Gli intervalli di confidenza
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INTERVALLI DI CONFIDENZAInferenza statistica
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Indice
•Accenni sugli stimatori•Le stime per intervallo•Intervalli di confidenza della media•Intervalli di confidenza della frequenza•Alcuni esempi
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Per capire meglio:alcuni accenni sugli stimatori
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Le stime per intervalloSulla base dei risultati tratti da un campione, si effettua una stima della popolazione dalla quale il campione è stato tratto.
Per conoscere il margine di errore connesso alla stima stessa occorre stabilire i limiti entro i quali si ha una confidenza (1− )che vi sia compreso il 𝛼 vero valore del parametro della popolazione. Tali limiti definiscono quindi un intervallo di confidenza.
Intervallo di confidenza
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Come avviene una stima per intervallo?
Oggetto da stimare: parametro μ (media della popolazione)
Individuare un campione: es …;
Stabilire l’intervallo di confidenza in base all’errore: = 0,05 1-
nel 95% dei casi otterremo un intervallo contenente il vero , mentre nel rimanente 5% dei casi questo non si verifica.
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Intervalli di confidenza della media
Varianza non nota
Varianza nota
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Varianza nota
Campione estratto da una popolazione normale con media e varianza conosciuta
: media del campionen: numerosità del campione
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Varianza non notaCampione GrandeCampione estratto (> 30 elementi) da una popolazione distribuita secondo una normale con media e 𝜇varianza sconosciuta.
Campione piccoloCampione piccolo (<30 elementi) estratto da una popolazione distribuita seconda una normale con media e varianza sconosciuta
s = scarto quadratico medio corretto del campione
= n - 1 (gradi di libertà)
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Grafico di una funzione normale standardizzata e una funzione t di student.
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Intervallo di confidenza di una differenza tra medie
Caso di piccoli campioni estratti da due popolazioni normali con varianze , sconosciute ma uguali.
Caso di piccoli campioni estratti da due popolazioni normali con varianze , sconosciute e diverse.
[𝑥1−𝑥2− 𝑡1−
𝛼2
𝜈❑ √ 𝑠1
❑ 2
𝑛1+
𝑠22
𝑛2
;𝑥1−𝑥2+ 𝑡1−
𝛼2
𝜈❑ √ 𝑠1
❑ 2
𝑛1+
𝑠22
𝑛2; ][𝑥1−𝑥2− 𝑡
1−𝛼2
𝜈❑ √ 𝑠1
❑ 2
𝑛1+
𝑠22
𝑛2
;𝑥1−𝑥2+ 𝑡1−
𝛼2
𝜈❑ √ 𝑠1
❑ 2
𝑛1+
𝑠22
𝑛2; ]
=
𝑣=𝑛1+𝑛2−2
con e𝑣=
( 𝑠1❑ 2
𝑛1+
𝑠22
𝑛2) 2
( 𝑠1❑ 2
𝑛1 ) 2𝑛1−1
+( 𝑠2
2
𝑛2 )𝑛2−1
con
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Intervallo di confidenza della frequenza
Campione estratto da una popolazione distribuita secondo una normale con frequenza p con la quale si presenta un certo carattere della popolazione.
[𝑝− 𝑧1−𝛼
2
∙√𝑝 (1−𝑝)𝑛
;𝑥+𝑧1− 𝛼
2
∙√𝑝 (1−𝑝 )𝑛 ]
Intervallo di confidenza di una differenza fra frequenze
Campioni estratti da una popolazione distribuita secondo una normale con frequenze p 1 e p2 con le quali si presenta un certo carattere della popolazione nell’ambito dei campioni estratti.
[𝑝1−𝑝2−𝑧1− 𝛼
2 √ 𝑝1(1−𝑝 1)
𝑛1
+𝑝2(1−𝑝 2)
𝑛2
;𝑝1−𝑝2+𝑧1− 𝛼
2 √ 𝑝1(1−𝑝 1)
𝑛1
+𝑝2(1−𝑝 2 )
𝑛2]
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Alcuni esempiEsempio di intervallo di confidenza di una media con campione piccolo e varianza non nota ed esempio di intervallo con varianza nota
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Esempio intervallo di una frequenza
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Heleen Coenen
Presentazione a cura di: