Nasceu em Milão em 1598.

Aos 15 anos foi aluno do Galileu.

Membro de ordem religiosa dos jesuados.

Viveu em Milão e Roma.

Professor de matemática da universidade de Bolonha de 1629 até 1647.

Morreu em 1647 aos 49 anos.

Em 1621, tornou-se assistente do Cardeal Federico

Borromeo no monastério de Milão. Depois de ensinar

teologia, tornou-se prior de São Pedro, em Lodi (1623).

Após três anos em Lodi, foi para o monastério de

Parma, sendo nomeado para cadeira de matemática

em Bologna (1629), quando já estava desenvolvendo a

famosa teoria dos indivisíveis, que apresentou na sua

obra Geometria indivisibilis continuorum nova (1635).

Deixou obra vasta abrangendo astronomia, óptica , geometria e trigonometria.

Introdução dos logaritmos na Europa(matemático influente).

Em 1632 publicou Directorium universale uranometricum contendo tabelas de seno, secantes e senos versos junto com os logaritmos até oito casas.

Tratado de geometria indivisibilibus publicada em 1635 ( apresenta seu método dos indivisíveis contendo o que hoje é conhecido como principio de cavalieri).

Exercitationes geometricae sex publicada em1647 na qual apresentou de maneira mais clara sua teoria.

Foi o primeiro matemático italiano que

apreciou em todo seu valor os logarítimos.

Também figurou entre os primeiros que

ensinaram a teoria copérnica dos planetas.

Outros trabalhos seus dignos de renome

são o desenvolvimento dado a trigonometria

esférica, assim como o descobrimento das

fórmulas relativas aos focos dos espelhos e

das lentes.

Manteve contato com muitos matemáticos

da época, como Galileu, Mersènne,

Renieri, Rocca, Torricelli e Viviani. Seu

último livro foi Trattato della ruota

planetaria perpetua (1646). Faleceu em

Bologna no ano de 1647.

È um dos pilares que hoje conhecemos como calculo

integral ajudando a definir a noção de integral.

Serve para calculo de áreas e volumes.

Podem resolver muitos problemas de mensuração que

normalmente requerem técnicas avançadas de cálculo.

Se dois sólidos têm alturas iguais, e se

secções feitas por planos paralelos ás

bases e a distâncias iguais dessas estão

sempre numa dada razão, então os

volumes dos sólidos estão também nessa

razão.

10

O Princípio de Cavalieri e o Volume da esfera

No século XVII o matemático Italiano Bonaventura Cavalieri estabelece um

princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que

tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano

gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume.

Se A1 = A2 então

V1 = V2

Usaremos o Princípio de Cavalieri no cálculo do volume de

uma esfera.

11

Ao seccionarmos uma esfera por um plano qualquer, à uma distância d doseu centro, iremos sempre obter um círculo.

x2 + d2 = r2

x é o raio do círculo.

d é a distância do centro da esfera ao centro do círculo.

r é o raio da esfera.

13

Vamos considerar uma esfera de raio r apoiada sobre um plano . Ainda

sobre esse plano, tomemos um cilindro eqüilátero de raio r e altura 2r.

Desse cilindro retira-se dois cones com raio r e centro no ponto médio da

altura do cilindro. Observe a figura abaixo:

Se mostrarmos que as seções obtidas na esfera e no sólido que restou

com a retirada dos cones têm a mesma área, pelo Principio de Cavalieri,

poderemos obter o volume da esfera através do cálculo do volume do

sólido formado.

14

Verifiquemos que esses dois sólidos, quando “cortados” à uma

distância h, de seus centros, geram áreas iguais.

Sólido da esquerda – área da coroa = r2 - h2 = .(r2 – h2)

Sóli

do da direita – área do círculo = x2 , mas como x2 = r2 – h2, teremos

Área do círculo = .(r2 – h2)

x

15

Logo, de acordo com Cavalieri, esses sólidos terão o mesmo volume, o

que garante que o volume da esfera é igual ao volume do sólido que

sobrou ao retiramos os dois cones, do cilindro.

Se calcularmos o volume desse sólido, teremos o volume da esfera.

Esse volume será igual ao volume do cilindro eqüilátero, de raio r, menos

duas vezes o volume do cone, de raio r e altura r, vejamos:

3

πr4

3

πr2πr2V

3

rπr2.(2r)πrV

333

x

22

x

CONCLUSÃO:

O Volume de uma esfera de raio

r é dado pela fórmula: 3

r 4πV

3

Calculo de Volumem de Esfera. Disponível em: http://212.170.234.89/educared/PDF/volumen_esfera.docacesso em:11/11/2010.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ªed. São Paulo: Edgard Blücher,1996.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática ,volume único. São Paulo: Ática, 2005.

EVES, Howard. Introdução á História da Matemática. São Paulo: Editora da Unicamp, 2004.

IEZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar, volume 10. 7ªed. São Paulo: Atual,1996.

MARCÍLIO, Ulysses da Cruz. Geometria Espacial no Cabri 3D. Goiás: UFG, 2006. Disponível em: http://www.mat.ufg.br/bienal/2006/poster/ulysses.pdf acesso em: 11/11/2010.

PEIXOTO, Lourenço de Lima. A Construção do Pensamento sobre o Principio de Cavalieri Através da Lei da Alavanca.Uberlândia: Farmat revista,2003.Disponível em: http://www.famat.ufu.br/revista/revistadez2003/salaaula/ProjetoLourenco.pdf acesso em: 12/11/2010.

Principio de Cavalieri.Disponível em: http://caraipora.tripod.com/cavprin.htm acesso em :11/11/2010.

SÁ, Ilydio Pereira.Estudo das Esferas.Rio de Janeiro: UERJ-USS.Disponível em : http://www.magiadamatematica.com/uerj/cap/14-esferas.pps acesso em: 12/11/2010..

SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Matemática,volume 2. 3ªed. reform. São Paulo: Saraiva, 2003.

TROTTA, Fernando. Matemática Aplicada. 3ª ed. São Paulo: Ed. Moderna, 1980.