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IES Xuliaacuten Magarintildeos Departamento de Fiacutesica y Quiacutemica

Relatividad Especial II

Jorge Porta

19 de marzo de 2014

Iacutendice

1 Principios de la relatividad especial 1

2 La simultaneidad es relativa 5

3 Dilatacioacuten del tiempo 7

4 Contraccioacuten del espacio y retraso de los relojes 10

5 Transformaciones de Lorentz 13

6 Composicioacuten de velocidades 15

7 Masa relativista 16

8 Energiacutea relativista 18

1 Principios de la relatividad especial

Para resolver la situacioacuten de desconcierto y confusioacuten que viviacutea la fiacutesica a principiosde siglo Einstein procede de una manera radical Declara que el eacuteter es una hipoacutetesissuperflua contradictoria y absolutamente innecesaria pues nada en las leyes del electro-magnetismo obliga a postular su existencia ni siquiera como medio de propagacioacuten de

1

las ondas electromagneacuteticas Despueacutes eleva a categoriacutea de principios lo que la naturalezatercamente manifiesta una y otra vezPrimer principio Existen una serie de sistemas de referencia en los cuales son vaacutelidas

todas las leyes de la fiacutesica Estos son los sistemas de referencia inerciales caracterizadosporque cualquier sistema que se mueva con movimiento rectiliacuteneo uniforme con respectoa un sistema inercial tambieacuten es inercial Cualquier sistema que se mueva con aceleracioacutencon respecto a un sistema inercial es no inercialSegundo principio La velocidad de la luz en el vaciacuteo es una constante universal

independiente del estado de movimiento del objeto emisor y del sistema de referencia enel que se midaEinstein se apresura a decir que ambos principios parecen incompatibles pero eso

es solo apariencia Advierte tambieacuten que en los problemas de la fiacutesica de su tiempointerviene de una manera decisiva una insuficiente consideracioacuten de que posiciones ylongitudes son resultados de medidas realizadas con reglas u objetos equivalentes y lostiempos son medidas realizadas con relojes Es decir una insuficiente consideracioacuten delhecho de la medidaPara poner de manifiesto la aparente contradiccioacuten entre ambos principios y en coacutemo

puede resolverse hagamos un experimento mental en el que un largo vehiacuteculo se desplazaa una velocidad constante u en liacutenea recta En realidad para que los efectos relativistas senoten seriacutea necesario que el vehiacuteculo fuese muchos cientos de miles de kiloacutemetros de largoy que se desplazase a velocidades proacuteximas a la de la luz pero queremos hacer puramenteun anaacutelisis teoacuterico no cuantitativo Suponemos que nuestro sistema de referencia (sistematierra) es inercial Los viajeros que van en el vehiacuteculo pueden hacer en eacutel sus experimentosy sus resultados seraacuten perfectamente compatibles con las leyes de la fiacutesica puesto que susistema (sistema vehiacuteculo) tambieacuten es inercial Es maacutes pueden considerarse en reposo yconsiderar que somos nosotros los habitantes del sistema tierra los que nos movemos auna velocidad -uLa figura 1 ilustra un experimento que se realiza en el vehiacuteculo Desde su parte posterior

se emite un minuacutesculo pulso de luz que se refleja en un espejo situado en su parte anteriorpara regresar e impactar sobre un fotodetector L es la distancia que separa emisor yfotodetector del espejoLa aparente contradiccioacuten entre los dos principios de la relatividad especial se mani-

fiesta en los tiempos que la luz tarda en recorrer cada etapa de su viaje total Medidoeste tiempo desde tierra mientras la luz realiza su viaje de ida el espejo se aleja de su po-sicioacuten inicial una distancia u middot∆t1 siendo ∆t1 el tiempo que dura ese viaje La distanciarecorrida por la luz durante ese tiempo es L+u middot∆t1 En cambio en el viaje de vuelta elextremo posterior del vehiacuteculo se acerca al pulso de luz recorriendo una distancia u middot∆t2con ∆t2 el tiempo que dura la vuelta La luz recorre en esta segunda etapa una distanciaL minus u middot ∆t2 Como la velocidad de la luz es la misma en ambas etapas obtenemos lassiguientes expresiones para los tiempos

c = L+ u middot∆t1∆t1

=rArr ∆t1 = L

cminus u(1)

2

Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u

Figura 1 Vehiacuteculo para hacer experimentos de relatividad

c = Lminus u middot∆t2∆t2

=rArr ∆t2 = L

c+ u(2)

Naturalmente ∆t1 es mayor que ∆t2 Sin embargo quedamos en que el sistema dereferencia asociado al vehiacuteculo tambieacuten es inercial Sus tripulantes pueden considerarseen reposo y suponer que es el sistema tierra el que se mueve a velocidad -u Para ellosla velocidad de la luz tambieacuten es constante y por lo tanto el viaje de ida tiene que durarexactamente lo mismo que el de vuelta iquestNo es esta una contradiccioacuten insalvable

La importancia de los relojes

Para resolver nuestra aparente contradiccioacuten necesitamos referirnos directamente alproceso de medida iquestCoacutemo miden los tripulantes del vehiacuteculo las duraciones de los viajesde ida y vuelta Como se dijo antes para que estas duraciones puedan percibirse esnecesario que la longitud del vehiacuteculo sea muy grande No podemos medirlas con unuacutenico reloj Necesitamos un reloj junto al emisor (lo llamaremos Rprime1) y otro junto alespejo (Rprime2) En la figura 2 se muestran y tambieacuten la solucioacuten al problema Quizaacutes hayaque tener una mente peculiar para que a alguien se le ocurra esta solucioacuten El problemadeja de existir si suponemos que con respecto al reloj Rprime1 el Rprime2 estaacute iexcliexclatrasado

3

Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u

R R1 2

Δt

Δt1

2 =

= - =

=

Avance de R seguacuten tierra2


-

Figura 2 Mismo vehiacuteculo pero con relojes

En efecto En la figura el retraso se representa simboacutelicamente por un octavo de ciacuterculoPara obtener la duracioacuten del viaje de ida los tripulantes restaraacuten el instante final quees la lectura de Rprime2 al llegar del inicial que es la lectura de Rprime1 al salir El resultado esun cuarto de ciacuterculo Sin embargo para el observador de tierra ambos relojes avanzaronun cuarto maacutes un octavo de ciacuterculoLa duracioacuten del viaje de vuelta la mediraacuten los tripulantes restando al tiempo de

llegada marcado por Rprime1 el tiempo de salida indicado por Rprime2 El resultado vuelve a serun cuarto de ciacuterculo de acuerdo con el hecho de que el viaje de ida y el de vuelta han dedurar lo mismo para ellos Para los observadores de tierra sin embargo ambos relojesavanzaron solamente un octavo de ciacuterculo mucho menos que en la etapa anterior lo queconcuerda con el hecho de que el viaje de vuelta ha de durar menos que el de ida paraellosiquestPero realmente pueden ser asiacute las cosas iquestEs posible que la solucioacuten consista en

que los observadores del vehiacuteculo se olvidaron de sincronizar sus relojes iquestPero coacutemo sesincronizan los relojes

4

2 La simultaneidad es relativaHistorias de relojes y marcianos

Uno de los primeros problemas de los que se ocupa Einstein en su primer artiacuteculosobre la teoriacutea de la relatividad es el de la sincronizacioacuten de relojes iquestCoacutemo podemossincronizar dos relojes situados a mucha distancia uno del otro y en reposo relativo Larespuesta obvia podriacutea ser Los situamos primero en el mimo lugar los sincronizamos alliacutey despueacutes los enviamos a sus respectivas posiciones El problema es que para hacer esoes necesario acelerarlos y al acelerarlos aparecen fuerzas de inercia que actuacutean sobre susmecanismos alterando sus comportamientos Quizaacutes esta pega nos parezca exageradapero es que los efectos relativistas solo se notan en situaciones extremas en comparacioacutencon las distancias velocidades y tiempos de los procesos que nos son familiares Endefinitiva el proceso no sirveEn todo caso podemos establecer un procedimiento que respete los dos principios de la

relatividad especial No perdamos de vista que no cuestionamos esos principios sino quepor el contrario tratamos de elaborar la fiacutesica que se deriva de ellos Einstein propone unprocedimiento semejante al que aquiacute se describe de una manera un poco maacutes didaacutecticaImaginemos que en alguacuten asteroide de gran tamantildeo hemos instalado un reloj y un es-

pejo La velocidad del asteroide con respecto a nosotros es muy pequentildea en comparacioacutencon la de la luz asiacute que consideraremos que estaacute praacutecticamente en reposo Enfocamosel asteroide con un telescopio y vemos el reloj que instalamos alliacute Ademaacutes nos vemosa nosotros mismos reflejados en el espejo pero con un cierto retraso Mediante obser-vaciones cuidadosas concluimos que nuestra imagen hace exactamente lo que nosotroshicimos hace ocho segundos La cuestioacuten es iquestqueacute lectura debe tener un reloj terrestrepara estar sincronizado con el del asteroide iquestLa misma lectura que marca cuando lovemos por el telescopio iquestDebe estar maacutes atrasado o maacutes adelantadoSeguro que ya dimos con la respuesta Vemos nuestra propia imagen ocho segundos

retrasada lo cual significa que desde que salioacute de aquiacute hasta que volvioacute aquiacute de nuevodespueacutes de viajar hasta el asteroide reflejarse en el espejo y recorrer el camino inversopasaron ocho segundos Seguacuten el segundo principio de la relatividad especial va a lamisma velocidad c tanto en el viaje de ida como en el de vuelta por lo tanto la luz tardaen recorrer el trayecto desde el asteroide hasta nosotros cuatro segundos En consecuenciavemos el reloj del asteroide cuatro segundos retrasado El reloj terrestre que queremossincronizar con eacutel debe estar cuatro segundos adelantado con respecto a la imagen quevemosTodo perfecto pero resulta que un alien situado fuera de nuestra galaxia y con una

tecnologiacutea hiperavanzada lo suficiente como para percibir a traveacutes de sus instrumentostoda la escena que acabamos de describir observa que tanto nosotros como el asteroidecomo todo el sistema solar estamos dando vueltas a gran velocidad en torno al nuacutecleode la galaxia en un sentido tal que desde su punto de vista la luz tarda maacutes tiempoen ir de la Tierra al asteroide que en recorrer el camino inverso Como nosotros hemossupuesto que ambos viajes duran lo mismo el alien concluiraacute que los relojes no quedaraacutensincronizados Si lo pensamos un poco podemos darnos cuenta de que para el alien el

5

reloj terrestre quedaraacute adelantado con respecto al del asteroideBueno no hace falta que lo pensemos demasiado El alien puede ser el sistema Tierra

correspondiente a la figura 2 y la tierra y el asteroide las partes posterior y anterior delvehiacuteculo respectivamente Para los tripulantes el viaje de ida del pulso de luz dura lomismo que el de vuelta porque sus relojes estaacuten sincronizados bajo ese supuesto y elprocedimiento que hemos descrito es compatible con los dos principios de la teoriacutea dela relatividad especial por lo tanto es correcto Esto significa que relojes sincronizadosen un sistema de referencia no lo estaacuten en cualquier otro La sincronizacioacuten de relojeses relativa pero eso implica que tambieacuten lo es la simultaneidad En efecto dos sucesosson simultaacuteneos cuando ocurren en el mismo instante y ocurren en el mismo instantecuando relojes sincronizados situados en los mismos puntos marcan la misma horaLa compatibilidad de los dos principios de la relatividad especial pasa necesariamente

por el caraacutecter relativo de la simultaneidad Este es el efecto relativista maacutes baacutesico y apartir de eacutel se obtienen los demaacutes Por ejemplo la naturaleza relativa de la simultaneidaddetermina que las longitudes y distancias tambieacuten son relativas Vamos a verlo primerocualitativamente y maacutes adelante obtendremos las ecuaciones correspondientes

R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L

El mundo seguacuten tierra

El mundo seguacuten el vehiacuteculo

Figura 3 El mundo visto desde los dos sistemas de referencia

Consideramos de nuevo el vehiacuteculo con dos relojes Rprime1 y Rprime2 en sus extremos y unadistancia L entre ellos Imaginemos que el sistema tierra estaacute sembrado de relojes Quela distancia entre Rprime1 y Rprime2 es L significa que la separacioacuten entre sus posiciones medidasen el mismo instante es L Vamos a llamar suceso A al encuentro del reloj Rprime1 delvehiacuteculo con otro reloj R1 de tierra y supongamos que en el mismo instante ocurre el

6

suceso B consistente en que el reloj Rprime2 se encuentra con otro R2 Mismo instante significaque marcan la misma hora Entonces la longitud L es la distancia entre ambos relojesEsto desde el punto de vista de tierra Desde el punto de vista del vehiacuteculo la cosa no esasiacute Para los tripulantes del vehiacuteculo es el sistema tierra el que se mueve a una velocidad-u y los relojes de su sistema Rprime1 y Rprime2 no marcan la misma hora en A y en B porlo tanto los sucesos A y B no son simultaacuteneos El suceso B ocurre antes que el A Enconsecuencia cuando ocurre el suceso A el extremo anterior del vehiacuteculo ya pasoacute por elpunto correspondiente al suceso B y estaacute maacutes lejos La separacioacuten entre los relojes delvehiacuteculo y por lo tanto la longitud del propio vehiacuteculo es mayor para sus tripulantes quepara el sistema tierra Pero hay maacutes como el suceso B ocurre antes que el A el reloj R2 enel instante correspondiente a A ya estaacute maacutes a la izquierda y marcando una hora posteriora la que marcaba en B Vemos como todo encaja Los relojes de un sistema en movimientoestaacuten tanto maacutes retrasados cuanto maacutes avancemos en la orientacioacuten de la velocidad ylas longitudes estaacuten contraiacutedas en la direccioacuten del movimiento son menores que cuandoestaacute en reposo Para el sistema tierra la longitud del vehiacuteculo es inferior a la que midensus tripulantes pero para estos tripulantes la separacioacuten Drsquo entre los relojes R1 y R2del sistema tierra es menor que la distancia L medida por los observadores de tierra Laaparente paradoja de que ambos se vean contraiacutedos unos a otros se resuelve considerandoque todo se debe al caraacutecter relativo de la simultaneidad Sin embargo las longitudesen direccioacuten perpendicular al movimiento no se contraen Si asiacute lo hiciesen podriacuteamosutilizar varas o reglas perpendiculares al movimiento para determinar queacute sistema es elque se mueve Las reglas se superpondriacutean al cruzarse y se podriacutea determinar cuaacutel es lamaacutes corta o la maacutes larga y con ello queacute sistema es el que se mueve lo cual va en contradel primer principio de la relatividad especial Por lo tanto la contraccioacuten del espacio seproduce exclusivamente en la direccioacuten del movimiento

3 Dilatacioacuten del tiempoDonde se presenta un reloj inventado por Feynman

El primer efecto relativista que vamos a analizar matemaacuteticamente es el de la dilatacioacutendel tiempo Consiste en que las duraciones de los procesos son mayores en un sistema enmovimiento que en reposo Los relojes van maacutes lentos al igual que todos los procesos Paraobtener la expresioacuten matemaacutetica de este efecto utilizaremos un dispositivo introducidopor Feynman en sus Lecciones y que se representa en la figura 4 Es un reloj que constaen su parte inferior de una lampara emisora de pulsos de luz y una ceacutelula fotoeleacutectricaque lo activa El pulso se refleja en el espejo situado en la parte superior haciendo tic eimpacta en la ceacutelula haciendo tac y activando la laacutempara para continuar su marchaSupongamos que un observador del sistema Srsquo dispone de uno de esos relojes Si D es

la distancia entre la parte inferior y el espejo del reloj el tiempo total τ de ida y vueltadel pulso medido por este observador es

c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t

Figura 4 El reloj de Feynman

Vamos a determinar ahora queacute tiempo ∆t mediraacute un observador desde un sistema Scon respecto al cual el reloj se mueve con una velocidad u La distancia D es la mismapara S que para Srsquo ya que se trata de una longitud perpendicular a la direccioacuten delmovimiento pero el tiempo que dura el viaje de ida y vuelta del pulso de luz es mayorpara S pues tiene que recorrer un camino mayor En el viaje de ida la luz recorre uncamino que es la hipotenusa de un triaacutengulo rectaacutengulo cuyos catetos son la distancia Dy el trayecto recorrido por el reloj durante la mitad del viaje total ∆t(

c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2

donde se sustituyoacute D por su valor en funcioacuten de τ la duracioacuten del proceso desde Srsquo

c2 (∆t)2 = c2τ2 + u2 (∆t)2 =rArr ∆t = c middot τradicc2 minus u2

= τradic1minus u2

c2

(3)

8

Antes de hacer un ejemplo vamos a analizar brevemente las implicaciones de estaexpresioacutenEn primer lugar es cierto que el reloj de Feynman va maacutes lento cuando se mueve que

cuando estaacute en reposo iquestpero demuestra esto que relojes que funcionen con mecanis-mos completamente diferentes han de ir igual de lentos iquestY los demaacutes procesos comoel ritmo al caminar o al hablar el tempo de nuestros pensamientos y demaacutes procesosbioloacutegicos iquestAcaso esto demuestra que tambieacuten van maacutes lentos Efectivamente lo de-muestra si asumimos los principios de la relatividad especial Si fuese uacutenicamente el relojde Feynman el que se ralentizase y no ocurriese lo mismo con el resto de los relojes yritmos de la naturaleza entonces podriacuteamos utilizar este reloj para determinar si nosmovemos o estamos en reposo La teoriacutea de la relatividad exige que los tripulantes delvehiacuteculo no puedan percibir ese retraso por lo tanto la duracioacuten de todos los procesosha de ralentizarse igual que el reloj de FeynmanEn segundo lugar los principios de la teoriacutea de la relatividad exigen que los tripulantes

del vehiacuteculo asociado con Srsquo concluyan que son nuestros relojes y no los suyos los que vanmaacutes lentos iquestNo es esto una contradiccioacuten Si sus relojes van maacutes lentos iquestno tendriacuteanellos que percibir que los nuestros van maacutes raacutepidos Pero esto entrariacutea en contradiccioacutencon los principios de la teoriacuteaiquestCoacutemo se resuelven las aparentes paradojas en teoriacutea de la relatividad Efectivamente

siempre acudiendo a la naturaleza relativa de la simultaneidad En la expresioacuten 3 τ es eltiempo medido por un uacutenico reloj mientras que ∆t es el tiempo medido con dos relojesuno situado en el punto donde se emite el pulso de luz y otro donde se recibe en elfotodetector ∆t es la diferencia de lectura entre ambos Pero desde el punto de vista deSrsquo esos dos relojes no estaacuten sincronizados Para Srsquo la diferencia de lectura y por lo tanto∆t es mayor que el tiempo realmente transcurrido y para Srsquo ademaacutes ambos relojes iraacutenmaacutes lentos que los suyosGeneralizando en la expresioacuten 3 τ es el tiempo transcurrido entre dos sucesos que

ocurren en el mismo punto la parte inferior del reloj que para Srsquo estaacute en reposo Engeneral al tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto se ledenomina tiempo propio La ecuacioacuten 3 relaciona este tiempo propio con el medido desdeotros sistemas de referencia

Ejemplo 1

Una nave interestelar se dirige al planeta Barataria situado a cuatro antildeos luz de noso-tros a una velocidad de 099c Calculad la duracioacuten del viaje medido desde el punto devista terrestre y desde el punto de vista de la naveSuponiendo un movimiento rectiliacuteneo uniforme la duracioacuten desde el punto de vista

terrestre es

∆t = ∆xv

= c middot 4antildeos0 99c = 4 04antildeos

Desde el punto de vista de la nave la duracioacuten es el tiempo propio relacionado con ∆tpor la ecuacioacuten 3

9

τ = ∆t middot

radic1minus v2

c2 = 4 04antildeos middot

radic1minus (0 99c)2

c2 = 0 570antildeos

Vale la pena detenerse un poco en este resultado Nada puede viajar maacutes raacutepido que laluz entonces la nave forzosamente ha de tardar maacutes de cuatro antildeos en llegar al planetapero esto desde el punto de vista terrestre Desde el punto de vista de la nave el viajedura poco maacutes de medio antildeo iquestSignifica esto que desde su propio punto de vista la naveviajoacute maacutes raacutepido que la luz No Desde el punto de vista de la nave somos nosotros y elplaneta Barataria los que viajamos pero no maacutes raacutepido que la luz eso es imposible Loque ocurre es que para los astronautas la distancia entre la Tierra y Barataria es muchomenor Ya hemos visto que las longitudes se contraen con el movimiento y dentro depoco determinaremos cuantitativamente el valor de esa contraccioacutenOtra cuestioacuten la ecuacioacuten 3 ya muestra con claridad que la velocidad maacutexima que

puede existir es la de la luz Si la velocidad de un sistema de referencia fuese mayor quela de la luz tendriacuteamos la raiacutez cuadrada de un nuacutemero negativo cosa que estaacute bastantefea para un intervalo de tiempo Sin embargo esto no nos limita para que al menos en unplano teoacuterico podamos llegar a cualquier lugar del Universo en un intervalo de tiempoarbitrariamente pequentildeo Acabamos de ver en el ejemplo coacutemo podemos recorrer cuatroantildeos luz en poco maacutes de seis meses y si nuestra velocidad fuese todaviacutea maacutes cercana ala de la luz ese tiempo se podriacutea reducir maacutes Ahora bien no podemos evitar que en laTierra hayan pasado maacutes de cuatro antildeos Si una vez llegados a Barataria reemprendemosel camino de vuelta a la misma velocidad para nosotros el viaje habraacute durado poco maacutesde un antildeo pero llegados a casa comprobariacuteamos que en la Tierra pasaron maacutes de ochoSi tuvieacutesemos un hermano gemelo a la vuelta de nuestro viaje seriacutea unos siete antildeos mayorque nosotros De hecho habriacutea vivido esos siete antildeos que nosotros todaviacutea no vivimosPero iquestno quedamos en que el movimiento es relativo iquestNo podriacuteamos considerar quenosotros nos mantuvimos en reposo y que fue la Tierra la que realizoacute el viaje de ida yvuelta Desde este punto de vista seriacuteamos nosotros los que habriacuteamos envejecido esossiete antildeos y nuestro hermano gemelo que quedoacute en la Tierra el maacutes rejuvenecido Estaes la paradoja de los gemelos Se resuelve considerando entre otras cosas que el sistemade referencia asociado a la nave no fue siempre inercial para regresar a la Tierra fuenecesario que acelerara es decir que cambiase su velocidad Es el gemelo de la nave elque regresa maacutes rejuvenecido iquestParece insuficiente explicacioacuten Paciencia Volveremos ala paradoja de los gemelos cuando sepamos algunas cosas maacutes y haremos todo el viaje aver que pasa

4 Contraccioacuten del espacio y retraso de los relojes

Para determinar queacute longitud tiene el vehiacuteculo Srsquo de la figura 3 para sus tripulantes ypasajeros tendremos en cuenta que es igual a la distancia recorrida por un pulso de luz

10

desde que sale de un extremo hasta que llega al otro El recorrido total de ida y vueltadesde el punto de vista de los que estaacuten en tierra es seguacuten hemos visto en las ecuaciones1 y 2

∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L

c+ v + cminus v(cminus v) (c+ v) = 2c middot L

c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2

Desde el punto de vista del vehiacuteculo el tiempo total es un tiempo propio ya que setrata del tiempo transcurrido entre dos eventos que ocurren en el mismo sitio y que porlo tanto pueden medirse con el mismo reloj la salida y la llegada del pulso de luz alextremo posterior del vehiacuteculo En la ecuacioacuten 3 ∆tprime es τ

∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)

Puesto que desde el punto de vista del vehiacuteculo la luz tarda el mismo tiempo en hacerel viaje de ida que el de vuelta el viaje de ida se realiza en la mitad del tiempo obtenidoy la longitud del vehiacuteculo para sus pasajeros es la distancia recorrida en ese tiempo

Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)

Expresioacuten que podriacuteamos calificar de longitud propia ya que Lprime es la longitud de unobjeto o la distancia entre dos puntos en reposo mientras que L es la distancia entrelos mismos puntos observados desde un sistema en el que se mueven a velocidad vVemos que L es menor que Lprime Las longitudes siempre aparecen contraiacutedas cuando losobjetos se mueven aunque uacutenicamente en la direccioacuten del movimiento y no en direccionesperpendiculares Tambieacuten vemos otra razoacuten por la que la velocidad maacutexima que puedeadquirir un cuerpo es la de la luz La longitud de cualquier cuerpo en la direccioacuten delmovimiento tiende a cero a medida que su velocidad tiende a la de la luz Para valoresde la velocidad superiores tendriacuteamos la raiacutez cuadrada de un nuacutemero negativo y en estecontexto carecen de sentido longitudes complejas o imaginarias

Ejemplo 2

Calculad la distancia de la Tierra a Barataria medida desde la nave del ejemplo 1La distancia de 4 antildeos luz corresponde al sistema en el que ambos planetas se en-

cuentran en reposo Esta distancia es Lprime en la ecuacioacuten 5 aunque pueda confundirnos lautilizacioacuten de las primas Vamos a llamar Dprime a la distancia entre ambos planetas desdeel punto de vista de la nave que es L en la ecuacioacuten 5

Dprime = 4antildeosluz middot


c2 = 0 564antildeosluz

11

Retraso de los relojes

Nos interesa ahora calcular el retraso del reloj Rprime2 con respecto al Rprime1 del vehiacuteculo delas figuras 2 y 3 desde el punto de vista de los observadores en tierra Denotando por tprime1y tprime2 lo que marcan ambos relojes desde el punto de vista de tierra en el momento en elque se emite el pulso de luz desde Rprime1 Nuestro objetivo es obtener tprime1 minus tprime2El viaje del pulso de luz desde Rprime1 a Rprime2 desde el punto de vista del vehiacuteculo dura

seguacuten la ecuacioacuten 4

L

cradic

1minus v2

c2

asiacute que cuando el pulso llega a Rprime2 este reloj debe marcar

tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2

Por otra parte este viaje desde el punto de vista de tierra dura un tiempo L(cminus v)tal y como obtuvimos en la ecuacioacuten 1 Cada reloj del vehiacuteculo tuvo que avanzar untiempo igual al tiempo propio correspondiente a este intervalo Por lo tanto Rprime2 avanzoacuteun tiempo igual a

L

cminus v

radic1minus v2

c2

Asiacute que lo que Rprime2 marcaba cuando el pulso fue emitido es

tprime2 = tprime1+ L

cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2

c2 = tprime1+Lcminus v minus c

(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2

tprime1 minus tprime2 = Lv(1minus v

c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2

= Lvc2radic1minus v2

c2

(6)

Esta ecuacioacuten indica el retraso de dos relojes de Srsquo sincronizados desde su propiosistema de referencia y que estaacuten separados por una distancia L desde el punto de vistadel sistema S

Ejemplo 3

Suponiendo que Barataria y la Tierra tienen relojes sincronizados iquestcuaacutel de los dosestaacute maacutes adelantado desde el punto de vista de la nave iquestCuaacutel seriacutea la diferencia entreambos

12

Desde el punto de vista de la nave son la Tierra y Barataria las que se mueven a 099cen el sentido que conduce de Barataria a la tierra Los relojes estaacuten tanto maacutes atrasadoscuanto maacutes avanzamos en el sentido del movimiento asiacute que el reloj de la Tierra estaacutemaacutes atrasado que el de Barataria La respuesta a la primera pregunta es que el reloj deBarataria es el maacutes adelantadoLa diferencia entre las lecturas de ambos relojes viene dada por la expresioacuten 6 Hay

que tener en cuenta que ahora L es la distancia entre ambos planetas desde el punto devista de la nave El resultado es

tBarataria minus ttierra = 0 564antildeosluz 0 99cc2radic1minus (099c)2

c2

= 3 96antildeos

Ya estamos en condiciones de abordar el problema de la paradoja de los gemelos y en-contrarle solucioacuten En la paacutegina httpwwwencigaorgtaylorrelatividadbaratariahtmencontraremos las claves para lograrlo

5 Transformaciones de Lorentz

S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)

Figura 5 Transformaciones de Lorentz

Consideramos un sistema de coordenadas Srsquo que se mueve a velocidad constante u conrespecto a otro S a lo largo del eje X al que se superpone el eje Xrsquo Los ejes Yrsquo y Zrsquoson paralelos a los Y y Z respectivamente Para ambos observadores los oriacutegenes O y Orsquocoinciden en el instante cero Al cabo de un cierto tiempo t medido desde S el origen deSrsquo se encontraraacute en la posicioacuten xOprime = u middot t tal y como se muestra en la figura 5 Nuestro

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objetivo es el siguiente Dado un suceso que ocurre en un punto P de coordenadas xyzy en el instante t desde el punto de vista de S iquesten queacute instante trsquo y con queacute coordenadasxrsquo yrsquo y zrsquo ocurriraacute desde el punto de vista de SrsquoEn lo que se refiere a la coordenada x hay que tener en cuenta que desde el punto

de vista de S el eje Xrsquo estaacute contraiacutedo xrsquo es la longitud propia de un trozo del eje Xrsquoque desde el punto de vista de S tiene una longitud xminus u middot t Su valor vendraacute dado porla ecuacioacuten 5 donde Lrsquo=xrsquo y L = x minus u middot t Por otra parte los ejes Yrsquo y Zrsquo no sufrencontraccioacuten alguna vistos desde S al ser perpendiculares al movimiento

xprime = xminus u middot tradic1minus u2

c2

yprime = y zprime = z (7)

Para obtener la expresioacuten de trsquo determinamos primero queacute marca en el instante t unreloj de Srsquo situado en el origen Orsquo Ese reloj en el instante cero seguacuten hemos impuesto enlas condiciones iniciales marcaba tambieacuten cero El tiempo tprimeOprime que marcaraacute en el instantet es el que ha transcurrido medido por un uacutenico reloj es decir seraacute el tiempo propiocorrespondiente a un intervalo de tiempo t lo que en la ecuacioacuten 3 se representa por τ

tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2

finalmente el reloj con el que se determina trsquo lleva el retraso con respecto al de Orsquocorrespondiente a una distancia xminus u middot t (Ecuacioacuten 6)

tprime = tprimeOprime minusuc2 (xminus u middot t)radic

1minus u2

c2

= t

radic1minus u2

c2 minusuc2 (xminus u middot t)radic

1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)

Las ecuaciones 7 y 8 son las transformaciones de Lorentz que conducen de las coorde-nadas S a las Srsquo Queda como ejercicio que despejando x y t de las mismas para ponerlasen funcioacuten de xrsquo y trsquo obtenemos

x = xprime + u middot tprimeradic1minus u2

c2

y = yprime z = zprime t =tprime + u

c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)

lo que confirma que nuestras ecuaciones estaacuten de acuerdo con el principio de relatividadya que las expresiones obtenidas son semejantes a las anteriores sin maacutes que intercambiarlas variables primadas con las no primadas y sustituir u por -u Efectivamente para Srsquoel sistema S se mueve a lo largo del eje Xrsquo con una velocidad -u

14

6 Composicioacuten de velocidades

Consideremos un sistema de coordenadas Srsquo que se mueve a velocidad constante u conrespecto a otro S a lo largo del eje X de forma que las coordenadas de ambos sistemasestaacuten relacionadas por las ecuaciones 9 Supongamos que un objeto se mueve a lo largodel eje X con una velocidad que para Srsquo es constante e igual a vxprime Nos preguntamos cuaacutelseraacute la velocidad vx de ese objeto con respecto a S

vxprime = ∆xprime

∆tprime vx = ∆x∆t = ∆xprime + u∆tprime

∆tprime + uc2 ∆xprime =

∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime

∆tprime= u+ vxprime

1 + umiddotvxprimec2

Vemos que si u y vxprime son pequentildeos en comparacioacuten con c el denominador de la uacuteltimaexpresioacuten puede tomarse igual a 1 y vx asymp u+ vxprime igual que en la mecaacutenica newtonianaPor otra parte tambieacuten vemos que la composicioacuten de dos velocidades nunca puede sermayor que la velocidad de la luz En particular si vxprime fuese la velocidad de un rayo deluz (vxprime = c) el resultado seriacutea

vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c

Resultado acorde con el hecho de que todos nuestros razonamientos se cimientan en elprincipio de que la velocidad de la luz en el vaciacuteo es la misma para todos los observadores

Ejemplo 4

La nave interestelar Enterprise que se aleja del planeta Tierra a una velocidad de 08cenviacutea una dotacioacuten encabezada por el sentildeor Spock en una nave transbordadora al planetaMirliton desde el que se emiten inquietantes sentildeales de socorro Si la nave transbordado-ra se lanza desde el Enterprise a una velocidad de 06c con la misma direccioacuten y sentidoque su movimiento con respecto a la Tierra iquestqueacute velocidad tendraacute para los observadoresterrestresLa aplicacioacuten de la ecuacioacuten anterior proporciona

v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c

Fijeacutemonos en que su incremento de velocidad desde el punto de vista de la nave En-terprise fue de 06c mientras que para los observadores terrestres lo fue de 0146c muchomenor

Composicioacuten de velocidades perpendiculares

Supongamos ahora que un objeto se mueve en la direccioacuten del eje Yrsquo con una velocidadvyprime desde el punto de vista de Srsquo claro estaacute Con respecto a S su velocidad tendraacute una

15

componente vx = u es decir igual a la velocidad del sistema Srsquo con respecto a S iquestCuaacutelseraacute su componente vertical Aunque y = yrsquo los intervalos de tiempo son distintos en Sy en Srsquo

vy = ∆y∆t = ∆yprime(

∆tprime + uc2 ∆xprime

)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)

donde se tuvo en cuenta que ∆xprime = 0 al ser el movimiento perpendicular a Xrsquo desde elpunto de vista de Srsquo

7 Masa relativista1 Traduccioacuten adaptada de un argumento de Feynman

En la seccioacuten anterior hemos visto que la velocidad de un cuerpo jamaacutes podraacute alcanzarla de la luz y cuanto maacutes cerca esteacute su velocidad de ese valor maacuteximo maacutes difiacutecil seraacute quesu valor aumente por mucha energiacutea que le proporcionemos Es decir la resistencia queun cuerpo opone a que su velocidad aumente se incrementa con la propia velocidad peroeso es precisamente lo que llamamos masa inercial Concluimos entonces que la masa deun cuerpo debe aumentar con su velocidad e incluso que debe tender a infinito cuandola velocidad tiende a cPara obtener la expresioacuten de la masa relativista consideraremos la colisioacuten elaacutestica de

dos partiacuteculas anaacutelogas desde distintos sistemas de referencia y aplicaremos el principiode conservacioacuten del momento lineal Para esta magnitud asumimos la definicioacuten newto-niana con la salvedad de que ahora supondremos que la masa es una funcioacuten del moacutedulode la velocidad ~p = m(v)~vLa figura 6 muestra la colisioacuten desde el punto de vista del sistema de referencia del

centro de masas El momento lineal total es cero antes y despueacutes de la colisioacuten Dado quela colisioacuten es elaacutestica la energiacutea tambieacuten se conserva y suponemos que con ella tambieacutenla masa de manera que las masas son iguales antes y despueacutes de la colisioacuten al igualque los moacutedulos de la velocidades Siempre se pueden girar los ejes de manera que lascomponentes verticales de las velocidades entrantes y salientes sean iguales y de sentidocontrario Tomando este uacuteltimo sistema de coordenadas consideramos otro que se muevaa la velocidad horizontal de la partiacutecula 1 Esta partiacutecula se moveraacute con una ciertavelocidad vertical w seguacuten este sistema mientras que la partiacutecula 2 se moveraacute con unavelocidad v de componente horizontal u y vertical wrsquo (figura 7-a)

1Muchos fiacutesicos eminentes consideran el concepto de masa relativista que aquiacute se expone como unaabominable herejiacutea Otros consideran que este concepto es perfectamente correcto y utilizable sobretodo en las introducciones a la teoriacutea de la relatividad y aquiacute vamos a seguir ese criterio En laformulacioacuten actual de la teoriacutea de la relatividad siacute es cierto que se denomina masa de un cuerpo asu energiacutea en reposo dividida por el factor c2 lo que en esta seccioacuten se llamaraacute masa en reposo Maacutesadelante veremos que lo que llamamos masa relativista es un concepto equivalente al de energiacutea

16

Figura 6 Sistema de referencia del centro de masas

Figura 7 Otros dos puntos de vista

En este uacuteltimo sistema de referencia la conservacioacuten de la componente vertical totaldel momento lineal se traduce en las siguientes relaciones

∆~p1 = minusm(w)w middot ~k minusm(w)w middot ~k = minus2m(w)w middot ~k

∆~p2 = minusm(v)u middot~i+m(v)wprime middot ~k minus(minusm(v)u middot~iminusm(v)wprime~k

)= 2m(v)wprime middot ~k

∆~pT otal = ~0 =rArr |∆~p1| = |∆~p2| =rArr 2m(w)w = 2m(v)wprime

Buscamos ahora la relacioacuten entre wrsquo y w Para ello podemos considerar el sistemamostrado en la figura 7-b en el que es la partiacutecula 2 la que se mueve verticalmente Eneste sistema la velocidad de esta partiacutecula es w por simetriacutea mientras que wrsquo se obtienemediante la transformacioacuten que nos pasa de nuevo al sistema (a) Teniendo en cuentaque w es una velocidad perpendicular a la direccioacuten de movimiento del sistema (b) conrespecto al (a) aplicamos la ecuacioacuten 10 para obtener wrsquo como transformada de w

wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17

Aplicamos este resultado a la relacioacuten dada por la conservacioacuten del momento lineal

2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2

Podemos considerar ahora el caso en el que la componente w de la velocidad tiendea cero Por supuesto la relacioacuten tiene que seguir siendo vaacutelida en este liacutemite en el queademaacutes la masa m(w) tiende a la masa en reposom0 y u tiende a v con lo que finalmentellegamos a la relacioacuten que queriacuteamos obtener

m(v) = m0radic1minus v2

c2

Ejemplo 5

El capitaacuten Kirk comandante de la nave Enterprise que surca los espacios interestelaresa una velocidad de 06c comproboacute esta mantildeana en el bantildeo de su camarote que teniacutea unamasa de 80 kg iquestCuaacutel es su masa relativista desde el punto de vista terrestre

m = 80kgradic1minus (06c)2

c2

= 100kg

8 Energiacutea relativistaDonde se obtiene la foacutermula maacutes famosa de la Fiacutesica E = mc2

Vamos a calcular en primer lugar el trabajo total sobre una partiacutecula que se encuentraen reposo y adquiere una cierta velocidad v Como en el caso de la fiacutesica newtoniana elresultado seraacute por definicioacuten la energiacutea cineacutetica de la partiacuteculaLa relacioacuten de la fuerza con la aceleracioacuten ya no es la que establece la segunda ley de

Newton ya que es necesario tener en cuenta el incremento de la masa inercial con lavelocidad Sin embargo la expresioacuten F = dpdt siacute la consideraremos como vaacutelida

Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp

p = m0vradic1minus v2

c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2

minusm0c2 = mc2 minusm0c

2 (11)

Conviene comprobar que en el liacutemite de pequentildeas velocidades en comparacioacuten con lade la luz la ecuacioacuten 11 se aproxima a la expresioacuten de la energiacutea cineacutetica de la mecaacutenicanewtoniana Para ello haremos uso de la siguiente aproximacioacuten matemaacutetica

Aproximacioacuten matemaacutetica

Sea f(x) una funcioacuten continua y derivable en x=0 Para valores de x proacuteximos a cero(|x| ltlt 1) se cumple f(x) asymp f(0) + f prime(0) middot x siendo tanto maacutes correcta la aproximacioacutencuanto menor sea el valor absoluto de xDemostracioacutenPara cualquier valor x0 de x la derivada de f en x0 es

f prime (x0) = lımhrarr0

f (x0 + h)minus f (x0)h

Tomando x0 = 0 y h = x f (x0 + h) queda igual a f(x)

f prime (0) = lımxrarr0

f (x)minus f (0)x

asymp f (x)minus f (0)x

La aproximacioacuten es tanto maacutes correcta cuanto menor sea x pues ese es el significadodel liacutemite matemaacutetico Despejando f(x) se obtiene la igualdad aproximada del enunciado

Liacutemite no relativista de la energiacutea cineacutetica

La energiacutea cineacutetica expresada en la ecuacioacuten 11 es funcioacuten de la masa en reposo y dela velocidad En lo que se refiere a la velocidad podemos tomar como variable v2c2 Elvalor de este cociente a la escala de los procesos que nos son familiares es muy pequentildeo y

19

podremos aplicar la aproximacioacuten matemaacutetica anterior Llamemos x a nuestra variable(x equiv v2c2 no confundir con la coordenada x se trata simplemente de dar nombre anuestra nueva variable) La energiacutea cineacutetica como funcioacuten de x es

Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2

Para x=0 la energiacutea es Ec(0) = 0 loacutegicamente ya que x=0 cuando v=0 La derivadaes

Eprimec (x) = m0c2[minus1

2 (1minus x)minus32]

(minus1) = 12m0c

2 (1minus x)minus32 =rArr Eprimec (0) = 12m0c

2

Finalmente hacemos uso de la aproximacioacuten matemaacutetica y sustituimos al final x porsu expresioacuten en funcioacuten de la velocidad

Ec(x) asymp Ec(0) + Eprimec(0)x = 0 + 12m0c

2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo

Calculad la energiacutea cineacutetica relativista de un cuerpo de 2 toneladas que se mueve a10000 kms y comparadla con la expresioacuten no relativistaLas condiciones del ejemplo son extremas y sin embargo podemos comprobar que los

dos caacutelculos difieren en menos de un uno por mil Los resultados son Energiacutea cineacuteticarelativista 1 00083 middot 1017J Energiacutea cineacutetica seguacuten la expresioacuten no relativista 1017J

Equivalencia masa-energiacutea

La ecuacioacuten 11 proporciona este resultado con implicaciones muy importantes

mc2 = m0c2 + Ec lArrrArr m = m0 + Ec

c2 (12)

El incremento de la masa de un cuerpo con la velocidad es directamente proporcionala su energiacutea cineacutetica Imagineacutemonos por ejemplo un gas constituido por una enormecantidad de moleacuteculas Desde el punto de vista de la fiacutesica newtoniana su masa es iguala la suma de las masas de sus moleacuteculas constituyentes Desde el punto de vista relativistasu masa en reposo es igual a la suma de las masas relativistas de sus moleacuteculas que noes igual a la suma de las masas en reposo de las mismas Cuanta maacutes temperatura mayorseraacute la energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas mayor su masa relativista y por lo tanto mayor

20

la masa en reposo del cuerpo Esto significa ni maacutes ni menos que la energiacutea tiene inerciay que tanto un incremento de energiacutea interna como un aumento de la energiacutea cineacuteticaglobal proporcionan un incremento de esa inercia Podemos suponer incluso que la uacutenicainercia que existe es la energiacutea lo que nos conduce a considerar que la propia masaincluso la masa en reposo es energiacuteaEn fiacutesica newtoniana los principios teoremas y corolarios referidos al trabajo y la

energiacutea siguen siendo vaacutelidos si a la energiacutea total de un cuerpo le sumamos una constantearbitraria pues lo que realmente interviene en los procesos es la variacioacuten de la energiacuteaSin embargo para la medida de la inercia no se puede adoptar un grado de arbitrariedadsemejante Como la energiacutea tiene inercia en la teoriacutea de la relatividad especial la energiacuteade un cuerpo no puede depender de una constante arbitraria A la vista de la ecuacioacuten12 Einstein propone adoptar la expresioacuten E = mc2 como la de la energiacutea total de uncuerpo Desde esta perspectiva masa y energiacutea son lo mismo siendo c2 meramente unfactor de conversioacuten que nos permite pasar de kilogramos a julios (1kg = 9 middot 1016J)

Uacuteltimas expresiones

Para un cuerpo con masa en reposo m0 que se mueve a velocidad ~v las expresiones dela energiacutea y el momento lineal son

E = m0c2radic

1minus v2

c2

~p = m0~vradic1minus v2

c2

(13)

Vamos a obtener la relacioacuten directa entre la energiacutea y el momento lineal y la relacioacutende ambas magnitudes con la energiacutea en reposo La primera es

~p = E

c2~v lArrrArr p2c2 = E2 v2

c2 (14)

La uacuteltima expresioacuten se ha puesto por conveniencia para hacer expliacutecito el cocienteentre los cuadrados de la velocidad y la velocidad de la luz que nos debe ser familiarMaacutes bien nos debe ser familiar la expresioacuten en la que ese cociente se resta a la unidadlo que nos impulsa irrefrenablemente a obtener la siguiente relacioacuten

E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)

Las expresiones 14 y 15 se consideran maacutes fundamentales que las 13 Incluso lo habituales eliminar el subiacutendice cero de la ecuacioacuten 15 llamar simplemente masa a lo que aquiacutellamamos masa en reposo y considerar que lo que aumenta con la velocidad es la energiacuteaque tiene inercia Por otra parte la ecuacioacuten 15 nos permite considerar la existenciade las llamadas partiacuteculas de masa nula objetos que desde el punto de vista de lafiacutesica newtoniana son imposibles pero que sin embargo existen Para estas partiacuteculas lasecuaciones 14 y 15 proporcionan

21

p = E

cv = c

Notemos que estas partiacuteculas no estaacuten definidas para las expresiones 13 ya que alsustituir m0 por cero y v por c obtendriacuteamos 00 Las partiacuteculas con masa nula estaacutencondenadas a vivir siempre corriendo a la velocidad de la luz No pueden pararse ni unmicrosegundo o se esfumariacutean Ya conocemos una de estas partiacuteculas el fotoacuten Con sudescubrimiento da comienzo la fiacutesica cuaacutentica

22

Principios de la relatividad especial

La simultaneidad es relativa

Dilatacioacuten del tiempo

Contraccioacuten del espacio y retraso de los relojes

Transformaciones de Lorentz

Composicioacuten de velocidades

Masa relativista

Energiacutea relativista

las ondas electromagneacuteticas Despueacutes eleva a categoriacutea de principios lo que la naturalezatercamente manifiesta una y otra vezPrimer principio Existen una serie de sistemas de referencia en los cuales son vaacutelidas

todas las leyes de la fiacutesica Estos son los sistemas de referencia inerciales caracterizadosporque cualquier sistema que se mueva con movimiento rectiliacuteneo uniforme con respectoa un sistema inercial tambieacuten es inercial Cualquier sistema que se mueva con aceleracioacutencon respecto a un sistema inercial es no inercialSegundo principio La velocidad de la luz en el vaciacuteo es una constante universal

independiente del estado de movimiento del objeto emisor y del sistema de referencia enel que se midaEinstein se apresura a decir que ambos principios parecen incompatibles pero eso

es solo apariencia Advierte tambieacuten que en los problemas de la fiacutesica de su tiempointerviene de una manera decisiva una insuficiente consideracioacuten de que posiciones ylongitudes son resultados de medidas realizadas con reglas u objetos equivalentes y lostiempos son medidas realizadas con relojes Es decir una insuficiente consideracioacuten delhecho de la medidaPara poner de manifiesto la aparente contradiccioacuten entre ambos principios y en coacutemo

puede resolverse hagamos un experimento mental en el que un largo vehiacuteculo se desplazaa una velocidad constante u en liacutenea recta En realidad para que los efectos relativistas senoten seriacutea necesario que el vehiacuteculo fuese muchos cientos de miles de kiloacutemetros de largoy que se desplazase a velocidades proacuteximas a la de la luz pero queremos hacer puramenteun anaacutelisis teoacuterico no cuantitativo Suponemos que nuestro sistema de referencia (sistematierra) es inercial Los viajeros que van en el vehiacuteculo pueden hacer en eacutel sus experimentosy sus resultados seraacuten perfectamente compatibles con las leyes de la fiacutesica puesto que susistema (sistema vehiacuteculo) tambieacuten es inercial Es maacutes pueden considerarse en reposo yconsiderar que somos nosotros los habitantes del sistema tierra los que nos movemos auna velocidad -uLa figura 1 ilustra un experimento que se realiza en el vehiacuteculo Desde su parte posterior

se emite un minuacutesculo pulso de luz que se refleja en un espejo situado en su parte anteriorpara regresar e impactar sobre un fotodetector L es la distancia que separa emisor yfotodetector del espejoLa aparente contradiccioacuten entre los dos principios de la relatividad especial se mani-

fiesta en los tiempos que la luz tarda en recorrer cada etapa de su viaje total Medidoeste tiempo desde tierra mientras la luz realiza su viaje de ida el espejo se aleja de su po-sicioacuten inicial una distancia u middot∆t1 siendo ∆t1 el tiempo que dura ese viaje La distanciarecorrida por la luz durante ese tiempo es L+u middot∆t1 En cambio en el viaje de vuelta elextremo posterior del vehiacuteculo se acerca al pulso de luz recorriendo una distancia u middot∆t2con ∆t2 el tiempo que dura la vuelta La luz recorre en esta segunda etapa una distanciaL minus u middot ∆t2 Como la velocidad de la luz es la misma en ambas etapas obtenemos lassiguientes expresiones para los tiempos

c = L+ u middot∆t1∆t1

=rArr ∆t1 = L

cminus u(1)

2

Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u



=rArr ∆t2 = L

c+ u(2)




3

Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u

R R1 2

Δt

Δt1

2 =

= - =

=



-





4







5




R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L





6





c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u



=rArr ∆t2 = L

c+ u(2)




3

Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u

R R1 2

Δt

Δt1

2 =

= - =

=



-





4







5




R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L





6





c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


Pulso de luz

L

Espejo

u

LumiddotΔt1 L1

LumiddotΔt2

u

u

R R1 2

Δt

Δt1

2 =

= - =

=



-





4







5




R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L





6





c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista








5




R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L





6





c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista





R1 R2u

R 1 R2

L

A B

R R1 2

R 1 R2

D

-u

L





6





c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista






c = 2Dτ

=rArr τ = 2Dc

7

tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


tic

tic

tac

tac

Δt

Δt

Δ t



c middot 12∆t

)2= D2 +

(u middot 1

2∆t)2

=(c middot 1

2τ)2

+(u middot 1

2∆t)2



= τradic1minus u2

c2

(3)

8






Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista







Ejemplo 1


terrestre es

∆t = ∆xv



9

τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


τ = ∆t middot

radic1minus v2



c2 = 0 570antildeos





10


∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista



∆t = L

cminus v+ L

c+ v= L


c2 minus v2 = 2Lc

11minus v2

c2


∆tprime = ∆t

radic1minus v2

c2 = 2Lc

1radic1minus v2

c2

(4)


Lprime = c∆tprime

2 = Lradic1minus v2

c2

(5)


Ejemplo 2






11




L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista





L

cradic

1minus v2

c2


tprime1 + L

cradic

1minus v2

c2


L

cminus v

radic1minus v2

c2



cradic

1minus v2

c2

minus L

cminus v

radic1minus v2


(1minus v2

c2

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= tprime1+Lv2

c minus v

c (cminus v)radic

1minus v2

c2


c

)c (cminus v)

radic1minus v2

c2

= Lv (cminus v)

c2 (cminus v)radic

1minus v2

c2


c2

(6)


Ejemplo 3


12




c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista





c2

= 3 96antildeos



S S

O O

umiddott (S)

x

x

P(xyzt)

P(xyzt)



13




c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista





c2



tprimeOprime = t

radic1minus u2

c2



1minus u2

c2

= t

radic1minus u2


1minus u2

c2

=t(1minus u2

c2

)minus u

c2x+ u2

c2 tradic1minus u2

c2

tprime =tminus u

c2xradic1minus u2

c2

(8)



c2


c2xprimeradic

1minus u2

c2

(9)


14



vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista




vxprime = ∆xprime



∆xprime

∆tprime + u

1 + uc2

∆xprime




vx = u+ c

1 + umiddotcc2

= u+ c

1 + uc

= u+ c

(c+ u) c = c


Ejemplo 4


v = 0 8c+ 0 6c1 + 08cmiddot06c

c2

= 0 946c




15




)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista





)radic

1minus u2

c2

= ∆yprime

∆tprime

radic1minus u2

c2 = vyprime

radic1minus u2

c2 (10)







16









wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista










wprime = w

radic1minus u2

c2 =rArr v2 = u2 + w2(

1minus u2

c2

)

17


2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista



2m(w)w = 2m(v)w

radic1minus u2

c2 =rArr m(w)m(v) =

radic1minus u2

c2



c2

Ejemplo 5



c2

= 100kg




Ec =int x

0F middot dx =

int x

0

dp

dtmiddot dx =

int p

0v middot dp


c2

dp = dp

dvdv

18

dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


dp

dv= d

dv

m0v

(1minus v2

c2

)minus12 = m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v

minus12

(1minus v2

c2

)minus32 (minus2vc2

) =

m0

(1minus v2

c2

)minus12

+m0v2

c2

(1minus v2

c2

)minus32

= m0radic1minus v2

c2

(1 + v2c2

1minus v2

c2

)=

m0radic1minus v2

c2

middot 11minus v2

c2

=rArr dp = m0

(1minus v2

c2

)minus32

dv

Ec =int v

0m0

(1minus v2

c2

)minus32

vdv =

m0c2radic

1minus v2

c2

v

0

= m0c2radic

1minus v2

c2


2 (11)








f (x)minus f (0)x





19


Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista



Ec (x) = m0c2

radic1minus x

minusm0c2




(minus1) = 12m0c


2



2x = 12m0c

2 v2

c2 = 12m0v

2

Ejemplo






c2 (12)


20





E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista






E = m0c2radic

1minus v2

c2


c2

(13)


~p = E


c2 (14)


E2 minus p2c2 = E2(

1minus v2

c2

)= m2

0c4 (15)


21

p = E

cv = c


22







Masa relativista


p = E

cv = c


22







Masa relativista


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