Propabilidades Final
-
Upload
angelita-sierra -
Category
Documents
-
view
28 -
download
0
Transcript of Propabilidades Final
“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y Seguridad Alimentaria”
Universidad Andina del Cusco
Tema : Probabilidades
Curso : Estadística Industrial II
Docente : Ing. Guido Farfán
Alumnos : Humberto Andrés Chang Peláez
Fausto André Landa SotomayorJessica Rojas GrandeLilibeth Bertha Salas LetonaAngela María Sierra Casanova
Semestre : 2013 - II
Cusco - 2013
PROBABILIDADES Página 2
PRESENTACIÓN
El presente informe sobre el tema de “Probabilidades”, está realizado de
manera concreta y sencilla a fin de poder ser una herramienta de ayuda para
esclarecer dudas o interrogantes, que en su mayoría se quedan al aire a causa
del dificultoso entendimiento de términos o propiedades que se ven
desarrolladas en esta parte que comprende la Estadística.
PROBABILIDADES Página 3
INTRODUCCION
La Estadística, nace de las necesidades reales del hombre. La variada y
cuantiosa información relacionada con éste y que es necesaria para la toma de
decisiones, hace que la estadística sea hoy, una importante herramienta de
trabajo.
Entre las tareas principales de la Estadística, está el de reunir la información
integrada por un conjunto de datos, con el propósito de obtener conclusiones
válidas del comportamiento de éstos, como también hacer una inferencia sobre
comportamientos futuros.
En cuanto al uso y la aplicación, puede decirse que abarca todo el ámbito
humano encontrándose en las relaciones comerciales, financieras, políticas,
sociales, etc. siendo fundamental en el campo de la investigación y en la toma
de decisiones.
Es así también como en el área de las empresas de servicio y manufactura es
posible realizar un análisis profundo del proceso estadístico al control de la
productividad y de la calidad.
El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con
certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge
como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y
pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a
los matemáticos de la corte.
Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron
otros usos muy diferentes para la que fueron creadas.
PROBABILIDADES Página 4
Contenido
Presentación.......................................................................................................1
Introduccion.........................................................................................................2
1. Concepto:.....................................................................................................4
A) Experimento Aleatorio:..............................................................................4
B) Espacio Muestral:......................................................................................4
C) Evento O Suceso:......................................................................................4
2. Historia:.........................................................................................................5
3.-Métodos Para Calcular Probabilidades...........................................................5
3.1.-Regla De La Adición O De La Suma............................................................5
3.2.-Regla De La Multiplicación...........................................................................8
3.3.-Regla De Laplace.......................................................................................10
4.-Probabilidad Condicional..............................................................................11
4.1.-Sucesos Dependientes..............................................................................13
4.2.-Sucesos Independientes............................................................................14
4.3-Sucesos Mutuamente Excluyentes.............................................................15
5.Técnicas De Conteo.......................................................................................15
5.1. Principio Aditivo..........................................................................................16
5.2. Diagramas De Árbol...................................................................................17
5.3. Permutaciones.-.........................................................................................18
5.3.1. Permutaciones Circulares.......................................................................19
5.3.2. Permutaciones Con Grupos De Objetos Iguales.....................................19
6.-Teoremas De Probabilidad.-.........................................................................20
6.1.- Teorema De La Probabilidad Total.-.........................................................20
6.2.- Teorema De Bayes.-.................................................................................22
7.-Webgrafia.-....................................................................................................27
PROBABILIDADES Página 5
PROBABILIDADES
1. Concepto:
Antes de definir lo que es una probabilidad, debemos de conocer previamente
algunos significados básicos.
a) Experimento Aleatorio:
Cualquier operación cuyo resultado no puede ser predicho con seguridad.
Ejemplo: Lanzamiento de una moneda o un dado.
b) Espacio Muestral:
Conjunto de todos los posibles resultados asociado a un experimento. Se
representa por el símbolo omega (Ω). Ejemplo: Lanzamiento de un dado: Ω =
[ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]
c) Evento o Suceso:
Es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Todo subconjunto es un
evento, así mismo como Ω es un evento llamado suceso seguro y el conjunto
vacío es un evento llamado suceso imposible.
Una vez desarrollados los conceptos básicos podemos desarrollar con mayor
claridad lo que es una probabilidad.
Definición: La probabilidad es una medida de la incertidumbre, en otras
palabras, es la ejecución de un de un experimento aleatorio cuyo resultado
depende del azar. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (0% - 100%) donde
el valor cero corresponde a un suceso imposible mientras que el valor uno es
denominado un suceso seguro.
Generalmente se expresa matemáticamente como el cociente entre el número
de resultados favorables (éxito) y el número de resultados posibles:
PROBABILIDADES Página 6
2. Historia:
La probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer la certeza
de los eventos que sucederán en el futuro.
Según Amanda Dure, "Antes de la mitad del siglo XVII, el término 'probable' (en
latín probable) significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido,
unívocamente, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era
una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, en las
circunstancias."1. Sin embargo en 1654, Pierre de Fermat y Blaise Pascal
plantearon la doctrina de las probabilidades. Basado en ello, en 1657, Christian
Huygens le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto de
probabilidades.
Años más tarde, Pierre Simon Laplase afirmó "Es notable que una ciencia que
comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el
objeto más importante del conocimiento humano".2.
Actualmente para la Real Academia Española la palabra “azar” es definida
como casualidad, caso fortuito y afirma que dicha expresión significa “sin
orden”.3
3. Métodos para calcular probabilidades
3.1. Regla de la adición o de la suma
Para eventos mutuamente excluyentes:
Decimos que dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes o incompatibles
cuando no tienen puntos en común, es decir, su intersección es vacía:
1 Jeffrey, R.C., Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992). pp. 54-55. ISBN 0-521-39459-72 «Historia de la Probabilidad». estadisticaparatodos.es.3 «azar», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001
PROBABILIDADES Página 7
La regla de la suma dice que probabilidad de la suma de dos sucesos
incompatibles A y B es la suma de sus probabilidades, es decir:
Dónde:
El conectivo lógico “o” corresponde a la unión en la teoría de conjuntos.
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos.
Demostración. Designemos mediante na y nb a la cantidad de elementos de A
y B, respectivamente. Como A y B no tienen puntos en común, su unión A U B
tiene na + nb puntos, que son los casos favorables para A U B. Entonces:
Donde la última igualdad se obtiene también por la definición de probabilidad.
Decimos que los sucesos A1,…, Am son incompatibles dos a dos cuando todas
las parejas posibles de sucesos distintos son incompatibles, es decir, cuando:
Si A, B y C son tres sucesos incompatibles no es difícil establecer, teniendo en
cuenta el teorema anterior, que:
P(A U B U C) = P(A) + P (B) + P(C).
Más en general, si A1,…, An son sucesos incompatibles dos a dos, la regla de
la suma es la fórmula:
PROBABILIDADES Página 8
Esta fórmula incluye a las dos anteriores en los casos en que n = 2 y n = 3, y se
demuestra mediante la aplicación sucesiva de la fórmula (1).
Ejemplo: Se tiene una baraja de cartas (52 cartas sin jokers), ¿Cuál es la
probabilidad de sacar un As o una reina? Sea A = sacar una reina y sea B
= sacar un as, entonces:
Por consiguiente:
Para eventos no mutuamente excluyentes:
Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes, es decir, de modo que
ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la
siguiente regla para calcular dicha probabilidad:
A y B son no excluyentes. Siendo:
P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A.
P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B.
P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
Dónde:
PROBABILIDADES Página 9
El conectivo lógico “o” corresponde a la unión en la teoría de conjuntos.
El conectivo “y” corresponde a la intersección en la teoría de conjuntos.
El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de
conjuntos.
Ejemplo:
Se lanza un dado y si el resultado es par o divisible entre tres se ganaran
$3000. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?
Lo que primero hacemos es definir los sucesos:
Sea A = resultado par: A = 2, 4, 6
Sea B = resultado divisible por 3: B = 3,6 . ¿Ambos sucesos tienen
intersección?
Luego:
3.2. Regla de la multiplicación:
La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos
o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus
probabilidades individuales.
De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados
al despejar
Si A y B son dependientes
Si A y B son independientes.
PROBABILIDADES Página 10
Las relaciones y son casos especiales de la llamada Regla de la
multiplicación, la cual es útil para calcular probabilidades de intersecciones de
eventos con base en probabilidades condicionales.
Esta regla de manera general se puede expresar como:
Sea eventos tales que . Entonces:
Ejemplo:
Un lote contiene 100 ítems de los cuales 20 son defectuosos. Los ítems son
seleccionados uno después del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga
que dos ítems son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto
que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿Cuál es la probabilidad
de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos?
Solución
Sea los eventos:
Entonces dos ítems seleccionados serán defectuosos, cuando ocurre el
evento que es la intersección entre los eventos A1 y A2. De la
información dada se tiene que:
Así probabilidad de que los dos ítems seleccionados sean defectuosos es:
Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que
los tres ítems seleccionados sean defectuosos es:
PROBABILIDADES Página 11
3.3. Regla de Laplace:
La regla de Laplace establece que:
La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0.
La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) =
1.
Cuando un experimento aleatorio es regular, es decir que todos los sucesos
elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir ó son equiprobables, para
calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el
cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos
favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos
posibles).La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula por la siguiente
relación:
Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número
de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos
posibles. Este resultado se conoce como regla de Laplace.
Observa que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles
sean igualmente probables.
Ejemplo:
Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:
1) Un número par.
Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Casos favorables: 2, 4, 6.
2) Un múltiplo de tres.
PROBABILIDADES Página 12
Casos favorables: 3, 6.
3) Mayor que 4.
Casos favorables: 5, 6.
4. Probabilidad Condicional
La probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurrio un
evento se llama probabilidad condicional y se denota por que por lo
general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A". Esta
probabilidad se define como:
La probabilidad condicional es una función de probabilidad, definida
como
¿Es una función de probabilidad?
es una función de probabilidad porque satisface los tres axiomas
Axioma I
para todo evento .
Como
entonces dividiendo por se tiene los términos de la desigualdad se tiene
PROBABILIDADES Página 13
Axioma II
Como
Axioma III
Si es una sucesión de eventos mutuamente excluyentes, entonces
Como
como los eventos son mutuamente excluyentes, entonces los
eventos son también mutuamente excluyentes y así
4.1. Sucesos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia
de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (u otros). Cuando
tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad
condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La
PROBABILIDADES Página 14
expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento
B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
4.2. Sucesos independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia
de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento
(o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con
reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la
población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que
ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A y B, son independientes
si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si: A es independiente de B si
y sólo si:
Esta propiedad coincide más con la idea intuitiva de independencia y algunos
textos la dan como definición. Hay que notar, sin embargo, que ambas
definiciones no son estrictamente equivalentes.
Ejemplo:
Para un hijo de una mujer portadora de Duchenne, el sexo y la enfermedad
¿son independientes?
Según vimos en el Ejemplo el espacio muestral es = xX, xY, XX, XY
Definimos los sucesos A = varón = xY, XY; B = enfermo = xY
A B = xY
PROBABILIDADES Página 15
por lo tanto p(A) = 0,5; p(B) = 0,25; p(A B) = 0,25 p(A) p(B) NO son
independientes.
4.3. Sucesos mutuamente excluyentes
Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento
sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías
científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado,
entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una
variedad de disciplinas.
Fórmula
La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos
mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la
fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la
probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A
más la probabilidad del evento B".
5. Técnicas de conteo
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción
puede realizarse de n2 maneras diferentes, entonces ambas acciones pueden
realizarse secuencialmente de n1n2 maneras diferentes.
Este principio multiplicativo se generaliza para cualquier número de acciones a
realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1 maneras
diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras diferentes,...,
y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras diferentes, entonces las r
acciones se pueden realizar de n1n2...nr maneras diferentes.
P(A) = n/N= número de maneras en que puede ocurrir A/número de maneras
en q puede ocurrir el experimento
El análisis combinatorio estudia los procedimientos y estrategias para contar
las posibles agrupaciones de los elementos de un conjunto, permitiendo
determinar el número de posibilidades lógicas que cabe esperar al realizar
PROBABILIDADES Página 16
algún experimento, sin necesidad de enumerarlas; es una forma abreviada de
contar que se resume en unas cuantas técnicas basadas en procedimientos y
fórmulas recurrentes.
Ejemplo:
Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras
que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes
(1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras
diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden caer ambos dados
simultáneamente es: 66 = 36
5.1. Principio aditivo
Si una acción puede realizarse de n1 maneras diferentes y una segunda acción
puede realizarse de n2 maneras diferentes, pero no es posible realizar ambas
acciones conjuntamente, entonces n1 o n2 pueden realizarse alternativamente
de n1 + n2 maneras diferentes.
Este principio aditivo se generaliza para cualquier número de acciones
alternativas a realizar, esto es, si una primera acción se puede realizar de n1
maneras diferentes, una segunda acción se puede realizar de n2 maneras
diferentes ,..., y una r-ésima acción se puede realizar de nr maneras
diferentes, entonces las r acciones alternativas se pueden realizar de n1+ n2
+...+ nr maneras diferentes.
También se puede hacer un esquema representativo del principio aditivo,
aunque éste no sea un diagrama de árbol propiamente dicho. Todas las
posibles ramas parten de un único nodo; algunas de ellas corresponden al
número de maneras en que puede realizarse una primera acción, otras
corresponden al número de maneras en que se puede realizar una segunda
acción alternativa, ... y así sucesivamente. El total de ramas es precisamente el
número de maneras en las que se pueden llevar a cabo las distintas acciones
alternativas.
PROBABILIDADES Página 17
Es muy sencillo distinguir cuándo hacer uso del principio multiplicativo y cuándo
del aditivo: Si se trata de una secuencia de acciones, deberemos usar el
principio multiplicativo. Si se trata de una sola acción que presenta distintas
alternativas de realización, deberemos usar el principio aditivo.
Ejemplo:
Para viajar de México a Ensenada se puede optar por avión, autobús o tren;
existen tres rutas para el avión, cuatro para el autobús y dos para el tren.
¿Cuántas rutas hay para viajar?
Los tres medios alternativos de transporte son disyuntivas a elegir; al optar por
una de ellas, las otras dos quedan excluidas; por lo tanto es aplicable el
principio aditivo. El número de maneras diferentes en que podemos viajar de
México a Ensenada son:
3 + 4 + 2 = 9
.
5.2. Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica que permite enumerar todas
las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o
independientes.
El árbol se construye a partir de un nodo, que representa la primera acción a
efectuar; de éste se desprenden tantas ramas como maneras diferentes se
pueda realizar esa acción; en las terminales de cada rama se dibujan otros
nodos, que representan la segunda acción a efectuar y de los que se
desprenden tantas ramas como maneras lógicas diferentes pueda realizarse
esa segunda acción, considerando la manera en que se realiza la primera. Y
así, sucesivamente.
Ejemplo:
Considere el experimento consistente en lanzar una moneda tres veces
consecutivas y observar, cada vez, la cara que queda hacia arriba.
La primera vez que se lanza la moneda, la cara que queda hacia arriba puede
ser águila o sol; la segunda vez que se lanza, también la cara que queda hacia
PROBABILIDADES Página 18
arriba puede ser águila o sol, sin importar lo que haya caído la primera vez; lo
mismo puede ocurrir la tercera vez que se lanza la moneda. Entonces, el
diagrama de árbol correspondiente es:
El número de maneras en que puede caer la moneda tres veces consecutivas
es:
222 = 8
Entonces, el diagrama de árbol correspondiente es:
5.3. Permutaciones
Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se
pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los
mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se
colocan éstos. Notación:
Pn Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n
objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto
se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se
puede hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto
PROBABILIDADES Página 19
sólo se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental
del conteo se tiene:
Pn =(n) (n-1) (n-2) ...3 x2x1 , que nos conduce a la definición de factorial: Pn =
n!
5.3.1. Permutaciones Circulares.
Se llaman permutaciones circulares de n objetos a las diferentes maneras en
que se pueden colocar esos n objetos alrededor de un círculo; en este tipo de
permutaciones, lo que importa son las posiciones relativas de los objetos con
respecto a ellos mismos y no las posiciones absolutas de los objetos en el
círculo. Notación: PCn.
Existen n permutaciones lineales que, al ser colocadas en círculo, conducen a
una misma permutación circular, porque cada objeto queda en la misma
posición relativa respecto a los (n - 1) objetos restantes; de manera que por
cada permutación circular hay n permutaciones lineales equivalentes.
Entonces, para calcular el número de permutaciones circulares de n objetos, se
divide el número de permutaciones lineales de n objetos entre las n
permutaciones equivalentes: PCn= (Pn / n)= (n !/ n)=( n -1) !
5.3.2. Permutaciones con Grupos de Objetos Iguales.
Se llaman permutaciones de objetos, con r grupos de objetos iguales a las
diferentes maneras distinguibles en que se pueden ordenar esos n objetos, de
manera que los n1 objetos iguales entre sí, los n2 objetos iguales entre sí,..., y
los nr objetos iguales entre sí, al permutarse entre ellos por grupo, no pueden
distinguirse unos de otros. Notación:
PROBABILIDADES Página 20
Existen n1 permutaciones lineales que conducen a una sola permutación
distinguible, porque las permutaciones de los n1 objetos iguales no son
distinguibles entre sí; existen n2 permutaciones lineales que conducen a una
sola permutación distinguible, porque las permutaciones de los n2 objetos
iguales no son distinguibles entre sí; ... y existen nr permutaciones lineales que
conducen a una sola permutación distinguible, porque las permutaciones de los
nr objetos iguales no son distinguibles entre sí. De manera que por cada
permutación distinguible hay n1permutaciones lineales equivalentes, por cada
permutación distinguible hay n2 permutaciones lineales equivalentes,..., y por
cada permutación distinguible hay nr permutaciones lineales equivalentes.
Entonces, para calcular el número de permutaciones distinguibles de n objetos,
se divide el número de permutaciones lineales de n objetos entre las n1!
permutaciones equivalentes, entre las n2! permutaciones equivalentes,..., y
entre las nr! permutaciones equivalentes:
Pn (n1, n2 ,...,nr) = n! / n1!n2!...nr!
6. Teoremas de probabilidad
6.1. teorema de la probabilidad total
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un
suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes
es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos
permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si
conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen
tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
PROBABILIDADES Página 21
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las
probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A
(probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la
probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que
contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el
100%).
Ejemplo:
Al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un
sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el
100%
Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema
completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En
este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.
Ejemplo 1:
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades
de ser elegidas:
a) Amarilla: probabilidad del 50%.
b) Verde: probabilidad del 30%
c) Roja: probabilidad del 20%.
Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos.
Así, si la papeleta elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que
participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman
100%
PROBABILIDADES Página 22
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejemplo 2:
Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60%
b) Juan, con una probabilidad del 30%
c) Luis, con una probabilidad del 10%
En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el
sueldo es la siguiente:
a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la fórmula:
P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.
6.2. Teorema de Bayes
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura
permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un
experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la
ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se
parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento
(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias
del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
PROBABILIDADES Página 23
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad
condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:
Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y
en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) +
P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa
al:
Ejemplo 1:
Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de reguladores A y B
visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de Probabilidad Total,
cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador al azar de la
producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la probabilidad de
que sea del tipo B?
Solución
En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por
lo que ese evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento
condición. Por lo tanto, el planteamiento de la pregunta es P(B | F).
Los datos que se tienen son :
P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98
De acuerdo al Teorema de Bayes:
PROBABILIDADES Página 24
Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al
aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la
probabilidad condicional establece que . De esta forma
podemos ver que la Probabilidad
Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También
podemos observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y
del Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema
de Bayes, Veamos:
Ejemplo 2:
Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las
que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la
C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la
B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos
por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un
artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de
que sea un tabique.
Solución
Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto
tenemos que:
P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03
P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04
P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05
Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa
que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución
PROBABILIDADES Página 25
solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición
esta característica. Por lo tanto:
Ejemplo 3:
A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son
mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son
especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en
computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Solución
Definamos los eventos:
H: Sea un hombre
M: Sea una mujer
E: La persona sea especialista en computación
Tenemos que:
Por lo tanto:
PROBABILIDADES Página 26
PROBABILIDADES Página 27
CONCLUSION:
Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un
soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.
Existen diversos métodos que ayudan a comprender el azar y es importante
conocerlos ya que su uso agiliza la toma de decisiones acertadas.
PROBABILIDADES Página 28
7. WEBGRAFIA.-
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad#cite_ref-1
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-27-est.htm
Estuardo Morales, “Estadística y Probabilidades” pag 58 Unidad 2
http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/pdf/Estadistica%20y%20Probabilidad.pdf
http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/100.HTM
http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_18.html
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/
cont_216_58.html
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/5.html
PROBABILIDADES Página 29