08/11/2015

1

Anita T. Kurniawati

y disebut fungsi dari x jika dpt ditentukan suatu

hubungan antara y dan x SDH untuk setiap nilai

x menentukan secara tunggal nilai y.

Hubungan antara y dan x biasanya ditulis :

Contoh 1:

Mendefinisikan fungsi f yang mengawankan bilangan

dengan bilangan x

f mengawankan 10 dengan 3

)(xfy

1)( 2 xxf

D

E

F

I

N

I

S

I

12 x

10131)3( 22 xf

08/11/2015

2

Contoh 2 :

Jika maka1

1)(

3

xx

16

1

1)73(

1)73(

3

15

1

1)5(

1)5(

36

1

6

1

1)( 2 xxf

D

E

F

I

N

I

S

I

08/11/2015

3

Diberikan , dapatkan

a) b) c) d)

Dapatkan domain dan range dari fungsi berikut :

a) b)

c)

Buatlah sketsa grafik

3,7

3,3)(

x

xxx

32)( 2 xxf

)2(f )3( tf)3(f )1( af

2)( xxf

xxf

2

1)(

2

4)(

2

x

xxf

OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI

Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan,

digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika

f(x) = x dan g(x) = x2, maka

f(x) + g(x) = x + x2

Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang

disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan

f + g. Jadi

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + x2

08/11/2015

4

Jumlah (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Hasil Kali (f.g)(x) = f(x).g(x)

Hasil Bagi (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Contoh

Misalkan f(x) = 2x dan g(x) = x-2

Dapatkan (f + g)(x),(f - g)(x),(f.g)(x), (f/g)(x)

Diketahui fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f dengan g, ditulis f o g adalah funsi yang didefinisikan dengan

f g (x) = f(g(x))

artinya g(x) disubtitusikan pada x dalam rumus f

Contoh

Misal dan

f g (x) = f(g(x)) =

1)( 2 xxf 2)( xxg

541)2()( 22 xxxxf

08/11/2015

5

Latihan

Dapatkan rumus dari fungsi-fungsi dan

tetapkan domain untuk masing-masing soal :

1.(f+g)(x) , 2. (f.g)(x), 3. (fog)(x)

a.

b.

1)(,2)( 2 xxgxxf

xxg

x

xxf

1)(,

1)(

2

G

R

A

F

I

K

Grafik suatu fungsi f pada bidang-xy didefinisikan sebagai

grafik dari persamaan y = f(x)

Contoh :

1. Buatlah sketsa grafik f(x) = x + 3

Penyelesaian :

Berdasarkan definisi grafik f dlm bidang-xy adalah grafik

persamaan y = x + 3

-3

3

y

y

08/11/2015

6

2. Buatlah sketsa grafk

Penyelesaiannya :

2,2

2,1)(

xx

xxg

o

1

2 x

y

Contoh :

gambarkan grafik fungsi berikut ini ;

a. y = x2 + 2

b. y = x2 – 2

c. y = (x+2)2

d. y = ( x – 2)2

Grafik fungsi dapat diperoleh dengan

mentranslasikan grafik oleh vektor (p,q), yaitu

kekiri/kanan sejauh dan ke atas /bawah sejauh

qpxaxf 2)()(2)( axxf

p q

08/11/2015

7

y = x2

y

x

y = -x2

y

x

x = y2

y

x

x = -y2

y

x

y

x

y

x

y = √x

y = -√x

y = x3

y

x

y = 3√x

y

x

y = 1/x

y

x

y = -1/x

y

x

08/11/2015

8

Fungsi Aljabar :

Fungsi Polinomial

Fungsi Rasional

Fungsi Pangkat

Fungsi Transenden :

Fungsi Trigonometri dan Inversnya

Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi

konstan. Contohnya ; f(x) = 3 maka

f(-1) = 3, f(0) = 3, f(√2) = 3, f(9) = 3

Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu

konstanta dan n adalah bilangan bulat tak

negatif, disebut monomial dalam x.

contoh 2x3, πx7, 4x0(= 4), -6x, x17

Fungsi-fungsi 4x1/2 dan x-3 bukan monomial sebab

pangkat dari x bukan bilangan bulat tak negatip.

08/11/2015

9

Contoh :

Rumus untuk polinomial dalam x adalah

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +…+ an x

n

atau

f(x) = an xn + an-1 x

n-1 + an-2 xn-2 +…+a0

x3 + 4x + 7, 3 – 2x3 + x17, 9, 17 – 2 x, x5

3

DESKRIPSI RUMUS UMUM

Polinomial linier

Polinomial kuadratik

Polinomial kubik

a0 + a1 x (a1 ≠ 0)

a0 + a1 x + a2 x2 (a2 ≠ 0)

a0 + a1x + a2 x2 + a3 x

3 (a3 ≠ 0)

08/11/2015

10

Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua

polinomial.

Contoh :

X5 – 2x

2 + 1 x

X2

- 4 x + 1

Contoh :

f(x) = x2/3

= (√ x)2 dan g(x) =

1

)3(

25

xx

xx

n

n

n

n

xbxbxbb

xaxaxaaxf

...

...)(

2

210

2

210

FUNGSI PANGKAT

Fungsi Transenden

Fungsi Trigonometri dan Inversnya

Hubungan antara ukuran sudut dan radian

Dan satu derajat ekivalen dengan

oo 180

2

360

14,3.180

nilairado

2

sin)sin(

adalahfungsiPeriode

xTxy

08/11/2015

11

x

xxy

x

xxy

sin

coscot

cos

sintan

Untuk nilai cos x=0, maka nilai tan x

tidak terdefinisi

Untuk nilai sin x=0, maka nilai cot x

tidak terdefinisi

08/11/2015

12

Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Jika , maka y merupakan pangkat untuk a yang

harus menghasilkan x, jadi kebalikannya, jika

sehingga

xy a logyax xy a log

ekivalenadalahaxdanxy ya log

08/11/2015

13

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

Jika (baca x mendekati a dari kanan) dan ada,

maka bentuk disebut limit kanan.

jika (baca x mendekati a dari kiri) dan ada,

maka bentuk disebut limit kiri.

Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilainya sama, maka

dikatakan bahwa ada.

ax xfax

lim

xfax

lim

ax xf

ax lim

xfax

lim

xfax

lim

Contoh :

Diberikan f(x) = x+1 , ditanyakan xfx 2

lim

x 1,80 1,90 1,97 1,99 1,99999

2,80 2,90 2,97 2,99 2,99999

xf

x 2,20 2,15 2,05 2,01 2,00001

3,20 3,15 3,05 3,01 3,00001

xf

08/11/2015

14

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI

Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x)

memenuhi dan dan c

adalah bilangan real, maka

MLxgxfxgxfaxaxax

limlim)]([lim

cLxfcxcfaxax

limlim

MLxgxfxgxfaxaxax

.lim.lim)]([lim

0)(lim,

)(lim

)(lim]

)([lim

xgdan

M

L

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

ax

Lxfxfaxax

)(lim)(lim

Lxfax

lim Mxgax

lim

08/11/2015

15

Definisi ;

Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika

syarat-syarat berikut dipenuhi ;

1. f(c) terdefinisi

2.

3.

jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi

disebut diskontinu dititik c

adaxfcx

)(lim

)()(lim xfxfcx

y = f(x)

y = f(x)y = f(x)

c c

c

y = f(x)

c

Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c

Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb

(a)

Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f

terdifinisi di c, tapi lim f(x) tdk ada

x c

(b)

Sama seperti gambar (b) Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f(x)

ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f(x) ≠f(c)