PROBLEMAS SOBRE POLINOMIOS 1

PROBLEMAS SOBRE POLINOMIOS 11. Si f(x) es un polinomio de grado 9 y f(x) = f1(x)f2(x)f3(x)f4(x) donde fi(x) es un polinomio de grado > 0, para i = 1, 2, 3, 4. Probar que al menos dos de los fi(x) tiene igual grado.2. Se dice que una funcin ( : N ( N, es polinomial si existe un polinomio f(x), tal que f(n)= ((n) ( n ( N. Demustrese que las siguientes funciones son polinomiales:a) ((n) = QUOTE

b) ((n) = 3. Multiplicar por el mtodo de coeficientes separados los siguientes polinomios:a) x4 + x3 + x2 + x + 1 por X4 x3 + x2 x + 1b) 2x4 3x3 + x 1 por x3 + 3x2 14. Dividir por el mtodo de coeficientes separados los siguientes polinomios:

a) x7 + 3x6 2x3 + 3x2 x + 1 por x4 x + 1b) x5 3x2 + 6x 1 por x2 + x + 15. Encontrar el MCD de los polinomios siguientes:a) f(x) = (x-1)3(x+2)2(x-3)(x-4) y g(x) = (x-1)2(x+2)(x+5)b) f(x) = x4 9x3 + 27x2 31x + 12 y g(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1c) f(x) = x4 4x3 + 20x2 + 28x + 15 y g(x) = x4 4x3 18x2 20x + 76. Sin efectuar la divisin probar que (utilizar el Teorema del residuo):a) x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 es divisible por x + 2b) 2 x4 7x3 2x2 + 13x + 6 es divisible por x2 5x + 6c) 2x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + 2 es divisible por x2 + 1d) (x+1)n xn 1 es divisible por x2 + x + 1 si y slo si n es un nmero impar no divisible por 3PROBLEMAS SOBRE POLINOMIOS 2

1. Desarrollar potencias de x a los siguientes polinomios:

a) x5 2 y a = 1

b) x5 6x3 + x2 1 y a = -1

c) 3x4 + 6x3 +x2 1 y a = 0.32. Calcular el valor numrico de los siguientes polinomios y de sus derivadas para el valor de x indicado:a) - x4 + 6x3 + x 1 para x = 1

b) 4x3 7x2 + 5x + 3 para x = -2

3. Encontrar todas las races de los siguientes polinomios:a) x6 + 1

b) x4+ 3x3 + 4x2 3x 2 c) 2x5 3x4 2x3 + 4x2 1

4. Resolver:a) x4 2x3 + 6x2+ 22x + 13 = 0 que admite la raz 2 + 3 ib) x6 3x5 + 4x4 6x3 + 5x2 3x+ 2 = 0 que admite la raz i5. Resulvanse la ecuaciones cbicas, cuyas races son a, b y c:a) x3 + 2x2 + 3x + 2 = 0 si a = b + c

b) 2x3 x2 5x 2 = 0 si ab = 1

c) x3 + 9x2 + 6x 56 = 0 si b= - 2a

d) 2x3 6x2 + 3x + k = 0 determinar k y resolver si a = 2b + 2c6. Resulvanse la ecuaciones curticas, cuyas races son a, b, c y d:

a) x4 2x3 + 2x2 x 2 = 0 si a + b = 1

b) x4 + x3 2x2 + 3x 1 = 0 si ab = -1 7. Demostrar que la suma de cuadrados de las races del polinomio xn + an-1 xn-1++ a2 x2+ a1 x+a0 es igual a an-1 2 2 an-2 8. Demostrar que si f(x) = an xn + an-1 xn-1+ + a2 x2+ a1 x+a0 es un polinomio con coeficientes enteros, y:a) si r es una raz entera de f(x) entonces r divide a a0b) si r es una raz racional de f(x), de la forma (irreducible) entonces p divide a a0 y q divide a an_1253006267.unknown

_1255088520.unknown

_1253006172.unknown