Professores André Fernando André Cavalieri. Feita a Calibração...
Transcript of Professores André Fernando André Cavalieri. Feita a Calibração...
AJUSTE DE CURVASProfessores
André FernandoAndré Cavalieri
Feita a Calibração...
0 .00 2 .00 4 .00 6 .00
Força de Arrasto (N ewtons)
-4 .00
-2 .00
0 .00
2 .00
4 .00
6 .00
Ten
são
de
Saí
da
(Vol
ts)
Carregam ento
Descarregam ento
Ajuste de CurvasDiversos métodos:
Método dos mínimos quadrados;Método das médias móveis;Polinômios interpoladores;
Diversos tipos de curvas:Polinômios (inclusive o caso linear);Exponencial;Logarítmico;Potência;Etc...
Método dos Mínimos Quadrados: Caso LinearSeja um conjunto de
pontos obtidos experimen-talmente. Deseja-se encontrar a reta que torne mínima a seguinte quanti-dade:
Tal método é conhecido como Método dos Mínimos Qua-drados.
O Modelo de Regressão Linear SimplesExistem parâmetros a, b e tais
que , para qualquer valor fixo da varável independente x, a variavel dependente está relacionada a x por meio da equação do modelo:
A quantidade na equação do modelo é uma variável aleatória, considerada normalmente distribuida com Tal variável é chamada de desvio aleatório ou erro aleatório do modelo.
Estimando os Parâmetros do ModeloParâmetros
â
Os parâmetros do modelos devem ser determinados de forma a minimizar a soma dos quadrados dos erros (SQE) através do Métodos dos Mínimos Quadrados.A dedução dessas formulas foi feita em MAT-27/MAT-22 e complementada por MOQ-13.Obtem-se, assim, as fórmulas mostradas ao lado:
Inferências sobre o Coeficiente Angular Com frequência, o coeficiente angular b é a meta final de
toda a análise de regressão (coeficiente de calibração); Pode-se mostrar que (Ver Devore Seção 12,3):
Visto que o valor obtido pelo MMQ a partir de uma amostra é apenas uma estimativa do valor do coeficiente angular da reta de regressão populacional, a mesma distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade;
Assim, um Intervalo de Confiança de para o coeficiente angular a da reta de regressão real é:
Inferências sobre o Coeficiente LinearÉ exatamente análoga ao que já foi
apresentado acerca do coeficiente angular:
A variável distribui-se como uma t de Student com n-2 graus de liberdade.
Assim, um Intervalo de Confiança de para o coeficiente linear a da reta de regressão real é:
Inferências sobre valores o valor da função de calibração Da mesma forma que o erro associados aos parâmetros da melhor reta
recai sobre uma distribuição t de Student, a previsão de valores futuros de y a partir da melhor reta também obedece a mesma distribuição com os mesmos n-2 graus de liberdade;
Visto que o processo de amostragem é finito, a forma como os pontos de calibração são escolhidos influencia o resultado final;
Após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro do valor de estimada:
Assim, um Intervalo de Confiança de para um valor de y estimado a partir de uma reta de regressão real é:
Inferências sobre valores futuros de y É razoável esperar que os pontos
experimentais estejam dispersos em torno dessa melhor reta. Essa dispersão é maior do que a dispersão da reta em si. Assim, após algum algebrismo (Ver Seção 12.4 do Devore) obtém-se a seguinte expressão para o erro da variável y estimada:
Uma aplicação importante dessa equação é na aplicação do critério de Chauvenet.
Verificando a Viabilidade do ModeloIMPORTANTE!!!!
Antes de continuar a análise dos dados, é importante verificar se o modelo probabilístico linear é plausível ;
Se os pontos não tenderem a se agrupar ao redor de uma reta com aproximadamente o mesmo grau de dispersão para todo x, devem ser investigados outros modelos;
Uma forma analítica de verificar a compatibilidade dos dados com o modelo linear (ou qualquer outro modelo, com a devida adaptação) é através do Coeficiente de Determinação .
Uma forma de verificar a dispersão dos pontos é usando um gráfico de resíduos padronizado.
Resíduos padronizadosAnalisa a dispersão dos pontos em torno da
curva ajustada
O Coeficiente de Determinação Qual porção da variabilidade
de y pode ser atribuida ao fato de que x e y estão relacionados linearmente? Quão bem o meu modelo é capaz de explicar a variabilidade de y a partir do modelo linear proposto?
A soma dos quadrados dos erros SQE pode ser interpretada como uma medida da quantidade de variação em y deixada inexplicada pelo modelo, ou seja, que não pode ser atribuido a uma relação linear.
Uma medida quantitativa da quantidade total de variação nos valores observados de y é dada pela soma total dos quadrados (SQT).
O Coeficiente de Determinação Por fim, o Coeficiente de Correlação é interpretado como a proporção da
variação de y observada que pode ser explicada pelo modelo de regressão proposto. A saber:
Quanto mais próximo de 1, melhor a aproximação alcançada pelo modelo. Se o coeficiente for muito pequeno é aconselhável buscar modelos que melhor se adaptem aos resultados.
Uma variação importante desse coeficiente é o coeficiente ajustado (frequentemente representado com uma barra). A correção proposta tenta levar em consideração o numero de parâmetros estimados pelo modelo de forma que, diferentemente de , seu valor ajustados só cresça se a introdução de um novo parâmetro aprimorar o modelo mais do que o que seria esperado por “sorte”. É uma parâmetro muito importante de comparação entre modelos.
n é o número de pontos amostrados e p o número de parâmetros calculados pelo modelo.