Ejercicio. 1Suponga que el permetro de la rueda de la ruleta rusa est marcado con los nmeros 1 a 5. La probabilidad de detenerse en el numero i es p1 = 0.3, p2 = 0.25, p3 = 0.2, p4 = 0.15 Y p5 = 0.1. El jugador paga $5 para hacer un mximo de cuatro giros y en cada giro se le paga el doble del nmero que ha salido. Determine la estrategia ptima para cada uno de los cuatro giros, y el ingreso neto esperado correspondiente.SolucinEtapa 5 f5(j) = 2jResultado j del giro 4f5(j)Decisin

12Terminar

24Terminar

36Terminar

48Terminar

510Terminar

Etapa 4f4(j) = mx. {2j, p1f5 (1) + p2f5 (2) + p3f5 (3) + p4f5 (4) + p5f5 (5)} = mx. {2j, 0.3 X 2 + 0.25 X 4 + 0.2 X 6 +0.15 X 8 + 0.1 X 10} = mx. {2j, 5}Ingreso esperadoSolucin ptima

Resultado j del giro 3TerminarGirarf4(j)Decisin

1255Girar

2455Girar

3656Terminar

4858Terminar

510510Terminar

Etapa 3f3(j) = mx. {2j, p1f4 (1) + p2f4 (2) + p3f4 (3) + p4f4 (4) + p5f4 (5)} = mx. {2j, 0.3 X 5 + 0.25 X 5 + 0.2 X 6 +0.15 X 8 + 0.1 X 10} = mx. {2j, 6.15}Ingreso esperadoSolucin ptima

Resultado j del giro 2TerminarGirarf3(j)Decisin

126.156.15Girar

246.156.15Girar

366.156.15Girar

486.158.00Terminar

5106.1510.00Terminar

Etapa 2f2(j) = mx. {2j, p1f3 (1) + p2f3 (2) + p3f3 (3) + p4f3 (4) + p5f3 (5)} = mx. {2j, 0.3 X 6.15 + 0.25 X 6.15 + 0.2 X 6.15 +0.15 X 8 + 0.1 X 10} = mx. {2j, 6.8125}Ingreso esperadoSolucin ptima

Resultado j del giro 1TerminarGirarf3(j)Decisin

126.81256.8125Girar

246.81256.8125Girar

366.81256.8125Girar

486.81258.0000Terminar

5106.812510.0000Terminar

Etapa 1f1(0) = p1f2 (1) + p2f2 (2) + p3f2 (3) + p4f2 (4) + p5f2 (5) = 0.3 X 6.8125 + 0.25 X 6.8125 + 0.2 X 6.8125 +0.15 X 8 + 0.1 X 10 = 7.31La nica opcin disponible al iniciar el juego es girar.De acuerdo con los cuadros anteriores, la solucin ptima es:Giro numeroEstrategia optima

1Comienza el juego, girar

2Continuar si el giro 1 produce 1, 2 3. Si no, terminar el juego

3Continuar si el giro 2 produce 1, 2 3. Si no, terminar el juego

4Continuar si el giro 3 produce 1, 2 3. Si no, terminar el juego

Ingreso neto esperado = $7.31 - $5.00 = $2.31

Ejercicio. 2Se desean invertir $10.000 durante los siguientes 4 aos. Determine una estrategia ptima de inversin, suponiendo q las probabilidades pky el ingreso rkvaran durante los 4 aos, de acuerdo con los datos siguientes:Aor1r2r3p1p2p3

1210.50.10.40.5

210-10.40.40.2

34-1-10.20.40.4

40.80.40.20.60.20.2

SolucinDel enunciado:C=$10.000 el dinero que se va a invertir durante los 4 aos.n=4, nmero de perodosSea:Xi: dinero disponible al inicio del ao i.Yi: cantidad a invertir al inicio del ao i.Con Yi XiXi+1 = rk*Yi + Xi: dinero disponible al inicio del perodo i+1.Etapa 4:F4(x4) =x4+ ((p1*r1) + (p2*r2) + (p3*r3))*x4F4(x4) =x4(1+ (0.6*0.8) + (0.2*0.4) + (0.6*(0.2)))F4(x4)=1.6*x4

La solucin de la etapa 4 es:f4*(x4)Y4*

x41,6x4X4

Etapa 3:F3(x3)=Max {p1*f4(x3+r1*y3) + p2*f4(x3+r2*y3) + p3*f4(x3+r3*y3)}F3(x3)=Max {0.2*1.6(x3+4*y3) + 0.4*1.6(x3-1*y3) + 0.4*1.6(x3-1*y3)}F3(x3)=Max {1.6x3+0*y3}El mximo valor se alcanza al invertir todo y3=x3La solucin de la etapa 3 es:F3*(x3)Y3*

X31,6x3X3

Etapa 2:F2(x2)=Max {p1*f3(x2+r1*y2) + p2*f3(x2+r2*y2) + p3*f3(x2+r3*y2)}F2(x2)=Max {0.4*1. 6(x2+1*y2) + 0.4*1.6(x2+0*y2) + 0.2*1.6(x2-1*y2)}F2(x2)=Max {1.6x2+0.32y2}El mximo valor se alcanza al invertir todo y2=x2La solucin de la etapa 2 es:F2*(x2)Y2*

X21.92x2X2

Etapa 1:F1(x1)=Max {p1*f2(x1+r1*y1) + p2*f2(x1+r2*y1) + p3*f2(x1+r3*y1)}F1(x1)=Max {0.1*1.92(x1+2*y1) + 0.4*1.92 (x1+1*y1) + 0.5*1.92(x1+0.5y1)}F1(x1)=Max {1.92x1+1.632y1}El mximo valor se alcanza al invertir todo y1=x1La solucin de la etapa 1 es:F1*(x1)Y1*

X13,552x1X1

Entonces la estrategia ptima es: Invertir $10 000 el ao 1. Invertir todo el ao 2. No invertir el ao 3. Invertir todo el ao 4.Los fondos acumulados al final de 4 aos son:3.552*x1= 3.552*10000= $ 35520

Luego la funcin recursiva es:

Ejercicio. 3Una persona desea invertir $2000. Dispone de las opciones de duplicar la cantidad invertida, con una probabilidad de 0.3, o de perder todo con una probabilidad de 0.7. las inversiones se venden al final del ao, y las reinversiones, que pueden ser totales o parciales, comienzan al principiar el ao siguiente. El proceso se repite durante tres aos consecutivos. El objetivo es maximizar la probabilidad de obtener $4000 al final del tercer ao. Para simplificar, suponer que todas las inversiones son en mltiplos de $1000.

Con probabilidad 0.3, y con probabilidad 0.7Etapa 3.El estado puede ser tan pequeo como 0, y tan grande como $8000.El valor mnimo se realiza cuando se pierde toda la inversin, y el mximo se presenta cuando la inversin sube al doble al final de cada uno de los 2 primeros aos.

Donde Elementos no factibles, porque no satisface

La tabla muestra que existen ptimos alternativos para , aunque la columna de optimo (ultima) solo indica el optimo mnimo . En este caso la hiptesis es que el inversionista no va a invertir ms que lo que sea absolutamente necesario para lograr el objetivo que persigue.0,3P(x3+y34)+0,7P(x3-y34)

Optimo

x3y3=012345678f3y3

00,3*0 +00

0,7*0 = 0

10,3*0 +0,3*0 +00

0,7*0 = 00,7*0 = 0

20,3*0 +0,3*0 +0,3*1 +0,32

0,7*0 = 00,7*0 = 00,7*0 = 0,3

30,3*0 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,32

0,7*0 = 00,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

40,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

50,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*1 = 10,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

60,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

70,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

80,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*1 = 10,7*0 = 0,90,7*0 = 0,30,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

Etapa 2. Los clculos correspondientes se ven en la siguiente tabla:0,3f3(x2 + y2)+0,7f3(x2 - y2)

Optimo

X2y3=01234f3y3

00,3*0 +00

0,7*0 = 0

10,3*0,3 +0,3*0,3+0,091

0,7*0,3 = 0,30,7*0 = 0,9

20,3*0,3 +0,3*0,3+0,3*1 +0,30

0,7*0,3 = 0,30,7*0 = 0,90,7*0 = 0,3

30,3*0,3 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,511

0,7*0,3 = 0,30,7*0,3 = 0,510,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

40,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +0,3*1 +10

0,7*1 = 10,7*0,3 = 0,510,7*0,3 = 0,510,7*0 = 0,30,7*0 = 0,3

Etapa 1.

0,3f2(x1 + y1)+0,7f2(x1 -y1)

Optimo

x1y3=012f3y3

20,3*0,3 + 0,7*0,30,3*0,51 + 0,7*0,0090,3*1 + 0,7*00,30

= 0,3 = 0,216 = 0,3

La estrategia ptima se determina: la inversin inicial , la etapa 1 da como resultado , que quiere decir que en el ao 1 no se debe invertir. La decisin de no invertir en el ao 1 deja al inversionista con $2000 al iniciar el ao 2. Produce , indicando que de nuevo no se debe de hacer inversin en el ao 2.A continuacin, usando , la etapa 3 muestra que , que equivale a invertir toda la cantidad en la tapa 3. La probabilidad mxima correspondiente a realizar la meta S=4 es

Ejercicio. 4Se desean invertir $10.000 durante los siguientes 4 aos. Existe un 40% de probabilidad de obtener una ganancia 2 veces superior a la inversin, 20% de probabilidad de no ganar ni perder y 40% de probabilidad de perder toda la inversin inicial. Disee una estrategia ptima de inversin.SolucinDel enunciado:C=$10.000 el dinero que se va a invertir durante los 4 aos.n=4, nmero de perodosp1=0,4p2=0,2p3=0,4

r1=2r2=0r3=(-1)

Sea:Xi: dinero disponible al inicio del ao i.Yi: cantidad a invertir al inicio del ao i.Con Yi XiXi+1 = rk*Yi + Xi:dinero disponible al inicio del perodo i+1.

Luego la funcin recursiva es:

La funcin recursiva es hacia atrs, por lo que el orden de los clculos es:

Con:Para etapa n,

Etapa 4:F4(x4) =x4(1+ (p1*r1)+ (p2*r2)+ (p3*r3))F4(x4) =x4(1+ (0.4*2) + (0.2*0)+ (0.4*(-1)))F4(x4)=1.4x4La solucin de la etapa 4 es:

f4*(x4)Y4*

x41,4x4X4

Etapa 3:F3(x3)=Max {p1*f4(x3+r1*y3) + p2*f4(x3+r2*y3) + p3*f4(x3+r3*y3)}F3(x3)=Max {0.4*1.4(x3+2*y3) + 0.2*1.4(x3+0*y3) + 0.4*1.4(x3-y3)}F3(x3)=Max {1.4x3+0.56y3}El mximo valor se alcanza al invertir todo y3=x3La solucin de la etapa 3 es:

F3*(x3)Y3*

X31,96x3X3

Etapa 2:

F2(x2)=Max {p1*f3(x2+r1*y2) + p2*f3(x2+r2*y2) + p3*f3(x2+r3*y2)}F2(x2)=Max {0.4*1.96(x2+2*y2) + 0.2*1.96(x2+0*y2) + 0.4*1.96(x2-y2)}F2(x2)=Max {1.96x2+0.784y2}El mximo valor se alcanza al invertir todo y2=x2La solucin de la etapa 2 es:F2*(x2)Y2*

X22.744x2X2

Etapa 1:F1(x1)=Max {p1*f2(x1+r1*y1) + p2*f2(x1+r2*y1) + p3*f2(x1+r3*y1)}F1(x1)=Max {0.4*2.744(x1+2*y1) + 0.2*2.744(x1+0*y1) + 0.4*2.744(x1-y1)}F1(x1)=Max {2.744x1+1.0976y1}El mximo valor se alcanza al invertir todo y1=x1La solucin de la etapa 3 es:F1*(x1)Y1*

X13,8416x1X1

Los fondos acumulados al final de 4 aos son:3.8416*x1= 3.8416*10000= $ 38416

Ejercicio. 5Se debe fabricar un artculo con altas exigencias de calidad y se ha estimado que la probabilidad de que apruebe el nivel de calidad y salga bueno es de slo 1/5 (20%) y los artculos malos son sin posibilidad de recuperacin. Poner en marcha las maquinarias un da para producir tiene un costo de $700 y el costo por unidad que se decida producir es de $50, y se dispone de 3 das.Si no se logra producir un artculo bueno en los 3 das, por contrato deber pagarse una multa de $2100. Cul es la poltica de produccin ms conveniente a seguir durantes estos 3 das para lograr al menos un artculo bueno? Cul debe ser el piso para el precio de venta de ese artculo bueno que se produzca?

El Modelo y sus partes.

Las etapas. Son los das de produccin. El problema tiene 3 etapas. Los estados: Se distinguir 2 estados dentro de cada etapa, y son: "la cantidad de artculos buenos que se tiene la obligacin de obtener en esa etapa". Se indicarn por 0 y 1. Estado inicial: 1 Estados finales posibles son 0 y 1.Es decir, el estado:0: indica que en esa etapa no se tiene la necesidad obligada de obtener un artculo bueno.1: indica que en esta etapa s se tiene la necesidad obligada de obtener un artculo bueno.Las variables de decisin: Cantidad de artculos que se deber fabricar ese da. Son tres: x1, x2, x3, donde: x1 es la cantidad de artculos a fabricar el da 1, x2 es la cantidad de artculos a fabricar el da 2, y x3 es la cantidad de artculos a fabricar el da 3.El costo de produccin de cada da est dado por:

700 ; si xi > 0

Costo por da: = 50xi + K(xi); Donde K(xi) =