MatematikaPertemuan V dan VI

Topik Hari Ini- Grafik Persamaan - Fungsi dan Grafiknya - Operasi pada Fungsi - Fungsi Trigonometri

Grafik Persamaan Penggunaan koordinat utuk titik2 pada bidang memungkinkan kita untuk mendeskripsikan suatu kurva (objek geometri) menggunakan suatu persamaan (objek aljabar) Grafik suatu persamaan dalam x dan y terdiri atas titik2 di bidang yang koordinat2 (x, y)-nya memenuhi persamaan Membuatnya suatu kesamaan yang benar

Prosedur penggambaran grafik Untuk menggambarkan suatu persamaan, misalnya y = 2x3 x + 19 Langkah 1, Dapatkan koordinat2 beberapa titik yang memenuhi persamaan Langkah 2, Rajah titik2 tersebut di bidang Langkah 3, Hubungkan titik2 tersebut dengan sebuah kurva mulus*) cara terbaik untuk melakukan Langkah 1: membuat sebuah tabel nilai2

ContohGambarlah fungsi berikut

y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x+2

x0 1 -1

y 2 3 1

-10 -9

-8 -7

-6 -5

-4 -3 -2

-1

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y10

y = -3x + 4x0 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = -xx0 5

y 4 -8 10

y 0 -5 6

-2

-6

y = -x - 3x0 8 -8

x y = -2xx0 3

y -3 -7 1

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

y 0 -6

-5 10

Garis2 paralel dgn sumbu x

y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Garis2 paralel dgn sumbu y Y=8

Y=4 Y=21 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -9

-8 -7

-6 -5

-4 -3 -2

-1

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

x

Y = 0 Y = -3

Y = -8

x = - 7

x = - 4

x = 0

x = 5

x = 9

Menggambar grafik garis lurus y = 3xx0 2

y10 9 8

y=x x0 3

y 0 6

7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 0 3

-3 -9

-4 -4

x y = 2xx0 3

y = xx0 8

y 0 4 2

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

y 0 6

4

-4 -8

Gunakan grid 1

y10

y = 3x 4x0 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = 2x + 1 x0 3

y -4 8 -10

y 1 7

-2

-4 -7

y = x + 5 x0 8 -8

x y = 2x - 5x0 6

y 5 9 1

-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

y -5 7

-2 -9

Gambarlah grafik garis lurus berikut: 1. y = 2x + 3 2. y = 3x 5 3. y = -x + 6 4. y = -4 5. x = 7 6. Y = x 2 7. Y = - 4x -9-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

y10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

-10

Contoh Gambar grafik persamaan y = x2 3 (garis lengkung)

Contoh Gambar grafik persamaan y = x2 - 3o Sewaktu menhubungkan titik2, asumsikan kurva berkelakuan manis diantara titik2, yang merupakan keyakinan. o Rajah titik2 secukupnya sehingga pola kurva kelihatan amat jelasmakin banyak titik yang dirajah, makin sedikit keyakinan yang diperlukan

Jarang sekali dapat memperagakan seluruh kurva

Pada GAMBAR 2; Kurva mempunyai lengan panjang tak terhingga, membuka semakin lebar Grafik sudah memperlihatkan fitur2 yang mendasar

Kesimetrisan grafikUntuk menghemat waktu dan menggambar grafik lebih tepat

Kenali simetris tertentu dari grafik dengan memeriksa persamaan yang berpadanan Pada grafik y = x2 3, jika koordinat dilipat sepanjang sumbu y maka kedua cabang berimpit (3,6) akan berimpit dengan (-3,6) (2,1) akan berimpit dengan (-2,1) (x,y) akan berimpit dengan (-x,y)

Secara aljabar, penggantian x oleh x dalam persamaan y = x2 3 menghasilkan persamaan yang setara

Kesimetrisan grafik

Simetris sumbu-y: penggantian x dengan x memberikan persamaan yang setara (contoh y = x2) Simetris sumbu-x: penggantian y dengan y memberikan persamaan yang setara (contoh x = 1 + y2) Simetris titik asal: penggantian x dengan x dan y dengan y memberikan persamaan yang setara (contoh y = x3)

ContohSketsakan grafik dari y = x3

Penyelesaian Grafik akan simetri terhadap titik asal Diperlukan hanya tabel nilai untuk x yang tak negatif Mencari titik yang sebanding melalui simetri

Intersep Titik-titik tempat grafik suatu persamaan memotong kedua sumbu koordinat memainkan peranan penting dalam banyak hal Contoh, y = x3 - 2x2 5x + 6 = (x + 2)(x 1)(x 3)vy = 0 bilamana x = -2, 1, 3, bilangan-bilangan -2, 1 dan 3 disebut intersep-x vx = 0 bilamana y = 6, bilangan 6 disebut intersep-y

ContohSketsakan grafik dari y2 x + y 6 = 0, dengan memperlihatkan intersepnya secara jelas

Penyelesaian menyulih y = 0, x = -6 intersep-x adalah -6 menyulih x = 0, y2 + y 6 = 0, atau (y + 3)(y 2) intersep-y adalah -3 dan 2

Persamaan kuadrat dan kubik umum

Perpotongan grafik Untuk mengetahui titik2 potong antara dua grafik, diperlukan pemecahan kedua persamaan secara serempakContoh,Carilah titik2 perpotongan garis y = -2x + 2 dan parabola y = 2x2 4x 2 dan sketsakan kedua grafik tersebut pada bidang koordinat yang sama.

Penyelesaian,q substitusi y dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua q selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk x

y = 4 dan -2 Titik potong: (-1,4) dan (2,-2)

Fungsi dan Grafiknya

Bayangkan suatu fungsi sebagai sebuah mesin, mesin hitung Mesin mendapatkan bilangan (masukan) dan memproduksi hasil (keluaran) Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan (daerah asal), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua (daerah hasil).

Illustrasi fungsiA B

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.

Illustrasi fungsi

Contoh: Fungsi g sebuah bilangan real x dan mengkuadratkannya, sehingga menghasilkan bilangan real x2. Rumus yang berpadanan, g(x) = x2

Notasi fungsiUntuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Maka f(x), yang dibaca f dari x atau f pada x, menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jika f(x) = x3 4,

Notasi fungsi

Notasi fungsi

Daerah Asal dan Daerah hasil Aturan padanan merupakan pusat suatu fungsi Sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan Daerah asal: himpunan elemen2 yang kepadanya fungsi memberikan nilai Daerah hasil: himpunan nilai2 yang diperoleh secara demikian

Daerah Asal dan Daerah hasilBilamana untuk sebuah fungsi daerah asalnya tidak dirinci Anggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan terbesar bilangan real sedemikian sehingga aturan fungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan real Daerah asal alami

Daerah Asal dan Daerah hasil

Daerah Asal dan Daerah hasilBilamana aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f (x) (Misalnya, y = x3 + 3x 6), x disebut peubah bebas dan y peubah tak bebas

Sembarang element dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari peubah bebas x, tetapi pilihan itu secara tuntas menentukan nilai padanan dari peubah tak bebas nilai y tergantung dari pilihan nilai x

Grafik FungsiBilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Grafik fungsi f: grafik persamaan y = f(x)

Grafik FungsiPenyelesaianGunakan daerah asal alami. f dan g: semua bilangan real, h: bilangan real kecuali 1

(a)

(c)

(b)

asimtot

Fungsi Genap dan GanjilJika f(-x) = f(x), maka grafik simetris terhadap sumbu y Fungsi genap - Fungsi f(x) = x2 2 adalah genap (jumlah pangkatnya genap)

Jika f(-x) = -f(x), maka grafik simetris terhadap sumbu y

Fungsi ganjil

- Fungsi f(x) = x3 2x adalah ganjil (jumlah pangkatnya ganjil)

Dua Fungsi KhususDua fungsi sangat khusus: 1.Fungsi nilai mutlak | | 2.Fungsi bilangan bulat besar [ ] 1. Fungsi nilai mutlak | |

- karena |x| = |x| Genap - grafiknya mempunyai sudut tajam 2. Fungsi bilangan bulat besar [ ] - [ x ] = bilangan bulat terbesar x - bukan fungsi genap ataupun ganjil - grafiknya melompat pada tiap bilangan sudut

Operasi Pada FungsiFungsi bukanlah bilangan, tapi seperti halnya bil a dan b yg dapat ditambahkan (a + b), fungsi juga dapat ditambahkan (f + g) Contoh

maka,

1 x harus berupa bilangan dimana f maupun g berlaku 2 Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan g

Operasi Pada FungsiUntuk operasi yg lain dengan

dan begitu pula pada pemangkatan

Operasi Pada Fungsi

Komposisi FungsiBayangkan sebuah fungsi adalah mesin (x sbg masukan, bekerja pada x dan menghasilkan f(x)) Untuk 2 mesin yg lebih rumit seperti halnya 2 fungsi f dan g pada gambar; f bekerja pada x menghasilkan f(x) dan g kemudian bekerja pada f(x) utk menghasilkan g(f(x)).

Menyusun g dengan f Komposisi g dengan f (g o f)

Komposisi FungsiContoh 1

Susunan (komposisi) fungsi, tidak komutatif (g o f dan f o g, berlainan)

Komposisi FungsiMendekomposisi atau memecah menjadi potongan2 kompositMisal: p(x) = x2 + 4

PenggeseranApakah grafik2 di bawah ini berkaitan satu sama lain?

Ambillah f (x) = |x| sebagai contoh, ke-4 grafik dapat diperagakan sebagai berikut:

Perhatikan bahwa ke-4 grafik tsb mempunyai bentuk yg sama; 3 yang terakhir hanyalah penggeseran dari yang pertama

Penggeseran

Penggeseran

Penggeseran

Katalog Parsial FungsiFungsi konstanta Fungsi f(x) = k, dgn k konstanta (bilangan real) Grafiknya berupa sebuah garis mendatar (Gambar 9) Fungsi identitas Fungsi f(x) = x Grafiknya berupa garis yg melalui titik asal dengan kemiringan 1 (Gambar 10) Fungsi polinom Fungsi yg didapat dari fungsi konstanta dan fungsi identitas dengan operasi penambahan, pengurangan dan perkalian Fungsi linear f (x) = ax + b Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c Fungsi rasional Hasil bagi fungsi2 polinom

Fungsi aljabar eksplisit Fungsi yg didapat dari fungsi konstanta dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar

Fungsi TrigonometriReview Fungsi trigonometri didasarkan pada sudut dan segitiga siku-siku Andaikan C adalah lingkaran satuan yaitu, x2 + y2 = 1 berpusat di titik asal dengan radius 1 Titik A (1, 0) dan t sembarang bilangan positif Terdapat satu titik P(x, y) pada C sehingga panjang busur AP menurut arah berlawanan dengan jarum jam dari A adalah t. (Keliling C adalah 2) Jika t = 0 maka P = A, t