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PAU Septiembre 2016 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)

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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA EL ALUMNADO DE BACHILLERATO 158 MATEMÁTICAS II. SEPTIEMBRE 2016

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.

CUESTIÓN A.1: Considere la siguiente matriz

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

A sen

. a) [1 punto] Calcule el determinante de A. b) [1,5 puntos] Calcule las potencias sucesivas A2, A3, A4

y A5. Calcule A2016. CUESTIÓN A.2: Los puntos P = (1, 1, 1), Q = (2, 2, 2) y R = (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo:

a) [1,25 puntos] Calcule el área del paralelogramo. b) [1,25 puntos] Determine el cuarto vértice del paralelogramo.

CUESTIÓN A.3: Dada la función

21

2( )

x

xf x

e

se pide:

a) [1 punto] Estudie las asíntotas de la gráfica de f (x).

b) [1,5 puntos] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función.

CUESTIÓN A.4:

a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida

2

1

x

x

edx

e .

b) [1 punto] Determine el valor de a > 0 para que

20

1

41

xa

x

edx

e


2 de 10

. OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.

CUESTIÓN B.1: Sabiendo que 1 0 1 2

2 4 6

x y z

, calcule razonadamente los siguientes determinantes:

a) [1 punto]

3 0 1

3 2

6 8 6

x y z

b) [1,5 puntos]

2 4 6

3 1 3 3 1

1 0 1

x y z

x y z

CUESTIÓN B.2: Considere el plano π que pasa por el punto P = (2, 0, 1) y tiene como vectores

directores los vectores 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w . Considere la recta r dada por

1:

2 3 1

x y zr

a) [1,25 puntos] Estudie la posición relativa de π y r.

b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q=(−1, 0, −2), es paralela

a π y perpendicular a r.

CUESTIÓN B.3: Considere la función dada por

2

ln 1 0( )

0x

a x si xf x

x e si x

a) [1,5 puntos] Calcule lim ( )x

f x

y lim ( )x

f x

b) [1 punto] Determine el valor de a para que la función sea continua en todo . CUESTIÓN B.4:

a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida 3

2

1

1

x xdx

x

b) [1 punto] Obtenga una primitiva F(x) de la función

3

2

1( )

1

x xf x

x

que cumpla la condición

F(0) = 2.


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SOLUCIONES

CUESTIÓN A.1: Considere la siguiente matriz

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

A sen

a) [1 punto] Calcule el determinante de A.

2 2 2 2 2 2

cos 0

cos 0 0 0 0 cos 0 cos cos 1

0 0 1

sen

A sen sen sen sen

b) [1,5 puntos] Calcule las potencias sucesivas A2, A3, A4

y A5. Calcule A2016.

2

2 2

2 2

2

3 2

4 3 2

5

cos 0 cos 0

cos 0 · cos 0

0 0 1 0 0 1

cos cos cos 0

cos cos cos 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

· ·

· ·

sen sen

A sen sen

sen sen sen

sen sen sen

A Id

A A A Id A A

A A A A A A Id

A

4 · ·A A Id A A

Se observa que las potencias pares van a ser la matriz identidad y las impares la matriz A. Por

ello A2016=Id

CUESTIÓN A.2: Los puntos P = (1, 1, 1), Q = (2, 2, 2) y R = (1, 3, 3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo:

a) [1,25 puntos] Calcule el área del paralelogramo.

El valor del área se obtiene mediante el módulo del producto vectorial de los vectores QP y QR :

= 1,1,1 2,2,2 1, 1, 1 1 1 1 0,2, 2

1,3,3 2,2,2 1,1,11 1 1

0,2, 2 0 4 4 8

i j kQP

QP QRQR

Área

b) [1,25 puntos] Determine el cuarto vértice del paralelogramo.


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Consideremos el punto S=(a, b, c), como los vectores QP y RS deben ser iguales, se cumplirá:

= 1, 1, 1Como

a,b,c 1,3,3 a 1,b 3,c 3

1, 1, 1 a 1,b 3,c 3

1 1 0

1 3 2 0,2,2

1 3 2

QPQP RS

RS

a a

b b S

c c

Algunos prefieren hacerlo por la propiedad que nos dice que el punto medio del segmento PR

y el punto medio del segmento QS es el mismo:

1,1,1 1,3,3 2,4,41,2,2

2 2

2,2,2 a,b,c 2 ,2 b,2 c 2 2 2, ,

2 2 2 2 2

21 2 2 0

2

2 2 2 21,2,2 , , 2 4 2 2

2 2 2 2

22 4 2 2

2

PR

QS

Punto medio

a a b cPunto medio

aa a

a b c bb b

cc c

El punto S=(0, 2, 2)

CUESTIÓN A.3: Dada la función

21

2( )

x

xf x

e

se pide:

a) [1 punto] Estudie las asíntotas de la gráfica de f (x). Asíntota vertical. x=a Ese valor de a que buscamos se obtiene de los valores excluidos del dominio de la función, en este caso, igualamos a cero el denominador de la función

21 0 No es posible, la exponencial siempre es positivaxe

Asíntota vertical No existe

Asíntota horizontal. y=b

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2 2lim Regla de L'Hopital lim 0

2


2

x xx x

x xx x

x

e xe

x

e xe

Asíntota horizontal y=0

Asíntota oblicua y=mx+n


5 de 10

Al tener una asíntota horizontal no tiene asíntota oblicua

b) [1,5 puntos] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los

extremos relativos de la función.

Utilizamos su función derivada

22 2

22 2

1 21 1 2

2 2 11 1

2 42 2 ·2 2 4'( )

xx x

xx x

e xe x xe xf x

ee e

La igualamos a cero '( ) 0f x

2

22 2 2

1

2 4 2 1 10 2 4 0 2 4

4 2 2x

xx x x x

e

Antes de 1

2 (por ejemplo x=-1)

2

2

21 1

2 4 1 2'( 1) 0f

ee

La función decrece

Entre 1

2 y

1

2 (por ejemplo x=0) 2

2

11 0

2 4·0 2'(0) 0f

ee

La función crece

A partir de 1

2 (por ejemplo x=1) 2

2

21 1

2 4·1 2'(1) 0f

ee

La función decrece

La función es decreciente en el intervalo 1

,2

, creciente en 1 1

,2 2

y decreciente

en 1

,2

.

Representando esta información:

Por lo anterior, la función presenta un mínimo en 1

2x y un máximo en

1

2x

CUESTIÓN A.4: a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida

12

2 2 2

Cambio de variable1 1 1

11+e e1 1

1Deshacemos el cambio

1

xx

x xx x

x

e tdx e dx dt t dt

tt dx dt te e

Ce

.

b) [1 punto] Determine el valor de a > 0 para que

20

1

41

xa

x

edx

e

2 00

0

1 1 1 1 1

1 1 1 1 21

axa

x a ax

edx

e e e ee

1

2

1

2


6 de 10

Como debe ser igual a 1

4

1 1 1 1 1 1 1 1

4 1 4 11 2 4 1 2 4 1 4

3 3 ln 3

a a

a a a

a a

e ee e e

e e a


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. OPCIÓN B: No es necesario responder a las cuestiones en el mismo orden en que están enunciadas. Antes bien, se recomienda al alumno que empiece por aquellas cuestiones que le resulten más sencillas.

CUESTIÓN B.1: Sabiendo que 1 0 1 2

2 4 6

x y z

, calcule razonadamente los siguientes

determinantes: a) [1 punto]

3 0 1 1 0 1 1 0 1Saco factor comun Saco factor comun

3 2 3· 2 3·2 3 en la 1ª columna 2 en la 2ª columna

6 8 6 2 8 6 2 4 6

Intercambio fila 1ª y 2ª 6·( 1) 1 0 1 6·2 12

2 4 6

x y z x y z x y z

x y z

b) [1,5 puntos]

2 4 6 2 4 6

3 1 3 3 1 Separo 1ª fila en 2 determinantes 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1

2 4 6 2 4 6

Separo 2ª fila en 2 determinantes 3 3 3 1 0 1 3 3 3 1 0 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

2 4 6

3 3 3 saco facto

1 0 1

x y z x y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

x y z

r comun 3 en 2ª fila

2 4 6

1 0 1 0 , 2ª y 3ª fila son proporcionales2 4 6

1 0 13·

3 3 3 0 , 2ª fila es 3·1ª fila

1 0 1

1 0 1 0 , 2ª y 3ª fila son proporcionales

1 0 1

xx y z

x y z

x y z

0 0 0

1 0 1

Intercambio fila 1ª y 2ª 3·( 1) 2 4 6 Intercambio fila 2ª y 3ª 3·( 1)( 1) 1 0 1 3·2 6

1 0 1 2 4 6

y z

x y z x y z


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CUESTIÓN B.2: Considere el plano π que pasa por el punto P = (2, 0, 1) y tiene como vectores

directores los vectores 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w . Considere la recta r dada por

1:

2 3 1

x y zr

a) [1,25 puntos] Estudie la posición relativa de π y r.

El vector director de la recta r es v 2,3,1 .

Para que la recta sea paralela o incluida en el plano

deben ser los vectores v, w y v dependientes, comprobemoslo:

1 0 2

0 1 2 1 0 0 4 0 6 3 0

2 3 1

r

r

Los vectores son linealmente independientes y por tanto la recta r es secante con el plano π.

Otra forma de averiguarlo. Calculemos el vector normal al plano, mediante el producto

vectorial de 1, 2( )0,v y 0,1( ), 2w 1 0 2 2, 2,1

0 1 2

i j k

n

Si este vector normal y el vector director de la recta son ortogonales, la recta estará en el mismo plano o será paralela a él. Comprobémoslo con el producto escalar de ambos:

v · 2,3,1 · 2,2,1 4 6 1 3 0r n

Por lo que la recta es secante con el plano π

b) [1,25 puntos] Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q=(−1, 0, −2), es

paralela a π y perpendicular a r.

Solo necesito un vector director de la recta para establecer la ecuación:

1 2s :

x y z

a b c

Este vector v , ,s a b c es paralelo al plano y por lo tanto perpendicular al vector normal del

plano, como también es perpendicular al vector v 2,3,1r , este vector que buscamos es el

producto vectorial de v 2,3,1 y n= 2,2,1r


9 de 10

v n 2,3,1 2,2,1 2 3 1 1, 4,10

2 2 1

r

i j k

Así v 1, 4,10s y la ecuación de la recta pedida es:

1 2s :

1 4 10

x y z

CUESTIÓN B.3: Considere la función dada por

2

ln 1 0( )

0x

a x si xf x

x e si x

a) [1,5 puntos] Calcule lim ( )x

f x

y lim ( )x

f x

Empecemos con el límite en – ∞, como la función es definida a trozos utilizaremos la rama que

esta cercana a -∞:

lim ( ) lim ln 1 lnx x

f x a x a a

En el límite en + ∞ utilizaremos la rama de la función próxima a dicha zona y:

22lim ( ) lim lim Regla de L'Hopital


x

xx x x

x xx x

xf x x e

e

x

e e

b) [1 punto] Determine el valor de a para que la función sea continua en todo . Para ello basta con lograr que sea continua en x=0. Calculamos los límites laterales de la función en el punto x=0 e igualémoslos al valor de la función en x=0:

0

22

00 0

2 0

lim ln(1 ) ln1

0 0lim lim 0

1

(0) 0 · 0 ·1 0

x

x

xx x

a x a a

xx e

e e

f e

Por lo tanto los limites laterales deben ser iguales, así a=0

CUESTIÓN B.4:

a) [1,5 puntos] Calcule la siguiente integral indefinida 3

2

1

1

x xdx

x

23 3

2 2 2

11 1

1 1 1

x xx x x xdx dx dx

x x x

2 1x 2

2

2

1

1

1

1 2

dx dxx

xxdx dx arctgx C

x

Otra forma de resoverlo:


10 de 10

3 23

32

2

2 2

Realizo la división de polinomios que aparece en la integral

1 11

1

1

11 1

1 1

x x xx xdx

x x xx

x xx dx xdx dx

x x

2 1x 2

2

2

1

1

1

1 2

dx dxx

xxdx dx arctgx C

x

b) [1 punto] Obtenga una primitiva F(x) de la función

3

2

1( )

1

x xf x

x

que cumpla la

condición F(0) = 2.

F(x) ya lo hemos calculado

2

( )2

xF x arctgx C , entonces debe cumplirse que

20(0) 0 2

2

0 0 2

F arctg C

C

El parámetro C=2 y por tanto la primitiva pedida es

2

( ) 22

xF x arctgx

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