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PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA
• Se presentan algunos problemas que fueron resueltos en clase. Para más problemas
resueltos puede consultarse la obra:
• “TERMO II”, 250 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA
EXPLICADOS Y RESUELTOS.
• Manuel Zamora, Universidad de Sevilla, 1998.
PROBLEMA 4
Se prepara una disolución de gases formada por masas iguales de helio, neón y xenon. Halle las fracciones molares de los tres gases en la disolución.
He M1 = 4,026
Ne M2 = 20,183
Xe M3 = 131,30
Los moles de los gases son:
La masa de cada gas es1/3 de la masa total:
11
11 3 M
m
M
mnHe
3321m
mmm
Datos: M (He) = 4,026; M (Ne) = 20,183 M (Xe) = 131,30
22
22 3 M
m
M
mnNe
33
33 3 M
m
M
mnXe
Los moles totales son:
321321 333 M
m
M
m
M
mnnnn
Las fracciones molares son:
Realizando las operaciones resulta:
813,0323121
3211
MMMMMM
MM
n
nxHe
321
323121
MMM
MMMMMMmn
162,0323121
3122
MMMMMM
MM
n
nxNe
025,0323121
2133
MMMMMM
MM
n
nxXe
PROBLEMA 5
La disolución anterior de helio, neón y xenón se comporta como un gas ideal y cada uno de los gases también. Se define la presión parcial de un gas ideal en una disolución ideal como aquella que ejercería esa misma cantidad de gas puro ocupando el mismo volumen que la disolución y a la misma temperatura que ella. Determine la presión parcial de los tres gases anteriores sabiendo que la presión total sobre la disolución es de 101,3 kPa.
Los gases puros cumplirán:
Sea V el volumen y T la temperatura. La disolución cumplirá la ecuación:
RTnVpHe 11
nRTRTnnnVpo )( 321
Datos: po = 101,3 kPa
RTnVpNe 22
111 xn
n
p
p
o
Dividiendo cada una de estas por la primera:
RTnVpXe 33
222 xn
n
p
p
o 3
33 xn
n
p
p
o
Las presiones parciales valen:
Como en el problema anterior se calcularon las siguientes fracciones molares:
025,0;162,0;813,0 321 xxx
Datos: po = 101,3 kPa
kPapxpNe o 4,163,101162,022
kPapxpXe o 5,23,101025,033
kPapxpHe o 4,823,101813,011
Problema 9
• Una balanza de Jolly es un muelle fijo por su extremo superior y en su extremo inferior cuelga un platillo. El muelle se considera ideal y cumple la ecuación: F = -E( - o), donde F es la fuerza recuperadora y E =98,0 N.m-1. Calcule el trabajo sobre la balanza cuando se carga con M = 1,00 kg: a) Se coloca M de golpeb) Se coloca el kilogramo en porciones sucesivas de m = 250 g. Tras cada carga se espera que la balanza alcance el equilibrio.
Datos: F = -E( -o ); E = 98,0 N/m; M = 1,00 kg; m = 0,25
kg.
Estado inicial de equilibrio:
La condición de equilibrio mecánico es: 0)( mgEFF oexternararecuperado
00 om
Estado parcial de equilibrio: Egmmm iii /
mEmgmm 025,0/1
mEmgmm 050,0/22 2
mEmgmm 075,0/33 3
mEMgMm 100,0/4
1º estado final:
2º estado final:
3º estado final:
4º estado final:
Datos: F = -E( -o ); E = 98,0 N/m; M = 1,00 kg; m = 0,25 kg.
a) M de golpe:
JmgmgdW o 06,0)( 101
1
b) Al colocar las porciones:
Suma:
JMgMgdW oao
98,0)( 4
4
JmgmgdW 12,0)(22 122
2
1
JmgmgdW 18,0)(33 233
3
2
JmgmgdW 24,0)(44 344
4
3
J60,0)24,018,012,006,0(Wb
PROBLEMA 10• Dos resortes idénticos y sin masa cumplen la ley
elástica F = Ex, donde F es la fuerza externa aplicada y x la deformación, con el mismo coeficiente elástico E = 1·104 N/m. El primer resorte está unido por uno de sus extremos al techo y por el otro a la cara superior de una masa, m = 120 kg, que está sujeta en el aire por un soporte mecánico. El segundo resorte está unido por uno de sus extremos al suelo y por el otro a la cara inferior de la misma masa. En la situación inicial ninguno de los soportes está deformado. Cuando se retira el soporte la masa queda sujeta por los dos resortes, y cae verticalmente. ¿Qué altura descenderá?
Datos: F = Ex; E = 1·104 N/m; m = 120 kg.
21 WWmghEp • La conservación de la energía mecánica en
la masa m es:
los trabajos de los resortes:
2
0 11 2
1EhExdxdxFW
h
o
h
2
0 22 2
1EhExdxdxFW
h
o
h
Resulta:
cmE
mghEhmgh 8,112
• La presión ejercida sobre m =100 g de un metal se aumenta de p1 = 0,00 MPa hasta p2 = 100,0 MPa de forma isoterma y cuasiestática. Aceptando que la densidad del metal y su coeficiente de compresibilidad son constantes e iguales a d = 10,0 g.cm-3 y a k = 0,67.10-10 Pa-1, respectivamente, calcule el trabajo realizado.
PROBLEMA 13
Datos: m =100 g, d = 10,0 g.cm-3, k = 0,67.10-10 Pa-1, p1 = 0,00 MPa p2 = 100,0 MPa.
El coeficiente decompresibilidad:
2
1
2
1
34,31
p
p
kpp
pJdppe
d
mkpdVW
El trabajo utilizando la integral dada, vale:
Tp
V
Vk
1
kpkp ed
meVV 1
TkdpVd ln
Si p1 = 0 V1 = m/d: V
V
pkdpVd
1 0ln
dped
mkdV kp
Datos: m =100 g, d = 10,0 g.cm-3, k = 0,67.10-10 Pa-1,
p1 = 0,00 MPa p2 = 100,0 MPa.
La integración se simplifica:
Estos problemas aceptan una aproximaciónen el caso de que k << p:
En cuyo caso:
kpd
me
d
mV kp 1
JJpdpkd
mpdVW
p
p
p
p34,335,3
2
1
2
12
dpd
mkdV
• Un mol de un gas ideal evoluciona isocóramente desde p1 = 0,700 MPa y T1 = 300,0 K hasta la presión atmosférica normal po = 1,00 atm. A continuación se calienta a presión constante hasta un volumen V2. Finalmente se comprime isotérmicamente hasta su presión inicial, con lo que alcanza el mismo volumen que tuvo al principio. Los tres procesos constituyen un ciclo cerrado. ¿Cuál será el trabajo que realiza el gas cuando lo recorre de manera cuasiestática?.
PROBLEMA 14
Datos: p1 = 0,700 MPa, T1 = 300,0 K y
po = 1,00 atm = 0,1 MPa
• Transformaciones:
1
11 p
RTV 1
1
12 T
p
p
R
pVT oo
op
RTV 1
2
1
1
1
V
T
p
1
2
1
1
1
1
V
T
p
V
T
p o
V
2
1
1
2
1
1
1
1
V
T
p
V
T
p
V
T
p o
p
o
V o
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
11
V
T
p
V
T
p
V
T
p
V
T
p
T
o
p
o
V o
Datos: p1 = 0,700 MPa, T1 = 300,0 K y
po = 1,00 atm = 0,1 MPa
• Trabajos:
01
11
V
VpdVW
0cicloW
11122 1
2
1
2
1 p
pRTVVpdVppdVW o
o
V
Vo
V
V
11 1
p
pRTW o
ciclo
11
2
1113 lnln
1
2
1
2 p
pRT
V
VRT
V
dVRTpdVW o
V
V
V
V
111 ln1
p
p
p
pRTW oo
ciclo Jp
p
p
pRTW oo
ciclo3
111 10·69,2ln1
Problema 18
• Se mezclan adiabática e isobáricamente mh = 10,0 g de hielo a Th = – 10,0º C con ma = 50,0 g de agua a Ta = 30,0º C. Determine el estado final y el incremento de entalpía del sistema.
• Datos: • Calor específico del agua líquida: ca = 0,24 J g-1K-1
• Calor específico del hielo: ch = 0,12 J g-1K-1
• Calor latente de fusión del hielo: L = 330 J g-1.
Datos: mh = 10,0 g, Th = – 10,0º C, ma = 50,0 g, ta = 30,0º C, ca = 0,24 J g-1K-1, ch = 0,12 J g-1K-1, L = 330 J g-1
Este tipo de problemas requiere un tanteo inicial. Supongamos que el estado final es agua líquida a 0º C.
J3312LTTcm hohh
J1500TTcm aoaa
Luego el agua no es capaz de fundir todo el hielo y al final coexisten hielo y agua a 0º C.
El calor tomado por el hielo:
Calor cedido porel agua:
Datos: mh = 10,0 g, Th = – 10,0º C, ma = 50,0 g, ta = 30,0º C, ca = 0,24 J g-1K-1, ch = 0,12 J g-1K-1, L = 330 J g-1
Como el sistema es adiabático e isobárico:
0HVdpHQ
Despejando m:
Si m es la masa de hielo fundida: 0 aoaahohh TTcmmLTTcmH
g5,4
L
TTcmTTcmm aoaahohh
Estado final: g5,5m;g5,54m;Cº0T hieloaguao
Problema 24• Un cilindro adiabático con un gas ideal (cV = 1,50R)
a: po = 1,013 105 Pa, To = 300 K y Vo = 20,0 dm3 . El pistón que lo cierra, de superficie A = 4,00 dm2, es adiabático sin masa ni rozamiento y está unido al extremo inferior de un muelle, fijo por arriba, con una constante elástica E = 100,0 N cm-1 sin deformación inicial. En el interior del cilindro hay una resistencia eléctrica alimentada desde fuera. ¿Qué calor debe disiparse en la resistencia para que la presión del gas alcance el valor p = 0,300 MPa?.
Datos: cV = 1,50R, po = 1,013 105 Pa, To = 300 K, Vo = 20,0 dm3, A = 4,00 dm2, E = 100,0 N cm-1
A
Epp o
83,0RTVpn ooo
EFF r
Estado final:
Fuerza del resorte:
Estado inicial
Cualquier estado del gas:
nR
EAp
nR
pVT o
mAE
pp
A
Epp o
oo
o 7,011
Gas:
Datos: cV = 1,50R, po = 1,013 105 Pa, To = 300 K, Vo = 20,0 dm3, A = 4,00 dm2, E = 100,0 N cm-1
dE4Ap5,2dEApdTncdQ oov
Por el primer principio :
• Al cambiar la altura del pistón:
nR
EApdT o )2(
5,1R
cV
kJ80,6dE4dAp5,2Q7,0
0
7,0
0o
Ad
AlE
pdTncpdVdUdQ ov
Problema 25 • Un cilindro de paredes rígidas y adiabáticas está
cerrado por un pistón móvil, adiabático, sin masa ni rozamiento. Inicialmente, a ambos lados del pistón hay n moles del mismo gas ideal ( = 1,50) a po, To y Vo. Con la resistencia eléctrica se da calor muy lentamente hasta que la presión del gas superior alcanza el valor p = 3,375 po. Exprese en función de los datos: a) Las temperaturas finales, b) el calor suministrado y c) el trabajo intercambiado.
Datos: = 1,50, po, To y Vo, p = 3,375. po .
El gas inferior:
El proceso se considera cuasiestático. En el gas superior se cumple:
111adiabático
ooo T,V,pT,V,p
11oo VpVp
oo VVp
pV 44,0
2
11
222ooo T,V,pT,V,p
12 pp
o1o2 V56,1VV2V
ooo
1 T49,1nR
Vp49,1T o
oo2 T27,5
nR
Vp27,5T
La condición de equilibrio lleva a:
El trabajo realizado sobre el gas superior:
El calor: se integra:
oooo11
1o
11
V
V
V
V
2211
V
V
21
Vp97,01
VpVp
1
VVk
dVVkdVpdVpW1
o
1
o
2
o
21V21 dVpdTncdVpdUdQ
ooo2V
V
V
21
T
T
V Vp51,9WTTncdVpdTncQ2
o
2
o
Problema 39.
Un mol de un gas monoatómico recorre, en el sentido de las agujas del reloj, un ciclo reversible formado por dos procesos isóbaros, con las presiones p1 = 100,0 kPa y p2 = 300,0 kPa, y dos procesos isócoros con los volúmenes V1 = 22,0 dm3 y V3 = 26,0 dm3. Calcule el rendimiento del ciclo .
Datos: p1 = 100,0 kPa y p2 = 300,0 kPa, V1 = 22,0 dm3, V3 = 26,0 dm3 Cuestión: Halle su rendimiento.
KRvpT 6,264111
• Gas ideal: RRcv 5,123
41 pp 1n 43 vv 21 vv 32 pp
KRvpT 8,793222
KRvpT 2,938333
KRvpT 7,312444
2312
4123
WW
Q
W
consumido
total
0.;;21 121 Wconstv
0121212 TTcUQ v
344414 .;;14 vvpWconstp
023223
232323
vvpTTc
WUQ
v
132232 .;;32 vvpWconstp
041441414141 vvpTTcWUQ v
0.;;43 343 Wconstv
0343434 TTcUQ v%3,8083,0
Problema 40.
Un gas ideal diatómico recorre un ciclo frigorífico reversible formado por dos líneas adiabáticas y dos isócoras con V1 = 18,0 dm3 y V3 = 28,0 dm3. Calcule su eficiencia.
Datos: V1 = 18,0 dm3 , V3 = 28,0 dm3 Cuestión: Calcule la eficiencia.
Adiabáticas reversibles:
40,125 vvv cRcRc
3312 VpVp
Isotermas:
3411 VpVp
13
4
2
1 p
p
p
p
2
2
1
11
p
T
p
T
R
V
2
2
1
11
p
T
p
T
R
V
12
1
2
1 p
p
T
T
14
3
4
3 p
p
T
T
0;12 21 W
1432
21
1432
21
TTTT
TT
WW
Q
W
QE
consumido
absorbido
133
111
VTVT
0434343 TTncUQ v
0;41 14 Q
0;34 42 W
0;23 32 Q
411414 TTncUW v
0212121 TTncUQ v
233232 TTncUW v
134
112
VTVT 1
3341
121 VTTVTT
17,5
1
1
)( 1132134
21
vvTTTT
TTE
Problema 41.
Una máquina reversible toma la misma cantidad de calor de dos fuentes cuyas temperaturas son T1 = 500 K y T2 = 400 K, produce trabajo y cede calor a otra fuente a T3 = 300 K . Determine su rendimiento.
Problema 44. Determine el incremento de entropía de un kilogramo de agua que, a presión constante, se calienta desde T1 = 27º C hasta T2 = 100º C de las siguientes formas: a) Con una llama a T3 = 700º C. b)Con una resistencia eléctrica cuya temperatura es de T3 = 300º C.Desprecie la dilatación del agua y tome su calor específico como 1,00 cal/gK.
Datos: T1 = 27º C, T2 = 100º C, a) T3 = 700º C, b) T3 = 300º C, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del agua.
Balance calorífico:Calor en el agua:
Integrando:
mcdTdq
dTTT
mcT
dQ
T
dqdSdSdS
iifuenteaguauniv
11
i
univ T
TT
T
TmcS 12
1
2ln
0 dQdq
KcalSa univ /7,142) KcalSb univ /3,90)
Problema 47. Tres cuerpos que tienen las capacidades caloríficas C1 = 103 J/K , C2 = 2.103 J/K y C3 = 3.103 J/K se encuentran a las temperaturas T1 = 500 K , T2 = 400 K y T3 = 300 K. Los tres cuerpos se aíslan adibáticamente del exterior, se les extrae la mitad del trabajo máximo que pueden proporcionar y, finalmente, se ponen en contacto térmico entre sí. Determine la temperatura final de los tres cuerpos.
Datos: C1 = 103 J/K, C2 = 2.103 J/K , C3 = 3.103 J/K
T1 = 500 K , T2 = 400 K y T3 = 300 K. Cuestión: Temperatura final con la mitad del trabajo.
• Se establece un ciclo reversible infinitesimal que extraiga el trabajo máximo:
T
T
T
dqdqdqdqdqdqdW
T
T
T
03
3
2
2
1
1
321
3
2
1
• El trabajo intercambiado por el ciclo es:
• Integrando entre el estado inicial y final:
• Para calcular la temperatura final:
• Integrando entre los estados:
332211321 dCdCdCdqdqdqdW
TCCCTCTCTCWmáximo )( 321332211
03
33
2
22
1
11
3
3
2
2
1
1
dCdCdCdqdqdq
0lnlnln3
32
21
1 T
TC
T
TC
T
TC
• La temperatura final: donde: y finalmente
• Disponiendo ahora de W = Wmáximo/2: y, por fin:321
321 TTTT
6
1
321
11
CCC
C
kJWyKT máximo 0,435,359
3
1
321
22
CCC
C2
1
321
33
CCC
C
321321 TTTT
')( 321332211 TCCCTCTCTCW
KCCC
TCTCTCWT 1,363'
321
332211
Problema 51.
En un calorímetro adiabático se mezclan m1 = 30,0 g de hielo a T1 = 0,00º C con m2 = 200,0 g de agua a T2 = 50,0º C. Sabiendo que el calor de fusión del hielo vale L = 80,0 cal/g y el calor específico del agua es c = 1,00 cal/gK, determine los incrementos de entropía que experimentan el sistema y el universo.
Datos: m1 = 30 g, T1 = 0º C, m2 = 200 g, T2 = 50º C, L = 80 cal/g, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.
El balance calorífico necesita un tanteo. Se supone al final sólo líquido a 0ª C:
Al fundir el hielo:Al enfriar el agua:Estado final: hielo fundido y T1 < T < T2.
Balance:
kcalLmQH 4,2111
kcalTcmQH 10222
022111 TTcmTTcmLmH
CK
cmm
LmcTmTmT º0,332,306
21
12211
Datos: m1 = 30 g, T1 = 0º C, m2 = 200 g, T2 = 50º C, L = 80 cal/g, c = 1 cal/gK Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.
El incremento de entropía del sistema:
Como el calorímetro es adiabático:
)()()( 211 enfriarScalentarSfundirSSsistema
T
T
T
T
sistema T
cdTm
T
cdTm
T
LmS
21
21
1
1
KcalT
Tcm
T
Tcm
T
LmSsistema /4,1lnln
22
11
1
1
KcalSS sistemauniv /4,10 medioS
Problema 48. Un sistema está formado por m = 100,0 g de hielo a po = 1,00 atm y T = 0,00º C. Dicho sistema se pone en contacto con un medio ambiente a po = 1,00 atm y To = 20,0º C . Sabiendo que el calor de fusión del hielo vale L = 80,0 cal/g y el calor específico del agua es c = 1,00 cal/gK, determinar los incrementos de entropía que experimentan el sistema y el universo entre el estado inicial descrito y el final de equilibrio mutuo.
Datos: m = 100,0 g, po = 1,00 atm, Tf = 0º C, po = 1,00 atm,
To = 20,0º C , L = 80,0 cal/g, c = 1,00 cal/gK, Cuestión: Incremento de entropía del sistema y del universo.
El proceso es doble: fusión y calentamiento:
T
mcdT
T
LdmdS
fagua
Finalmente:
0 dqdQ mcdTLdmdq
f
o
fagua T
Tmc
T
LmS ln
oamb T
mcdTLdmdS
.
o
foamb T
TTmcLmS
)(.
KcalSagua /4,36
KcalSSS ambaguauniverso /2,2.
Problema 66Un cilindro diatermo contiene tres pistones trabados y sin rozamientos, uno central, a, y dos extremos, b y c. En cada una de las cámaras que forman existe un mol de gas ideal en equilibrio térmico con el ambiente a T0=300 K (p0=1,00 atm). Uno de los gases se encuentra inicialmente a la presión p1=5,00 atm, mientras que el otro está a p2=2,00 atm. Determinar el máximo trabajo útil que puede extraerse de ese sistema cuando se libera primero el pistón central, a, y después uno de los pistones extremos.
El diagrama del cilindro diatermo con los tres pistones trabados es:
1 mol, 300 K, p=?
1 mol, 300 K, p=?
1 mol5 atm300 K
1 mol, 2 atm300 K
b a c b c
92,45
300·082,0
1
01
p
RTv
El volumen de cada cámara es:
l 30,122
300·082,0
2
02
p
RTv l
Datos: T0, p1, p2.
v=v1+v2=17,22 l 86,22 0
v
RTp atm
1 2
El trabajo que hace cada gas es:
2
2022121 v
dvnRTdvpdvpdW
1
1011212 v
dvnRTdvpdvpdW
con dv1+dv2=0v1 pasa de 4,92 l a 17’22/2 lv2 pasa de 12,30 l a 17’22/2 l
El trabajo útil obtenido al quitar el pistón a es:
50630,12
61,8ln
92'4
61,8ln300·082,021
WWW a
útil J
Ahora quitemos otro pistón, por ejemplo el c:
2 moles, 300 K, p=2,86 atmv=17,22 l
2 moles, 300 K, 1 atm
Datos: T0, p1, p2, p, v1, v2, v.
El volumen que ocupan los 2 moles cuando se quita c:
2,491
300·082,0·2
0
03
p
nRTv l
El trabajo que realizan el gas y el medio es:Wgas=p0(v3-v)=1(49,2-17,22)=3240 J
dWmedio=pdv0=-pdv ya que dv+dv0=0Entonces:
5234ln 30
v
vnRTWmedio J
199432405234 cútilW J 5,21994506 total
útilW kJ
Datos: T0, p1, p2, p, v1, v2, v, .aútilW
Problema 75
Un sólido posee una ecuación de estado dada por:
con v0, y k constantes. Expresar el incremento de entropía que acompaña a una compresión brusca {p1 p2} de ese sólido a la temperatura constante de T0.
)··1(0 pkTvv
Datos: v0, , k, p1, p2,
Según la ecuación fundamental:
pdvdvv
udTcpdvduTds
Tv
Y según la ecuación termodinámica de estado:
pT
pT
v
u
vT
Sustituyendo:
)·( 00 kdpvdTvT
pTdTc
dvppT
pTdTcTds
vv
vv
)··1(0 pkTvv
Datos: v0, , k, p1, p2, )··1(0 pkTvv
)·( 00 kdpvdTvT
pTdTcTds
vv
Como el proceso es isotermo:
kdpvT
pds
v0·
Dado que:
1
Tpv p
v
v
T
T
pkT
p
v
Sustituyendo:
dpvds 0 integrando )( 120 ppvs
Problema 76Cierto gas cumple la ecuación de estado:
Exprese el cambio de entropía que acompaña la expansión isoterma del gas hasta duplicar su volumen inicial.
TRvv
ap ··
2
La ecuación fundamental nos da la expresión del cambio de entropía con el cambio de volumen:
pdvdvv
udTcpdvduTds
Tv
Pero, según la ecuación termodinámica de estado:
pT
pT
v
u
vT
Si sustituimos y tenemos en cuenta que el proceso es isotermo, obtenemos:
dvT
pds
v
Datos: a, v1, v2, pv=RT-a/v
(1)
2lnln1
2 Rv
vRs
Datos: a, v1, v2, pv=RT-a/v
Por otra parte:2v
a
v
RTp
Derivando:v
R
T
p
v
Sustituyendo en (1):v
dvRds
De donde, integrando: