Teoría de la Relatividad Especial Fundamentospferrei/relativ_es/Relatividad Especial.pdf ·...

Facultad de Ingenieria Eléctrica . U.M.S.N.H. Prof. Pedro Ferreira Herrejón

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Teoría de la

RelatividadEspecial

Fundamentospor

Pedro Ferreira Herrejón

Relatividad especial 1


Transformación relativista de coordenadas espacio-tiempo.-- 22

2.4 Cinemática Relativista.--------------------------------------- 27

2.5 Interpretación Física.---------------------------------------- 32

2.6 Transformación relativista de velocidades.------------------- 38

2.7a Aberración estelar ----------------------------------------- 42

2.7b Efecto Doppler--------------------------------------------- 44

2.8 Dinámica Relativista.----------------------------------------- 48

2.9 Masa y Energía.--------------------------------------------- 53

Ejercicios --------------------------------------------------- 65

Soluciones para algunos de los ejercicios -------------------- 72

ÍNDICE

CAPÍTULO 1: MECÁNICA CLÁSICA. PRINCIPIOS Y FALLAS

1.1 Introducción ----------------------------------------------- 1

1.2 Absoluto y relativo ---------------------------------------- 1

1.3 Sistemas de referencia ------------------------------------- 2

1.4 El sentido común en las escalas de tiempo, longitud y masa.- 5

1.5 2ª ley de Newton versus Naturaleza.---------------------- 8

1.6 La destrucción de un medio etéreo------------------------- 10

CAPÍTULO 2: CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTAS

2.1 El Experimento de Michelson-Morley---------------------- 14

2.2 Postulados de la Teoría especial Especial de la Relatividad-- 17

2.3



FUNDAMENTOS DE LA TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

CAPITULO 1MECÁNICA CLÁSICA . PRINCIPOS Y

FALLAS1.1 Introducción .

Los orígenes científicos de la Mecánica Clásica comenzaron con Galileo Galilei, al poner en práctica el método científico, la idealización de los conceptos y la proposición de modelos teóricos para explicar y predecir el comportamiento de los fenómenos naturales. Sus leyes básicas fueron establecidas hasta 1686 por Isaac Newton.

El objetivo fundamental de ésta parte de la Física, es la descripción y predicción del movimiento de los objetos materiales y las causas que lo producen. Los principios con los que se consigue éste objetivo ( al menos para los movimientos de baja velocidad que ocurren en el medio ambiente y que podemos percibir directamente con nuestros sentidos ) fueron establecidos de manera teórico-experimental y los conocemos ahora como las tres leyes del movimiento de Newton.

El movimiento de objetos materiales grandes que se mueven con una velocidad relativamente pequeña comparada con la rapidez de propagación de la luz en el vacío, por ejemplo un satélite una pelota o una molécula, se describe con extraordinaria precisión usando las leyes de Newton; sin embargo, éstas predicciones se derrumban catastróficamente cuando se desea describir el movimiento de objetos muy pequeños ( electrones, protones etc. ) o que se mueven a una velocidad cercana a la de la luz .

Es importante señalar sin embargo, que no fué esta "deficiencia" el motivo principal que originó el desarrollo de la Teoría Especial de la Relatividad formulada por Albert Einstein en 1905, sino más bién una contradicción básica sobre la forma de las leyes de la Física en distintos sistemas de referencia, porque al parecer, algunas conservaban su forma matemática en todos los sistemas de referencia y otras no.

1.2 Absoluto y relativo .Frecuentemente casi todas las afirmaciones que hacemos carecen de sentido o se vuelven rotundos absurdos cuando tratamos de asignarles un significado absoluto, es decir cuando tratamos de que signifiquen lo mismo en cualquier lugar y en cualquier tiempo. Por ejemplo cuando decimos :

"Son las 6:15 de la mañana" Es una afirmación verdadera solo localmente en la vecindad inmediata del reloj que mide ese tiempo, Para otros relojes en otros lugares, la hora es diferente.

"Conducimos los autos por la orilla derecha del camino"

Es una afirmación verdadera solo cuando se especifica una dirección ( la del movimiento del auto por ejemplo) y vale sólo para las personas dentro del auto

"Arriba y abajo" Cuando la Tierra se consideraba plana como una moneda, la dirección vertical parecía ser un concepto absoluto ( la misma en todos los puntos de la superficie tierrestre ) . Ahora que sabemos que nuestro planeta es esférico, el arriba y el abajo son solo conceptos relativos, verdaderos sólo localmente ( en un punto de la superficie terrestre )



De éste modo, los habitantes de un punto X de la Tierra , "andan de cabeza" según opinan los habitantes de un punto Y de la superficie directamente opuesto al X. A su vez, los habitantes de X piensan que son los habitantes de Y los que andan "cabeza abajo".

Hay que destacar que empezamos a darnos cuenta del sentido relativo de la vertical únicamente cuando examinamos dos puntos de la superficie terrestre muy separados entre si , por ejemplo México y China ; pero si examinan dos lugares cercanos, por ejemplo dos casas vecinas de la ciudad de Morelia, prácticamente puede suponerse que las direcciones verticales son paralelas y que el arriba y el abajo son conceptos absolutos localmente.De esta manera, muchos conceptos que consideramos tienen un significado absoluto, resultan ser conceptos relativos cuando los examinamos más detenidamente y vemos que adquieren sentido solo si indicamos las condiciones bajo las cuales se definen. ( y paradójicamente, lo relativo se ha convertido ahora en uno de los pocos conceptos absolutos ) .

1.3 Sistema de referencia .De la misma manera, " la posición de un objeto en el espacio" es un concepto que carece de significado a menos que se indiquen otros objetos respecto a los cuales se mide esa posición. Por ejemplo: __ la localización de las estrellas en la bóveda celeste tiene sentido solamente porque se señala que

la observación se efectúa desde la Tierra. __ la ubicación de un edificio en la ciudad tiene sentido sólo si la posición del edificio se localiza

respecto a otros objetos, por ejemplo las calles u otros edificios. __ la dirección Norte-Sur tiene sentido sólo si se indica que tal dirección se mide respecto a la

posición de la estrella polar. __ si queremos decir donde se encuentra normalmente nuestro cepillo de dientes, tenemos que

describir su posición respecto al espejo, el baño, otra habitación, una casa, una ciudad, un pais, un planeta, una galaxia etc.

Asi que cuando hablamos de la situación de los cuerpos en el espacio, siempre suponemos la situación de unos cuerpos respecto a otros. Es imposible responder la pregunta ¿donde se encuentra un objeto concreto? sin mencionar otros objetos.

Se acostumbra usar un sistema de coordenadas rectangular XYZ cuyo origen O está fijo a un objeto ( no necesariamente real ) , para medir la posición de los demás objetos físicos en el espacio, que además, por

r

XY

Z

xy

z

P

cuestiones teóricas consideraremos, de ahora en adelante, como partículas muy pequeñas, es decir puntos matemáticos sin dimensiones. De ésta manera, la posición de una partícula P en el espacio queda determinada por las coordenadas ( x , y , z ) o el radio de posición r , esto es :

r x i y j z k=

O donde i , j , k son los vectores unitarios a lo largo de las tres direcciones perpendiculares X , Y , Z respectivamente .



Un sistema de coordenadas nos dice donde se localiza un cuerpo y si añadimos además un reloj que nos diga cuando se localiza tal objeto en esa posición, tendremos lo que se llama un sistema de referencia.

En consecuencia, si la posición de un objeto en el espacio es un concepto relativo, se deduce que "el desplazamiento de un cuerpo en el espacio" es también un concepto relativo, porque cuando decimos que un cuerpo se movió, esto significa simplemente que cambió su posición con respecto a otros cuerpos.

Por lo tanto, si examinamos el movimiento de un objeto desde otros distintos objetos tomados como referencia y que se desplazan unos respecto a otros, este movimiento tendrá características muy diferentes según sea la referencia considerada. Por ejemplo . . .

La misma piedra que se tiró del avión cae ahora siguiendo un camino parabólico respecto al suelo

Un avión está volando y desde éste se tira una piedra, la cual cae en línea recta respecto al avión ( ignorando la

fricción con el aire )

¿Como se mueve la piedra en realidad ?

Esta pregunta tiene tan poco sentido como ¿donde es arriba y dónde es abajo en realidad? , ¿cual es la derecha y cual la izquierda en realidad ? . La forma geométrica de la curva por la que se desplaza un cuerpo ( su trayectoria ) tiene un carácter totalmente relativo porque depende del objeto de referencia desde el cual se examine su movimiento.Al observar el movimiento de un cuerpo desde distintos sistemas de referencia obtenderemos diferentes trayectorias, posiciones y velocidades para tal cuerpo.

Además, al estudiar el desplazamiento de los cuerpos, nos interesa no sólo conocer sus trayectorias, sino también predecir cual será la trayectoria por la que se moverá un cuerpo en ciertas condiciones concretas establecidas a propósito o en forma natural. Dicho de otro modo, queremos conocer las leyes naturales que gobiernan el movimiento de los objetos y que los obligan a desplazarse de cierta manera si se dan unas condiciones iniciales.

Es una ley natural que todo objeto del universo interacciona con todos los demás cuerpos del universo en diferentes formas, llamamos a esas interacciones fuerzas y son ellas las causas que generan el desplazamiento de los objetos unos respecto a otros.Podemos entonces decir que cuando un objeto está inmóvil es porque todas sus interacciones con el resto del universo se anulan unas a otras (según lo observamos desde nuestro sistema de referencia), ó bién porque se trata de un objeto ideal alejado infinitamente de todos los demás objetos del universo por lo que no tiene ningún tipo de interacción. Decimos entonces que tal cuerpo está en estado de reposo .



Si fijamos un sistema de referencia a un objeto en reposo, es natural que nos preguntemos si podemos distinguir este sistema de otro en el cual tal objeto parece moverse a velocidad constante.

Imaginemos por ejemplo que vamos sentados en un vagón de un tren que marcha con rapidez constante sobre una via recta . Ignorando la vibración, las sacudidas del vagón y sin ver hacia el exterior, sería imposible para nosotros decidir si el vagón se mueve o no respecto al suelo, puesto que cualquier experimento mecánico que realicemos dentro de él se comportará exactamente igual que en un vagón inmóvil sobre el suelo. Por ejemplo si lanzamos una pelota hacia arriba verticalmente, observaremos que la pelota se mueve igual que cuando la lanzamos en un vagón en reposo. No habría ninguna diferencia en ambos casos.

v

Lanzamos la pelota dentro del vagón en reposo respecto al suelo. La pelota sube y baja en una trayectoria vertical

Lanzamos la pelota dentro del vagón en movimiento uniforme y rectilíneo respecto al suelo. Observamos que la pelota también sube y baja en una trayectoria vertical

Nos damos cuenta entonces que es imposible distinguir un sistema de referencia en reposo de otro que se mueva respecto a éste a velocidad constante. Llamaremos a tales sistemas de referencia inerciales .Otra cosa sucede si el tren cambia su velocidad, acelerando, frenando o dando vuelta, porque entonces si podremos decidir si el vagón se mueve o no debido a las fuerzas que sentimos y notaremos claramente la diferencia respecto al reposo. Veríamos que al lanzar la pelota, ésta ya no sigue una trayectoria vertical y NO estaría moviéndose en un sistema de referencia inercial.

Si el tren frena, somos empujados hacia adelante La pelota tiende a conservar su velocidad inicial y también continúa hacia adelante

En una curva, somos empujados hacia la parte exterior de la curva. la pelota conserva su velocidad y cuando está en el aire no sigue la trayectoria que describe el vagón



Aunque este es solo un sencillo ejemplo, contiene las características escenciales de otros más complicados y nos permite concluir que . . . Un estado de reposo o uno de movimiento rectilíneo uniforme no difieren en nada uno del otro en cuanto al desplazamiento de los cuerpos y por lo tanto no existe un sistema inercial preferido a otroEs imposible determinar por medio de experimentos mecánicos el movimiento relativo rectilíneo uniforme de un sistema de referencia respecto a los demás.

Entonces debido a que el reposo es un concepto relativo, debemos indicar siempre respecto a cual de los inumerables sistemas inerciales que se desplazan rectilínea y uniformemente unos con respecto a otros se describe un movimiento. Asi que el movimiento de un cuerpo resulta ser un concepto completamente relativo.Se establece de esta manera una de las leyes más importantes de la naturaleza, formulada por Galileo Galilei y que se llama :

El Principio de la Relatividad del Movimiento"El movimiento de los objetos físicos en todos los sistemas inerciales se describe con las mismas leyes"

Vemos entonces que el cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta puede encontrarse tanto en estado de reposo como en estado de movimiento rectilíneo y uniforme.

Este enunciado se conoce en Física como la ley de la Inercia o 1a ley de Newton . Sin embargo, ésta ley parece contradecir nuestra experiencia diaria, ya que observamos que los cuerpos a los que no se aplican fuerzas se paran.La explicación consiste en que sobre todo cuerpo físico siempre actúan fuerzas externas de rozamiento ejercidas por otros cuerpos y que detienen su movimiento; sin embargo, si éstas fuerzas de rozamiento se pudieran idealmente disminuir cada vez más hasta hacerlas nulas, el movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo sobre el que no actuaran ningunas otras fuerzas externas continuaría eternamente.

1.4 El sentido común y las escalas de tiempo, longitud y masa.Si deseamos encontrar como se relacionan la posición, velocidad y aceleración de una partícula P, medidas en dos sistemas de referencia, uno en reposo ( que llamaremos sistema O ) y otro en movimiento ( sistema O' ) , nuestro sentido común nos conduce irresistiblemente a hacer las siguientes suposiciones "evidentes ". . .

a ) Dos relojes idénticos, uno en reposo en el sistema O y el otro fijo al sistema móvil O' , que se habían sincronizaron inicialmente, seguirán sincronizados y tendrán las mismas lecturas de tiempo siempre independientemente de su movimiento relativo.Esperamos que el movimiento uniforme y rectilíneo de un reloj no cambie su medida del tiempo, o en otras palabras, que las escalas de tiempo sean idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

b ) Dos longitudes idénticas, una en reposo en el sistema O y la otra fija al sistema móvil O' , continuarán siendo de la misma longitud independientemente de su movimiento relativo.Esperamos que una distancia no cambie con su movimiento uniforme y rectilíneo, es decir, que las escalas de longitud sean idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

c ) Dos masas idénticas, una en reposo en el sistema O y la otra fija al sistema móvil O' , continuarán siendo de la misma magnitud independientemente de su movimiento relativo.Eperamos que la masa de un cuerpo no cambie debido a su movimiento relativo y que por lo tanto las escalas de masa sean idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.



y de la suposicón t = t' y las reglas de derivación se deduce que. . .

de la Transformación de Galileot

r( )d

d tr´ u t d

d=

donde v y v' representan la velocidad del cuerpo medida respecto a los sistemas O y O' respectivamente,asi que

v´t´

r´ d

d=;v

tr( )

d

d=

Comprobemos ahora analíticamente las importantes conclusiones hechas antes de manera intuitiva.A partir de la definición de velocidad como la rapidez de cambio de la posición en el tiempo, tenemos :

Junto con la suposición hecha en 1.4 a) referente a la igualdad de las escalas de tiempo t = t' , la ecuación ( 1.1 ) se conoce como la Transformación de Coordenadas de Galileo y es la respuesta de la Mecánica Clásica a la comparación de escalas de espacio y tiempo de dos sistemas inerciales.

Esta ecuación solo confirma lo que ya habíamos dicho anteriormente: la posición de un objeto es un concepto relativo y tiene diferente valor en cada sistema de referencia, a saber: ( x , y , z ) en el sistema O y ( x' , y ', z' ) en el sistema O ' .

x x´ ux t=

y y´ uy t=

z z´ uz t=

o expresando ésta ecuación vectorial en sus componentes :

1.1( )r u t r´=

Geométricamente es evidente que:3°

Transcurrido un cierto tiempo t, ambos orígenes estarán separados por una distancia u t .

2°

La posición de un cuerpo P medida respecto a ambos sistemas O y O' queda determinada por los vectores de posición r y r' respectivamente.

1°

Consideremos entonces dos sistemas inerciales con ejes paralelos y por sencillez, con sus orígenes o ceros O y O' coincidiendo en el instante de tiempo t = 0. Recordemos que el sistema O está en reposo y el sistema O' se mueve respecto al O con una velocidad constante u. Es claro entonces que . . .



Estos resultados confirman lo que ya habíamos dicho anteriormente: ( recordemos el experimento de lanzar una pelota dentro del vagón de un tren )"Es imposible determinar por medio de un experimento mecánico el movimiento relativo de un sistema de referencia inercial respecto a los demás sistemas inerciales porque el movimiento de los objetos físicos en todos los sistemas inerciales se describe con las mismas leyes "

a a´=

La aceleración de un cuerpo y la fuerza neta que actúa sobre él conservan el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales .

F F´=2°

La segunda ley de Newton tiene la misma forma en los dos ( y por lo tanto en todos ) los sistemas inerciales. Es un concepto absoluto.

M a M´ a´=1°

Se concluye de este modo que :

= M´t´

v´ d

d0

usando t = t' y M = M' de acuerdo con 1.4 a) y 1.4 c) junto con el hecho de que la velocidad relativa entre los sistemas de referencia u es constante.

= Mt

v´ u d

d usando (1 .2 )

= Mt

v( )d

d ; usando la definición de aceleración

F M a=

Debemos a la genialidad de Isaac Newton la relación que existe entre la fuerza neta F que actúa sobre un cuerpo y la aceleración a que tal fuerza le produce ( la rapidez con que cambia su velocidad ) :

Ahora nos podemos dar cuenta fácilmente que la rapidez de un cuerpo también es un concepto relativo cuyo valor queda terminado según sea el sistema inercial desde el cual se mida. Al determinar la velocidad de un objeto con respecto a diferentes sistemas inerciales, obtendremos resultados diferentes.

1.2( )v v´ u=

es decir :

tr( )

d

d t´r´ d

du 1( )=

y finalmente :

por ser u, la velocidad relativa entre los sistemas de referencia una constante.

= t´

r´ d

du

t´t´ d

d

tr( )

d

d t´r´ u t´ d

d=

t´r´ d

d t´u t´ d

d

=



De la 2a ley de Newton se derivan importantes Principios de Conservación ( de la Energía, del Momentum Lineal, del Momentum Angular ), y como acabamos de demostrar, esa ley natural es invariante ( tiene la misma forma en todos los sistemas inerciales ), se deduce entonces que también los Principios de Conservación son invariantes, es decir se aplican igual en todo sistema de referencia inercial.

Por lo tanto, para la Mecánica Clásica todos los sitemas inerciales son equivalentes entre si, puesto que en todos ellos las leyes Mecánicas tienen la misma forma.

Es natural que ahora nos preguntemos. . .1° : ¿ Tienen todas las leyes de la Fisica, al igual que la 2a ley de Newton, la misma forma

matemática en todos los sistemas inerciales ?2° : ¿ Como se comparan las descripciones de cualquier fenómeno natural observado desde dos

sistemas inerciales distintos ?.

Antes de intentar responder a éstas preguntas consideremos primero algunas fallas importantes de la Mecánica Clásica, sin la intención de restarle importancia a ésta gran teoría, que describe con gran belleza y precisión aunque en un campo limitado, una gran cantidad de fenómenos naturales.

1.5 2ª ley de Newton contra NaturalezaImaginemos que a un cuerpo inicialmente en reposo en cierto sistema de referencia inercial se le aplica una fuerza constante durante un cierto periodo de tiempo t. ¿Qué tan rápido se moverá ese cuerpo al final? , ¿Existe un límite para su rapidez final vf ?. Hallemos la respuesta que nos dá la 2a ley de Newton :

F M a=

o bién :F M

d vdt

=

separando los diferenciales e integrando ambos miembros de ésta ecuación obtenemos:

0

t

tF

d0

v f

vM

d=

y considerando que M y F son constantea, se obtiene :

v fF

M

t=

En conclusión, en principio no existe, para la Mecánica Clásica, algún límite físico de la rapidez final de un objeto, dado que si el tiempo t es suficientemente grande, se puede obtener cualquier valor de vf , por grande que éste sea. Sin embargo, en la naturaleza no se ha detectado todavía algún objeto físico real que supere o al menos iguale la rapidez de la luz* en el vacío ( unos 300 000 kilómetros cada segundo ) . La Mecánica Clásica predice entonces un resultado que no se observa en la la naturaleza.

* Entenderemos por "luz" no solo la luz visible a nuestros ojos sino todo el espectro electromagnético completo, desde las ondas

de radio de bajas frecuencias de ( 0 a 100 Hz ) hasta la radiación gamma de frecuencia muy elevada ( ~10 24 Hz )



Una manera práctica de ilustrar el experimento anterior se realiza acelerando los electrones ( "desprendidos" de un filamento metálico por medio de calor ) dentro de un tubo al vacío con dos electrodos sometidos a una gran diferencia de potencial eléctrico variable Vo

Midiendo la rapidez final de los electrones al llegar al electrodo positivo, se puede calcular su energía cinética.De acuerdo al principio clásico de la Conservación de la Energía, si una partícula de carga q y masa M parte inicialmente del reposo del filamenteo negativo (en éste caso, los electones), toda su energía potencial eléctrica inicial qVo se transforma en la energía cinética que tiene justo antes de chocar con la placa positiva, es decir . . .

q V o1

2M v

2=

De donde se obtiene : v2 2 q

M

V o=

Si pensamos que la carga eléctica q de un electrón y sobre todo su masa M se mantienen constantes, entonces su rapidez final v2 es directamente proporcional al voltaje Vo aplicado. Esto significa que la gráfica de v2 contra Vo es simplemente una línea recta. ( la linea segmentada en la siguiente gráfica )

0 1 106

2 106

Voltaje en Voltios

v2

c2

Cuando Vo es del orden de algunos miles de voltios, la relación clásica anterior coincide muy bien con los resultados experimentales reales; sin embargo, si la aceleración de los electrones se lleva a cabo en millones de voltios , se puede observar una tremenda discrepancia con los valores obtenidos para la rapidez de éstas parículas en este experimento.Se nota también que c2 es una asíntota de la curva experimental. Esto significa que la rapidez final de los electrones no puede sobrepasar ( ni siquiera igualar ) la velocidad c de la luz en el vacío

Otro fenómeno natural que la Mecánica Clásica simplemente no puede explicar, ocurre en el campo de las parículas elementales. La llamada radiación cósmica de alta energía que consiste en protones de varios Millones de electrón-voltios* ( MeV ) de energía incide en las capas superiores de la atmósfera terrestre generando unas partículas llamadas mesones , cuando choca con los núcleos de los elementos que forman las moléculas del aire. Estas partículas también se pueden generar en el laboratorio bajo condiciones controladas y moviéndose a "baja velocidad" tienen una vida media To de unos 2 x 106 seg .* Un electrón-voltio ( eV ) es la energía cinética que adquiere un electrón en el tubo al vacío del experimento anterior, cuando el voltaje que lo acelera hacia la placa positiva es de un voltio



No obstante, se encuentra que los mesones que se producen en las altas capas atmosféricas se detectan incluso a nivel del mar, lo cual quiere decir que ¡pueden atravezar toda la atmósfera terrestre ! . De acuerdo con la Macánica Clásica , la mayor distancia media que tal partícula podría recorrer moviéndose aún con la máxima rapidez constante posible ( la velocidad de la luz ) sería de tan solo . . .

d c To

3 x 108 m

seg

2 x 10 6 seg = 600 m

De manera que asumiendo que los mesones no puedan moverse igual o más rápido que la luz, sería imposible según la Mecánica Clásica que pudiesen recorrer una distancia mucho mayor que unos 600 metros. Para que una de éstas partículas pueda recorrer unos 12 km ( más o menos el espesor de la atmósfera terrestre) , moviéndose incluso a la velocidad de la luz, necesitaría tener ( clásicamente ) un tiempo de vida media de . . .

T 12000 m

300 000km

seg

=4 10 5 seg

que es unas 20 veces mayor que el tiempo de vida media registrado para éstas partículas en el laboratorio.Es como si al moverse muy rápidamente con una rapidez comparable a la velocidad de la luz en el vacío, éstas partículas aumentaran enormemente su vida media.

Encontraremos que el tiempo de vida media de una partícula depende del sistema de referencia en el que se mida. Este hecho experimental está en abierta contradicción con la suposición clásica de que las escalas de tiempo sean idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir que la duración de un fenómeno natural es la misma en cualquier sistema de referencia inercial y no depende del movimiento relativo.

Es dudoso que el propósito fundamental que Albert Einstein perseguía al formular la Teoría Especial de la Relatividad en 1905 fuese corregir éstas y otras fallas de la Mecánica Clásica. Mas bién, el deseo principal fué remediar una inconsistencia entre la forma como cambian las leyes mecánicas y las leyes electromagnéticas al pasar de un sistema de referencia a otro, que dejaba con un amargo sabor de boca a todos los físicos de ésa época.

1.6 La destrucción de un medio etéreo .La velocidad de la luz en el vacío es enorme. Para tener una idea de que tan velozmente se propaga, imaginemos que un rayo luminoso pudiese girar dando vueltas alrededor de nuestro planeta la Tierra.

En un tiempo de solo un segundo, ese rayo de luz podría girar unas 7.5 vueltas alrededor de la superficie terrestre

nc t

2 R=

300 000

km

seg

1 seg( )

2 6400 km( )7.46



O recorrer en tan sólo unos 8 minutos la distancia que hay desde la Tierra al Sol . . .

td

c=

1.496 x 1011 m 300 000

km

seg

498.7 seg = 8.311 min

Y desde siempre ha sido un fenómeno fascinante, ya que a diferencia del sonido o de cualquier otro tipo de onda, no necesita de ningún medio para propagarse.

Si colocamos dentro de la campana de una bomba de aire una bombilla eléctrica y un reloj con timbre y comenzamos a extraer el aire, observaremos que el sonido del timbre poco a poco se debilitará hasta dejar de oirse por completo pero la bombilla seguirá iluminando como antes.Esto demuestra que el sonido se propaga solamente en un ambiente material ( como el aire ) ; mientras que la luz puede propagarse incluso en el vacio .

Al igual que el sonido, la luz puede cambiar su velocidad de propagación al pasar de un medio a otro, asi por ejemplo, se propaga más lentamente en el agua que en el aire; pero es en el vacío donde adquiere su rapidez máxima.Lo que llamamos sonido, es simplemente el movimiento ondulatorio del medio material en el cual se propaga, por esto su velocidad está determinada por las propiedades físicas de ese medio y no por las del cuerpo sonoro que lo genera. Algo similar ocurre con la luz, solo que no se trata de la vibración de un medio material sino de campos eléctricos y magnéticos, por eso su velocidad cambia de un medio material a otro; pero el propio medio material no es un requisito indispensable para que esas ondulaciones electromagnéticas se propaguen.Al igual que el sonido, una vez emitida la luz de una fuente luminosa, su velocidad de propagación no depende de las propiedades o el movimeinto de la fuente.

La idea de un movimiento ondulatorio que no necesitara de ningún medio material para propagarse resultaba intolerable para los físicos de comienzos del siglo XX. Por eso propusieron que aún en el vacío ( luego de sacar todo el aire de la campana en el experimento anterior ) todavía quedaba un medio no material, el éter luminífero ( sin masa, transparente, sin fricción y elástico ) que serviría de "soporte" para que la luz se pudiera propagarSolo quedaba por comprobar la existencia de tal medio y fué en 1881 cuando Michelson y Morley realizaron un experimento con el que se demostró que el éter luminífero era tan real como las vacas verdes en la Luna, es decir, no hay evidencia de su existencia, no es real.

El "eter" sería el sistema de referencia en el cual la luz se propagaría en cualquier direccion a la misma velocidad c ( 300,000 km/seg). Asi que en otro sistema de referencia que se mueva respecto al éter, tal velocidad debería ser diferente. Tomemos por ejemplo un tren que se mueve con rapidez constante v sobre una via recta y supongamos que el "eter" está en reposo respecto a la via.



c O '

v

O

Si en la parte trasera del tren se enciende una fuente de luz, las ondas horizontales viajarán a la velocidad c hacia la derecha para un observador O de pie junto a la vía , en reposo respecto al supuesto "eter". Pero, para un observador O ' sobre el tren, tales ondas viajan al alcance de la parte delantera del tren y por lo tanto se mueven con la rapidez ( c v ). Una situación similar se presentará cuando la luz se encienda en la parte delantera del tren y el observador O ' se localice en la parte de atrás. Las ondas de luz viajarán ahora al encuentro de O ' a la velocidad ( c + v ).

En resumen, para el observador móvil O ' , la rapidez de la luz que viaja a lo largo del tren no sería la misma si viaja de delante hacia a atrás que si lo hace de atrás hacia adelante del tren, en cambio para el observador O en reposo respecto al "eter" , ¡ esa rapidez sería la misma en cualquier dirección !.

Parece pues que si admitimos la existencia del éter luminífero, nos encontramos ante una violación del principio de la relatividad del movimiento, ya que bastaría con medir la velocidad de la luz para darnos cuenta si un sistema de referencia se mueve o no respecto al sistema en reposo absoluto ( el "eter ).

¿Acaso es falso entonces el principio de la relatividad del movimiento ?

En una situación tan contradictoria como ésta, sólamente el juez supremo de la experimentación puede decidir cual es la verdadera realidad.El experimento de Michelson y Morley referido anteriormente, es similar a nuestro ejemplo del tren que se mueve con rapidez constante v sobre una via recta. El tren que ellos consideraron fué nuestro propio planeta que se mueve en torno al Sol a la rapidez v = 30 km/seg ; pero a pesar de que su trayectoria no es recta, podemos considerar que en la ínfima parte de segundo requerida por la luz para pasar a través de todos los instrumentos del laboratorio, la Tierra se mueve rectilínea y uniformemente. El error que se comete con ésta consideración es tan insignificante que no puede detectarse.

Sol

Éter luminífero en reposo absoluto

v

v

SolTierra

Además, suponiendo que la Tierra se mueve a través del éter en reposo absoluto y puesto que ésta cambia su dirección de movimiento respecto al Sol en 180 grados cada seis meses, el realizar el experimento cada medio año equivaldría a recibir las ondas de luz de la parte delantera o de la parte trasera del tren, puesto que en un caso la luz usada en el experimento se mueve a favor y en otro en contra de la supuesta "corriente de éter" a través de la Tierra.



Pues bién, aunque la precisión del experimento de Michelson es tan elevada que se puede detectar incluso un cambio mucho menor al esperado, el resultado fué algo sorprendente . . . "La rapidez de propagación de la luz es siempre la misma, en cualquier época del año y en cualquier lugar de la superficie terrestre".

Regresando a nuestro ejemplo del tren en movimiento, éste resultado nos dice que ambos observadores O y O ' van a medir exactamente el mismo valor para la velocidad de la luz, sin importar que uno esté en reposo y otro en movimiento relativo. De manera que el principio de la relatividad del movimiento permanece.De ésto se infiere ahora fácilmente que la rapidez de la luz en el vacío es la misma en cualquier lugar del universo, que es independiente del movimiento de la fuente o del observador y que no necesita de ningún medio de propagación

Durante casi un cuarto de siglo, desde 1881 hasta 1905, los físicos de todo el mundo se rompían la cabeza tratando de explicar el resultado del experimento de Michelson, pero todas las explicaciones conducían inevitablemente a nuevas contradicciones entre la teoría y la experimentación. Por ejemplo . . .

Hipótesis del "arrastre del éter" : Cuando una fuente de sonido y un observador se desplazan en una jaula móvil hecha de alambre, el observador sentirá un fuerte viento y si mide la velocidad del sonido respecto a la jaula, resultará que en la dirección del movimiento ésta velocidad es menor que en la dirección opuesta. Sin embargo, si instalamos la fuente de sonido en un vagón con las puertas y ventanas cerradas y medimos la velocidad del sonido en él, veremos que ésta es igual en todas las direcciones puesto que el aire es "arrastrado" junto con el vagón.Pasando del sonido a la luz, ésta observación podría explicar el resultado del experimento de Michelson, puesto que si la Tierra "arrastra" al "eter" , igual que el vagón arrastra el aire de su interior, la luz se propagaría siempre respecto al "eter" en reposo y tendría la misma rapidez en cualquier dirección.Desgraciadamente, ésta hipótesis contradice bruscamente una gran cantidad de otros experimentos, por ejemplo la propagación de la luz en un tubo por el que corre agua. Si la suposición de que un cuerpo material arrastra al éter fuese correcta, entonces, al medir la velocidad de la luz en la dirección en la que corre el agua a la velocidad v , obtendríamos el resultado c' + v , ( la suma de la velocidad c' de la luz en el agua inmóvil más la rapidez del agua ) y en la dirección opuesta al flujo del agua obtendríamos el valor c' v . Las mediciones hechas en un experimento como éste indican que la rapidez de la luz en el agua en cualquier dirección del flujo es siempre c' .En resumen, el experimento de Michelson confirma la validez del principio de la relatividad del movimiento, tanto para el movimiento de los objetos materiales como para la propagación de la luz.

Ahora hagamos una gran inferencia: aunque la propagación de la luz es sólo uno de los muchos fenómenos naturales llamados electromagnéticos, es uno de los más relevantes, asi que supondremos que si la naturaleza es uniforme en sus leyes, el principio de la relatividad del movimiento vale para todo fenómeno de tipo electromagnético.De ésta manera, tendremos que para todas las leyes física ( Mecánicas y Electromagnéticas ) sería válido el principio de la relatividad del movimiento y por lo tanto, en cualquier sistema de referencia inercial TODAS las leyes fisicas deben tener la misma forma matemática.Esto significa que no podríamos darnos cuenta si un sistema inercial se mueve o no respecto a otros sistemas inerciales realizando algún experimento de tipo mecánico o de tipo electromagnético, puesto que en cualquier sistema inercial obtendríamos, con las mismas leyes, los mismos resultados.



CAPITULO 2CINEMÁTICA Y DINÁMICA RELATIVISTA

2.1 El experimento de Michelson-Morley .

El propio movimiento de nuestro planeta la Tierra, impide que ésta pueda ser considerada un sistema de referencia inercial; sin embargo, las aceleraciones centrípetas debido a la rotación respecto al Sol o a la propia rotación respecto al centro de la Tierra son tan débiles que en un sentido práctico y durante tiempos de observación muy pequeños (de unos cuantos segundos), podemos suponer que la Tierra se mueve en línea recta a velocidad constante ( respecto a las estrellas "fijas" ) y que es aproximadamene un sistema inercial.El aparato empleado en el experimento de Michelson y Morley básicamente es un interferómetro óptico flotando en mercurio líquido ( para amortiguar las vibraciones mecánicas que pudiese transmitirle el medio ambiente ), y se ilustra de manera simplificada en la siguiente figura:

Fuente luminosa

EP

E1

E2

Ocular del Observador

Corriente de "Éter"

Un haz de luz de una fuente luminosa es parcialmente reflejado y parcialmente transmitido por un espejo semitrasparente EP, hacia los espejos E1 y E2 perpendiculares entre si . La luz se refleja en éstos espejos de nuevo hacia el espejo EP, donde nuevamente es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida.La luz que se reflejó en E1 y atravezó EP, se combina con la luz que se reflejó en E2 y en EP . El haz de luz resultante se recibe en el ocular del microscopio del observador, donde se podrá apreciar un patrón de franjas brillantes y obscuras, producto de la interferencia de ambos haces de luz , la cual se genera debido a que la luz emplea tiempos de recorrido distintos en ambos haces y por lo tanto pierden la "sincronía" que tenían al salir de la fuente luminosa por asi decirlo, quedan fuera de fase.

Ya que supusimos que la Tierra se moverá a través del hipotético "eter luminífero", se puede orientar el aparato de modo que la dirección E2EP sea paralela al movimiento de la Tierra . De esa manera, se percibiría una "corriente de éter" en esa dirección y como el aparato está sobre la superficie terrestre, la rapidez de esa corriente sería de unos 30 km/seg que es más o menos la rapidez de translación de la Tierra respecto al Sol.Entonces, desde el sistema del "eter" , veríamos que el interferómetro de Michelson-Morley se mueve en la dirección E2EP hacia la izquierda a 30 km/seg . Representemos tres de sus posiciones (vistas desde arriba ) como se indica en la figura siguiente por A , B y C :



c t L2 v t=

Donde el símbolo representa la expresión 1

1v

2

c2

.

Consideremos ahora el haz de luz transmitida por el espejo EP en la posición inicial (A). En el instante t cuando la luz alcanza el espejo E2 ,éste se ha alejado la distancia vt , asi que

= 2 L1

c

1

1v

2

c2

= 2 L1

c

.t1 2

L1

c2

v2

=

Por simetría, este es el mismo tiempo que tarda el haz refelejado que regresa al espejo en EP'' , asi que el tiempo total para la luz que sigue esta trayectoria es

tL1

c2

v2

=

donde c es la rapidez de la luz respecto al "eter" en reposo. Resolviendo para el tiempo t, obtenemos :

c t( )2

L1 2v t( )

2=

Cuando el aparato está en la posición (A), el espejo EP , divide la luz de la fuente en dos haces, uno reflejado hacia el espejo E1 y otro transmitido hacia el espejo E2 .Un tiempo t después, el aparto está en la posición (B) y se ha movido la distancia vt . En ese momento llega la luz de EP al espejo E1 y se refleja nuevamente hacia EP.

La distancia que recorre este haz de luz es la hipotenusa del triángulo recto EPE1EP' , es decir . . .

EPEP´EP´´E2

E1

L2V

L1

A( )B( )C( )



donde es el periodo de vibración de las ondas de luz de longitud de onda . Si en el experimento se usa luz monocromática de longitud de onda = 4 x 105 cm y L1 = L2 = 10 m, la ecuación anterior arroja el valor: 0.5

t

2c

L2 L1 1

c

= 2.1( )

Los dos rayos de luz que se recombinan estarán fuera de fase por la cantidad:

t t t´ = 2c

L2 L1 1 =

Por lo tanto, el cambio total esperado es . . .

t´2 c

L2 L1 =

La parte crucial del experimento de Michelson-Morley tiene lugar cuando el aparato se gira 90° , de manera que la corriente de "eter" es ahora perpendicular (dirección E1 EP ) . Haciendo un análisis similar al anterior, encontraríamos ahora una diferencia de tiempos de recorrido de

= 2 c

L1 L2 .

= 2 L1

c

2 L2

c

2 .

t t1 t2 =

Entre los dos haces de luz, existirá asi una diferencia de tiempos de recorrido de

= 2 L2

c

1

1v

2

c2

= 2 L2

c

2 .

= L2

c v

L2

c v =

2 L2 c

c2

v2

.

t2 t t´=

Por lo tanto, el tiempo total para la luz que sigue esta trayectoria es :

c t´ L2 v t´=

y si tarda un tiempo t' en reflejarse desde E2 hasta EP'' , debemos tomar en cuenta que el espejo EP se está moviendo a su encuentro y recorre la distancia vt' , es decir. . .



Se esperaba asi que al girar el aparato en 90° , el patrón de interferencia observado de líneas obscuras y brillantes cambiara en media franja, el lugar de las franjas brillantes ocuparía el lugar de las obscuras y viceversa; pero aunque se hubiera podido detectar incluso un desplazamiento de 0.01 de franja, NO SE DETECTÓ CAMBIO ALGUNO en el patrón de interferencia.

No tenemos otra salida que aceptar el hecho experimental de que la rapidez de la luz es la misma en todos los sitemas de referencia, independientemente de su movimiento relativo, de la fuente o del observador.En éste sentido, la velocidad de la luz es una cantidad absoluta. Este resultado cambiará para siempre nuestros conceptos de tiempo y espacio.

2.2 Postulados de la Teoría especial de la Relatividad.

I. Todas las leyes de la Naturaleza conservan su forma matemática en todo sistema de referencia inercial.

II. La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas ( luz ) en el vacío tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia inerciales y además es independiente del movimiento de la fuente o del observador

El primer postulado retoma el principio de la relatividad del movimiento generalizando a todas las leyes naturales y en el segundo se tomó en cuenta el comportamiento natural de la luz verificado en el experimento de Michelson-Morley.Con estos dos sencillos postulados, Albert Einstein pudo construir una acertada y elegante teoría que cambió para siempre el significado de muchos conceptos físicos, entre ellos el del tiempo como veremos enseguida.

2.9 Simultaneidad de eventos

"Tenemos que tomar en cuenta que todas nuestras afirmaciones en las que interviene el tiempo, se refieren siempre a eventos simultáneos. Si por ejemplo yo digo : "este tren llega aqui a las siete en punto" , quiero decir algo como ésto : La orientación de la manecilla pequeña de mi reloj al 7 y la llegada del tren a este lugar son hechos simultáneos "

Albert Einstein .

La simultaneidad de eventos que ocurren en un mismo lugar queda fuera de duda . Pero ¿como podemos asegurar que dos eventos que ocurren en lugares diferentes, muy distantes uno del otro son simultáneos ?

En la Física Clásica hacemos la suposición implícita ( "de sentido común" ) de que dos relojes muy separados, se pueden sincronizar enviando de uno a otro una señal a una velocidad infinita, el reloj que emite la señal empieza a funcionar al mismo tiempo que recibe la señal el otro reloj, dado que la distancia que los separa es recorrida por la señal instantáneamente. ¡Excelente procedimiento! , solo que en el universo nada se mueve a una velocidad infinita. Cualquier señal que enviemos de un reloj a otro necesita cierto tiempo para recorrer la distancia que los separe.Podemos pensar también que éste problema se resuelve si sincronizamos los relojes cuando están muy cerca y luego simplemente los alejamos; pero ¿acaso no es otra suposición de nuestro sentido común ( que ya nos ha engañado varias veces ) el suponer que el movimiento de translación de un reloj no altera su medida del tiempo ?. En efecto, no tenemos garatía alguna de que tal cosa suceda.



Imaginemos por ejemplo un tren de longitud L = 4 200 000 km que marcha a la rapidez v = 225 000 km/seg rectilínea y uniformemente. Supongamos también que en el primero y el último vagones hay instaladas unas puertas automáticas que se abren en el instante en que incide sobtre ellas una señal luminosa.

Si se enciende una fuente de luz justamente en la mitad del tren, ¿ se abrirán al mismo tiempo las puertas tanto para la gente que viaja enmedio del tren como para la gente que está sobre el andén ?Para la gente que vá sentada en los asientos de enmedio del tren la luz se propaga respecto al tren a la velocidad c = 300000 km/seg , en todas las direcciones, asi que transcurrido un tiempo

t

L2

c=

2100000 km

300000km

seg

= 7 seg=

la señal de luz llegará simultáneamente al primero y último vagones y las puertas se abrirán a un mismo tiempo ( la figura A de la siguiente ilustración)

A

B

c c

c c

v

v

¿Qué es lo que verán los observadores en el andén? (figura B) . Para ellos, de acuerdo al experimento de Michelson, la luz se encendió en el mismo punto y también se propaga a la velocidad c en todas las direcciones, pero el último vagón avanza al encuentro de la luz, por eso el rayo de luz incide sobre la puerta del último vagón dentro de un tiempo de * . . .

t1

L2

c v=

2100000 km

300000km

seg

225000km

seg

= 4 seg=

( * Omitiendo por el momento un efecto relativista sobre la longitud que veremos en (2.10 ) )



En la otra dirección, la luz debe alcanzar al primer vagón y por lo tanto, incidirá sobre éste transcurridos . . .

t2

L2

c v=

2100000 km

300000km

seg

225000km

seg

= 28 seg=

Entonces, para las personas del andén las puertas del tren no se abrirtán al mismo tiempo. primero se abrirá la puerta de atrás y transcurridos 28 4 = 24 segundos , se abrirá la puerta de adelante. De ésta manera, dos acontecimientos completamente similares que son simultáneos en un sistema de referencia ( el tren ), no lo son en otro (el andén).Esto nos lleva a concluir que si en un sistema de referencia tenemos sincronizados un conjunto de relojes que nos dan la lectura de tiempo en cada lugar de ese sistema, entonces para un observador de otro sistema de referencia tales relojes no parecen sincronizados . A su vez , los relojes sincronizados de ese observador no parecerán sincronizados para nosotros. La simultaneidad de eventos es un concepto relativo que solamente tiene sentido si se indica el sistema de referencia inercial en el cual tales eventos ocurren al mismo tiempo.

En consecuencia, por lo dicho anteriormente concluimos que las escalas de tiempo son diferentes en distintos sistemas de referencia .

2.10 Diagramas espacio-tiempo

Para sincronizar dos relojes de un sistema de referencia dado y construir por lo tanto en este sistema una escala temporal, debemos seguir entonces alguno de los siguientes procedimientos:1° Adelantar el reloj al que llega la señal que emite el primero en un tiempo igual al requerido por la señal

para recorrer la distancia que separa a ambos relojes.2° Enviar una señal desde el punto medio de la distancia entre ambos relojes. Esta señal llegará al mismo

tiempo a los dos relojes puesto que recorrerá la misma distancia y los pondrá a funcionar simultáneamente.

Como señal de sincronización se elige la luz, no solamente porque se propaga con la máxima rapidez conocida en el universo, sino también porque esa rapidez es la misma en todos los sistemas de referencia.Representemos ahora el 2° procedimiento de sincronización en un sistema de coordenadas de dos dimensiones (por sencillez), en el que uno de los ejes representa el tiempo y el otro el espacio.

Posición espacial

Pos

ició

n te

mpo

ral

t0

x0

t

P

X

O



Cada punto sobre el eje X respesenta una longitud o distancia respecto al origen (posicion cero) y cada punto sobre el eje t representa el tiempo transcurrido desde el origen (instante cero). Cualquier punto P(xo , to) sobre éste plano representa entonces un evento que ocurre en un lugar ( xo ) al tiempo ( to ) . En particular, todos los puntos sobre cualquier recta horizontal t = to (como el eje X por ejemplo) , representan eventos simultáneos puesto que para todos ellos la coordenada t vale lo mismo lo que significa que ocurren al mismo tiempo.Asi mismo, todos los puntos sobre cualquier recta vertical x = xo (como el eje t por ejemplo) , representan la posición de un objeto inmóvil , puesto que para todos ellos la coordenada x vale lo mismo lo que significa que no cambia su posición a lo largo del tiempo.

Cualquier pulso de luz que se emita en el punto xo quedará entonces representado por una línea recta de la forma: x c t xo= si se mueve hacia la derecha del eje X , y por la recta x c t xo= si se

mueve hacia la izquierda del eje X , puesto que éstas ecuaciones definen la posición x del pulso de luz en función del tiempo t . Si cambiamos ligeramente la escala vertical por ct , las ecuaciones anteriores, representan rectas de pendientes +1 y 1 respectivamente.

X

ct

Ox = xo

x = ( 1)ct + xo x = (+ 1)ct + xo

Consideremos ahora en nuestro diagrama espacio-tiempo tres puntos A, B y C fijos y equidistantes sobre el eje X y supongamos que en el momento t = 0 se emiten desde el punto medio B dos pulsos de luz, uno hacia A y otro hacia C .

X

ct

O A B C

A´ B´ C´

c t0



Como A , B y C son puntos inmóviles, al transcurrir el tiempo describen una trayectoria vertical en el espacio-tiempo . Las intersecciones A' y C' de esas rectas con las rectas que representan la propagación de los pulsos de luz indican la llegada de la luz a los puntos A' y C' al tiempo to . Como ya se había dicho, éste es uno de los procedimientos de sincronización de relojes y geométricamente es fácil ver que los puntos A' y C' están sobre una misma recta horizontal y por lo tanto representan eventos simultáneos, es decir la luz llega en el mismo instante a los puntos A' y C' . Analíticamente, si las posiciones de A, B y C son x0 x1 , x0 y x0 x1 respectivamente, y

el pulso de luz se emite desde x0 , entonces el tiempo de llegada de la luz a los puntos A' y C' se

encuentra resolviendo simultáneamente para t las ecuaciones que dan la posición de esos puntos y el pulso de luz.

x x0 x1= ( para el punto A )

x c t x0= (para el pulso a la izquierda )

y x x0 x1= ( para el punto C )

x c t x0= (para el pulso a la derecha )

de donde se obtiene el mismo resultado: tx1

c

= y queda comprobado que los eventos A' y C' son

simultáneos.Como ya mencionamos, estos eventos no son simultáneos para otro observador que se mueva por ejemplo hacia la izquierda de O con rapidez v. Para tal observador, los puntos A , B y C no están fijos sino que se desplazan hacia la derecha con la misma rapidez v, de modo que en su propio diagrama espacio-tiempo, esos puntos quedan representados por las rectas : xA x0 x1 v t= ; xB x0 v t=

y xC x0 x1 v t= respectivamente .

X'

ct´

O' A B C

A'

C'

xA xB xC

c t2

c t1

La propagación de los pulsos luminosos que salen de B se representa aquí igual que en el diagrama de O porque de acuerdo al resultado de Michelson, la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales. Sin embargo, es evidente que las intersecciones de esas rectas con las que representan la posición de los puntos A y C ocurren aqui en tiempos muy diferentes porque no quedan sobre la misma recta horizontal. Los eventos A' y C' ( la llegada de los pulsos de luz a los puntos A y C ) no son simultáneos para el observador O' . Comprobémoslo analíticamente . . .



Si las posiciones de A, B y C son x0 x1 , x0 y x0 x1 respectivamente, y el pulso de luz se

emite desde x0 , el tiempo de llegada de la luz a los puntos A' y C' se encuentra resolviendo

simultáneamente para t' las ecuaciones que dan la posición de esos puntos y el pulso de luz.

x´ x0 x1 v t= ( para el punto A )

x´ c t´ x0= (para el pulso a la izquierda )

x´ x0 x1 v t= ( para el punto C )

x´ c t´ x0= (para el pulso hacia la derecha )

de donde se obtienen los resultados: t1

x1

c v

= y t2

x1

c v

= .

Queda asi comprobado que los eventos A' y C' no son simultáneos en esta referencia porque ocurren en tiempos diferentes.

2.3 Transformación relativista de coordenadas espacio-tiempo

Ahora que sabemos que tanto el lugar donde ocurre un evento como el intante cuando ocurre dependen del sistema de referencia desde el cual se observa tal evento, es decir que los conceptos de tiempo y espacio son relativos, se nos presenta el siguiente problema: Dados dos sistemas de referencia inerciales O y O' en movimiento relativo, ¿Cuales son los valores de espacio y tiempo ( x' , y' , z' , t' ) para un evento respecto a O' si ya conocemos las magnitudes de espacio y tiempo ( x , y , z , t ) del mismo evento respeto a O ?Ya conocemos que la respuesta que dá la Mecánica Clásica a éste problema es la Transformación de coordenadas de Galileo (ecuación 1-1) ; pero también sabemos que tal respuesta no es congruente con el resultado experimental de la constancia de la velocidad de la luz, asi que la relación que buscamos entre las coordenadas de los sistemas O y O' debe tener en cuenta ese hecho fundamental.

Consideremos por sencillez, dos sistemas de referencia O y O' con ejes de coordenadas paralelos entre si, moviéndose el sistema O' a la velocidad constante vx en la dirección X respecto al sistema O.Supongamos que en el instante t = t' = 0 ambos sistemas coinciden uno sobre otro y que en ese momento se emite un pulso de luz que se propaga en todas direcciones formando un frente de onda esférico.



2vx 2 c

2A

2 t´2 2 c

2 A B 2 2 vx x´ t´ 2

c2

B2 x´

2 x´2

c2

t´2=

y simplificando . . .

x´ vx t´ 2

y´ 2 z´ 2 c2

A t´ B x´ 2 x´ 2y´ 2 z´ 2 c

2t´ 2=

x2

y2 z

2 c2

t2 x´ 2

y´ 2 z´ 2 c2

t´ 2=

Igualemos las ecuaciones ( 2.2 ) y ( 2.2' ) y substituyamos ( 2.3 ) , (2.4 ) junto con y = y' , z = z' :

donde A y B son constantes que deben tender a 1 y 0 respectivamene cuando v c para que la ecuación anterior se reduzca a la transformación clásica de Galileo : t = t' .

t A t´ B x´= 2.4( )

donde es una constante que se debe aproximar a la unidad cuando ( vx c ).

Finalmente, tomando en cuenta lo dicho anteriormente sobre la simultaneidad de eventos, el tiempo no se mide con la misma escala en los dos sistemas de referencia y puede depender también de la posición, es decir la localización de los relojes en el espacio, asi que proponemos. . .

2.3( )x x´ vx t´ =

Comparando las ecuaciones ( 2.2 ) y ( 2.2' ) y recordando que solamente existe movimiento relativo a lo largo de la dirección X-X' , propongamos que las coordenadas que no tienen movimiento relativo no cambian , es decir y = y' , z = z' .Además, dado que la Transformación de coordenadas de Galileo ha probado su validez a velocidades muy bajas ( vx c ) comparadas con la velocidad de la luz en el vacío, propongamos que . . .

2.2´ x´ 2y´ 2 z´ 2 c

2t´ 2 0=

Pero para el observador del sistema O', sucede exactamente lo mismo, es decir, de acuerdo con sus mediciones la distancia r ' que recorre tal onda esférica en un tiempo t' es r' = ct' porque el origen O' es el centro desde el que se emitió tal onda de luz a la misma velocidad c (de acuerdo al resultado de Michelson-Morley ) es decir, el observador O' llegará exactamente a una ecuación similar a la obtenida por el observador O :

2.2( )x2

y2 z

2 c2

t2 0=

o elevando al cuadrado y simplificando queda . . .

x2

y2 z

2 c t=

r c t=

De acuerdo con las mediciones hechas desde el sistema O , la distancia r que recorre tal onda esférica en un tiempo t es r = ct porque el origen O es el centro desde el que se propaga tal onda de luz a la velocidad c .



t t´vz

c2

z´

=t t´vy

c2

y´

=

z z´ vz t´ =z z´=ó

y y´=y y´ vy t´ =

x x´=x x´=

Aunque éstas ecuaciones de transformación consideran sólo el movimiento relativo de O' respecto a O en la dirección X,X' , si el movimiento relativo ocurre en la dirección Y,Y' o en la dirección Z,Z' ,con un análisis similar al anterior llegaríamos a :

En la deducción anterior, es importante notar que las constantes A , B y solamente dependen de la velocidad relativa vx y la velocidad de propagación de la luz c.

Asi que si vx c , entonces el cociente

vx

c es muy cercano a cero de modo que A y valen

aproximadamente 1 y B tiende a cero, con lo cual se obtiene la transformación de Galileo

x x´ vx t´ =

y y´=

z z´=

t t´vx

c2

x´

=

2.5( )

Llegamos asi a la transformación relativista de coordenadas , la cual es consistente con los postulados de la relatividad :

A =:Bvx

c2=; 1

1vx 2

c2

=

Resolviendo éste sistema para las incógnitas A , B y se obtiene :

2 c2 A B 2 2

vx 0=

2vx 2 c

2A

2 c2=

2c

2B

2 1=

Ya que los dos miembros de la ecuación enterior son iguales, los coeficientes de x' , t' y x't' deben ser también iguales. Igualándolos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas :



Combinando éstas dos relaciones se obtiene : c tc

vx

x= .

que representada en el diagrama espacio tiempo del observador O , es una línea recta de pendiente c

vx

= t´ = vx t´

y

t t´vx

c2

0( )

=x 0( ) vx t´ =

Combinando éstas dos relaciones se obtiene : c tvx

c

x= .

Si representamos esta ecuación en el diagrama espacio tiempo del observador O , obtendremos una

línea recta de pendiente vx

c .

De manera similar, el eje ct' del diagrama espacio-tiempo de O' , se obtiene substituyendo x' = 0 en ( 2.5 )

= vx

c2

x´

= x´

y

t 0( )vx

c2

x´

=x x´ vx 0( ) =

Si partimos de las ecuaciones ( 2.5 ) , y recordamos que el eje X' del diagrama espacio-tiempo de O' se obtiene uniendo todos los eventos simultáneos para los cuales t' = 0 , tenemos que . . .

Otra característica notable de la transformación relativista de coordenadas: es LINEAL , ( lo cual

significa que no aparecen potencias de t o de x mayores que 1 como t3 o x

2 ) . esta característica nos permite hacer una sencilla relación entre los diagramas espacio-tiempo de los sistemas O y O' .

x´ x vx t =

y´ y=

z´ z=

t´ tvx

c2

x

=

2.5´

Si queremos obtener las coordenadas ( x' , y' , z' , t' ) a partir de las coordenadas ( x , y , z , t ), basta con cambiar el signo de la velocidad relativa en cada caso, dado que para O' , el sistema O es el que se mueve en la dirección opuesta. Asi por ejemplo, para el movimiento relativo en la dirección X ,X ' quedaría:


Facultad de Ingenieria Eléctrica . U.M.S.N.H. Prof. Pedro Ferreira Herrejón .

X

ct´

O,O'

ct

X '

x

x '

P

De ésta manera, los ejes X' y ct' representados en el diagrama de O tienen pendientes inversas entre si y por lo tanto forman el mismo ángulo respecto a X y ct respectivamente.Entonces, desde el punto de vista del observador O , cualquier evento que ocurra en un punto P ( x , t ) de su propio espacio tiempo tiene un lugar y un tiempo distintos a los del observador O' , porque según él, el espacio tiempo de O ' está "deformado" (suse ejes no son perpendiculares) y el. evento ocurre en otro lugar y en otro instante P ( x' , t' ) .

¿ Y cuales son los conclusiones del observador O' ? . Pues bien, si partimos ahora de las ecuaciones de transformación (2.5 ' ), éste observador afirma que O se mueve hacia la izquierda a la velocidad vx y si recordamos que el eje X' del diagrama espacio-tiempo de O se obtiene uniendo todos los eventos simultáneos para los cuales t = 0 , tenemos que . . .

x´ x vx 0( ) = x= ; t´ 0( )vx

c2

x

= vx

c2

x

=

Substituyendo x' = x en la otra ecuación se obtiene : c t´vx

c

x´= .

Si representamos esta ecuación en el diagrama espacio tiempo del observador O' , obtendremos una

línea recta de pendiente vx

c

.

De manera similar, el eje ct de O , se obtiene substituyendo x = 0 en las ecuaciones ( 2.5 ' )

x´ 0( ) vx t = vx t= ; t´ tvx

c2

0( )

= t=

Combinando éstos dos resultados se obtiene la ecuación: x´ vx t´= , es decir ct´c

vx

x´= , que

representada en el diagrama espacio tiempo del observador O' , es una línea recta de pendiente c

vx

.



X '

ct '

O 'X

ct

O

P

x

x '

Asi que el observador O ' llega exactamente a las mismas conclusiones del observador O . Cada uno de ellos afirmará que los ejes de su propio espacio-tiempo son perpendiculares entre si y que son oblicuos los ejes espacio-tiempo del otro observador móvil, es decir que sus escalas de longitud y tiempo están "deformadas" respecto a las suyas propias y por lo tanto sus metros y relojes no asignarán los mismos valores a los intervalos medidos de espacio o de tiempo, aunque éstos se refieran a los mismos eventos. ¿Cual de los dos observadores tiene la razón ?.

Pues bien, si consideramos que la representación de cada eje del espacio-tiempo para ambos observadores O y O' se obtiene de la transformación relativista de coordenadas ( ecuaciones 2.5 y 2.5 ' ) y que ésta es consistente con los postulados de la Relatividad Especial, la conclusión inevitable es que ambos observadores tienen razón en sus afirmaciones respecto al otro observador. Cada uno de ellos asume estar en un sistema de referencia inercial en reposo y desde su punto de vista todos los demás sistemas inerciales se mueven respecto al suyo, causando que los únicos metros y relojes que no le parecen "deformados" son los que están en reposo en su propio sistema de referencia.

Entonces, tanto O como O' pueden colocar relojes sincronizados en todos los puntos de sus respectivos sistemas de coordenadas, usando alguno de los métodos de sincronización que señalamos anteriormente y por lo tanto, cada observador podrá leer ( medir ) las coordenadas de espacio y tiempo de un evento dado, en términos de los metros y relojes de ambos sistemas y comparar sus lecturas.

2.4 Cinemática Relativista.

Como ya se dijo antes, las longitudes medidas perpendicularmente a la dirección del movimiento relativo no cambian, valen lo mismo en todos los sistemas inerciales; pero ¿que pasa con las distancias que se miden en la misma dirección del movimiento relativo ?.Para responder ésta pregunta, consideremos dos puntos x1 ´ y x2 ´ separados una distancia

L´ x2 ´ x1 ´ = y fijos sobre el eje X' de un sistema inercial O' que se desplaza en la dirección

X,X ' a la velocidad vx respecto a nuestro propio sistema inercial O que permanece en reposo, como se indica en la siguiente figura :

( En la figura se han desplazado los ejes X y X' con la finalidad de apreciar más claramente la comparación de las longitudes medidas a lo largo de estos dos ejes, aunque en realidad los tres ejes de ambos sistemas coinciden, están uno sobre otro, en el instante t = t' = 0 . )



O

Y

Z

O'

X

Y'

Z'

X '

vx

x1 ' x2 '

x1 x2

Obviamente, el observador O' mide la longitud L´ en reposo sobre su propio sistema de coordenadas; pero si el observador O de nuestro sistema en reposo desea determinar la distancia entre los puntos x1 ´ y x2 ´ debe medir simultáneamente su posición, pues ambos puntos se

mueven hacia la derecha respecto a él. Entonces de acuerdo con las ecuaciones ( 2.5 ' ) :

x1 ´ x1 vx t1 = ; x2 ´ x2 vx t2 =

queda . . .L´ x2 ´ x1 ´ =

= x2 vx t2 x1 vx t1

y haciendo t1 = t2 ( pues O debe medir simultáneamente las posiciones de ambos puntos ) se obtiene. . .

L´ x2 x1 =

Pero L x2 x1 = es precisamente la separación entre los puntos móviles que mide O en su sistema de

referencia. Concluimos entonces que . . .

L´ L= 2.6( )

Dado que 1

1vx

c

2

= es una cantidad mayor que la unidad si vx 0 , concluimos que L´ L .

Llegamos asi a un primer asombroso resultado: las distancias medidas en la dirección del movimiento relativo de un sistema inercial móvil, son más cortas que las longitudes análogas medidas en un sistema inercial en reposo . Esto significa que los objetos "se encogen" , se acortan, en la dirección de su movimiento. Este resultado está en abierta cotradicción con nuestra experiencia y "sentido común" , ¿En realidad un metro que se desplace a lo largo de su longitud es más corto que un metro similar visto en reposo ?.

Bueno, ¿Que es el "sentido común" ?, a fin de cuentas no es más que la simple generalización de ideas y conceptos formados en la vida cotidiana; pero que no sometemos a ninguna prueba experimental para comprobar si siguen o no siendo válidos al generalizarlos.



Antes que obtener conclusiones en base al sentido común, debemos razonar considerando los datos numéricos surgidos de los experimentos. La forma más acertada de averiguar el comportamiento de la Naturaleza es experimentando. Asi que no tenemos derecho de rechazar un resultado experimental solo porque "choca con nuestro sentido común" o con nuestros conceptos considerados "verdaderos", al contrario, debemos desechar todos los conceptos e ideas que contradigan los resultados experimentales. Recordemos que en la Edad Media, el sentido común se oponía fuertemente a aceptar la idea de la esfericidad de la Tierra, y más aún, a que ésta se moviera en torno al Sol.

Pero si la predicción relativista de la contracción de la logitud es correcta, ¿Es un efecto "real" o solamente es una ilusión óptica para el observador que mide la longitud de objetos en movimiento?. ¿Cuál es la "verdadera" longitud de un objeto que se mueve?.

Esta pregunta tiene muy poco sentido si no se dice respecto a qué se mide esa longitud. Lo que es "verdadero" en un sistema de referencia para un observador, puede no serlo para otro observador distinto. La "longitud de un objeto" no es un concepto absoluto sino relativo.Asi que la contracción relativista de una longitud en movimiento es un efecto tan real como el valor que dá una balanza a una persona para informarle de su peso, dado que ese valor puede cambiar dependiendo del sistema de referencia respecto al cual se mida. Por ejemplo, el peso de alguien en la superficie de la Luna es solamente la sexta parte de su peso sobre la superficie de la Tierra, mas no por eso deja de ser una cantidad "real" .En el sentido pragmático de la ciencia, algo es "real" en tanto podamos medirlo (medir alguna de sus propiedades o interacciones con su medio ambiente).

Pero si aún nos resultase difícil aceptar que los objetos se contraen en la dirección de su movimiento relativo, consideremos ahora el diagrama espacio tiempo de los sistemas de referencia O y O' anteriores:

x2'

x1'

X '

ct '

O 'X

ct

O

x2x1

La distancia L´ x2 ´ x1 ´ = es una longitud que mide en reposo y en su propio sistema de referencia

el observador móvil O' ; pero que para el observador del sistema O , tal longitud está en movimiento. La longitud análoga que mide éste observador es L x2 x1 = . En el diagrama espacio-tiempo de O,

claramente la longitud L' es gemétricamente mayor que L , asi que afirmará que debido a su movimiento, la longitud L' se contrae.



Imaginemos ahora un reloj firmemente unido a un punto fijo del sistema inercial del observador O' , que mide el intervalo de tiempo t´ t2 ´ t1 ´ = entre un par de eventos que suceden en el

mismo lugar de ese sistema, es decir x2 ´ x1 ´= .

¿Cuánto tiempo pasa entre ese par de eventos según el observador O del sistema de referencia inmóvil ? . Tomemos en cuenta que esos eventos no ocurrirán en el mismo lugar para éste observador (dado que suceden en un punto fijo de O' y todo punto fijo de O' se mueve respecto a O en la dirección X,X ' ). Según el observador O , esto equivale a comparar la lectura de un reloj móvil de O' , con la lectura de dos relojes fijos separados y sincronizados que se localizan en reposo en las posiciones x1 y x2 .

112234

5678910

11112234

5678910

11

R1 R2

X 'O'

vx112

234

5678910

11

R' R'112234

5678910

11

O

Y

Xx1 x2

Y'

Si usamos entonces las ecuaciones ( 2.5 ), las lecturas de esos relojes son . . .

t1 t1 ´vx

c2

x1 ´

= y t2 t2 ´vx

c2

x2 ´

=

Asi que el intervalo de tiempo entre esos eventos medido por O es :

t t2 t1 = t2 ´vx

c2

x2 ´

t1 ´vx

c2

x1 ´

=

= t2 ´ t1 ´ vx

c2

x2 ´ x1 ´

pero como x2 ´ x1 ´= , se obtiene

t t2 ´ t1 ´ =

Pero t´ t2 ´ t1 ´ = es precisamente el intervalo de tiempo que mide O' . Asi que . . .

t t´= 2.7( )



y como 1

1vx

c

2

= es una cantidad mayor que la unidad si vx 0 , concluimos que t t´

Es decir, el observador O dirá que entre el par de eventos pasó en realidad más tiempo ( t ) que el que registra el reloj móvil ( t' ) del observador O' . Llegamos asi a otro asombroso resultado: los intervalos de tiempo medidos por un reloj en movimiento relativo, son mayores que los intervalos análogos medidos por relojes en reposo . Esto significa que los relojes que vemos en movimiento relativo "se atrasan" , es decir miden el tiempo más lentamente, en relación a los relojes idénticos que vemos en reposo.Cualquier observador inmóvil respecto a su reloj afirmará que se atrasan los relojes que se mueven respecto al suyo, y que ese retraso es mayor a medida que aumente la velocidad a la que se mueven Para éste observador en su propio sistema de referencia en reposo, el tiempo "se dilata" en todo sistema de referencia en movimiento.Esta predicción relativista de la "dilatación del tiempo" , ha derrumbado al tiempo de su pedestal de concepto absoluto. No existe una escala universal de tiempo, la escala de tiempo usada para decir cuando ocurren los eventos es distinta en distintos sistemas de referencia, lo que ocurrió "después" para un observador puede ocurrir "antes" para otro, como se ilustra en el siguiente diagrama espacio-tiempo en el que se representan dos sucesos E1 y E2 .

X '

O 'X

ct

O

E1

E2

ct'

De acuerdo al diagrama espacio-tiempo del observador en reposo, el evento E1 ocurre antes que el evento E2 pero según el diagrama epacio-tiempo del observador móvil, el evento E2 ocurre antes que el evento E1 .

Sin embargo es evidente que semejante relatividad de los conceptos "antes" y "después" debe tener sus límites. Asi por ejemplo, es imposible admitir desde el punto de vista de cualquier observador que un niño nazca antes que su madre. La dilatación relativista del tiempo no puede invertir el orden de la relación causa-efecto.



Para un observador O determinado, dos eventos tendrán una relación causa-efecto cuando en su espacio-tiempo puedan conectarse por medio de una señal de interacción transmitida de uno a otro. Dado que la luz en el vacío es la señal que más rápidamente se propaga en la Naturaleza, todos los puntos evento del espacio tiempo de éste observador que queden dentro de su "cono de luz" ( un pulso luminoso que se propaga desde O como centro ) podrán representar posibles eventos causa o eventos efecto

Asi por ejemplo, el evento E3 no puede ser relacionado causalmente con el observador O porque para él , queda fuera de "su cono de luz" ya que una línea recta de la forma x = vt que una a O con E3 tendría una pendiente que implica que v > c lo cual significaría que la señal transmitida entre estos puntos se propaga más rápidamente que la luz, lo cual es imposible.

X

ct

O

E2

E3

E4

x = ct

punto del aquí y

el ahora de O

cono de eventos

en el futuro de O

cono de eventos

en el pasado de O

E1

x v t=

c

v

x c t=

y

c

v1 implica que c < v

Similarmente el evento E1 queda en el límite del cono y la única señal que puede conectar a ese evento con O es una señal luminosa.Como O nunca podrá superar la velocidad de la luz, todos los sucesos que ya han ocurrido en su sistema de referencia están en su cono del pasado, como por ejemplo el evento E4 (parte negativa del eje ct ) y cualquiera de esos puntos pudo ser causa de lo que es O aqui y ahora . Similarmente, O puede ser causa de cualquiera de los eventos o sucesos que queden dentro de su cono de futuro (efectos).Aunque los eventos E1 y E2 existen y ocurrirán en el futuro del observador O , él no podrá decir que uno es causa del otro porque la línea recta que los une tendría una pendiente que implica que v > c .

Estas relaciones causa-efecto son independientes del sistema de referencia puesto que el cono de luz es el mismo para todos los observadores inerciales. Es decir, debido a dilatación relativista del tiempo, puede cambiar el intervalo temporal entre dos eventos al ser observados desde diferentes sistemas de referencia, Además, el "antes y el después" como vimos son conceptos relativos; pero si dos eventos están relacionados causalmente, ésta relación no cambia de un sistema de referencia a otro, el orden en que ocurren tales eventos no puede ser alterado.

2.5 Interpretación Física.

Dilatación relativista del tiempo.El funcionamiento de cualquier reloj está determinado por leyes mecánicas o electromagnéticas, las que como hemos visto, no cambian de forma en distintos sistemas inerciales. Entonces el efecto de la "dilatación del tiempo no depende del tipo de reloj usado para medir el tiempo y tampoco significa que un reloj en movimiento relativo altere su mecanismo de tal manera que se retrase cuando se esté desplazando respecto a los demás. Visto desde su propio sistema de referencia el reloj funcionará exactamente igual que cuando está en reposo.



Consideremos por ejemplo un vagón de un tren que se mueve a la rapidez constante v respecto al suelo. Dentro del vagón, un observador O' mide el tiempo con un "reloj" que consiste en dos espejos paralelos separados una distancia vertical L , en los cuales está "rebotando" continuamente un rayo de luz al reflejarse entre un espejo y otro.

A

11223

4567

8910

11

112234

5678910

11B

OO'

ct ' ct

Naturalmente, para este observador el tiempo que tarda la luz en ir y volver a un espejo es :

t´2 Lc

=

porque la salida y la llegada del puslo de luz ocurre en un mismo lugar, los espejos están en reposo y la rapidez de la luz es c .

¿Pero cuanto tiempo tarda la esa luz en ir y volver a un espejo para un observador O en reposo en la estación del tren?. Es claro que los eventos salida y llegada de la luz al espejo ocurren en lugares separados ( A y B ) para éste observador, dado que él ve al espejo en movimiento y por lo tanto la luz recorre una trayectoria más larga que la distancia vertical L .Por otra parte, sabemos que la velocidad de la luz es absoluta, tiene el mismo valor tanto para el pasajero que viaja en el tren como para el observador en la estación, asi que la conclusión que obtenemos es inevitable. . . entre la salida y la llegada de la luz a un espejo, ¡en la estación transcurrió más tiempo que en el tren ! porque la luz recorrió más distancia respecto a O que respecto a O' .

Para O , la mitad del recorrido de la luz es la hipotenusa de un triángulo recto de lados L y vt2

,

porque se recorre en la mitad del tiempo ( t/2 ) . Asi que el recorrido completo vale :

2 L2

vt2

2

El tiempo que necesita la luz para recorrer esa distancia a velocidad constante es :



t2 L

2vt2

2

c=

de donde se obtiene . . .

t2 L

v2

c2

=

2L

c

1v

2

c2

=t´

1v

c

2

=

que es precisamente la expresión ( 2.7 ) para la dilatación relativista del tiempo. No es difícil darse cuenta de que el retraso del reloj de O' según O será más notable mientras mayor sea la rapidez

relativa v , porque será mayor el cateto vt2

y mayor la distancia recorrida por la luz . De manera

que en el límite cuando la velocidad v de translación de un reloj se aproxima a la velocidad c , parecerá que que tal reloj marcha cada vez más lentamente hasta detenerse y dejar de medir el tiempo.

1

2

3

4

5v = c

0 x18

10 28

10x 3 108

x v en m/seg

1

t

t´

¿Acaso no significa éste resultado que los relojes que se adelantan respecto a los demás son los que se encuentran en reposo absoluto, contradiciendo asi el principio de la relatividad del movimiento ? . No, porque el reloj del tren ¡se comparó con dos relojes diferentes en reposo! sincronizados y localizados en los puntos A y B de la estación. Además, si el reloj de espejos paralelos estuviera ahora en reposo en la estación, sería el observador del tren quién afirmaría que el reloj de O se retrasa debido a que para él, la estación está en movimiento y el tren en reposo.¿Quién de los dos tiene razón?. Ambos, los efectos relativistas son recíprocos y se originan por el movimiento relativo entre los sistemas de referencia inerciales y el irrebatible resultado experimental de que la rapidez de la luz es la misma en todos ellos.Esta simetría entre los sistemas inerciales ha originado algunas paradojas, como la siguiente conocida como la "paradoja de los gemelos" : Imaginemos que una persona A se despide de su hermano B en una estación espacial porque hará un viaje de circunvalación en un cohete hacia una estrella lejana y luego de cierto tiempo regresará a la estación de partida.Aumentando la velocidad del cohete se puede llegar a una situación tal que, mientras que para el pasajero transcurrió solamente un dia, para las personas en la estación pasaron muchos años.



Asi que transcurridas solamente 24 horas (¡ medidas por su reloj !) , al regresar a casa en la estación de la que inició su viaje, nuestro pasajero se enterará de que muchos de sus parientes y conocidos murieron hace mucho tiempo.

Pero, ¿acaso no es cierto que desde el punto de vista del pasajero, el cohete está en reposo y la estación de salida se mueve en una trayectoria de circunvalación idéntica ?. Por supuesto que si y por lo tanto, el pasajero A podrá llegar a una conclusión contraria a la de su hermano B : Dirá que para las personas de la estación ¡ transcurrió solamente un dia y para los pasajeros del cohete pasaron muchos años ! . ¿ Cuál de los dos hermanos tiene razón ?

A diferencia del ejemplo anterior, en el cual se compara la lectura del reloj del pasajero con las lecturas de dos relojes diferentes en reposo, en el viaje de circunvalación no se comparan tres relojes sino solamente dos: el reloj del cohete y el de la estación de salida. Además, en este caso la situación no es completamente simétrica debido a que el cohete no es un sistema inercial. porque :

1° Debe acelerar inicialmente para alcanzar su velocidad de viaje y luego debe frenar para quedar en reposo al regresar a la estación.

2° Además, tiene una aceleración (debida a una fuerza ) en el movimiento circular. ( Tanto los pasajeros del cohete como las personas de la estación, estarán de acuerdo en que cualquier objeto libre dentro del cohete no se moverá en línea recta a velocidad constante ).

Es como si la aceleración fuese la causa que genera todos los efectos relativistas, entre ellos la dilatación del tiempo.

Por lo tanto, marcará más tiempo aquél reloj sobre el que no actúa alguna fuerza. Asi que al final del viaje, A sería más joven que su hermano B . Sin embargo desde el punto de vista de A, todos sus procesos vitales continuarán en su ritmo normal, y envejecerá de acuerdo con su propio tiempo con la misma rapidez como si estuviese en reposo junto a su hermano B.



Asi que se podría hacer el viaje de ida y vuelta a una estrella por lejana que estuviese, en muy poco tiempo ( ¡ en minutos o segundos ! ) aumentando la velocidad del cohete y aproximándola a la velocidad de la luz.Este ejemplo ilustra la posibilidad de crear una "máquina del tiempo" , por ejemplo, si somos pasajeros de un tren en un viaje redondo a una velocidad cercana a la de la luz , al llegar a la estación de la que partimos apenas el dia anterior, ¡ descubriremos que nos encontraremos en el futuro, tanto más, cuanto más rápidamente se haya movido el tren !; sin embargo, no habrá posibilidad de revertir el efecto, es decir ¡ no podremos viajar hacia el pasado tomando el tren de regreso !Claro que a las personas de la estación les parecería como si el tiempo se hubiese "detenido" para los pasajeros del tren, pero no podrán decir que viajaron en el tren hacia el pasado. Viajar hacia el pasado implica contradicciones tan absurdas como la de un hombre que visita a sus abuelos sin que hayan nacido todavía sus padres.

Contracción relativista de la longitud .Aunque ya hemos dicho que la localización de un cuerpo en el espacio es un concepto relativo, en la Física Clásica se atribuye un caracter absoluto a las dimensiones de los cuerpos, es decir se dá por hecho que éstas son una propiedad de los cuerpos y no dependen del sistema de referencia desde el que se efectúe su medición. Sin embargo, esta suposición que contradice los resultados relativistas y es simplemente un prejuicio que se surge como resultado de que casi siempre vemos objetos que se mueven a una velocidad muy baja comparada con la rapidez de la luz en el vacío.

Consideremos por ejemplo un tren que se mueve en línea recta a la rapidez constante v respecto al andén de una estación. Se desea medir la longitud del andén, desde dentro del vagón por un observador O' que viaja en él ( y para quién el tren está en resposo ) y desde fuera del tren por un observador O en reposo en el andén.

Cuando el tren está en reposo en el andén de la estación, ambos observadores estarán de acuerdo en que la longitud del andén L es la misma para ambos; pero cuando el tren está en movimiento, el tiempo que tarda en recorrer el andén desde un extremo al otro, será diferente de acuerdo a los relojes de ambos observadores, porque como ya sabemos , los relojes en movimiento se retrasan.

Naturalmente, para el observador O que está en reposo en la estación, el frente del tren recorre el andén en el tiempo:

tL

v=

y mide ese tiempo con dos relojes sincronizados situados en los extremos del andén. En cambio, para el pasajero O' , los extremos del andén pasan frente a él en el tiempo :

t´L´v

=

Donde L' es la longitud del andén ( qué el vé en movimiento). Además, el movimiento del andén desde un extremo hasta el otro dura menos tiempo , dado que los relojes del observador O a él le parecen relojes en movimiento, asi que t t´= , y por lo tanto, substituyendo las expresiones de t y t' queda :

L

v

L´

v=



Esto es :

L L´=

Asi que para éste observador la longitud inicial ( L ) del andén se reduce ( dado que > 1 ) a la longitud L ´ cuando la ve en movimiento y llegará a la conclusión de que cualquier cuerpo acorta su longitud en la dirección de su movimiento.Sin embargo esa reducción de longitud de ninguna manera será un indicador del movimiento absoluto: es suficiente ubicarse en el sistema que esté en reposo respecto al cuerpo y éste de nuevo se alargará recobrando su longitud original.

Supongamos ahora que quisieramos medir la longitud el tren, sabiendo que cuando está en reposo en la estación mide lo mismo que el andén.Es obvio que ahora el pasajero O' medirá esa longitud en reposo en su sistema de referencia ( el tren ) usando dos relojes separados en el primero y último vagones,Sin embargo el observador O en reposo en la estación del tren ve tal longitud en movimiento y determinará que los extremos del tren cruan frente a él en un tiempo menor, asi que concluirá que el tren en movimiento se acortó respecto a su longitud en reposo.

De este manera los pasajeros del tren determinarán que el andén ha reducido su longitud y a los observadores que se encuentren en éste les parecerá que se redujo la longitud el tren, como se ilustra en los dos dibujos de arriba. ¿Cuál de éstos dos dibujos representa la realidad ? . Ambos porque representan la misma realidad objetiva pero analizada desde distintos sistemas de referencia.

¿Existe aquí una paradoja similar a la de los gemelos ? ,es decir, al final de un viaje de circunvalación ¿serán los metros de los pasajeros que hicieron el viaje, más cortos que los metros de los observadores en reposo ?Aunque ciertamente en un viaje de circunvalación habrá un cambio de la longitud en la dirección del movimiento, también habrá un cambio continuo de dirección de manera que el movimiento en una dirección particular tiene una duración instantánea.



De ahora en adelante, las longitudes y tiempos medidos en reposo en un sistema de referencia los denotaremos como "longitud propia" Lo y como tiempo "propio" to , mientras que L y t representarán las cantidades correspondientes medidas en movimiento. De manera que las fórmulas relativistas 2.6 y 2.7 quedan:

Lo L= y t to=

Lo L t to

2.6 Transformación relativista de velocidades.

¿A qué velocidad se desplaza el pasajero de un tren respecto a la via si corre sobre el tren hacia adelante a la rapidez u = 6 kilómetros por hora mientras el tren se mueve a una velocidad v = 54 kilómetros por hora en línea recta ?

u

v

La respuesta, según la Mecánica Clásica es indudable: la velocidad del pasajero respecto a la via es u + v = 60 kilómetros por hora, pues es evidente que en una hora el tren recorre 54 kilómetros y el pasajero en el tren recorrerá otos 6 kilómetros, en total 60 kilómetros.Pero ¿y si el tren se mueve a la velocidad 0.8 c y el pasajero a 0.7 c ?. La respuesta que daría la Mecánica Clásica sería errónea: ( 0.8 + 0.7 ) c = 1.5 c porque es mayor que la velocidad de la luz y por lo tanto no puede existir en la naturaleza . La suma de velocidades clásica que usamos en los fenómenos cotidianos es incorrecta cuando las velocidades son cercanas a c . Esta ley vale solamente para velocidades que son muy pequeñas en comparación con la rapidez de la luz en el vacío.

La causa por la cual no podemos aplicar la suma clásica de velocidades, es que hemos sumado las distancias que recorrían en una hora el tren por la via férrea y el pasajero sobre el tren; ¡ pero esas distancias no pueden ser sumadas ! de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, dado que no se miden en el mismo sistema de referencia. Además se ha cometido el tremendo error de igualar una hora del tiempo del tren con una hora del tiempo de la via y como ya sabemos, no es lo mismo.

La velocidad de la luz, como ya hemos visto, posee la propiedad de mantenerse invariable sin importar como se muevan los sistemas de referencia en los que la observamos. Esta propiedad está contenida en las ecuaciones de transformación relativista de coordenadas, dado que usamos tal propiedad para deducir esas ecuaciones.Consideremos dos sistemas inerciales: O en reposo y O' en movimiento relativo respecto a O ( en la dirección X,X' por sencillez ) . Queremos entonces relacionar las velocidades u y u' que miden respectivamente los observadores de O y de O' , para un objeto que ambos estudian .



2.8( )ux

ux ´ vx

1vx ux ´

c2

=

es decir :

( Dividiendo por dt' )ux

dx´ vx dt´

dt´vx

c2

dx´

=

dx´

dt´

vx

1vx

c2

dx´

dt´

=

se obtiene :

dt dt´vx

c2

dx´

=

dz dz´=

( dado que 1

1v

2

c2

= es constante )dy dy´=

dx dx´ vx dt´ =

Asi que substituyendo los diferenciales de la transformación relativista de coordenadas (2.5):

uz ´dz´

dt´=yuy ´

dy´

dt´=;ux ´

dx´

dt´=

y las correspondientes componentes según el observador O' del sistema en movimiento son:

uzdz

dt=yuy

dy

dt=;ux

dx

dt=

Por definición, las componentes de la velocidad u según el observador O del sistema en reposo son:

O'

Y'

Z'

X '

O

Y

Z

X

vx

u



porque: vx

c vale aproximadamente0 y además 1

vx 2

c2

12

= vale aproximadamente1

etc. uz uz ´=uy uy ´=ux ux ´ vx=

En todas éstas ecuaciones de transformación relativista, debemos tener en cuenta que:

1° La transformación de las componentes de velocidad que son perpendiculares (uy , uz ) a la velocidad relativa ( vx ) , también depende de la componente paralela a la velocidad relativa ( ux ).

2° El sentido positivo dela velocidad relativa ( vx ) se tomó hacia la derecha; pero si el movimiento entre O y O' ocurre hacia la izquierda, se debe invertir el signo de tal velocidad

3° Cuando la velocidad relativa es muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz ( vx << c ) , todas las ecuaciones anteriores se reducen como un caso especial a la suma clásica de velocidades

2.11( )uz úz

1vx ux

c2

=uy úy

1vx ux

c2

=ux úx vx

1vx ux

c2

=

Y si hubiésemos considerado la transformación de coordenadas del sistema O al sistema O' , ec ( 2.5´), habríamos obtenido :

2.10( )uz

uz ´

1vx ux ´

c2

=con una expresión similar para uz :

uy

uy ´

1vx ux ´

c2

= 2.9( )

es decir :

( Dividiendo por dt' )uy

dy´

dt´vx

c2

dx´

=

dy´

dt´

1vx

c2

dx´

dt´

=



Supongamos por ejemplo que un objeto se mueve a la rapidez 2

3c en la dirección x' del sistema de O',

mientras que el propio sistema O' se desplaza respecto al sistema en reposo del observador O a la

rapidez 1

2c .

Para la Mecánica Clásica, la rapidez de tal objeto respecto al sistema O es: 2

3c

12

c

76

c=

que es mayor que la rapidez de la luz y obviamente contradice los resultados experimentales .

Sin embargo, para la relatividad especial la rapidez de tal objeto respecto a O es :

ux

ux ´ vx

1vx ux ´

c2

=

23

c1

2c

1

12

c

23

c

c2

=

76

c

4

3

=7

8c= ( menor que c ! )

Y un resultado aún más sorprendente se obtiene si calculamos respecto al sistema O, la velocidad de un pulso de luz que en el sistema O' se propaga en la dirección X,X' :

ux

ux ´ vx

1vx ux ´

c2

=c vx

1vx c

c2

= cc vx c vx = c=

Sin importar el valor de la velocidad relativa vx entre los sitemas inerciales, comprobándose asi que la rapidez de la luz tiene el mismo valor en todo sistema de referencia.

Consideremos ahora un pulso de luz que se propaga en el plano XY en cierta dirección respecto al eje X del sistema O. ¿Qué velocidad determinará el observador del sistema O' para este pulso luminoso ?

v

O X , X'O'

Y Y '

c



Es el cambio en la posición aparente de una estrella, debido al movimiento relativo del observador.Si es la dirección en la cual debemos orientar nuestro telescopio respecto al sistema de referencia del Sol ( sistema S ), para "ver" una estrella, entonces respecto al sistema de referencia de la Tierra ( sistema S' ) que se mueve respecto al Sol más o menos a la velocidad constante v = 30 km/seg y en línea recta si consideramos periodos muy cortos de tiempo, la dirección en la que se localiza tal estrella será ´.

2.7. a) La aberración estelar.

Como se esperaba, para el observador O' , la rapidez de la luz también tiene el valor c . Algunas consecuencias de la transformación relativista de velocidades son. . .

= c

= cc vx cos 2

c vx cos

= c

2

c2

vx c cos vx 2

cos 2 2 c vx cos c

2

= 1

1vx c cos

c2

c cos vx 21

vx

c

2

c sen 2

= 1

1vx ux

c2

ux vx 21

vx

c

2

uy 2

ux ´ 2uy ´ 2

ux vx

1vx ux

c2

2uy

1vx ux

c2

2

=

Asi que por las ecuaciones ( 2.11 ), la rapidez del pulso de luz según el observador del sistema móvil O' será :

ux 2uy 2 c

2cos

2 sen2 = c=

porque . . .

uz 0=;uy c sen =;ux c cos =

Según el observador del sistema O , las componentes de velocidad para ese pulso de luz son:



El telescopio del sistema móvil debe inclinarse más que el del sistema fijo, por la misma razón que una lluvia vertical le parece inclinada a una persona que corre a traves de ella. Para poder "ver" la estrella a traves del telescopio del sistema S' , la luz de la estrella debe llegar al ocular recorriendo todo el tubo del telescopio y si éste no se inclinara, chocaría con sus paredes.

Ambas referencias S y S' pueden considerarse aproximadamente inerciales, asi que las componentes de la velocidad de la luz emitida por la estrella respecto al Sol son:

ux c cos = ; uy c sen =

donde hemos supuesto por sencillez que la luz incide paralela al plano XY de S. Asi que de acuerdo a las ecuaciones de transformación de la velocidad ( 2.11 ), tenemos :

ux ´ux vx

1vx ux

c2

=c cos vx

1vx c cos

c2

= cc cos vx

c vx cos

=

uy ´uy

1vx ux

c2

=c sen

1vx c cos

c2

= cc sen

c vx cos

=

Y por supuesto que la velocidad de ésta luz respecto a la Tierra también vale c ( ¡Comprobarlo ! ). De la figura anterior se deduce que:

cos ´ ux ´

c=

c cos vx

c vx cos =



Es decir . . .

cos ´ cos vx

c

1vx

ccos

= 2.12( )

Pero vx

c

30km

seg

300 000km

seg

= es del orden de 10 4 , asi que cuando se observa una estrella en el cenit

2

=

; se tiene : cos(' ) = 104

y por lo tanto ' = 2

arccos 1 10 4 20.6" ( unos

21 segundos de grado ), Este resultado está de acuerdo con las aberraciones observadas por los astrónomos .

2.7. b) El efecto Doppler

Es el cambio aparente en la frecuencia de la luz o el sonido ( o cualquier onda ) emitidos por una fuente y se debe al movimiento relativo entre la fuente y el observador.Actualmente, en la astronomía, la espectroscopía o la física atómica, es de vital importancia la medición de tales cambios de frecuencia.Este efecto fué analizado por primera vez por Christian Doppler en 1842 y comunmente se manifiesta por el repentino cambio que percibimos en el "timbre" del sonido emitido por una fuente sonora en movimiento que pasa cerca de nosotros.

Sin embargo, el efecto Doppler para la luz debe analizarse en forma diferente al efecto Doppler para el sonido , puesto que su naturaleza física es diferente. El sonido consiste básicamente en cambios de presión que se transmiten a través de un medio material; mientras que la luz es una onda electromagnética que no requiere de medio alguno para propagarse.

Consideremos entonces una fuente emisora de luz de frecuencia que está en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial O en el cual, un observador determina el periodo , es decir, el tiempo transcurrido entre dos pulsos de intensidad máxima de esa luz.

La pregunta que surge de inmediato es: ¿Cuál será la frecuencia de esa luz para un observador O' que se mueve en la dirección +X respecto al sistema O a velocidad constante ?

Representemos en un diagrama espacio-tiempo el par de eventos E1 y E2 que representan la emisión de los dos pulsos máximos desde el origen del sistema O , asi como el par de eventos E1' y E2' que representan la recepción de tales pulsos por el observador móvil O' , como se indica en la siguiente figura



Sin embargo, a pesar de que los eventos E1' y E2' ocurren en el mismo lugar para el observador O' del sistema móvil, el intervalo de tiempo entre ellos es diferente de acuerdo con ( 2.5 ' )

x E2 ´ x E1 ´ c vx

c vx =y t2 t1c

c vx=

Asi que según O, la separación espacio-temporal entre estos dos eventos es :

x E2 ´ cxo c

c vx

= cxo vx

c vx =

en el lugar . . .

x x2= xo vx t2 c t2 = t2

xo c

c vx=

De la misma forma, la llegada del 2° pulso de luz a O' ocurre según O en el instante t2 dado por :

x E1 ´ cxo

c vx

=

en el lugar . . .

x x1= xo vx t1 c t1= t1

xo

c vx=

La recepción por parte de O' del primer pulso de luz ( evento E1' ) ocurre en el instante t1 , cuando ambos ocupan la misma posición :

El segundo pulso de luz ( evento E2 ), se emite también en x = 0; pero después de transcurridos segundos, asi que el observador O lo describe por x2 c t = .

Además, el primer pulso de luz ( evento E1 ) se emite en x = 0 al tiempo t = 0 y se propaga a la velocidad c hacia la derecha, asi que queda descrito por x1 c t= .

x xo vx t=

E2'

E1'

X

ct

O

E2

E1

xo

posición de O' según el observador O

Según el observador del sistema en reposo, si xo es la posición inicial de O' al tiempo t = 0

entonces su posición transcurrido un tiempo t será:



t´ tvx

c2

x

= t2 ´ t1 ´ t2 t1 vx

c2

x E2 ´ x E1 ´

=

= c

c vx

vx

c2

c vx

c vx

= 1

1vx 2

c2

c c vx

1vx 2

c2

=

1vx

c

1vx 2

c2

Y puesto que éste intervalo de tiempo corresponde al periodo ' de la radiación recibida y medida por O' ,

si definimos la constante vx

c= queda finalmente :

´ 1 1

= 2.13( )

Dado que la frecuencia es el recíproco del periodo, también podemos escribir la fórmula anterior como :

1

´1

1 1

= es decir : f´ f1 1

= 2.13´

De éste modo, la frecuencia que percibe el observador O' es menor que la frecuencia que emite O ( porque el observador O' se aleja de la fuente emisora de luz ) . Cuando el observador O' se acerque a la fuente emisora, recibirá una frecuencia mayor que la determinada por el observador en reposo respecto a la fuente ( dado que cambia de signo en (2.13' ) ) .

Quizá el más impactante efecto relacionado con el fenómeno Doppler es el corrimiento hacia el rojo de las líneas del espectro de la radiación que recibimos en la Tierra y que fué emitida por galaxias muy lejanas. Cuando la luz que produce una galaxia pasa por los gases que la rodean, algunos "colores" (frecuencias) de la luz emitida son absorbidos selectivamente de modo que a la luz que percibimos en la Tierra le "faltan" esos colores o son muy tenues. Cuando una radiación similar se produce en el laboratorio, algunas de esas líneas (frecuencias) de absorción se localizan normalmente en la región violeta del espectro visible; sin embargo, para la luz proveniente de algunas galaxias, esas líneas se han encontrado incluso cerca de la región roja del espectro.



Esto significa que la frecuencia de la radiación galáctica disminuyó según se mide en la Tierra y que por lo tanto la galaxia se aleja de nosotros a una tremenda velocidad.

Por ejemplo, si se observa un cambio fraccional de frecuencia f´

f

de 0.8, entonces de acuerdo con la

ecuación ( 2.13' ), esto implicaría que :

f´

f

1 1

= 1

f´

f

2

1f´

f

2

= vx

c

1 0.8( )2

1 0.8( )2

= 0.22=

es decir, esa galaxia se alejaría de la Tierra a la velocidad: vx = 0.22 c = 66 000 km/seg !

En 1919, el astrónomo Edwin Hubble, analizando los espectros de radiación de algunas galaxias descubrió que todas ellas se alejan de nosotros y que la velocidad u de alejamiento de una galaxia es proporcional a la distancia r hasta ella

u r( ) r=

donde es una constante de valor 2 10 181

seg . Este es un punto a favor de la teoría cosmológica que

propone que el universo se expande.

Finalmente otra aplicación del efecto Doppler se obtiene cuando una fuente emisora no pasa por la posición del observador sino a cierta dictancia mínima. Cuando la fuente se aproxima al observador, éste percibirá una frecuencia mayor ( max ) y cuando la fuente se aleje, detectará una frecuencia menor ( min ). Este cambio no es intantáneo dado que la fuente no pasa exactamente por el lugar donde está el observador:

0 2 4 6 8 10 12 14

tiempo ( en minutos )

Fre

cuen

cia

reci

bida

en

Kil

ocic

los

min

max

Efecto Doppler en la señal de emisión de un satélite que orbita la Tierra, al pasar sobre un observador

Esta característica le permitirá al observador conocer la distancia a la fuente, asi como su velocidad.



2.8 Dinámica Relativista.

Los principios de conservación de la Física Clásica han demostrado su gran aplicabilidad y validez en el campo de los fenómenos ordinarios, en los cuales intervienen cuerpos "grandes" ( en relación con las partículas elementales ) que se mueven "lentamente" ( respecto a la rapidez de la luz en el vacío ). Estos principios de conservación reflejan leyes generales de la Naturaleza y establecen que algunas cantidades físicas como la energía o el momentum, no pueden crearse de la nada sino que en un sistema cerrado, solamente se transforman o se transmiten de una parte a otra del sistema, manteniéndose constante la cantidad total.

Por eso, es muy tentador suponer que éstos principios de conservación continúen siendo verdaderos en el campo de la relatividad especial. De hecho se propone que asi sea y en particular se retiene la definición

del momentum lineal p

m v( )= y su principio de conservación:

Suma total de momentums iniciales

i

pi

=

f

p f

Suma total de momentums finales

Esto significa que en cualquier sistema de referencia, el momentum lineal total de un sistema físico permanece constante al pasar de un estado inicial a otro estado final, siempre y cuando no actúen sobre el sistema fuerzas externas a él.

Éste principio físico vale para cualquier fenómeno natural, asi que consideremos uno sencillo: Un choque perfectamente elástico entre dos objetos A y B que, cuando están en reposo, son idénticos y tienen la misma masa M .

Consideremos entonces que A se encuentra inicialmente en reposo respecto a un sitema inercial O, mientras que el objeto B se mueve junto con otro sistema de referencia inercial O', que se desplaza respeto a O a velocidad constante en la dirección X,X'. Obviamente para el observador de O' el objeto B está en reposo.

Supongamos entonces que los observadores O y O' acuerdan realizar el siguiente experimento :

1° O lanzará verticalmente ( en la dirección Y-Y' ) al objeto A con una rapidez u (medida respectoa su propio sistema de referencia ) y O' lanzará en la misma dirección al objeto B con la misma rapidez u ( respecto a su sistema de referencia) para que choquen entre si.

2° Debido a que la situación es simétrica, ambos observadores estarán describiendo el mismo fenómeno físico y por lo tanto, llegarán a las mismas conclusiones. Además en su propio sistema de referencia, el momentum lineal se conserva, esto significa que la rapidez final de los objetos después del choque en la dirección vertical, es la misma que tenían antes del choque, solo que con sentido opuesto.

De esta manera, el choque elástico entre los objetos A y B según lo ve el observador O del sistema inercial que está en reposo sería como sigue:



Dado que O' se mueve respecto a O hacia la derecha a la velocidad constante vx , al observador O le parece que el objeto B se mueve diagonalmente antes y después del choque, mientras que el objeto A que él mismo lanza sólo rebota verticalmente.

Puesto que el momentum lineal P en la dirección vertical se conserva, O establecerá que:

Pinicial P final=

MB vB M A vA M A vA MB vB =

es decir. . .MB vB M A vA=

Donde MA y MB se refieren a las masas de los objetos A y B medidas por el observador O.

Por otra parte, de la transformación relativista de velocidades ( 2.9 ) , tomando uy = vB , uy' = u y ux = 0 , se deduce que:

uy

uy ´

1vx ux ´

c2

= vBu

1vx 0( )

c2

= = u

= u 1

vx

c

2

y tomando en cuenta también que vA = u , la conservación de momentum queda:

MB u

M A u= ( * )



M = Mo

1vx

c

2

2.14( )M Mo=

De esta manera, la relación ( ** ) nos conduce a otra conclusión relativista sorprendente:

MB0

2

vx 2

M vx =es la masa medida para el objeto B , idéntico al A pero que se mueve respecto a O a la velocidad vx .Es una función de vx y de ahora en adelante la denotaremos simplemente por M .

es la masa medida en reposo para el objeto A M A 0( ) Mo=

Consideremos ahora el límite cuando la velocidad u tiende a cero . En éste caso los dos objetos A y B estarán en reposo respecto a su propio sistema de referencia y . . .

Donde las masas dependen de sus rapideces respectivas, siendo u la rapidez del objeto A y

V vB 2vx 2=

u

2

vx 2= la rapidez total del objeto B respecto al sistema de referencia en

reposo.

MB V( )

M A u( )=

De acuerdo con ésta idea, el observador O propondrá que la relación ( ** ) es válida en la forma :

Si queremos salvar el principio de la conservación del momentum lineal, tenemos que aceptar que MA y MB no son iguales, aunque se trate de objetos idénticos que tienen la misma masa cuando están en reposo. Lo más congruente entonces es proponer que: la masa de un objeto es una función de la rapidez de ese objeto.

puesto que la constante tiene un valor diferente de la unidad siempre que exista movimiento relativo entre los observadores O y O' ( vx 0 ).

( ** )MB

M A =

Pero si se supone que las masas de éstos objetos idénticos son iguales ( MA = MB ) independientemente de su estado de movimiento como usualmente se hace en la Mecánica Clásica, entonces la ecuación anterior es una contradicción:



" la masa medida para un objeto B que está en movimiento es mayor que la masa medida para ese objeto (A) cuando está en reposo. M > Mo "

0 1 108

2 108

3 108

4 108

rapidez v ( en m/seg )

c

Nuevamente notemos la importancia fundamental que la velocidad c desempeña en ésta expresión, como un límite físico para la rapidez con la que se puede mover un cuerpo con masa. La masa relativista (2.14) está definida sólamente si tal cuerpo tiene una rapidez menor que la velocidad máxima c ( vx < c ) . A medida que la velocidad de un cuerpo se aproxima a la velocidad de la luz, su masa crece infinitamente. El único objeto físico que se puede mover con la rapidez c es la "luz" (ondas electromagnéticas) en el vacío.

m v( )

mo

Naturtalmente, desde el punto de vista del observador O' en movimiento respecto al observador O , el choque se vería asi:

Dado que el cuerpo A está en reposo en el sistema O , para el observador O' estará en movimiento hacia la izquierda, mientras que el objeto B parte del reposo y se impulsa inicialmente hacia arriba para chocar con A. Asi que haciendo un análisis silimar al que hizo el observador O en su propio sistema de referencia, O' llegará a concluir que:

"La masa del objeto A que yo veo en movimiento uniforme es mayor que la masa de un objeto B idéntico que tengo en reposo en mi propio laboratorio o sistema de referencia"

y preguntar otra vez ¿Cual de los dos observadores tiene razón y cual no? , es una pregunta que carece de



sentido, puesto que las dos conclusiones reflejan una realidad objetiva que es verdadera para cada observador.

La ecuación ( 2.14 ) has sido comprobada cabalmente para el movimiento de las partículas atómicas y elementales que se mueven a una velocidad cercana a la velocidad de la luz. Experimentalmente se ha comparado la masa de los electrones "rápidos" que se mueven a una velocidad enorme con la masa de los electrones a bajas velocidades. Los resultados han confirmado totalmente la dependencia relativista entre la masa y la velocidad.

Por lo tanto la expresión relativista del momentum lineal para un objeto de masa en reposo mo que se mueve a la velocidad v es:

p m v=mo

1v

c

2

v= 2..15( )

En consecuencia, la segunda ley de Newton, ley básica y fundamental para todos los fenómenos mecánicos toma la forma:

Fd pdt

= mod

dt

1

1v

2

c2

v

= 2.16( )

Asi que como el momentum lineal ya no es directamente proporcional a la velocidad, la fuerza , que es la razón temporal del cambio de momentum lineal, tampoco es ya directamente proporcional a la aceleración. Una fuerza constante no produce una aceleración constante. Por ejemplo cuando una fuerza constante en la dirección X se aplica a un cuerpo que se mueve también en la dirección X, la ecuación (2.16 ) dá :

Ft

mo v t( )

1v t( )( )

2

c2

d

d= mo

tv t( )

d

d

1v t( )( )

2

c2

3

2

=mo

1v

2

c2

3

a= 2.16a( )

0 1 108

2 108

3 108

a v( )

v

donde a es la eceleración en la dirección X . Despejándola se obtiene :

aF

mo1

v2

c2

3

2

=

Entonces, al aumentar la velocidad v del cuerpo, la aceleración que le produce una fuerza constante disminuye continuamente tendiendo a cero cuando v se aproxima a la velocidad de la luz



Por grande que sea la fuerza aplicada será entonces imposible acelerar un cuerpo de masa en reposo mo no nula a una velocidad igual o mayor que c

En algunos aceleradores usados en la física de partículas elementales o en la física nuclear, las partículas se mueven uniformemente en trayectorias circulares. Entonces, siendo su rapidez v constante, la acleración y la fuerza centrípetas son perpendiculares a la velocidad. En éste caso la fuerza no realiza trabajo sobre la partícula y permanecen por lo tanto constantes su energía cinética y su rapidez es decir el denominador de la ecuación ( 2.16 ) permanece constante ( no asi el numerador dado que v es un vector y cambia de dirección ) y queda :

Fmo

1v

c

2

tv

d

d

=mo

1v

c

2

a= 2.16b( )

En el caso de que la fuerza F y la velocidad v no son ni perpendiculares ni colineales entre si, debemos descomponer la fuerza en las componentes paralela y perpendicular a v , y la aceleración resultante tendrá componentes dadas por las ecuaciones ( 2.16a ) y ( 2.16b ) que no serán proporcionales a las componentes de la fuerza neta aplicada, es decir, la aceleración resultante no será paralela a la fuerza neta como en el caso de la Mecánica Clásica.

Por si el experimento anterior no fuese todavía muy convincente para alguien aún no acostumbrado a las frecuentes paradojas relativistas, consideremos este otro:

2.9 Masa y energía

Describiremos ahora un choque totalmente inelásitico entre un par de partículas, que son idénticas (de la misma masa) cuando están en reposo.Que el choque sea inelástico significa que al final de la colisión, las partículas quedarán unidas formando una sola.Escojamos un sistema de referencia O' tal que la partícula resultante quede en reposo al final del choque. Desde ésta referencia, dado que el momentum lineal final es cero, también lo será el inicial, es decir observaremos dos partículas idénticas que se mueven en sentidos opuestos a la misma rapidez:

X'O'

Y'

vm

Antes del choque

vm

X'O'

Y'

Después del choque

M

Este mismo choque, en otro sistema de referencia O desde el cual O' está en movimiento hacia la derecha ( + v ) de manera que una de las partículas antes del choque se vea aquí en reposo sería como sigue:



XO

Y um

Antes del choque

m

XO

Y

Después del choque

M

X'O'

Y'

v

v

X'O'

Y'

v

Aquí la velocidad de la primera partícula antes del choque es , de acuerdo con (2.8 )

uux ´ vx

1vx ux ´

c2

=v v

1v v

c2

=

2 v

1v

2

c2

=

De donde, resolviendo para v se obtiene:

( * )vc

2

u1 1

u2

c2

=

Aplicando el principio de la conservación del momentum lineal en el sistema O, debemos tener:

Pinicial P final=

m u mo 0 M v=

m2 v

1v

2

c2

M v= ( ** )

Si al igual que en la mecánica Clásica, simplemente suponemos que la masa de un objeto es constante y se conserva: ( M = 2m ) , entonces la ecuación anterior es falsa. Sin embargo no podemos negar los principios de relatividad de la cual la hemos derivado, asi que esta inconsistencia se solventa si se admite que la masa de un objeto puede ser una cantidad variable que depende de la velocidad del objeto:

M v( ) m u( ) mo=

donde se ha indicado que la masa inicial que está en reposo es mo. Substituyendo ésta expresión de M en la ecuación ( ** ) se obtiene:

m u m mo v=

m

mo

v

u v=



y substituyendo ahora la expresión ( * ) para la velocidad v se obtiene :

m

mo

c2

1u

2

c2

1

c2

1u

2

c2

1u

2

c2

=1

1u

2

c2

= m mo1

1u

2

c2

= 2.14´( )

Si ésta expresión para la masa relativista m mo 1u

2

c2

1

2

= se desarrolla respecto a la variable u

usando el teorema del binomio en la forma:

1 x( )n

1 n xn n 1( )

2x

2n n 1( ) n 2( )

6x

3 ..

=

tomando xu

2

c2

= y n1

2

= , los primeros tres o cuatro términos, son :

( *** )m mo 11

2

u2

c2

3

8

u4

c4

5

16

u6

c6

..

=

y aproximando hasta el término de segundo orden . . .

m c2 mo c

21

2mo u

2

Reconocemos de inmediato aqui que el segundo término es la expresión clásica para la energía cinética de un objeto de masa mo que se mueve a la velocidad constante u . Dado que éste término representa una energía, sólo puede sumarse con otro término que tenga las mismas dimensiones, además para que una ecuación sea físicamente consistente, sus dos miembros deben representar

cantidades con las mismas dimensiones. Por lo tanto mo c2 y m c

2 son términos que representan

también una energía.

Entonces, dado que cada uno de los términos de la expansión ( *** ) representan energía, es inmediato

afirmar que el miembro izquierdo m c2 representa la energía total E de un cuerpo cuya masa cuando está

en reposo es mo y que se mueve a la velocidad u .

E m c2= 2.17( )



es decir . . .

E = mo

1u

2

c2

c2 =

mo c2

1u

2

c2

= Eo

1u

2

c2

E Eo= 2.17a( )

Ya que E m c2= representa una energía, se infiere que el término mo c

2 también es una energía. Esta será

la energía que tiene un objeto cuando está en reposo ( energía de reposo Eo ) y que se debe al simple hecho

de tener masa.

Esta nueva interpretación relaciona dos conceptos que en la física Clásica son totalmente independientes, la masa y la energía. En cambio, en la teoría de la relatividad estos conceptos son equivalentes y el factor de conversión entre uno y otro es simplemente el cuadrado de la velocidad de la luz. Esto significa que en la naturaleza existen procesos o fenómenos en los cuales la energía se puede transformar en masa o viceversa , la masa se transforma en energía

Sólo ha sido cuestión de tiempo comprobar que esta equivalencia entre la masa y la energía es totalmente correcta. Se han podido describir fenómenos tales como las reacciones de fisión o fusión nucleares, en las cuales una parte de la energía de los reactivos iniciales se transforma en energía liberada ( calor, luz , sonido radiación, etc. ) quedando los productos de la reacción con menos masa que los núcleos iniciales.También se ha demostrado que bajo ciertas condiciones, la radiación de alta frecuencia ( gamma ) puede generar un par de partículas materiales con cargas eléctricas opuestas como el protón-antiprotón, electrón-positrón, etc, es decir se crea siempre una "partícula" junto con su "antipartícula" . La reacción inversa también es posible, una partícula se puede "aniquilar" con su antipartícula y desaparecer ambas, generando en su lugar energía de radiación.

Para reafirmar ésta equivalencia, calculemos ahora en cuanto cambia la masa de un objeto cuya masa en reposo es mo , cuando hacemos trabajo sobre él para moverlo a partir del reposo hasta que su rapidez es v ( medida respecto a la referencia en la que tal objeto estaba en reposo ) , aplicándole una fuerza F (variable o constante ).De acuerdo al teorema de la variación de la energía cinética ( otro principio físico que conserva su validez en la relatividad ), el cambio en la energía cinética K de un objeto físico es igual al trabajo W realizado sobre el objeto por la fuerza F aplicada a lo largo de la trayectoria que describe tal objeto en movimiento.Se tiene asi que entre un estado inicial ( i ) y un estado final ( f ):

K f Ki W=

K f 0i

f

sF

d=

Nótese que: ds es uno de los elementos diferenciales de la trayectoria, que los vectores F y ds se multiplican escalarmente y que la energía cinética inicial es cero porque el objeto parte del reposo.Si substituimos en la integral la expresión (2.16), la energía cinética final Kf del objeto o simplemente K es :



K

i

f

sd pdt

d=

i

f

sd m v( )

dt

d=0

u

m v( )v( )

d=

donde hemos intercambiado de lugar los diferenciales ( puesto que el producto escalar es conmutativo ) y

hemos usado la definición de velocidad vd sdt

= como la rapidez de cambio de la posición s respecto al

tiempo t, asi como el hecho de que la rapidez inicial es cero y la final se denota como u . Entonces, integrando por partes se llega a:

K m v v u

0

0

u

vm v( )

d=

e introduciendo la expresión (2.14' ) para la masa relativista m :

K = m u( )2 0 mo

0

u

vv

1v

2

c2

d = mo

1u

2

c2

u2 mo c

2 1 1u

2

c2

= mo c

2

1u

2

c2

mo c2 = m c

2 mo c2

es decir . . .

K E Eo= 2..18( )

De ésta manera, K la energía cinética relativista de cualquier objeto que tenga cierta masa mo cuando esté en reposo, es igual a la diferencia entre su energía total relativista E y su energía de reposo Eo .Podemos asi decir que el "aumento" de masa del objeto debido a su movimiento uniforme es :

m mo K

c2

=

y cuanto mayor sea la rapidez final de un cuerpo en movimiento, mayor será su energía cinética y tanto mayor será también su masa ( m ) comparada con la que usualmente tiene en reposo ( mo ).Otra vez, podemos ver en ésta ecuación la equivalencia entre la masa y la energía. En éste caso es la energía debida al movimiento (cinética) , la responsable de un cambio de masa en un objeto físico.

Al comparar las energías relativistas con la expresión clásica para la energía cinética Kclasica1

2mo v

2=



se observa que . . .

0 1 108

2 108

3 108

4 108

velocidad en m/seg

Eo

E v( )

Krelativista v( )

Kclasica v( )

c

v

la energía cinética clásica de la mecánica de Newton, es una parábola que aumenta sin límite y tampoco existe límite para la velocidad que pueda alcanzar un objeto físico, la gráfica de Kclasica cruza impunemente la recta vertical v c= que representa el valor de la velocidad de la luz en el vacío y sigue aumentando ; sin embargo, la realidad es que aunque aceleremos un cuerpo durante un tiempo infinito, la naturaleza impone una barrera infranqueable a la velocidad que pueda alcanzar ese cuerpo .

En cambio, la energía cinética relativista o la energía relativista total de tal cuerpo, pueden aumentar sin límite pero la rapidez correspondiente a tales energías jamás llegará a ser siquiera igual a la rapidez de la luz en el vacío. A medida que sus energías tienden al infinito, su velocidad se aproxima cada vez más al valor c, sin llegar a ser nunca igual a él. Hasta ahora, la naturaleza nos ha develado solo un único objeto físico que se puede mover a la rapidez c : la luz en el vacío.

Es importante destacar que a velocidades bajas, la diferencia entre las energías cinéticas clásica y relativista es insignificante. Por ejemplo, para una rapidez tan enorme como v = 1 000 km/seg , la diferencia relativa entre las energías cinéticas clásica y relativista es de tan solo 0.000835 % , mientras que para v = 100 000 km/seg (la tercera parte de la velocidad de la luz), su diferencia relativa es apenas del 8.43 % . Las gráficas de Kclásica y Krelativista , prácticamente coinciden una sobre otra cuando v << c y es

por eso que la Mecánica de Newton describe tan bien los fenómenos que ocurren en este campo.Además, para la relatividad especial, aunque un objeto esté en reposo, siempre tendrá asociada una

energía distinta de cero ( Eo mo c2= ) , energía que no existe para la Mecánica Clásica.

Hay pruebas experimentales directas de que la energía mo c2 asocaida con una masa en reposo existe. Por

ejemplo, en el decaimiento de un pión neutro ( una partícula subatómica inestable de masa en reposo m0 ) , el pión desaparece y en su lugar se produce radiación electromagnética de energía exactamente igual

a mo c

2 cuando el pión inicialmente estaba en reposo.



Una de las posibilidades más interesantes sugeridas por la equivalencia entre la masa y la energía es la creación de nuevas partículas con masa a partir de la energía de la radiación o del choque de otras partículas. A primera vista parecería que si de desea crear una partícula de masa en reposo mo , se debe

disponer de la energía mo c2 pero se ha observado que en realidad se requiere de mucha más debido

principalmente a dos razones:

1° Cuando el proceso de creación es la radiación, las partículas atómicas o subatómicas, no pueden crearse solas sin su correspondiente antipartícula porque se violarían algunas leyes naturales como la conservación de la carga eléctrica. Una antipartícula es idéntica a su pareja (partícula) excepto por su momento magnético y por la carga eléctrica que son del mismo valor pero de signo opuesto. Por ejemplo, al tratar de crear un protón , siempre aparecerá también un antiprotón.

2° Cuando el proceso de creación es una colisión, usualmente intervienen también otras partículas ya existentes, que chocan para generar otra(s) partícula(s). Al final, por conservación de la energía y del momentum lineal, una parte de la energía destinada a crear las nuevas partículas aparecerá como energía cinética de los productos

Aunque la razón 1° es una dificultad que naturalmente no puede evitarse, la razón 2° no es isuperable dado que siempre será posible hacer chocar las partículas iniciales de tal manera que su momentum total sea cero y en consecuencia no se "desperdicie" energía inicial dado que necesariamente la energía cinética final también será cero.Por ejemplo, cuando dos protones de alta energía chocan entre si, se ha observado que, como productos de ésta reacción se obtiene: un protón ( p+ ), un neutrón ( no ) y un pión ( + ) una nueva partícula de masa en reposo unas 273 veces la de un electrón y de carga positiva:

p+ + p+ p+ + no + +

Analicemos el choque entre los protones respecto a un sistema de referencia donde su momentum lineal total sea nulo, es decir los protones se dirigen uno contra otro con la misma rapidez:

Durante el choque

O'

Y'

X'X'O'

Y'

v

Antes del choque

v

m p m p

O'

Y'

X'

Después del choque

mo

mo n

mo p

Se han indicado las masas en reposo de las tres partículas finales. La condición que implica la mínima cantidad de energía inicial de los protones con la cual se puede generar un pión durante el choque (energía umbral) es tal que las tres partículas finales quedan en reposo. Por la conservación de la energía se tiene que:



Energía inicial mp c2 mp c

2 mop c2 mon c

2 mo c2 = Energía final

De la ecuación (2.14), la masa de un protón en movimiento es mp mop = y además, aunque las

masas en reposo del neutrón y del protón son ligermente distintas, las consideraremos prácticamente iguales. Asi que

2 mop c2 2 mop c

2 mo c2=

2 mop 2 mop mo=

21

1v

2

c2

mop 2 mop mo=

12 1836

2 1836( ) 273

2

0.366

y resolviendo para la velociad inicial de los protones . . .

v c 12 mop

2 mop mo

2

=

Pero la masa de un protón en reposo es aproximadamente igual a 1836 veces la masa en reposo de un electrón moe , es decir mop 1836 moe= y además mo 237 moe= por lo tanto. . .

v c 12 1836( ) moe

2 1836( ) moe 273 moe

2

= 0.366 c=

Usualmente, en el sistema de referencia del laboratorio, se lanza un haz de protones a chocar contra un blanco en reposo, asi que si uno de los protones iniciales está en reposo, entonces el sistema en el que hemos analizado el choque debe moverse respecto al laboratorio con una rapidez v .

Durante el choque

O

Y

X O

Y

X

Después del choque

m

m n

m' p

XO

Y

u

Antes del choque

m p mo p



Por lo tanto, usando ( 2.8 ) , el otro protón que en el sistema O' se movía con la rapidez v, se moverá ahora respecto al laboratorio a la velocidad:

uux ´ vx

1vx ux ´

c2

= = v v

1v

2

c2

= 2 0.366 c( )

10.366 c( )

2

c2

= 0.646 c

Y respecto al laboratorio, si el protón incidente ha de producir un pión, debe tener una energía cinética de

K E Eo=

= mop c2 mop c

2 = 1 mop c2 =

1

10.646 c( )

2

c2

1

mop c2

= 1.31( ) 1[ ] mop c2

dado que la energía de reposo para un protón es. . .

mop c2 1.67 10 27 kg 3 108

m

seg

2

= 1.503 10 10 joules= 939 Mev=

entonces K = 291 Mev . que es más del doble de la energía de reposo de un pión (273 0.51 Mev 139 Mev= ), dado que la energía de reposo de un electrón es 0.51 Mev .

El Mev (millón de electrón-voltios) es una unidad de energía que equivale a 1.6 x 1019 Joules .

Históricamente, el principio de conservación de la energía y el de conservación de la masa en un sistema cerrado, se desarrollaron en forma independiente. La teoría de la relatividad especial nos muestra que esos dos principios sólo son casos especiales de un principio más general: el de la conservación de la masa-energía . En muchos fenómenos físicos, ni la suma de las masas en reposo de las partículas, ni la energía total parecen conservarse por separado. Solo cuando se toma en cuenta la equivalencia relativista entre la masa y la energía, se obtiene nuevamente la conservación de ambas. Ya mencionamos anteriormente que ésta ley de conservación permite explicar la liberación o absorción de energía en una reacción química o nuclear:

Reactivos Productos

donde representa la energía absorbida o liberada en la reacción ( calor, radicaión, sonido, electricidad etc.) Cuando la masa de los reactivos es mayuor que la de los productos, la reacción es exoenergética porque libera una cantidad de energía exactamente igual a la diferencia de masas multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz . Algo totalmente similar sucede si la reacción requiere energía del exterior par llevarse a cabo, (reacción endoenergética ). En tal caso, la masa de los productos es mayor que la de los reactivos en una cantidad



exactamente igual a la diferencia de masas multiplicadas por c2 .Por ejemplo, en una reacción química como la combustión de hidrocarburos y compuestos orgánicos afines que se "queman" con el Oxigeno ( O ) del aire y se producen n moléculas de bióxido de carbono ( CO2 ) y m moléculas de agua ( H2O ) generándose también energía usualmente en forma de calor y luz visible.

Hidrocarburo( ) O2 n CO2 m H2 O

La masa de los productos ( agua y CO2 ) será menor que la masa de los reactivos iniciales. Sin embargo, un químico dirá que la masa "se conserva" en la reacción porque la masa que mide antes y después de que ocurra ésta tiene, según sus instrumentos y balanzas, el mismo valor. Cuando se acerque a pedirle una explicación razonable a un físico, éste le dirá que debido a la "pequeña" cantidad de energía liberada en la reacción, sus instrumentos de medida son incapaces de detectar la pequeñísima diferencia de masa entre reactivos y productos. Por ejemplo si la combustión de un mol de metano CH4 libera unos 2 millones de calorias por mol, tal diferencia de masa será de . . .

m

c2

=

=

2 106 cal 4.186Joules

cal

3 108m

seg

2 = 9.302 10 11 kg

¡ unas 93 billonésimas de kilogramo!

Los cambios de masa asociados a una reacción nuclear son mucho mayores, por ejemplo en la desintegración radiactiva de un mol de Uranio ( U238 ) es unas 50 000 veces mayor que el de la combustión de un mol de gas natural metano CH4

Examinemos el cambio de energia en esa reacción nuclear . . .

92 U 238

90 Th 234 +

2 He 4 +

donde un núcleo de Uranio se transforma en uno de Torio emitiendo una partícula alfa ( núcleo de Helio ) y energía.Los núcleos de ésa reacción tienen las masas siguientes (expresadas en unidades de masa atómica ( uma ) :

92 U 238 : 238.0003 uma

90 Th 234 : 233.9942 uma

2 He 4 : 4.0015 uma

El cambio de masa: ( masa de productos masa de reactivos ) para la desintergración de un mol de

Uranio 92 U 238 se puede expresar por lo tanto en gramos:

233.9942 g 4.0015 g( ) 238.0003 g 0.0046 g=



El hecho de que en la reacción se haya perdido masa indica que es exoenergética, como todas las reacciones nucleares espontáneas . El cambio de energía por mol asociado a ésta reacción es:

E m c2 =

= 4.6 10 6 kg 3 108m

seg

2

= 4.14 1011 Joules

= 9.89 1010 cal

¡ casi cien mil millones de calorías ! ( unas 50 000 veces mayor que la combustión de un mol de metano )

Finalmente, relacionemos la energía total relativista E de una partícula con su momentum lineal p , multiplicando ambos lados de la ecuación para la masa relativista m mo= por c2 y elevando después

al cuadrado . . . m( ) c

2 mo c2=

m c2 2

= 2mo c

2 2 =

mo c2 2

1v

2

c2

m c2 2

1v

2

c2

mo c2 2

=

Pero E m c2= es la energía total , Eo mo c

2= es la energía de masa en reposo y por definición, m2

v2 es el

cuadrado del momentum lineal p , asi que queda . . .

E2

p2

c2 Eo 2

= 2.19( )

Esto significa que la cantidad E2

p2

c2 es una constante en cualquier sistema de referencia ( puesto que

la energía de reposo de un objeto físico no cambia ) y se puede interpretar geométricamentede manera muy sencilla en función del teorema de Pitágoras, siendo E la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados Eo y pc

E

Eo K = E Eo

pc

y puesto que K E Eo= la ecuación anterior también se puede escribir como:



K Eo 2p c( )

2 Eo 2=

de aqui se obtiene . . .

p1

cK

22 K Eo= 2.20( )

Una expresión que relaciona el momentum lineal de una partícula en función de sus energías cinética y de reposo; pero no sólo eso, sino que además predice que cuando Eo 0= se puede tener una "partícula" con

energía y momentum lineal pero sin masa en reposo. . .

2.21( )pK

c=

Las partículas de masa en reposo cero realmente existen y siempre se mueven a la velocidad de la luz en el vacío, por ejemplo los fotónes o quántums de radiación electromagnética, que son emitidos o absorbidos durante los cambios de estado de energía en un sistema atómico o nuclear.

Se ha comprobado que el intercambio de energía entre materia y radiación ocurre en "paquetes" de tamaño definido (cuantización de la energía), como en la explicación del efecto fotoeléctrico propuesto por Albert Einstein o la radicaión de cavidad de cuerpo negro analizada por primera vez por Max Planck

La cantidad de energía en cada "paquete" está dada por

E h f=

donde f representa la frecuencia de la radiación que se emite o se absorbe y h es una constante (constante de Planck) de valor h 6.63 10 34 Joule seg= . Asi que el momentum lineal de un fotón es. . .

pE

c=

h fc

=

o bién : p h = donde f

c= es la longitud de onda de la radiación.



EJERCICIOS

1. En 1676, Röemer midió por primera vez en forma aproximada la velocidad de propagación de la luz en el vacío observando los eclipses de Europa, uno de los satélites del planeta Júpiter. Considérese que P y Q son las posiciones de la Tierra corespondientes a dos eclipses sucesivos de Europa:

Si el verdadero periodo entre eclipses sucesivos de Europa es T . . .

a) demostrar que el periodo observado en la Tierra es T T donde T R sen

c con

v TR

siendo v la velocidad de rotación de la Tierra respecto al Sol.

b) demostrar ahora que el retraso total del tiempo entre eclipses t

T= desde la posición A hasta la

B , (sin tener en cuenta la rotación de Júpiter en medio año) es 2R

c

. Con los datos de Röemer: t = 16

min y R 1.49 108 km= el radio de la órbita terrestre, calcular c .

2. En cierto sistema de referencia O' , ocurre un evento en x' = 30 m , y' = 0 m , z' = 0 m al tiempo t´ 1= seg. Si éste sistema se mueve a la velocidad vx 0.0001 c= en la dirección X respecto a

otro sistema inercial que permanece en reposo y los orígenes de O y O' de ambos sistemas coincidían en el instante t = t' = 0 seg , ¿ en dónde y cuándo ocurre ese evento para el observador del sistema O ?.

3. Las coordenadas espacio-tiempo de dos eventos medidas respecto a una referencia O son:

evento # 1: x1 x0= ; y1 0= ; z1 0= ; t1

xo

c=

evento # 2: x2 2 x0= ; y2 0= ; z2 0= ; t2

xo

2 c=



¿A qué velocidad se mueve un sistema de referencia O' (repecto a O , en la dirección X,X' ) donde éstos eventos son simultáneos ?, ¿Cuándo ocurren los eventos en esa referencia ?.

4. Dos eventos ocurren en el mismo lugar en cierta referencia y están separados por un intervalo de tiempo de 5 seg . ¿Cuál es la separación espacial entre esos dos eventos en otra referencia en la que aparecen separados por un intervalo de tiempo de 10 seg ?

5. Dos eventos ocurren al mismo tiempo en un sistema inercial O en el cual están separados una distancia de 1 km sobre el eje X. También sobre el eje X, un 2° sistema inercial O' se mueve respecto a O a velocidad constante y en ésta referencia los eventos aparecen separados 3 km. ¿Son simultáneos también en O' esos dos eventos? ¿Cuál es su separación temporal ?

6. En su cumpleaños N° 25 , cierta joven dama decide tomar un régimen pra adelgazar. Como ha oido algo acerca de los efectos relativistas, piensa que si se mueve lo suficientemente rápido, aparecerá más delgada para quienes estando en reposo la observen. a) ¿Qué tan rápido debe moverse para que a sus amigos en reposo aparezca adelgazada por un factor del 50 % ? b) A ésta velocidad, ¿cuál sería su masa según sus amigos ? c) Si mantiene su velocidad hasta el dia en que festeje su cumpleaños N° 29, ¿qué edad le asignarían sus amigos en reposo ?

7. Según nuestras mediciones hechas en la Tierra, la Via Láctea (nuestra galaxia) tiene un diámetros de unos 105 años-luz ( es decir, la luz necesita 100 000 años para recorrer la galaxia de un extremo a otro ). Por otra parte, las partículas con mayor energía observadas en el universo son protones de 1019 eV ¿Cuanto tiempo le tomaría a una partícula así atravezar toda la galaxia si tal tiempo se mide respecto a . . . a) la galaxia? b) la partícula?

8. Dos regla idénticas ( ambas de masa en reposo mo y longitud en reposo Lo ), se mueven a las

velocidades v15

7c= y v2

1

5c= en sentidos opuestos en la dirección del eje X de una referencia O

que está en reposo.Para un observador que se mueve junto con una de las reglas, ¿cuánto valen la masa y la longitud de la otra regla?, ¿En cuánto tiempo cruzará frente a él la otra regla?

9. Un has de mesones inestables K+ , que se mueven a la rapidez v

3

2c= pasa frente a dos instrumentos

contadores que están separados por una distancia de 9 m en línea recta. Si el primer contador registra 1000 partículas y el segundo solamente 250, ¿cuánto vale la vida media de reposo de una de éstas partículas suponiendo que toda la disminución se deba al decaimiento natural de las partículas que se mueven en el haz?

10. Supónga Ud. que al mediodía una nave espacial pasa por la Tierra a la velocidad 0.8 c Los observadores de la Tierra y de la nave están de acuerdo en que es mediodía. a) A las 12:33 P.M. que indica un reloj de la nave, ésta pasa por una estación espacial fija respecto a la

Tierra y cuyos relojes por supuesto, indican el tiempo de la Tierra. ¿Qué hora es en la estación?.b) ¿Qué tan alejada de la Tierra está la estación? ( en coordenadas terrestres )c) A las 12:33 P.M. , tiempo de la nave, ésta envía una señal de radio hacia la Tierra. En tiempo terrestre,

¿a qué hora se recibe la señal?



d) Si la estación en la Tierra responde de inmediato hacia la nave, en tiempo de la nave ¿a qué hora se recibe el mensaje de la Tierra?

11. Imaginemos una estrella rodeada por una capa esférica delgada de polvo cósmico de radio R. Supongase que la estrella emite luz que primero es absorbida y luego reradiada por la capa de polvo. Repentinamente la estrella explota (estrella supernova) y envia un pulso muy intenso de luz. Muy lejos, un observador en la Tierra primerove la luz redadiada en la región A antes que en la B. El efecto total será un anillo luminosomque se expande con centro en A. Mostrar que la razón a la cual crece ese anillo es:

dr

dtc cot =

y por lo tanto es mayor que c para > 45° . ¿Es ésta una violación de una ley natural y un postulado relativista?.

12. Cierto observador O , determina que la masa de una partícula en movimiento es igual a 5

3mo , donde

mo es la masa de reposo de esa partícula. Sin embargo, para otro observador O' que se mueve respecto

a O en la misma dirección que la partícula, la masa de ésta es 5

4mo . ¿Cuál es la velocidad relativa

entre los observadores?

13. Sean tres Galaxias A, B, y C que están alineadas. Un observador en la Galaxia A que está enmedio de B y C, mide las velocidades de las Galaxias B y C y encuentra que se mueven a la misma rapidez de 3

4c pero en direcciones opuestas.

a) ¿Cuál es la rapidez de C observada en B ?b) Si en A , B , y C se encuentran tres radiotelescopios idénticos que emiten radiación a la frecuencia

fo en su propia referencia, ¿Cuál es la frecuencia de la señal de A recibida en B ?. ¿Cuál es la frecuencia de la señal de C recibida en B ?

vv

B A C



XO

Y v

X'O'

Y'

'

14. Sean dos sisemas inerciales O y O ' , relacionados de la manera usual ( ejes coincidentes, velocidad relativa en la dirección X,X ' ) a) En t = 0 se emite un pulso de luz desde el

origen de O a 45° con eje X , ¿que ángulo tiene su trayectoria con el eje X ' en O ' ?

b) ¿Cambiará la respuesta del inciso a ) para un objeto que se mueva a la velocidad u en la misma dirección?

c) ¿Qué angulo formará con el eje X ' de O ' una varilla rígida en O que se orienta a 45° respecto al eje X ?

XO

Y

X'O'

Y'

v

c

15. Una fuente pulsante de radar está en reposo en x = 0 . Un meteorito en x = l se dirije hacia la fuente a

velocidad v constante. La fuente emite un pulso en t = 0 y el siguiente en t to= ( t0

lc

) . Ambos pulsos

son reflejados por el meteorito y regresan a la fuente.a) En un diagrama espacio-tiempo dibujar la posición en el transcurso del tiempo de: 1°) la fuente, 2°) el

meteorito , 3°) los dos pulsos emitidos; 4°) los dos pulsos reflejados.b) Determinar el intervalo de tiempo entre la llegada a x = 0 de cada pulso refeljado.c) Determinra el intervalo de tiempo entre la llegada al meteorito de cada pulso emitido, según el sistema de

referencia del propio meteoro.

16. Imaginemos que existe un servicio de viajes entre la Tierra y Marte. Cada nave lleva luces idénticas al frente y en la parte trasera y normalmente viajan a la velocidad v respecto a al Tierra. De ésta manera, la luz del

frente de una nave que se acerca a la Tierra parece de color verde ( longitud de onda c

f= 5000= Å

donde Å = 1 10 10 m ) y la luz trasera de una nave que se aleja parece roja ( 6000= Å ).

a) ¿Cuál es la velocidad v de las naves?b) Para alcanzar a otra nave A que tiene enfrente, una nave B acelera hasta una velocidad u (respecto a la

Tierra ) tal que la luz trasera de la nave de adelante le parece verde al piloto de la nave que acelera ¿Cuánto vale u ?



17. Un mesón K° en reposo decae en las partículas + y que, por conservación del momentum lineal, se emiten en direcciones opuestas cada una con una velocidad 0.85 c . Si un mesón K° se mueve a la velocidad 0.9 c y decae, ¿cuál es la máxima velocidad que podría alcanzar una de las partículas producidas?, ¿y la mínima?.

18. Una Galaxia en la constelación de Hidra emite luz con un corrimiento al rojo correpondiente a una

velocidad de recesión despecto a la Tierra de 2.4 105km

seg y de acuerdo a la ley de Hubble, a la

distancia de 1.268 1010 años luz( ) . Si ésta Galaxia hubiera pasado por la Tierra hace T años, y se ha movido a velocidad constante desde entonces ¿Cuál es el valor de T según un reloj de la Tierra? ¿según un reloj de la galaxia visto desde la Tierra ?

19. Las observaciones atronómicas indican que cuando el quasar 3C-9 emitió la luz que apenas llega ahora a la Tierra, se estaba moviendo entonces a la velocidad 0.8 c alejándose de nosotros. Los astrónomos creen que tales objetos deben quemarse en un tiempo relativamente corto debido a la gran cantidad de energía que emiten. Si se supone que el 3C-9 va a durar 106 años medido este gran tiempo en su propio sistema, ¿durante cuánto tiempo se recibirá su radiación en la Tierra ?

20. El dia de año nuevo de 1985, un astonauta A sale de la Tierra a la velocidad 0.8 c hacia la estrella más cercana ( Centauri ) a una distancia de 4 años-luz. Una vez que ha alcanzado la estrella inmediatemente dá vuelta y regresa a la Tierra a la misma velocidad, llegando a casa el dia de año nuevo de 1995 ( tiempo terrestre ). El astronauta tiene un hermano B que se quedó en la Tierra y antes del viaje, A y B acoardaron enviarse saludos de año nuevo por radar hasta el regreso de A.a) Convencerse de que A envía sólo 6 mensajes ( incluyendo el que hace en casa al regreso ) mientras

que B envió 10 saludos.b) En un diagrama espacio-tiempo terrestre dibujar el viaje del astronauta y verificar que recibe sólo una

señal de saludo hasta el momento de invertir su velocidad mientras que recibe los otros 9 saludos durante su regreso.

c) Mostrar también que B recibió solo una señal de saludo cada 3 años terrestres en los primeros 9 años posteriores a la salida de A y que en el último año recibió 3 mensajes .

21 Si se acelera una partícula hasta que su energía cinética es igual a n veces su energía de masa en reposo, calcular su velocidad.

22. Cierta cantidad de hielo a 0° C se funde en agua también a 0° C por lo cual "gana" un miligramo de masa. ¿Cuánto vale la masa del hielo? .

23. Una partícula que tiene una energía cinética igual al doble de su masa energía de reposo mo c2 ,

choca y queda unida con una partícula inicialmente en reposo de masa 2 mo . Calcular la masa en

reposo de la partícula compuesta al final.

24. Una partícula cuya masa en reposo es mo se mueve a la velocidad v4

5c= ,choca y queda unida con

una partícula idéntica que estaba en reposo, formándose asi una partícula compuesta. ¿Cuánto valen la masa en reposo y la velocidad de la partícula final?



#1

#2

#325. Una partícula tiene una masa Mo y está en reposo en el laboratorio cuando repentinamente decae ( se descompone ) en tres partículas ideénticas, cada una de las cuales tiene una masa mo de reposo como se indica en la figura de la derecha.

Calcular la dirección de movimiento y rapidez de la partícula

#3 y encontrar la razón de masas Mo

mo

4

5c

3

5c

K

26. Un ° neutro decae en dos rayos gamma ( ¡ y nada más ! ) . Su masa en reposo equivale a 135 MeV de energía. Suponga que un ° se mueve con una energía cinética de 1 GeV ( mil millones de eV ) a) ¿Cuáles son las energías de los rayos gamma

producidos si son emitidos en sentidos opuestos pero en la misma dirección de movimiento del ° original ?

b) Si los rayos gamma fuesen emitidos formando ángulos iguales con la dirección inicial de movimiento del ° , ¿qué angúlo formarían entre si ?

27. Suponga que un cohete espacial de longitud lo cuando está en reposo, se mueve a una velocidad constante v respecto a una referencia O . Imaginemos que la nariz de la nave pasa por el punto A de O en el instante t = t' = 0 y que en ese momento se emite una señal luminosa del punto A' hacia el punto B'

v

O A

A'B'

loa ) Según el tiempo de la nave, ¿cuándo llegará la señal a B' ?

b ) ¿Cuándo llegará la señal desde A' hasta B' según el tiempo del sistema de referencia O fijo ?

c ) ¿En qué momento (medido en O ) pasará el punto B' enfrente del punto A ?

K

28. Consideremos un choque entre dos partículas idénticas, por ejemplo dos protones o dos electrones. En la Mecánica Clásica, es un resultado bien conocido que si una partícula móvil choca con otra igual inicialmente en reposo, el ángulo entre sus trayectorias finales es siempre de 90° .Debido al incremento de la masa de una partícula con la velocidad, el resultado anterior deja de ser válido para grandes valores de la energía cinética y el ángulo entre las trayectorias finales después del choque deja de ser recto ( < 90° ) .



Supongamos que observamos una colisión de éste tipo con las partículas al final del choque moviéndose simétricamente a iguales ángulos con la dirección inicial de la partícula incidente. Demostrar que . . .

cos K

4 Eo K= donde K es la energía cinética de la partícula incidente y E

o es la energía de reposo

de las partículas

29. La creación de un antiprotón ( un protón negativo: p ) va siempre acompañada de la creación de un protón ( p ) . Es posible crear un par p , p por medio de una colisión entre protones :

p + p' (p + p ) + ( p + p ) p tiene la misma masa en reposo que los otros protones. ¿Cuál es la mínima catidad de energía del protón p incidente con la cual es posible la reacción anterior ? ( Supónga que el otro protón p' está prácticamente en reposo )



x = x´ vx t´ = 1

1v

2

c2

x´ vx t´ = 30 m 0.0001 c( ) 1 seg( )

1

3 c5

2

c2

30 km !!!!

Tomando los valores dados para las coordenadas en O' y usando la transformación relativista (2.5) :2.

y comparando con el valor actual c 2.9973 108= , el error cometido es de sólo 3.6% .

c 2R

t

2 1.49 108 km 16 min

= = 3.104 108m

seg de donde. . .

2 Rc

R

c 0

sen

dR

ccos cos 0( )[ ] =

t

0

T

=

0

Rsen

c

=

0

Rsen

c

d ( si )

b) El retraso total de tiempo entre eclipses sucesivos en medio año será :

Asi que la luz del 2° eclipse que llega a la Tierra, está "retrasada" en un tiempo Tx

c= R

sen c

=

Considerando que la velocidad angular de rotación de la Tierra respecto al Sol t

= es aproximadamente

constante, el ángulo que gira durante ese tiempo T es T=v

RT= .

R sen

y si es pequeño. . .

( multiplicando y dividiendo por )= Rcos cos

x R cos R cos =

a) Dada la enorme distancia x entre la Tierra y Júpiter, podemos suponer que la luz proveniente de ese planeta esprácticamente paralela a la dirección "horizontal" AB , asi que cuando la luz del 2° eclipse llega a la Tierra, ésta se desplazado horizontalmente una distancia x dada por :

1.

Respuestas para algunos de los ejercicios.



y con x = 0 , queda t´

t=

10 seg5 seg

= 2= , entonces la velocidad relativa entre O y otra referencia O' es:

Es decir t´ t2 ´ t1 ´ = t2 t1 vx

c2

x2 x1

= = tvx

cx

t2 ´ t2

vx

c2

x2

=;t1 ´ t1

vx

c2

x1

=

y de la transformación relativista de coordenadas:

x x2 x1= 0=t t2 t1= 5 seg=

Sean x1 0 0 t1 , x2 0 0 t2 las coordenadas espacio-temporales del primero y del segundo eventos

respectivamente respecto a cierto sistema de referencia O . Se nos dice entonces que . . .

4.

t' = t1

vx

c2

x1

=

xo

c

c2

c2

xo

1

c2

2

c2

=

3

2

xo

c

3

4

= 3xo

c

Asi que la referencia O' se mueve hacia la izquierda sobre el eje X del sistema de referencia O con una rapidez igual a la mitad de la velocidad de la luz. En O' los eventos acurren al mismo tiempo t' que vale . . .

y resolviendo para la velocidad relativa . . . vx c2 t2 t1

x2 x1 = = c2

xo

2 c

xo

c

2 xo xo = c2

t1

vx

c2

x1

t2

vx

c2

x2

=

Queremos que en la referencia O' buscada t1 ´ t2 ´= , asi que de la transformación relativista de

coordenadas (2.5) se tiene:

3.

t = t´vx

c2

x´

= 1

1v

2

c2

t´vx

c2

x´

=

1 seg0.0001 c( )

c2

30 m( )

1

3

5

2

c2

= 1.000000005 seg



Sin embargo, desde la referencia del protón, la distancia Lo 1 105 años c= aparecerá contraida : LLo

=

tO 1 105 años = 100= 000 años

Ahora bién, la energía de masa en reposo de un protón mo c2 vale unos 937 106 eV que comparada con

E 1 1019 eV= resulta insignificante, asi que prácticamente el radical en la expresión anterior vale 1 y queda:

tO1 105 años c

c 1mo c

2

E

2

=

Despejemos la velocidad relativa v entre sistemas de referencia de la ecuación E m c2= = mo c

2 , de

donde resulta: E

mo c2

= , es decir E

mo c2

1v

2

c2

12

= por lo tanto v c 1mo c

2

E

2

=

Para un observador en la Tierra (prácticamente fija respecto a la Galaxia) , la partícula recorrerá la distancia 1 105 años c a la velocidad v en el tiempo . . .

7.

a) v3 c2

= b) el doble c) 33 años . 6.

2 2c

103 seg5.

En ésta referencia los eventos están separados espacialmente por una distancia de unos 2.6 millones de kilómetros.

x´ vx t = = 23

2c

5 seg( ) = 2.596 109 m

Es decir x´ x2 ´ x1 ´ = x2 x1 vx t2 t1 = = x vx t y con x = 0 , queda :

x2 ´ x2 vx t2 =;x1 ´ x1 vx t1 =

y por otra parte también, de la transformación de coordenadas . . .

vx c3

2= 2 1

1vx

c

2

= 22=



y cruzarla con la rapidez v le tomará el tiempo . . .

tO´

Lo

v=

Lo

c 1mo c

2

E

2

= = 1 105 años c

E

mo c2

c 1mo c

2

E

2

= 1 105 años

E

mo c2

2

1

mo c

2

E

1 105 años = 9.37 108 eV

1 1019 eV

1 105 años = 5 minutos !!!

8.Sean las velocidades de las reglas: vx

5

7c= (1a regla ) y ux

15

c= (2a regla), entonces , la rapidez de la

2a regla respecto a la 1a es :

ux ´ux vx

1vx ux

c2

= =

15

c5

7c

1

5

7c

15

c

c2

= 4

5c

y por lo tanto 1

1ux ´ 2

c2

= = 1

1

45

c

c

2

= 5

3 , asi que la masa de la segunda regla que mide el

observador que se mueve sobre la primera regla es : m mo=5

3mo= y su longitud L

Lo

g=

3

5Lo=

En consecuencia, frente a él la regla cruza en el tiempo:

t´L

ux ´= =

3

5Lo

4

5c

= 3

4

Lo

c

9. En una referencia O' que se mueva junto a una partícula K+, ésta se verá en reposo y la separación entre los

contadores aparecerá contraida respecto al laboratorio (sistema O), como LO´

LO

= = LO 1

v2

c2

=

9 m 13

2

2

= 4.5 m La partícula K+

recorrerá esa distancia en el tiempo t´4.5 m

3 c2

= 3 10 8 seg=



Por definición, la vida media T es el tiempo durante el que la mitad de las patículas decaen. Dado que en el 2° contador se registra solamente la 4a parte de las partículas que registra el primero significa que transcurieron 2 vidas medias.Por lo tanto, la vida media de reposo para una partícula K+ es :

Tt´

2=

3

210 8 seg=

10. a ) Observado desde el sistema de referencia terrestre O , el reloj de la nave O' está en movimiento y por lo tanto se atrasa respecto a los relojes de ese sistema, asi que el reloj de la estación, que marcaba las 12:00 cuando la nave pasó por la Tierra, indicará un tiempo de viaje para la nave de t t´=

= 33 min

10.8 c( )

2

c2

= 5

3

33 min = 55 min e indicará la hora 12:55 P.M.

b ) Asi que vista desde la Tierra, la nave viaja durante 55 min a la velocidad v = 0.8 c hasta llegar a la estación, por lo tanto, recorrerá la distancia x = ( 0.8 c )( 55 min ) = 791.3 millones de kilómetros, es decir más o menos la distancia que hay entre el Sol y Júpiter .

c ) Cuando son las 12:55 P.M. en la Tierra, la nave envia la señal la cual tarda en llegar a la Tierra el tiempo

tx

c=

0.8 c( ) 55 min( )c

= 44 min= y por lo tanto se recibe a las 12:55 P.M + 00:44 = 13:39 P.M

d ) Si la señal de la Tierra se emite a las 13:39 P.M. , la nave habrá viajado durante 1 hora y 39 min tiempo terrestre por lo tanto, la distancia xo que debe recorrer la señal viajando durante un

tiempo to para alcanzar la nave es xo c to= = 99 min to v de donde obtenemos con v =

0.8 c que to 99 min0.8 c

c 0.8 c

= = 396 min = 6.6 horas. Para un observador terestre, la señal

llegará a la nave a las

(13:39 + 6:36 ) = 20:15 P.M .

Para un viajero en la nave, la señal que envía hacia la Tierra tarda en llegar a ella

x

c

3

5

0.8 c( ) 55 min( )c

=

= 26.4 min y su reloj indcará ( 12:33 + 00:26.4 ) = 12 : 59.4 P.M que es el instante en que se le envía la respuesta desde la Tierra, la cual según él tarda en llegar hasta la nave el tiempo:

to ´396 min

=

3

5396 min= 237.6 min= 3 h 57.6 min=

y en ese momento su reloj indicará el tiempo :

12 : 59.4 + 3 :57.6 = 16:57 P.M



R

B

A

r

C11. De la figura de la derecha vemos que se pueden

derivar las relaciones. . .

distancia_BC R R cos =

r R sen =

la luz que proviene de del punto B se recibe un

tiempo BC

c después de la que se emitió en el punto

A, asi que:

tBC

c= =

R R cos c

por lo tanto :

t( )d

d t

R

c1 cos

d

d= =

R

csen

Además: r R sen = por lo tanto

r( )d

d R sen d

d= = R cos

Y usando la regla de la cadena se tiene :

dr

dt

dr

dddt

=R cos R

csen

= c cot =

12.5

13

c

13. a) Tomando como sistema de referencia fijo a la Galaxia A , como sistema de referencia móvil a la

Galaxia B y como objeto en movimiento a la galaxia C , entonces u3

4c= es la velocidad

relativa de C respecto a A y v3

4c= es la velocidad relativa entre los sistemas de referencia.

De la suma relativista de velocidades: u´u v

1u v

c2

= =

3

4c

34

c

1

3

4c

34

c

c2

= 0.96 c es

la velocidad de C respecto a B

b ) De acuerdo con la fórmula (2.13 ' ) para el efecto Doppler f´ f1 1

= donde v

c=

3

4= , la

frecuencia de la señal emitida desde A y recibida en B es f´ f o1 0.751 0.75

= = 0.378 f o . Por

otra parte, la frecuencia de la señal de C recibida en B se obtiene tomando u´

c= 0.96= y



es f´ f o1 0.961 0.96

= = 0.143 f o que es bastante menor que la frencuencia original de emisión.

14. a) Las componentes de la velocidad del pulso de luz son : cx c cos = y cy c sen = donde 45°=

, por lo tanto en O' se tiene que . . .

cx ´cx v

1cx v

c2

= ; cy ´cy

1 1cx v

c2

= y tan ´ cy ´

cx ´

= = cy

cx v

substituyendo las componentes cx y cy se obtiene :

tan ´ c sen 45°( )

c cos 45°( ) v( )= = 1

v2

c2

1

1 2v

c

por ejemplo, con v2

3c= resulta ´ atan 1

2

9

1

12

3

= = 69.3°

b) El único cambio es que ahora se tiene una partícula que se mueve a la velocidad u < c , asi que . . .

tan ´ u sen 45°( )

u cos 45°( ) v( )= = 1

v2

c2

u

1

2

u1

2

v

= 1v

2

c2

1

1 2v

u

Por ejemplo, si v2

3c= y u

2

3c= se obtiene : ´ atan 1

2

9

1

12

3

3

2

= = 90°

Asi que para O' , éste objeto se moverá verticalmente.

c) Si L es lalongitud e la varilla en el sistema O , sus proyecciones a lo largo de los ejes X e Y son

Lx L cos = ; Ly L sen = , las cuales se medirán en O' como : Lx ´Lx

= y

Ly´ Ly= (las longitudes perpendiculares al movimiento relativo no cambian ) , asi que . . .

tan ´ Ly ´

Lx ´

= Ly

Lx= = tan y con = 45° queda : ´ atan = .Asi por

ejemplo, si la velocidad relativa v es 2

3c se obtiene : ' = atan

1

12

3

2

= 53.3°



15. La llegada de los pulsos al meteorito está representada por los eventos A x1 t1 y

B x2 t2 .Ocurren en los instantes t1 y t2

que se calculan fácilmente pues la distancia que recorre el meteorito y cada pulso de luz es siempre l .

Pulsos reflejados

O Xl

ct

1° pulso

2° pulso

to

to1

to2

A

B v t1 c t1 l= y v t2 c t2 to l=

de donde se obtiene :

t1

lc v

= y t2

lc v

c to

c v=

Esos eventos ocurren en . . . x1 c t1= y x2 c t2 to =

es decir:

x1

c lc v

= y x2

c l v to

c v=

Al regresar a x = 0, cada pulso recorre dos veces la distancia que había recorrido hasta chocar con el meteoro.

El primer pulso regresa a la fuente en el tiempo to12 x1

c= y el segundo en el tiempo to2 to

2 x2

c= .

La diferencia de tiempo entre la llegada de ambos pulsos a la fuente es

t to2 to1 = to 2l v to c v

2l

c v

=

= toc v( )

c v( ) .

Expresión de la cual podemos determinar la velocidad v del meteorito a la fuente. . . v cto t

to t

= .

Por otra parte, en el sistema de referencia del meteorito, la llegada de los pulsos de luz ocurre en los tiempos: t1 ´ y t2 ´ y por lo tanto ocurren con una diferencia de tiempo de t´ t2 ´ t1 ´ = que vale. . .

t´ t2

v

c2

x2

t1

v

c2

x1

= = t2 t1 v

c2

x2 x1

= c

c2

v2

c to

c v

v

c2

c vto

v c( )

= c

c2

v2

toc v( )

c

= toc vc v

lo cual permite calcular la velocidad de acercamiento de la fuente v cto 2 t´ 2

to 2 t´ 2

=



16. a) Para una nave que se aleja, de la ecuación ( 2.13 ' ) se tiene. . . f 1 f o1 1

= y para una que se

acerca . . f 2 f o1 1

= asi que . . . f 1

f 2

1 1

= de donde se obtiene :

vo

c

=f 2 f 1 f 2 f 1 =

y de la relación entre la logitud de onda y la frecuencia f : fc

= se obtiene. . .

vo c

c

2

c

1

c

2

c

1

= c1 2 1 2 = c

12

1

12

1

= c1

5

6

15

6

=1

11c=

b) Considerando como sistema de referencia fijo a la Tierra y como sistema inercial móvil a la nave que aceleró y se aleja de la Tierra a la velocidad u ( nave B ), la condición del problema implica que la velocidad de la nave A respecto a la nave B debe ser vA ´ v= (para que la

luz trasera de A parezca verde al piloto de B) ; pero respecto a la Tierra es vA v= (para que la

luz trasera de A parezca roja a un observador en la Tierra) . Entonces, de acuerdo con la suma

relativista de velocidades . . . vA

vA ´ u

1u vA ´

c2

= queda vv u

1u v( )

c2

= de donde resulta

. . . u 2 v1

1v

2

c2

= y substituyendo el valor de v encontrado antes queda : u11

61c=

17. vmax 0.9915 c=

18. Tterrestred

v=

1.268 1010 años c4

5c

= 1.585 1010 años=

Tgalaxia 1v

2

c2

Tterrestre = 9.51 109 años=



20. Para el observador B, el viaje del observador A dura 10 años asi que enviará 10 mensajes de año nuevo. Sin embargo, a él le parece que el reloj de A se atrasa y solo marcará un intervalo de tiempo de . . .

tBtA

10.8 c( )

2

c2

= es decir tA 0.6 tB = 6 años= y por eso enviará sólo seis mensajes de año nuevo.

Otra manera de llegar a la conclusión anterior es que la distancia Tierra-Centauri medida por el observador A es menor que la que mida el observador B, precisamente por el factor 1/ = 0.6 (contracción de la longitud), es decir vale solamente: x 2 4 años c( ) 0.6( )= y la recorre en el tiempo:

tx

v=

2 4 años c( ) 0.60.8 c

= = 6 años.

Dibujando ahora en los diagramas espacio-tiempo las señales de radar enviadas por ambos observadores como rectas a 45° o pendiente igual a 1 ( puesto que se propagan a la velocidad c ) y dado que la velocidad relativa de A respecto a B es menor que c, su movimiento respecto a la Tierra queda representado por una

línea recta c tc

v

x= de pendiente c

v

1 en el viaje de ida y mayor que 1 en el viaje de regreso.

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ct

x (en años luz)

00 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ct

x (en años luz)

0

Señales enviadas por B, representadas en su propio espacio tiempo.

Señales enviadas por A, representadas en el espacio tiempo. de B.

Como la pendiente de la recta que representa el viaje de A es c

0.8 c5

4= , según B, el observador A

llegará a la estrella Centauri en 5 años, que es justamente el momento cuando A recibe el primer saludo de B.



Recibirá por lo tanto las otras 9 señales durante el viaje de regreso, es decir dado que para A el retorno tarda 3 años, recibirá 3 saludos de año nuevo cada año (tiempo de la nave). Como el viaje dura solamente 6 años para el observador A, éste enviará nadamás 6 saludos igualmente espaciados en el tiempo a B, el cual recibirá una cada 3 años terrestres entre durante el viaje de ida y tres saludos durante el último año incluyendo el de 1995 en casa.

Consideremos éstos resultados en función del efecto Doppler siendo f o 1señal

año

= la frecuencia

"natural" de emisión de saludos por radar. Por lo tanto, la frecuencia recibida por ambos observadores durante

el viaje de ida es f 1 f o1 1

= = 1señal

año

1 0.82

1 0.82 =

1

3

señal

año

, es decir, recibirán una señal

cada tres años . El observador A llega a la mitad de su viaje en 3 años justamente y solo recibirá en ese momento una señal de B.

Durante el viaje de retorno, la frecuencia recibida por ambos observadores es . . . f o1 1

= = 3 f o por

lo tanto, reciben tres señales por año, tal y como se había analizado antes.

21. Substituyendo en la ecuación E Eo K= la energía de reposo Eo mo c2= , la energía cinética

K n mo c2 = asi como la energía total E m c

2= mo c2= se obtiene . . . mo c

2 mo c2 n mo c

2 =

es decir : 1 n= asi que resolviendo para v resulta . . .

0 1 2 3

n

velo

cida

d

c

1

1v

2

c2

n 1( )= v c 11

n 1( )2

=

Notemos que este es un resultado independiente de la energía de reposo Eo .y que casi se logra la velocidad límite para valores pequeños de n .

22. Sea Q la cantidad de energía calorífica que se necesita para fundir un gramo de hielo a 0°C en agua a 0°C ( el calor latente de fusión del agua Q = 79.7 cal/gr ). Si M 1 es la masa original del hielo, para fundirlo fué

necesario suministrarle la cantidad de energía E1 M1 Q= , la cual es equivalente a cierta masa de acuerdo

con E1 m c2= , asi que : M1 Q m c

2= es decir . . . M1

m c2

Q= =

1 10 3 gr 3 108m

seg

2

79.7cal

gr

4.186Joules

cal

=

2.698 105 kg usaando los datos del problema, es decir casi trecientas toneladas ! .



23. De acuerdo al problema, la energía total de la partícula incidente es E Eo K = Eo 2 Eo = , entonces,

aplicando el Principio de Conservación de la Energía : Einicial E final= 3 Eo 2 mo c2 M c

2=

5 mo c2 M c

2= (1) donde M es la masa relativista de la partícula compuesta final.

Además, el momentum lineal de la partícula incidente se obtiene de la ecuación ( 2.20 ) : p2

c2 K

22 K Eo=

p1

c2 mo c

2 22 2 mo c

2 mo c2= = 8 mo c y por la Conservación del Momentum Lineal se

tiene que . . . Pinicial P final= 8 mo c M u= (2) donde u es la velocidad final de la partícula

compuesta . Aplicando la ecuación p2

c2 E

2Eo 2= a la partícula compuesta, se tiene . . .

M u( )2

c2 M c

2 2Mo c

2 = y substituyendo los resultados (1) y (2) , se obtiene:

8 mo c 2 c2 5 mo c

2 2Mo c

2 2=

de donde se deduce que : Mo 17 mo=

24. Aunque podemos resolvber éste problema como el anterior, usemos aquí un método diferente. Busquemos un sistema de referencia O' en movimiento relativo respecto a nuestro sistema en reposo O , en el cual el momentum lineal inicial sea cero y donde el choque se vea asi . . .

X'O'

Y'

vm

Antes del choque

vm

X'O'

Y'

Después del choque

M

mientras que en el sistema O se ve asi . . .

XO

Y um

Antes del choque

m

X'O'

Y'

v

XO

Y

Después del choque

Mv

X'O'

Y'

v



Y dado que la partícula inicial que aparece en reposo en el sistema O , se mueve hacia la izquierda en el sistema O' , se deduce que la velocidad relativa de O' respecto a O es precisamente v hacia la derecha como se indica en la 2a figura .Si el momentum lineal es nulo en el sistema O', entonces la velocidad de la otra partícula inicial debe ser

ux ´ v= y por lo tanto, de la suma relativista de velocidades. . . ux ´ v=ux v

1ux v

c2

= de donde se obtiene

que v c c2

ux 2 c

ux= y como se dice que ux

4

5c= resulta . . . v

c2

= (¿por qué se tomó solo

el signo negativo del radical al despejar la velocidad v ? ) .En el sistema O' se cumple también el Principio de Conservación de la Energía y queda :

mo c2 mo c

2 Mo c2= donde 1

1c

2 c

2

= = 2

3 asi que se obtiene. . . Mo

4

3mo=

26. a) Sean E1 y E2 las energías finales de los fotones producidos. La conservación de la energía

implica entonces que . . . ( 1 ) Eo K E1 E2= . Además, el momentum lineal asociado a una

"partícula de radiación" o fotón es PE

2Eo 2

c=

E

c= dado que no tiene energía Eo (no

tiene masa de reposo) y E es su energía , asi que el principio de la conervación del momentum

lineal implica que . . .(2) 1

cK

22 K Eo

E1

c

E2

c= y resolviendo (1) y (2) para E1 y

E2 se obtiene :

E11

2Eo K K

22 K Eo = ; E2

1

2Eo K K

22 K Eo =

substituyendo los valores Eo 135 MeV= ; K 1000 MeV= resulta E1 1131 MeV= y E2 4 MeV=

b ) En éste caso, en la dirección perpendicular a la dirección inicial, el momentum lineal de ambos fotones debe anularse puesto que inicialmente el momentum en esa dirección es nulo. La ecuación (1) del caso anterior sigue siendo válida pero la ecuación (2) ahora es. . .

1

cK

22 K Eo

E1

ccos

E2

ccos =

Al combinar con (1) resulta: cos K2

2 K Eo

K Eo= =

1000 MeV( )2

2 1000 MeV( ) 135 MeV( )1000 MeV 135 MeV

de donde se obtiene que . . . acos 0.9929( )= = 6.831 ° y por lo tanto el ángulo final entre las

trayectorias de los fotones es aproximadamente 6.831 2 13.662 grados



27. a ) Para un observador que viaja en la nave, ésta queda en reposo y mide lo metros, asi que la señal de luz

recorre esa distancia en el tiempo t´loc

=

b ) Para un observador en el sistema O , la nave está contraida en la dirección de su movimeinto y solo mide

lo

metros. Además, dado que el punto B' se mueve a la rapidez v al encuentro de la señal emitida en

A, ésta llegará a B' en un tiempo t tal que la suma de la distancia recorrida por la señal y por el punto B'

sea la longitud de la nave: v t c tlo

= es decir . . t loc

2v

2c c v( )

= = loc

c vc v

c ) dado que en el sistema O , el punto B' está a la distancia lo

del punto A y se mueve a la rapidez v,

tardará en cruzar un tiempo de tolo v

= = lo

v

c2

v2

c

28. La conservación de la energía y el momentum lineal nos conducen a las ecuaciones . . .

E E1 E2= y P

p1

p2

=

donde E1 , p1

y E2 , p2

se refienen a las energías y momentums finales de las partículas.

Según la condición de simetría del problema, las componentes finales del momentum en las direcciones

X e Y son iguales y por lo tanto, se sigue que p1

p2

= po= con el momentum inicial P en la

dirección X igual a:

P 2 po cos2

= (*)

Además, se sabe que: P2

c2 E

2Eo 2= , p1 2

c2 E1 2

Eo 2= y teniendo en cuenta que la

energía cinética de la partícula incidente es K E Eo= , se obtiene que . . .

P2

c2 K Eo 2

Eo 2= K2

2 K Eo= (**)

Cada partícula al final se queda con K2

de energía cinética ( porque sus momentums y masas son

iguales ) asi que . . .

po 2c

2K2

Eo

2

Eo= = K

2

4K Eo (***)

Substituyendo ( ** ) y ( *** ) en ( * ) se obtiene. . .

K2

2 K Eo

c

2

c

K2

4K Eo

cos2

=

es decir . . .



cos2

2 K2

2 K Eo

K2

4 K Eo=

Recordad ahora que cos 2 cos2

2

1= y por lo tanto: cos K2

2 K Eo

K2

4 K Eo

1= ó . . .

cos K

4 Eo K=

Asi que en el caso clásico, cuando K<< Eo queda cos() 0 y por eso 90° . En cambio, cuando K>> Eo queda cos() 1 y por eso 0°

29. Analicemos la reacción desde unsistema de referencia O' en el cual el momentum lineal total sea cero ( Ese sistema se conoce como sistema centro de masa )

X'O'

Y'

vp

Antes del choque

vp'

X'O'

Y'

Después del choque

V = 0

pp

p p

este sistema por supuesto se mueve a la velocidad v hacia la derecha respecto al sistema del laboratorio O donde p' aparece en reposo antes del choque. En O' la mínima cantidad de energía necesaria para producir las partículas finales en la situación ilustrada en la figura anterior se obtiene de la conservación de energía . . .

m c2 m c

2 4 mo c2=

es decir m

mo2= , por lo tanto :

mo

mo2= 1 2

1

2= 2 v

2

c2

=3

4= siendo v la

velocidad de O' respecto a O .

Ahora, de la suma relativista de velocidades, la velocidad de p respecto a O es : uu´ v

1u´ v

c2

= = 2 v

1v

2

c2

es

decir : 1

u

c=

2

1 2

= y desde O , la masa de p es m1 1 mo=mo

1 1 2

= = mo1 2

1 2

= 7 mo

Asi que en el sistema O, el protón incidente debe tener por lo menos la energía cinética: K m1 c2 mo c

2= =

6 mo c2


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