Realizzato da:Silvia Riso

Ilaria LoieroIV° Ginnasio 2011/2012

TRIANGOLO DI TARTAGLIA

Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 circa – Venezia, 13

dicembre 1557), è stato un matematico italiano, il cui nome è legato al noto triangolo.

Il Triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n.

Prime cinque righe del triangolo.

Il triangolo di Tartaglia è noto anche come triangolo di Pascal, che ne diffuse la conoscenza.

Il triangolo di Tartaglia ha una disposizione a "triangolo rettangolo", una forma che consente

un'analisi migliore di righe e colonne.

Ogni numero, tranne il numero generatore al vertice del triangolo, è la somma dei due numeri

sovrastanti.Ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri

sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall'altra nessun numero, cioè zero.

 

Le prime righe del Triangolo di Tartaglia sono le seguenti:1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

In ciascuna riga si può osservare che gli elementi di questa costruzione si ottengono come somma di due elementi adiacenti della riga precedente.

Ossia, se k e n sono interi positivi,  k è minore o uguale a n.

L'applicazione principale del triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle potenze di un binomio. Se ad esempio si vuole scrivere lo sviluppo

di ,è sufficiente andare alla quinta riga del triangolo di Tartaglia per trovare i coefficienti del polinomio risultante (cioè: 1, 4, 6, 4, 1). E dunque

possiamo scrivere:

+ 4 + 4a + In generale, nella n+1-esima riga si trovano i coefficienti della potenza n-esima

del binomio.

Le proprietà di questo triangolo sono molte, e lo si può considerare una vera palestra di possibili esercitazioni per il matematico apprendista.

Somma delle righe

Cioè la somma della n-esima riga è 2n, si può dimostrare molto facilmente osservando che la somma della prima riga è ovviamente 1, e data una riga, ogni numero della riga successiva si ottiene sommando i due numeri superiori e che ogni numero superiore

viene utilizzato due volte, quindi , indicando con Sn la somma della riga n Sn = Sn − 1 * 2.

Differenza nelle righe 

La somma dei numeri in posto dispari (1°, 3°, 5°,...) meno la somma dei numeri al posto pari (2°, 4°, 6°,...) dà zero. Per le righe con un numero pari di elementi,

questo è ovvio in quanto il triangolo è simmetrico.Per una dimostrazione generale ci affidiamo alla

tecnica precedente prendendo come binomio (1-1), in questo modo otteniamo proprio la somma che

cerchiamo, che non può che fare o. Un esempio:(1 − 1)3 = 1 − 3 + 3 − 1 = 0

l metodo per la dimostrazione è sempre quello, prendendo il binomio 10+1; per esempio alla 4ª riga si ottiene (10 + 1)4 = 1 * 104 * 10 + 4 * 103 * 11 + 6 * 102 * 12 + 4 * 101 * 13 + 1100 * 14 = 1 * 10000 + 4 * 1000 + 6 * 100 + 4 * 10 + 1 = 14641.

È importante notare, tuttavia, che dalla 5ª riga in poi l'equivalenza con le potenze di 11 è verificata solo se si tiene conto dei riporti, perdendo l'immediatezza dei risultati precedenti.

Sommando i numeri su una diagonale (1+3+6+10) otteniamo il numero adiacente al prossimo sulla diagonale (20). Questa è un' identità molto utile nel campo della combinatoria, chiamata comunemente con il nome di "Identità della mazza da

hockey " per analogia con la forma assunta evidenziano gli addendi e il risultato in diagonale.

Multipli di numero fissato Dato un numero n fissato, i numeri del triangolo che siano

suoi multipli interi formano dei nuovi triangoli con il vertice in basso, oppure dei punti isolati, che sono ovviamente anch'essi dei triangoli di lato unitario. Tali triangoli non si intersecano, né sono

adiacenti.

 La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2.

Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini

di tutte le righe che lo precedono.

Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla

sua sinistra

Il Triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.