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Rappresentazione grafica di coppie di variabili (xi,yi) correlate e non.

E’ indicato il valore del coefficiente di correlazione lineare r

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Ovviamente tra le coppie (xi,yi) può sussistere una correlazione di ordine superiore. Noi qui ci limitiamo a considerare la correlazione lineare con l’obiettivo di costruire la “miglior retta“ che interpola i dati.

E’ facile verificare che se i dati (xi,yi) appartengono a una retta

y = A Bx

il coefficiente r = 1

Infatti se yi = A Bxi la stessa relazione vale per i valori medi x,y

y = A Bx

da cui

yi – y = B(xi-x)

e

r = B(xi-x)2/B (xi-x)2 = 1

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Applicazione della formula di propagazione degli errori

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Variabili non indipendenti. Limite superiore per l'errore standard

della grandezza misurata indirettamente

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Discrepanza e compatibilità di due misure

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Limite di confidenza

Supponiamo che P(entro z0) sia 68% in corrispondenza a discrepanze

X1-X2 sd

(Ovviamente una discrepanza di questo tipo è del tutto probabile che occorra ed è naturalmente accettabile. Si dice che le misure sono compatibili nel limite di confidenza del 68%)

Il problema è stabilire il limite al di sopra del quale una discrepanza non è più accettabile. Il limite tra accettabilità e non accettabilità dipende dalla scelta dello sperimentatore. La maggior parte degli sperimentatori stabiliscono questo limite di accettabilità della discrepanza 2 sd. Poichè l’area sotto la gaussiana compresa fra –2 e 2 è 95% si dice che

se la P(entro z0) è 95% la discrepanza fra le misure è accettabile ovvero che le misure sono compatibili nel limite di confidenza del 95%.

(In particolari situazioni si ritengono accettabili anche discrepanze maggiori di 2 sd e si accettano limiti di confidenza del 98 % e 99% )

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Il problema del rigetto dei dati. Criterio di Chauvenet

Talvolta accade che una misura di un campione abbia una differenza vistosamente più grande dalla media rispetto alle altre misure.

Esempio: 3.8; 3.5; 3.9; 3.9; 3.4; 1.8

Si sospetta che la misura 1.8 possa essere dovuta non ad una fluttuazione statistica ma ad un errore nella misura.

Se assumiamo che le misure siano governate dalla distribuzione di gauss con valor medio e deviazione standard estratti dal campione

xmedio = 3.4 x = 0.8

si prende in considerazione quante deviazioni standard scostano la misura sospetta dal valor medio calcolando

zsus= xmedio- xsus/x = 2

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Si calcola il numero di misure che ci si aspetta di trovare “peggiori” di quella sospettata

npeggiori = N Prob (fuori da zsus) = 6*0.05 = 0.3

Se questo numero è piccolo (si sceglie arbitrariamente ½ questo numero) si ritiene la misura “sospetta” anch’essa “cattiva” e si scarta dalla serie. Si ricalcola media e deviazione standard dal campione così ridotto. Altrimenti si ritiene valida la misura.

Il criterio di Chauvenet può essere però applicato solo una volta.

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Media ponderata

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Dimostrazione della formula della Media ponderata

La dimostrazione procede dal principio di Massima verosimiglianza Supponiamo che siano state fatte da 2 sperimentatori misure della stessa grandezza fisica e siano XA sA e XB sB (XA e XB singole misure o valori medi)

Poiché le misure sono indipendenti la probabilità di aver osservato queste 2 misure è data dal prodotto delle loro probabilità detta funzione di verosimiglianza

F(X) = PX,σA(xA) · PX,σB

(xB) = (1/2) · (1/σA) · (1/σB) · (e−(xA−X)

2/2σA

2) · (e−(xB−X)

2/2σB

2)

La miglior stima del parametro X si ottiene cercando il massimo della funzione di verosimiglianza ovvero calcolando dF/dX e ponendola = 0

dF/dX = (1/2) · (1/σA) · (1/σB) · (e−((xA−X)

2/2σA

2) · (e−(xB−X)

2/2σB

2)·

· d(−(xA−X)2/2σA2 − (xB−X)2/2σB

2)/dX = 0

Il termine (1/2)·1/(σA) · 1/(σB)·(e−((xA−X)

2/2σA

2).(e−(xB−X)

2/2σB

2) non è mai nullo

per cui basta imporre

d(−(xA− X)2/2σA2 − (xB− X)2/2σB

2)/dX = 0

da cui

(xA− X)/σA2 + (xB− X)/σB

2 = 0

Definendo WA = 1/σA2 e WB = 1/σB

2

si ottiene

Xbest = (xAwA+ xBwB)/(wA+ wB)

Applicando la formula di propagazione degli errori indipendenti si ottiene sbest = 1/(wA+ wB)

Nel caso le misure siano più di 2, tutte compatibile tra loro, le formule si generalizzano

Xbest = Wixi/Wi sbest = 1/wi 13