STATISTICA · 2017-01-10 · Intervallo di confidenza di livello 10Kper #: ... Il modello di...

Regressione-2

STATISTICA

Fare sempre il grafico!

Fig. 5.12 pg 178, “Statistica” di S. Iacus

0 2 4 6 8 10

02

46

810

x

y

Fare sempre il grafico!

�=+0.79

�=-1

outliero

dato influente

Inferenza

� � � � ��

Il modello dellaregressione lineare

semplice:

� � � � ��⟺ �~��, ��

��

��~�� , ��

��

� � ��

Il valore medio di �� in corrispondenza a tutte le unità statistiche per cui � � � è

� � ��

InferenzaIl modello della

regressione linearesemplice:

��

��~�� , ��! ��

� � � � ��⟺ �~��, ��

Inferenza

� � � � ��

Il modello dellaregressione lineare

semplice:

� � � � ��⟺ �~��, ��

�� Il modello ha tre parametri incogniti: ", #, $%

1. Stimare ", #e$%

2. Verificare se il vero valore della pendenza nella popolazione è davvero diverso da zero (⇔ previsione) oppure no:

() ∶ # � 0, (, ∶ # - 0

Inferenza

� � � � ��

� � � � ��⟺ �~��, ��

��

.� � /� 0 /1�/1� � "1 � #2 �

3.� � 04

�5,

�6 � ��7��

�89∑ �� 0 �;��7� 0 7;�9�58

89∑ �� 0 �;��9�58

�< � 7; 0 �6�;

7�

7<�

Inferenza

� � � � ��

� � � � ��⟺ �~��, ��

��

=% � 1? 0 23.�%

4

�5,.� � /� 0 /1�stima di $%

7�

/1� � "1 � #2 �

7<�

3.� � 04

�5,

varianza deglierrori

errori residui

Inferenza

A4 � ∑�� 0 �B4�� 0 ;�∑� � 0 ;�%

C4 � �B4 0 A4 ;

D�~E�0, $%�

��~E�" � # � , $%�

C4 e A4 v.c. gaussiane

dalle stime agli stimatori:

() ∶ # � 0 (, ∶ # - 0

=% � 1? 0 23.�%

4

�5,

#2=%

∑ � � 0 ;�%4�5,

> G�9 0 ��H%

rifiutiamo () se:

Inferenza

A4 � ∑�� 0 �B4�� 0 ;�∑� � 0 ;�%

C4 � �B4 0 A4 ;

D�~E�0, $%�

��~E�" � # � , $%�



I� ∶ � � �� I8 ∶ � - ��

=% � 1? 0 23.�%

4

�5,

#2 0 #)=%

∑ � � 0 ;�%4�5,

> G�9 0 ��H%

rifiutiamo () se:

Inferenza

A4 � ∑�� 0 �B4�� 0 ;�∑� � 0 ;�%

C4 � �B4 0 A4 ;

D�~E�0, $%�

��~E�" � # � , $%�



=% � 1? 0 23.�%

4

�5,

#2 0 G�9 0 ��H%× =%

∑ � � 0 ;�%4�5,, #2 � G�9 0 ��H

%× =%

∑ � � 0 ;�%4�5,

Intervallo di confidenza di livello 1 0 K per # :

Inferenza

A4 � ∑�� 0 �B4�� 0 ;�∑� � 0 ;�%

C4 � �B4 0 A4 ;

D�~E�0, $%�

��~E�" � # � , $%�



=% � 1? 0 23.�%

4

�5,

#2 0 G�9 0 ��H%× =%

∑ � � 0 ;�%4�5,, #2 � G�9 0 ��H

%× =%

∑ � � 0 ;�%4�5,

Intervallo di confidenza di livello 1 0 K per # :

E SE CONTIENE LO 0?

Tipo:(-1.23, 2.17)

Inferenza() ∶ " � ") (, ∶ " - ")"1 0")

=% 1? � %

∑ � � 0 ;�%4�5,

> G�? 0 2�H%

"1 0 G�9 0 ��H%× 1

? � %∑ � � 0 ;�%4�5,

, "1 � G�9 0 ��H%× 1

? � %∑ � � 0 ;�%4�5,

Intervallo di confidenza di livello 1 0 K per " :

Inferenza per la previsione

7<�

��

7�/1) ∓ G�? 0 2�H%× =% 1 � ?N, � �� 0 �;�%

∑ � � 0 �%4�5,

�;

Esercizio 2

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

y

� anno, � consumo medio annuo procapite di pane

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

y

� 1957.78/B � 277.65

$U% � 1089.51$V% � 13193.36

XYZ , / � 03344.877

�UV � 03344.877 1089.51 × 13193.36 � 0�. \\

]% � �00.88�%� �. ^^


X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

y

$U% � 1089.51XYZ , / � 03344.877

#2 � 03344.8771089.51 � 0_. �^

"1 � 277.65 � 3.07 × 1957.78 � `�\\. �

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


� 1957.78/B � 277.65

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


�1900, 455.0�

��;, 7;�

$U% � 1089.51XYZ , / � 03344.877

� 1957.78/B � 277.65

#2 � 03344.8771089.51 � 0_. �^

"1 � 277.65 � 3.07 × 1957.78 � `�\\. �

Esercizio 2

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140

7< 455 408.95 347.55 286.15 255.45 224.75 209.4 178.7 132.65


$U% � 1089.51XYZ , / � 03344.877

� 1957.78/B � 277.65

#2 � 0_. �^() ∶ # � 0 (, ∶ # - 0

#2=%

∑ � � 0 ;�%4�5,

� 3.073759.85

9 × 1089.51�

� 4.958?>?G�7�).)b%

� 2.3646"1 � 6288.0

=% � 173 /� 0 /1� % � 3759.85

c

�5,⇒ = � 61.318

rifiutiamo l’ipotesiche # � 0!

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

previsione per � 1920/1 � 6288.0 0 3.07 × 1920 � 393.6 kg

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


in media

CONSUMO MEDIO SU TUTTE LE

PERSONE DEL 1920

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500


X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


/1) ∓ G�? 0 2�H%× =% 1 � ?N, � � ) 0 �%

∑ � � 0 �%4�5,

=% � 3759.833 � � 0 �%

4

�5,� ?$U% � 7626.57

K � 0.05; G�? 0 2�H%� 2.3646

393.6 ± 8`g. � ∶ �228.4, 558.8�

PER UNA PERSONA QUALUNQUE

Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500


X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


86.6 ∓ 8\h. g

/1) ∓ G�? 0 2�H%× =% 1 � ?N, � � ) 0 �%

∑ � � 0 �%4�5,

=% � 3759.833 � � 0 �%

4

�5,� ?$U% � 7626.57

K � 0.05; G�? 0 2�H%� 2.3646

Esercizio 2

#2 � 03344.8771089.51 � 03.07

"1 � 277.65 � 3.07 × 1957.78 � 6288.0

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500

previsione per � 2050/ � 6288.0 0 3.07 × 2050 � 0g. g kg

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


Esercizio 2

1900 1920 1940 1960 1980 2000

150

200

250

300

350

400

450

500


“previsioni di lungo periodo”

sono fuori dal range dei dati!

Meglio non farle! Ma se proprio…

attenzione al senso!

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


Esercizio 2


6288.0 0 3.07 × �� 0 ⟺

) �6288.03.07 � 2048.21

previsione a lungo terminesolo fino al 2048…

1900 1950 2000 2050

010

020

030

040

050

0

��

X 1900 1915 1935 1955 1965 1975 1980 1990 2005

Y (kg) 500 350 325 400 180 218 180 205 140


66 68 70 72

140

150

160

170

180

w

Il modello di regressione lineare

Y

X

7<�

X

�� , �~��, ��

��

7�In questo modello, mi aspetto

di osservare il valore 7<�(sulla retta),

ma l’incertezza del fenomeno può produrre un’osservazione7� che non sta sulla retta. Questo errore, i� � 7� 0 7<�, è

supposto gaussiano, quindi non può essere troppo grande

(" 0 3$, 3$"�, e deve essere simmetrico.

Il modello di regressione lineare

�� " � # � � D� , �~��, ��

/� 0 /1� =% � 1? 0 23.�%

4

�5,

5 10 15

-20

-10

010

20

i�

- non sono «troppo grandi»: (03=%, �3=%);

- sono in parte positivi e in parte negativi;

- il loro grafico è “sparpagliato”.

nell’ordine dei dati

GRAFICO DEI RESIDUI

0 10 20 30 40

-20

-10

010

20

res1

Verifica della Gaussianità

i�

0 10 20 30 40

-20

-10

010

20

res1


i�

-2 0 2 4 6 8-2

0-1

00

1020

/1�

i�


0 20 40 60 80 100

-60

-40

-20

020

4060

80

La varianza non è costante

i�


-2 -1 0 1 2

-2-1

01

2 Q-Q plot

Quantili di una E�0,1�

Quantili

deire

sid

uista

ndard

izzati


-2 -1 0 1 2

-2-1

01

2 Q-Q plot


Quantili

deire

sid

uista

ndard

izzati

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

k, � 00.57

k%

kl

m).c)

m).,)m).c) � 1.38k,


Q-Q plot


Quantili

deire

sid

uista

ndard

izzati

dato anomalo/ outlier

Ci sono tecniche di diagnostica ad hoc


http://condor.depaul.edu/sjost/it223/documents/normal-plot.htm

Esercizio 3Variabile Coeff. Dev. std. Statistica t p-value

Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

0 10 20 30 40

020

4060

8010

012

0

X

Y

X0 10 20 30 40

020

4060

8010

012

0

Y


Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

= 3.8199 + 2.0642� + �

Esercizio 3

valori della statistica per i due test d’ipotesi�� ∶ � = 0 e �� ∶ � = 0 :

��

��

∑ (� − � � )�� !

�"

�� 1#

+��

∑ (� − � � )�� !

e

Variabile Coeff. Dev. std. Statistica t p-value

Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

= 3.8199 + 2.0642� + �


Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

valori del denominatore nella statistica per i due test d’ipotesi�� ∶ � = 0 e �� ∶ � = 0 :

��

%&

∑ ('( − ' � )&)( *

�"

%& *)

+'�&

∑ ('( − ' � )&)( *

e

= 3.8199 + 2.0642� + �


Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

valori del denominatore nella statistica per i due test d’ipotesi�� ∶ � = 0 e �� ∶ � = 0 :

��

%&

∑ ('( − ' � )&)( *

�"

%& *)

+'�&

∑ ('( − ' � )&)( *

e

= 3.8199 + 2.0642� + �

+,-..

/-0. 123= 1242562574 8

Esercizio 3

p-value per i due test d’ipotesi �� ∶ � = 0 e �� ∶ � = 0

non sappiamo #, però

Variabile Coeff. Dev. std. Statistica t p-value

Intercetta 3.8199 9.0891 0.420 0.677

X 2.0642 0.3029 6.816 0

�� = 0.624

-20 -10 0 10 20

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Statistica t p-value

0.420 0.677

6.816 0

Esercizio 3

:(# − 2)

non sappiamo #, però:1. Non rifiutiamo �� ∶ � = 0

2. Rifiutiamo �� ∶ � = 0 a qualunque livello di significatività

p-value per i due test d’ipotesi�� ∶ � = 0 e �� ∶ � = 0

0.677

2

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