundo grado en su forma general y resuélvela.

5x = 6 − x2

5x = 6 − x2 → x2 + 5x − 6 = 0

x =−7 ± 49− 4 ⋅2 ⋅ (3)

2 ⋅2=−7 ± 25

2=−7 ± 5

2→

x1 = −2

2= −1

x2 =−12

2= −6

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 3x2 + 12x = 0 b) x2 − 16 = 0

a) 3x2 + 12x = 0 → x(3x + 12) = 0 → x = 0

3x + 12 = 0 → x =−12

3= −4

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) x2 − 16 = 0 → x2 = 16 → x = ± 16 = ±4

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

141

4Ecuaciones


1. Indica el número de soluciones de cada ecuación.

a) 7x − 1 = 5 + 7x − 6 b) 1 + 3x = 4x + 3 − x c) 3x + 7 = 5 − 4x + 1

a) 7x − 1 = 5 + 7x − 6 → 7x − 7x = 5 − 6 + 1 → 0x = 0 → Tiene infinitas soluciones.

b) 1 + 3x = 4x + 3 − x → 3x − 4x + x = 3 − 1 → 0x = 2 → No tiene solución.

c) 3x + 7 = 5 − 4x + 1 → 3x + 4x = 5 + 1 − 7 → 7x = −1 → Tiene una solución.

2. Resuelve la siguiente ecuación con paréntesis.

3 − (x + 5) = 7x − 2(4 − 3x)

3 − (x + 5) = 7x − 2(4 − 3x) → 3 − x − 5 = 7x − 8 + 6x → − x − 7x − 6x = −8 − 3 + 5

→ −14x = −6 → x =−6

−14=

3

7

3. Halla el valor de la incógnita.

2− 3x

4−1 =

5 x

2−

x + 4

6

2− 3x

4−1 =

5 x

2−

x + 4

6 → 3(2 − 3x) − 12 = 30x − 2(x + 4) → 6 − 9x − 12 = 30x − 2x − 8

→ −9x − 30x + 2x = −8 − 6 + 12 → −37x = −2 → x =−2

−37=

2

37

4. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado.

7x + 3 = −2x2

7x + 3 = −2x2 → 2x2 + 7x + 3 = 0

x =−7 ± 49− 4 ⋅2 ⋅ (3)

2 ⋅2=−7 ± 25

2=−7 ± 5

2→

x1 = −2

2= −1

x2 =−12

2= −6

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

5. Halla el valor de la incógnita de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) −5x + 3x2 = x b) 2x2 − 3x + 1 = 7 − 3x

a) −5x + 3x2 = x → 3x2 − 6x = 0 → x(3x − 6) →x = 0

3x − 6 = 0 → x =6

3= 2

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) 2x2 − 3x − 1 = 7 − 3x → 2x2 = 7 + 1 → 2x2 = 8 → x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

ECUACIONES - … · simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de...

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Transcript of ECUACIONES - … · simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de...