RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN … hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi...

RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah “Matematika Sekolah”

Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

Oleh

Siti Rohmawati (147785003)

Kelas 2014D

PROGRAM STUDI S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2014

Universitas Negeri Surabaya

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL…………………..……………………………………………………. i

DAFTAR ISI ………………………..……………………………………………………… ii

BAB XI FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS……..…………………………. 1

11.1 Notasi Fungsi …….………………………………………………… 1

11.2 Membentuk Fungsi Komposit …….………………………………… 3

11.3 Domain dan Range …………..……………………………………… 5

11.4 Urutan Sebagai Fungsi ……………………………………………… 7

11.5 Membalikkan Funggi …………..…………………………………… 8

11.6 Fungsi Satu-Satu…………..………………………………………… 9

11.7 Mencari Fungsi Invers….…………………………………………… 9

11.8 Menggambar Fungsi Invers……….………………………………… 11

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………………. 12

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers_2014 1

BAB XI

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Bab ini merupakan penggembangan gagasan fungsi yang terdapat pada Bab 3.

Dalam bab ini diperkenalkan tentang macam fungsi aljabar dengan menunjukkan

bagaimana menemukan fungsi komposit. Setelah mempelajari bab ini,

diharapkan:

1. Dapat menggunakan bahasa dan notasi yang benar terkait dengan fungsi.

2. Tahu kapan fungsi-fungsi dapat dikombinasikan dengan operasi komposisi

dan dapat membentuk fungsi komposit.

3. Menghargai bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya

adalah bilangan asli, atau himpunan bagian berturut-turut dari bilangan

asli.

4. Tahu kondisi ‘satu-satu' untuk fungsi yang memiliki invers, dan dapat

membentuk fungsi invers.

5. Mengetahui hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi

inversnya.

11.1 Notasi Fungsi

Dalam menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai-nilai dari suatu fungsi,

terdapat tiga langkah yang terpisah:

Langkah 1 Masukkan bilangan ('input').

Langkah 2 Masukkan petunjuk fungsi.

Langkah 3 Baca bilangan di layar ('output').

Pada langkah kedua terkadang menggunakan satu kunci, ataupun lebih.

a. Menggunakan satu kunci

Seperti 'akar kuadrat', 'tanda perubahan' atau 'sinus'

Contoh:


Input Output

4 → √ → 2

3 → [+ ±⁄ ] → -3

2 → [푠푖푛] → 0.5

Dalam bab ini sin, cos dan tan mengarah pada fungsi-fungsi yang

dioperasikan oleh kalkulator dalam mode derajat.

Jika anda memasukkan bilangan x, maka output yang diperoleh adalah sin

x˚, cos x˚ atau tan x˚.

b. Menggunakan lebih dari satu kunci

Seperti 'kurangi 3',

7 → [−, 3, =] → 4

Pada prinsipnya hal yang terpenting adalah bahwa urutan tombol dalam tanda

kurung siku mewakili fungsi. Urutan ini sama apapun bilangan yang anda

masukkan sebagai input pada langkah 1.

Untuk input umum bilangan x, Anda dapat menulis

x → [+ ±⁄ ] → - x

x → [−, 3, =] → x – 3

Dan seterusnya. Dan untuk fungsi umum,

x → [푓] → 푓(푥)

Dimana f singkatan urutan tombol fungsi.

Ungkapan-ungkapan seperti 'fungsi x2', 'fungsi cos xo', atau 'fungsi f(x)' benar-

benar salah; x2, cos xo dan f(x) adalah simbol untuk output ketika diberikan input

x, bukan untuk fungsi itu sendiri. Jika yang dimaksudkan adalah menyebutkan

fungsi, maka bahasa yang tepat adalah 'fungsi pangkat', 'fungsi cos' atau 'fungsi f'.

Sayangnya hanya beberapa fungsi memiliki nama yang mudah seperti 'pangkat'

atau 'cos'. Tidak ada nama sederhana untuk fungsi output yang diberikan oleh

ekspresi seperti 푥 − 6푥 + 4.

푓: 푥 ⟼ 푥 − 6푥 + 4

Dibaca sebagai 'f adalah fungsi yang mengubah input bilangan x dalam domain ke

bilangan output x2-6x+4'


contoh 11.1.1

Jika 푓: 푥 ⟼ 푥(5 − 푥), berapakah 푓(3)?

Simbol f (3) singkatan output ketika input 3. Fungsi f mengubah input 3 ke output

3(5-3) = 6. Jadi f (3) = 6.

Penggunaan panah untuk menunjukkan hubungan antara input dan output dapat

dihubungkan dengan grafik sebuah fungsi. Gambar. 11.1 menunjukkan grafik y =

x (5-x), dengan bilangan input 3 pada sumbu x. Panah, yang naik dari titik input

dan membelok melalui sudut kanan ketika memotong grafik, menghasilkan

bilangan output 6 pada sumbu y.

11.2 Membentuk fungsi komposit

Jika Anda ingin menghitung nilai-nilai √푥 − 3, Anda mungkin akan

menggunakan tombol urutan [-, 3, =, √] dengan tidak bersamaan. Tetapi jika Anda

perhatikan dengan teliti, Anda akan melihat bahwa tiga angka muncul pada layar

selama proses tersebut.

Misalnya, jika Anda menggunakan input 7, layar akan menampilkan pada

bilangan masukan Anda 7, maka (setelah memasukkan [-, 3, =]) 4, dan akhirnya

(setelah memasukkan √ ) output 2.

Anda mengerjakan dua fungsi, 'kurangi 3' lalu 'akar kuadrat', berturut-turut. Anda

bisa mewakili seluruh perhitungan dengan:

7 → [−, 3, =] → 4 → → 2


Output dari fungsi pertama menjadi masukan kedua.

Contoh 11.2.1

Cari output ketika fungsi 'pangkat' dan 'sin' bertindak pada rentetan input dari (a) 30, (b) x

(a) 30 → [푃푎푛푔푘푎푡] → 900 → [푠푖푛] → 0 (b) 푥 → [푃푎푛푔푘푎푡] → 푥 → [푠푖푛] → sin(푥 )°

Karena dalam (b) input ke fungsi sin adalah x2, bukan x, maka outputnya adalah

sin(푥 )°, bukan sin 푥°.

Untuk sebarang input, dan dua fungsi sebarang f dan g, proses akan ditulis:

푥 → [푓] → 푓(푥) → [푔] → 푔 푓(푥)

Fungsi ketiga disebut 'fungsi komposit'.

Karena output dari fungsi komposit adalah g(f (x)), fungsi komposit itu sendiri

dilambangkan dengan gf.

gf dibaca sebagai 'f pertama, maka g'. Menulis fg berarti 'g pertama, maka f', yang

hampir selalu berbeda fungsi dari gf.

Misalnya, jika Anda mengubah urutan fungsi dalam Contoh 11.2.1 (a), bukan

output 0 yang Anda dapatkan, melainkan:

30 → [sin] → 0,5 → [pangkat] → 0,25

Contoh 11.2.2

Misalkan 푓:푥 ↦ 푥 + 3 dan 푔: 푥 ↦ 푥 . Cari gf dan fg. Tunjukkan bahwa hanya

ada satu bilangan x sehingga gf(x) = fg (x).

Komposit fungsi gf diwakili oleh

푥 → [푓] ⟶ 푥 + 3 ⟶ [푔] ⟶ (푥 + 3)

Dan fg diwakili oleh

푥 → [푔] ⟶ 푥 ⟶ [푓] ⟶ 푥 + 3.

Jika gf (x) = fg (x), maka (푥 + 3) = 푥 + 3,

sehingga 푥 + 6푥 + 9 = 푥 + 3, menghasilkan x = -1.


Anda dapat memeriksa ini dengan kalkulator Anda.

1. Jika Anda memasukkan -1 dan kemudian 'menambah 3' [+, 3, =] diikuti

dengan 'pangkat', layar akan menampilkan pada gilirannya -1, 2, 4.

2. Jika Anda mengoperasikan 'pangkat' diikuti dengan 'menambahkan 3', ia

akan menampilkan -1, 1, 4.

Ketika input adalah -1, outputnya adalah sama meskipun tampilan-tampilan

tengahnya berbeda.

Contoh 11.2.3

Jika 푓: 푥 ⟼ cos 푥 ° dan: : 푥 ⟼ , hitung (a) gf(60), (b) gf(90).

Dengan input 60, kalkulator akan menunjukkan urutannya 60, 0.5, 2, jadi gf (60) =

2.

Dengan input 90, kalkulator akan menampilkan 90, 0 dan kemudian diberi pesan

kesalahan! Hal ini karena cos 90° = 0 dan 1/0 tidak didefinisikan.

Apa yang terjadi dalam Contoh 11.2.3 (b) adalah bahwa angka 0 ada dalam

kisaran fungsi f, tetapi tidak dalam domain g.

11.3 Domain dan Range

Ketika Anda melihat huruf x dan y dalam matematika, misalnya dalam sebuah

persamaan seperti y = 2x - 10, umumnya dipahami bahwa huruf x dan y

melambangkan bilangan real. Tapi kadang-kadang penting untuk benar-benar

teliti tentang hal ini. Simbol ℝ digunakan untuk menyingkat 'himpunan bilangan

real', dan simbol ∈ untuk 'anggota'. Dengan simbol-simbol ini, Anda dapat

mempersingkat pernyataan 'x adalah bilangan real', atau 'x anggota himpunan

bilangan real', ke 푥 ∈ ℝ. Jadi, dapat ditulis

푓: 푥 ⟼ 2푥 − 10,푥 ∈ ℝ

untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan

bilangan real yang mengubah setiap masukan x ke output 2x-10.


Tepatnya, fungsi tidak sepenuhnya ditentukan kecuali Anda menyatakan domain

serta aturan untuk memperoleh output dari input. Untuk fungsi di atas range-nya

juga R, meskipun tidak perlu diyatakan dengan menggambarkan fungsi.

Kita tahu dari bab 3 bahwa untuk beberapa fungsi domainnya hanya bagian dari

R, karena ekspresi f(x) hanya bermakna untuk beberapa 푥 ∈ ℝ. Himpunan

bilangan real yang f(x) nya memiliki arti akan disebut 'domain asli' f.

Dengan kalkulator, jika Anda memasukkan bilangan yang tidak dalam domain

asli, maka output akan menunjjukkan tampilan 'error'.

Untuk fungsi akar kuadrat, misalnya, domain aslinya adalah himpunan bilangan

real positif dan nol, sehingga Anda menulis

Akar pangkat : 푥 ⟼ √푥, di mana x∈R dan x≥0.

Jika Anda diberi fungsi yang dijelaskan oleh rumus tetapi tidak ada domain

dinyatakan, Anda harus mengasumsikan bahwa domain yang dimaksud adalah

domain asli.

Contoh 11.3.1

Cari range masing-masing fungsi

(a) sin, dengan domain asli ℝ, (b) sin, dengan domain 푥 ∈ ℝ dan 0 <x <90.

Dari grafik 푦 = sin 푥°, ditunjukkan pada gambar. 11.2, Anda dapat membaca dari

rentang:

(a) Untuk 푥 ∈ ℝ, rangenya adalah 푦 ∈ ℝ,−1 ≤ 푦 ≤ 1.

(b) Untuk 푥 ∈ ℝ, 0 < 푥 < 90, kisaran adalah 푦 ∈ ℝ, 0 < 푦 < 1


Contoh 11.3.1 telah menggunakan huruf x dalam menggambarkan domain, dan y

untuk range.

Aturan umumnya adalah:

Untuk membentuk fungsi komposit gf, domain D dari f harus dipilih

sehingga seluruh range f termasuk dalam domain dari g. fungsi gf kemudian

didefinisikan sebagai gf: x⟼g (f (x)), x∈D.

11.4 Urutan sebagai fungsi

Tidak semua fungsi memiliki domain himpunan bilangan real atau interval

terbatas bilangan real. Sebagai contoh, fungsi memiliki himpunan bilangan asli

{1, 2, 3, ...} untuk domainnya. Himpunan ini dilambangkan dengan simbol N.

Beberapa game (seperti catur dan Scrabble) yang dimainkan di papan

dikesampingkan dalam kotak. Jika papan memiliki kotak r masing-masing cara,

maka jumlah kotak adalah r2. Jadi ini mendefinisikan fungsi

푓: 푟 ↦ 푟 , di mana 푟 ∈ ℕ.

Ini adalah fungsi yang berbeda dari

푓: 푥 ↦ 푥 , di mana 푟 ∈ ℝ,

Karena jumlah kotak masing-masing cara harus bilangan bulat.

Anda dapat membuat daftar nilai-nilai yang berurutan dari f (r):

f (1) = 1, f (2) = 4, f (3) = 9, f (4) = 16, f (5) = 25, ...

Perhatikan bahwa angka-angka ini adalah tepat berurutan (a) dalam bagian 8.1. ini

menunjukkan bahwa urutan dapat dianggap sebagai fungsi yang domainnya

adalah N.

Beberapa urutan hanya memiliki jumlah terbatas istilah. Anggaplah, misalnya,

bahwa Anda memiliki 6 koin identik, dan f(r) menunjukkan sejumlah cara

membagi koin ke dalam r tumpukan. Jadi f (2) = 3, karena Anda dapat memiliki

tumpukan koin 1 dan 5 koin, 2 koin dan 4 koin, atau 3 koin dan 3 koin. Dapat

dibuktikan bahwa f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (4) = 2, f (5) = 1, dan f (6) = 1;


tapi f (r) tidak ada artinya untuk r > 6. Oleh karena itu domain fungsi adalah

himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}, yang merupakan bagian dari angka berturut-turut di

N.

Sebuah urutan dapat didefinisikan sebagai fungsi yang domain di N atau bagian

berturut-turut N. Untuk notasi urutan ur biasanya digunakan lebih sering daripada

f (r), tapi itu hanya untuk kenyamanan.

Perbedaan yang penting antara N dan R adalah bahwa, untuk setiap bilangan asli

r, ada 'nomor berikutnya'. Inilah yang memungkinkan untuk menggunakan

definisi induktif untuk menggambarkan urutan. Tidak ada cara yang sebanding

mendefinisikan fungsi f (x), di mana x∈R, karena tidak ada hal seperti 'bilangan

real berikutnya’.

11.5. Membalikkan fungsi

Jika kakak Anda adalah 2 tahun lebih tua dari Anda, maka Anda 2 tahun lebih

muda dari dia. Untuk mendapatkan usianya dari Anda yang Anda gunakan fungsi

'tambahkan 2'; untuk mendapatkan usia Anda dari miliknya Anda ‘mengurangi 2 '.

Fungsi 'tambahkan 2' dan 'mengurangi 2' dikatakan fungsi invers satu sama lain.

Artinya, 'kurangi 2' adalah fungsi kebalikan dari 'tambahkan 2' (dan sebaliknya).

Kebalikan dari fungsi f dinotasikan dengan simbol f-1. Jika f menjadikan bilangan

input x menjadi bilangan output y, maka f-1 menjadikan y ke x.

Contoh 11.5.1

Cari nilai-nilai cos-1 y ketika (a) y = 0.5, (b) y = -1 (c) y = 1,5.

Menggunakan [푐표푠 ] kunci dengan input 0.5, -1, 1.5 pada gilirannya

memberikan output 60, 180, dan pesan kesalahan!

Jadi, dalam modus derajat, (a) cos-10,5 = 60, (b) cos-1 (- 1) = 180, tetapi (c) cos-

11,5 tidak ada artinya.


11.6 Fungsi Satu-satu

Masalah muncul setiap kali Anda mencoba untuk mencari sebuah fungsi yang

memiliki output yang sama untuk lebih dari satu input. Dalam matematika,

ambiguitas tidak dapat diterima. Satu-satunya fungsi yang memiliki fungsi invers

adalah fungsi-fungsi yang setiap output dalam range berasal dari hanya satu input.

Fungsinya ini dikatakan ‘satu-satu'.

Sebuah fungsi f didefinisikan untuk beberapa domain D adalah satu-satu jika,

untuk setiap bilangan y di range R dari f hanya ada satu bilangan x∈D sehingga y

= f (x). fungsi dengan domain R didefinisikan oleh 푓 :푦 ↦ 푥, di mana y = f (x),

adalah fungsi inverse dari f.

Definisi ini diilustrasikan dalam gambar. 11.3, yang ditarik untuk memastikan

bahwa fungsi f adalah satu-satu.

Fungsi f-1f dan ff-1 disebut fungsi identitas karena input dan output mereka adalah

identik. Tapi ada perbedaan halus antara kedua fungsi komposit, karena domain

mereka mungkin tidak sama; yang pertama memiliki domain D dan yang kedua

memiliki domain R.

11.7 Mencari fungsi invers

Untuk fungsi yang sangat sederhana mudah untuk menuliskan bentuk fungsi

inversnya. Kebalikan dari 'tambahkan 2' adalah 'mengurangi 2', sehingga

푓: 푥 ↦ 푥 + 2,푥 ∈ ℝ memiliki invers 푓 : 푥 ↦ 푥 − 2,푥 ∈ ℝ.


Perhatikan bahwa kebalikannya bisa juga ditulis sebagai 푓 :푦 ↦ 푦 − 2,푦 ∈ ℝ.

Anda kadang-kadang dapat memecah fungsi yang lebih rumit menjadi sebuah

mata rantai langkah sederhana.

Contoh 11.7.1

Cari invers dari f: x↦2x + 5, x∈R

Perhatikan dulu bahwa f adalah satu-satu, dan rangenya adalah R.

Metode 1 Anda dapat memecah fungsi sebagai

x → [ganda] → [tambahkan 5] → 2x + 5.

Untuk menemukan f-1, ke belakang melalui rantai (baca dari kanan ke kiri):

(푥 − 5) ← [푠푒푡푒푛푔푎ℎ] ← [푘푢푟푎푛푔푖5] ← 푥

Jadi 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ.

Metode 2 Jika y = 2x + 5, 푦 − 5 = 2푥 yang memberikan 푥 = (푦 − 5).

Jadi fungsi invers 푓 = 푥 ↦ (푥 − 5),푥 ∈ ℝ Dua jawaban yang sama, meskipun menggunakan huruf yang berbeda.

Contoh 11.7.3

Tentukan invers dari fungsi 푓(푥) = , di mana x∈R dan x ≠ 2.

Hal ini tidak jelas bahwa fungsi ini salah-salah, atau apa yang rentang adalah.

Namun, dengan menggunakan metode kedua dan menulis 푓(푥) = ,

푦(푥 − 2) = 푥 + 2,

푦푥 − 2푦 = 푥 + 2,

푦푥 − 푥 = 2푦 + 2,

푥(푦 − 1) = 2(푦 + 1),

푥 = ( ).


Hal ini menunjukkan bahwa, kecuali y = 1, hanya ada satu nilai x untuk setiap nilai y. Jadi f harus menjadi salah satu-satu, sehingga fungsi invers ada, dan 푓 :푦 ↦ ( ), dimana 푦 ∈ ℝ dan 푦 ≠ −1

11.8 Menggambar fungsi invers.

Gambar. 11.8 menunjukkan grafik y = f (x), dimana f adalah fungsi satu satu

dengan domain D dan range R. Karena 푓 ada, dengan domain R dan range D,

Anda dapat juga menulis persamaan sebagai 푥 = 푓 (푦). Anda dapat

menganggap Gbr. 11.8 sebagai grafik kedua f dan 푓 .

Tapi kadang-kadang Anda ingin menarik grafik 푓 dalam bentuk yang lebih

konvensional, seperti y = 푓 (x) dengan domain sepanjang sumbu x. Untuk

melakukan ini, Anda harus menukar sumbu x dan y, yang Anda lakukan dengan

merefleksikan grafik pada Gambar. 11,8 di garis y = x. (Pastikan bahwa Anda

memiliki skala yang sama pada kedua sumbu!) maka sumbu x tercermin dalam

sumbu y dan sebaliknya, dan grafik dari x = 푓 (y) tercermin dalam grafik y =

푓 (x).

Hal ini ditunjukkan pada Gambar. 11.9.

Jika f adalah satu-satu fungsi, grafik y = f (x) dan y = 푓 (x) adalah cerminan

dari satu sama lain dalam garis y = x.


DAFTAR PUSTAKA

Neill, Hugh dan Douglas Quadling. 2002. Advance Level Mathematics: Pure Mathematics 1. Cambridge: Cambridge University Press.

RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN … hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi...

Documents

Transcript of RANGKUMAN MATERI FUNGSI KOMPOSISI DAN … hubungan antara grafik fungsi satu-satu dan grafik fungsi...