1

Gymnázium a SOŠ Cihelní 410, Frýdek – Místek 73802

Prvočíslo a Ulamova spirála

(Seminární práce z Matematiky)

Monika Pistovčáková

Matematika

13. listopad 2016

2

1. Úvod………………………………………………………………………………………………………………………………3

2. Teoretická část……………………………………………………………………………………………………………….4

a. Co to je prvočíslo? ……………………………………………………………………………………………..4

b. Co to je Ulamova spirála? …………………………………………………………………………………..5

3. Praktická část………………………………………………………………………………………………………………….6

a. Jak spočítat prvočísla? …………………………………………………………………………………………6

b. Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? -FOTO………………………………………7-10

4. Závěr……………………………………………………………………………………………………………………………..11

5. Seznam literatury…………………………………………………………………………………………………………..12

3

Úvod

Všude okolo se lidé setkávají s čísly. Buď záměrně, nebo čirou náhodou. Málokdo si však

uvědomí, jak jsou vlastně čísla kouzelná. Jsou novým světem a nejkrásnější na tom je, že

každé číslo představuje něco jiného a má jiný význam. Každý den čísla spadají do našeho

života a provází nás na každém kroku.

Pythagoras kdysi prohlásil, že prazáklad veškerého bytí a existence je číslo. Dle mého se

nemýlil. Bez čísel by totiž neexistovalo vůbec nic. Byl by zmatek a lidé by neměli nic z toho,

co mají dnes. Co myslíte, souhlasíte semnou? Mám pravdu, nebo jste proti mému názoru?

Na svoji seminární práci jsem si vybrala známou a velice důležitou skupinu. Jsou to prvočísla.

4

Teoretická část

A, Co to je prvočíslo?

Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými

přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo)

Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla

První prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…

Prvočísel je nekonečně mnoho

Využití

o Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích

systémech jako je RSA. o Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo

síto

Eratosthenovo síto je jednoduchý algoritmus pro nalezení

všech prvočísel menších než zadaná horní mez

Je pojmenován po řeckém matematikovi Eratosthenovi z Kyrény, který

žil v letech 276–194 př. n. l.

Testování prvočíselnosti

o Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je

možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku

2002 o Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus

prakticky nejvýhodnější o V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů,

například Millerova-Rabinova algoritmu. Millerův-Rabinův test prvočíselnosti je jedním z testů prvočíselnosti,

tedy z algoritmů rozhodujících, zdali je dané číslo prvočíslo

Je podobný Fermatovu testu prvočíselnosti

Prvočísla menší než 1000

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197,

199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311,

313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431,

433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557,

563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661,

673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809,

811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937,

941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

5

B, Co je to ulamova spirála?

Ulamova spirála, nebo také prvočíselná spirála, je obrázek, který vznikne seřazením

přirozených čísel do spirály a zvýrazněním prvočísel

Byla objevena matematikem Stanisławem Ulamem v roce 1963

Ulam si napsal přirozená čísla do obdélníkové sítě, jedničku doprostřed a další čísla

spirálovitě směrem ven

Když zakroužkujeme v této struktuře prvočísla, dostáváme

Ulam si všimnul, že prvočísla se vyskytují převážně na některých diagonálních

přímkách. Tento vzorek je viditelný i při velmi velkých měřítkách (objevují se pak i

vodorovné a svislé čáry).

6

Praktická část

A, Jak spočítat prvočísla?

Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze jedničkou a sebou

samým, přičemž samotná jednička prvočíslo není

Nejmenší prvočíslo je dvojka – je dělitelná beze zbytku jedničkou a dvojkou. Je to

zároveň jediné prvočíslo, které je sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože

jakékoliv jiné sudé číslo je dělitelné kromě jedničky a sebou samým ještě právě

dvojkou.

Posloupnost několika prvních prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,

43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,

139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229,

233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…

Posloupnost bez prvočísel

o Lze nalézt libovolně dlouhou konečnou posloupnost po sobě jdoucích

přirozených čísel, mezi kterými se nevyskytuje ani jedno prvočíslo. Taková

posloupnost může mít tvar k!+2, k!+3,k!+k a obsahuje k-1 po sobě jdoucích

složených čísel (vykřičník je faktoriál).

o Například pro k = 6 dostaneme pět po sobě jdoucích složených čísel ve

tvaru:720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6

o Tato čísla jsou postupně dělitelná dvěma, třemi, čtyřmi, pěti a šesti, protože

číslo 6! = 720 je určitě dělitelné všemi těmito čísly, protože vzniklo jejich

součinem: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2.

o Pokud je číslo 720 dělitelné třemi, pak i číslo 720 + 3 musí být dělitelné třemi.

Podobně pro ostatní.

7

B, Jak se vyráběl materiál k veřejné přednášce? – FOTO

Mým cílem u vytváření projektu bylo především zaujmout. Proto jsem se rozhodla svůj

projekt něčím „okořenit“ a zaujmout nejen děti ale i rodiče. Hlavní změnou oproti jiným

projektům bylo, že děti budou provázeny tématem nejen mnou ale i velice známým

pohádkovým kamarádem Spongebobem. Zaujme hned na první pohled, proto jsem si téměř

100% jistá, že si z mého tématu děti odnesou nejen užitečné informace, ale taky zábavu.

1,

2,

8

3,

4,

9

5,

6,

10

7,

8,

11

Závěr

Tato práce slouží k poskytnutí bližších informací k danému tématu. Vybrala jsem si ji, protože

si myslím, že mnoho lidí (především dětí) neví a hlavně nemají zájem poznávat něco nové.

Prvočísla jsou důležitá a dle mého by měl mít každý alepoň základní informace o tomto

matematickém úseku. Přínos tedy bude nejen vzdělávací, ale také zábavný. Doufám, že

rozvine znalosti okolí stejně tak, jako mě.

12

Seznam literatury

Osamělost prvočísel- Paolo Giordano, 2009, Odeon

Posedlost prvočísly- John Derbyshire, 2007, Galileo

Zdroje:

http://www.matematika.cz/prvocisla

https://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADslo

https://cs.wikipedia.org/wiki/Ulamova_spir%C3%A1la