Příklady z mechaniky se sportovní tematikou. Bakalářská práce

MASARYKOVA UNIVERZITAPRIRODOVEDECKA FAKULTA

USTAV TEORETICKE FYZIKY A ASTROFYZIKY

Bakalarska prace

BRNO 2015 DORA SPOUSTOVA

MASARYKOVA UNIVERZITAPRIRODOVEDECKA FAKULTA

USTAV TEORETICKE FYZIKY A ASTROFYZIKY

Prıklady z mechanikyse sportovnı tematikouBakalarska prace

Dora Spoustova

Vedoucı prace: Mgr. Lenka Czudkova, Ph.D. Brno 2015

Bibliograficky zaznam

Autor: Dora SpoustovaPrırodovedecka fakulta, Masarykova univerzitaUstav teoreticke fyziky a astrofyziky

Nazev prace: Prıklady z mechaniky se sportovnı tematikou

Studijnı program: Fyzika

Studijnı obor: Fyzika se zamerenım na vzdelavanıAnimator sportovnıch aktivit

Vedoucı prace: Mgr. Lenka Czudkova, Ph.D.

Akademicky rok: 2014/2015

Pocet stran: viii+ 37

Klıcova slova: kinematika; dynamika; resenı prıkladu; sportovnı tematika

Bibliographic Entry

Author: Dora SpoustovaFaculty of Science, Masaryk UniversityDepartment of Theoretical Physics and Astrophysics

Title of Thesis: Examples from mechanics with theme of sport

Degree Programme: Physics

Field of Study: Physics with a view to EducationAnimator of Sport Activities

Supervisor: Mgr. Lenka Czudkova, Ph.D.

Academic Year: 2014/2015

Number of Pages: viii+ 37

Keywords: kinematics; dynamics; problems solving; theme of sport

Abstrakt

Tato bakalarska prace je souborem resenych prıkladu z mechaniky se sportovnı te-matikou. Prace je rozdelena na dve casti. V prvnı casti jsou reseny problemy z oblastikinematiky (popisy pohybu), ve druhe casti jsou voleny prıklady z dynamiky (zkoumanıprıcin pohybu). Prıklady majı ruzne stupne obtıznosti, od stredoskolske urovne az po prı-klady, pro jejichz resenı je nezbytna volba vhodneho modelu a pouzitı diferencialnıhopoctu. Postup resenı a vysledky jsou doprovazeny komentari, grafy a dalsımi namety napremyslenı.

Abstract

This bachelor thesis consists of a set of solved examples from mechanics with themeof sport. The thesis is divided into two parts. The first part deals with the problems ofkinematics (description of the movement), in the second part there are selected examplesof dynamics (examination of the causes of motion). Examples provide different levels ofdifficulty, from the secondary school level to the examples where we need to choose asuitable model and apply differential calculus. Solutions and results are accompanied bycommentary, charts and other ideas to think about.

MASARYI(OVA U N IVE RZITA

Piirod oved ecka faku lta

ZADANi EETNMH,STE PRACE

Akademickyi rok: 2O1 4/201 5

Ustav: Ustav teoretick6 fyziky a astrofyziky

Studentka: DoraSpoustovil

Program: Fyzika

Obor: Fyzika se zamdienim navzd5llvdniAn imiitor sportovn ich aktivit

Reditel lstavu teoretickd fyziky a astrofyziky PfF MU Vim ve smyslu Studijniho a zkuSebniho i6du MU urduje bakalAiskoupr6ci s t6matem:

T6ma price: Pilklady z mechaniky se sportovnitematikou

T6ma price anglicky: Examples from mechanics with theme of sport

Ofici6lni zaddnl.Ukolem bakaliiisk6 prdce je vytvoieni souboru ie5enfch piikladri z mechaniky se sportovni tematikou. Piiklady by mdlyby mit r&znou froveri obtiZnosti - od jednoduchlich motivadnich itloh z kinematiky aZ po probl6my vyladuj(ci zvolenlvhodn6ho modelu, vyhlediini potiebnlich informaci, numerick6 ieSeni rovnic a kritick6 posouzenI ziskanych vlisledk0.

Literatura:Fyzika pro gymnd,zia : mechanika. 1. vyd. Praha, Praha: Prometheus, 1993.343 s. ISBN 80-901 619-3-1.

KVASNICA, )ozef . Mechanika [Kvasnica, 't988].1 . vyd. Praha: Academia, nakladatelstvi eeskoslovensk6 akademie vdd,1988. 476 s.

HALLIDAY David, Robert RESNICK a )earl WALKER. Fyzika :vysokoikolskd uiebnice obecnd fyzil<y.Vyd. 1 . Brno: VU-T|UM,2000. xxiv, 1198. ISBN 8171952147.

lazykzivEreEn6 pr6ce: de5tina

Vedouci pr6ce: Mgr. Lenka Czudkovd,, Ph.D.

Datum zadini price: 5. 2. 2014

V BrnE dne: 10.12.2014

Souhlasfm se zadinim (podpis, datum):

Mgr. Lenka Czudkov6, Ph.D.vedouci pr6ce

6ra Spoustovd prof. Rikard von Unge, Ph/D.ieditel Ustavu teoretick6 tyliky astudentka

astrofyziky

Podekovanı

Na tomto mıste bych chtela velice podekovat vedoucı me bakalarske prace Mgr. LenceCzudkove, Ph.D., za jejı cas, zajem a inspirativnı prıstup.

Prohlasenı

Prohlasuji, ze jsem svoji bakalarskou praci vypracovala samostatne s vyuzitım infor-macnıch zdroju, ktere jsou v praci citovany.

Brno 18. kvetna 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Dora Spoustova

Obsah

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

Kapitola 1. KINEMATIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Usain Bolt v Berlıne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Usain Bolt v Pekingu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Cyklista na vylete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Basketbalista hazı na kos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Koular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kapitola 2. DYNAMIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 Sıly pusobıcı na puk, bowlingovou kouli a nohu bezce . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Lyzar na svahu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Skok do vody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Rychlost dopadu vrzene koule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Srazka kulecnıkovych koulı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Bob v klopene ledove zatacce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Zaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Seznam pouzite literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

– vii –

Uvod

Tato bakalarska prace dava do souvislosti fyziku a sport. Pro popis a vysvetlenı sportovnıchcinnostı vyuzıva poznatku mechaniky, ktera je zakladnım oborem fyziky. Na nasledujıcıchstranach jsou vybrany sportovnı prıklady, ktere jsou popsany pomocı kinematiky nebodynamiky.

Pri vytvarenı uvah a resenı prıkladu je dulezite zavedenı urciteho modelu (zjednodusenıpohybu, vyzdvizenı dulezitych znaku a zanedbanı mene podstatnych jevu). V prıkladechtedy vzdy nejprve volıme vhodny model, vyhledavame vstupnı cıselne udaje, provadımeresenı a podrobne kriticky diskutujeme zıskane vysledky vcetne adekvatnosti modelu.

Prace je rozdelena do dvou kapitol. Prvnı kapitola (KINEMATIKA) se zabyva vypoctyrychlostı a zrychlenı bezce a na prıkladu s cyklistou vysvetluje rozdıly mezi vektorovymia skalarnımi velicinami. V dalsı casti se zameruje na vrhy, ktere ve sportu predstavujenaprıklad hod na basketbalovy kos nebo vrh koulı.

Ve druhe kapitole (DYNAMIKA) nejprve shrnujeme, jake sıly mohou pusobit na telesa,a na tyto poznatky navazujeme v nasledujıcıch prıkladech. Podavame naprıklad vysvetlenı,proc jsou male deti na lyzıch nekdy rychlejsı nez jejich rodice, nebo jak vypada prubehrychlosti pri skoku do vody. Tyto prıklady jiz vyuzıvajı komplikovanejsıch matematickychuprav. Ty vsak nejsou pro pochopenı fyzikalnı podstaty nutne, na techto mıstech je totiztext doplnen o podrobnejsı komentare vysledku, grafy a jejich interpretaci.

Pri resenı prıkladu se predpoklada znalost mechaniky na urovni uciva strednı skoly.Pro rozsırenı svych znalostı muze ctenar nahlednout do seznamu pouzite literatury, v nız senachazejı ucebnı texty, ze kterych tato bakalarska prace cerpa veskere fyzikalnı poznatky.Elektronicke zdroje cıselnych hodnot uvedenych v zadanıch prıkladu jsou pro prehlednostuvadeny na odpovıdajıcım mıste v textu prace (datum navstıvenı kveten 2015).

Tema bakalarske prace je velice obsahle, proto byl proveden vyber zakladnıch me-chanickych jevu. Prıklady byly voleny tak, aby zahrnovaly co nejpestrejsı spektrum danefyzikalnı problematiky.

– viii –

Kapitola 1

KINEMATIKA

Kinematika je cast fyziky, ktera popisuje pohyb teles. Predevsım zkouma jejich polohu,rychlost a zrychlenı. Dulezitym pojmem pro nas bude hmotny bod, coz je nejjednodussımyslitelny objekt, kterym si nahradıme slozitejsı telesa, u kterych pri popisu jejich pohybunehrajı roli vlastnı rozmery.

Pokud nebude receno jinak, v nasledujıcıch prıkladech si telesa nahradıme hmotnymibody a zanedbame odpor vzduchu.

1.1 Usain Bolt v BerlıneDrzitel svetoveho rekordu v behu na 100 m je Jamajcan Usain Bolt. V roce 2009na Mistrovstvı sveta v atletice v Berlıne zabehl 100 m v case 9,58 s. Jaka byla jehoprumerna rychlost?

Pouzijeme vztah pro prumernou rychlost (zmena polohy za zmenu casu):

〈~v〉= ∆~r∆t

. (1.1)

Soustavu souradnic si zvolıme tak, aby pohyb probıhal pouze v ose x. Proto mıstovektoru ∆~r muzeme psat jen jeho x-ovou slozku ∆x. Pohyb zacına v bode x1 = 0 m, koncıv bode x2 = 100 m a trval od casu t1 = 0 s do t2 = 9,58 s.

〈vx 〉=∆x∆t

=x2− x1

t2− t1, (1.2)

〈vx 〉=(100 m)

(9,58 s).= 10,44 m · s−1 .

Prumerna rychlost (presneji, jejı x-ova slozka) Usaina Bolta v behu na 100 m na MSv Berlıne byla 10,44 m · s−1.

– 1 –

Kapitola 1. KINEMATIKA 2

1.2 Usain Bolt v PekinguUsain Bolt zabehl na Olympiade v Pekingu v roce 2008 100 m za 9,69 s. V nıze uvedenetabulce1 vidıme, kolik casu mu trvaly jednotlive desetimetrove useky a odpovıdajıcıprubezny cas zavodu.

Tabulka 1

c. useku usek [m] cas useku ∆t [s] celkovy cas [s]1. 0 - 10 1,85 1,852. 10 - 20 1,02 2,873. 20 - 30 0,91 3,784. 30 - 40 0,87 4,655. 40 - 50 0,85 5,506. 50 - 60 0,82 6,327. 60 - 70 0,82 7,148. 70 - 80 0,82 7,969. 80 - 90 0,83 8,79

10. 90 - 100 0,90 9,69

a) Jaka byla jeho prumerna rychlost v jednotlivych usecıch?

b) S jak velikym prumernym zrychlenım by se musel pohybovat, aby dosahl svemaximalnı rychlosti?

c) S jakym prumernym zrychlenım musı brzdit, aby uplne zastavil na 15 m?

ad a) Prumernou rychlost vypocıtame stejne jako v predchazejıcım prıklade. Opet pred-pokladame, ze se pohyb deje pouze v ose x, v tomto prıkladu tedy budeme mıt opetna mysli pouze x-ove slozky jednotlivych kinematickych velicin, aniz bychom todale explicitne zduraznovali. Pro jednotlive useky tak muzeme zapsat vztah (1.2).

Pro prvnı usek dostaneme:

〈vx,1 〉=(10 m)− (0 m)

(1,85 s).= 5,41 m · s−1 ,

druhy usek: 〈vx,2 〉=(20 m)− (10 m)

(1,02 s).= 9,80 m · s−1 ,

tretı usek: 〈vx,3 〉=(30 m)− (20 m)

(0,91 s).= 10,99 m · s−1 .

Prumernou rychlost v dalsıch usecıch zjistıme stejnym zpusobem. Na tomto mıstema tedy kazdy moznost si vypocty zkusit sam.

1Data prevzata z http://datagenetics.com/blog/july32013/index.html.


Abychom si mohli prubeh zavodu lepe predstavit, sestrojıme graf zavislosti prumernerychlosti v jednotlivych usecıch.

Graf 1

Z grafu 1 vidıme, ze bezec zrychloval do sesteho useku, potom bezel konstantnıprumernou rychlostı a nakonec zpomaloval. Bohuzel nevıme, jakou mel v jednotli-vych casech zavodu okamzitou rychlost. Na tomto mıste muzeme jen zavest odhad,ze sve maximalnı rychlosti dosahl po 50 metrech a cılem probehl rychlostı, kteraodpovıda prumerne rychlosti v poslednım useku. Tyto odhady uplatnıme pri resenıdalsıch ukolu.

ad b) V predchozım ukolu jsme odhadli, ze bezec dosahl maximalnı rychlosti po padesatimetrech. Z tabulky 1 tedy odecteme hodnoty sesteho useku.

〈vx,6 〉=(60 m)− (50 m)

(0,82 s).= 12,20 m · s−1 .

Velikost prumerneho zrychlenı zjistıme ze zavislosti zmeny rychlosti na zmene casu.Opet uvazujeme pouze x-ovou slozku, dostaneme tedy vztah:

〈ax 〉=∆vx

∆t. (1.3)

V nasem idealizovanem prıpade bezec zrychluje z nulove rychlosti na rychlost12,20 m · s−1 a ubehne pritom 50 metru. Z tabulky 1 odecteme cas, za ktery bezec


ubehne 50 metru, a cıselne hodnoty dosadıme do (1.3).

〈ax 〉=(12,20 m · s−1)− (0 m · s−1)

(5,50 s)− (0 s).= 2,22 m · s−2 . (1.4)

ad c) Na tomto mıste opet predpokladame, ze bezec zacne zpomalovat z okamzite rych-losti, ktera odpovıda prumerne rychlosti v poslednım, desatem useku.

〈vx,10〉=(100 m)− (90 m)

(0,90 s).= 11,11 m · s−1 .

Mame urcit prumerne zrychlenı, aby bezec z teto rychlosti zastavil na vzdalenosti15 m.

Zname tedy jeho pocatecnı rychlost v0.= 11,11 m ·s−1, drahu, kterou ubehl s = 15 m

a koncovou rychlost v = 0 m · s−1.

Abychom mohli pouzıt vztah (1.3), musıme zjistit cas, za ktery bezec zastavı. Ten sivyjadrıme ze vztahu pro drahu rovnomerne zrychleneho pohybu.

s = v0t +12

at2 , (1.5)

s = v0t +12

∆v∆t

t2 = v0t +12

v− v0

t− t0t2 .

Cas, ve kterem zacal bezec zpomalovat, polozıme roven nule, t0 = 0 s, takze muzemenapsat:

s = t[

v0 +12(v− v0)

].

Odtud uz si vyjadrıme cas, ktery nasledne dosadıme do vztahu pro zrychlenı:

t =2s

v0 + v.

Pro prumerne zrychlenı, s jakym musı bezec brzdit, tedy dostavame:

〈ax 〉=∆vx

∆t=

v2− v20

2s,

〈ax 〉=(0 m · s−1)2− (11,11 m · s−1)2

2(15 m)

.=−4,11 m · s−2 .

Vysledne prumerne zrychlenı nam vyslo zaporne, coz doklada fakt, ze bezec zpo-maloval. Muzeme tedy hovorit o prumernem zpomalenı o velikosti 4,11 m · s−2.


1.3 Cyklista na vyleteCyklista se rozhodl vyjet na vylet v okolı Vranovske prehrady. Zvolil si cyklistickyokruh, ktery zacına a koncı ve Vranove nad Dyjı a celkem ma 55,5 km. Cyklista celoutrasu ujel za 4,5 hodiny.

a) Jaka je jeho prumerna velikost rychlosti?

b) Jaka je jeho prumerna rychlost?

ad a) Nejprve si musıme uvedomit, jak je prumerna velikost rychlosti definovana. Jednase o skalarnı velicinu, nezalezı tedy na smeru pohybu. Definujeme ji jako podılcelkove drahy, kterou cyklista ujel, za celkovy cas:

〈v〉= ∆s∆t

. (1.6)

Po dosazenı cıselnych hodnot dostavame:

〈v〉= (55,5 km)

(4,5 h).= 12,3 km ·h−1 .

ad b) Oproti predchazejıcımu ukolu nenı hledanou velicinou skalar, ale jedna se o vek-tor. Prumernou rychlost zjistıme jako zmenu polohoveho vektoru za zmenu casu.Pouzijeme tedy vztah (1.1):

〈~v〉= ~r(t +∆t)−~r(t)∆t

=∆~r∆t

.

V nasem prıpade se cyklista vracı do mısta, ze ktereho vyjel. Pocatecnı a koncovapoloha je stejna, takze zmena polohoveho vektoru je nulova. Zjistıme tedy, ze v tomtoprıpade je prumerna rychlost nulova:

〈~v〉=~0 km ·h−1 .

Pojmy uvedene v prıklade je dulezite dobre rozlisovat. Prumerna rychlost je vektor,jejı velikost tedy zjistıme jako velikost vektoru. Oproti tomu prumerna velikostrychlosti je nezapornou skalarnı velicinou.


1.4 Basketbalista hazı na kosJaka je velikost pocatecnı rychlostı mıce, hazı-li basketbalista mıc pod uhlem 60◦z vysky 2,1 metru? Kos je od nej vzdalen 4 metry a je ve vysce 3 metry (viz obrazek).(Prevzato a upraveno z [2].)

v0

α

l

h

y

x

Souradnice si zvolıme tak, jak je znazorneno na obrazku. Pro sikmy vrh pak platınasledujıcı vztahy:

x(t) = v0t cosα , (1.7)

y(t) = v0t sinα− 12

gt2 . (1.8)

Vodorovnou vzdalenost mezi basketbalistou a kosem si oznacıme jako l, rozdıl vyskykose a mıce v okamziku hodu jako h.

V case dopadu pak dostaneme:

x(t = td) = l , (1.9)

y(t = td) = h . (1.10)

Po dosazenı vztahu (1.9) do (1.7) dostavame:

x(td) = v0td cosα = l . (1.11)

Odtud vyjadrıme cas dopadu jako td = lv0 cosα

, ktery spolu s (1.10) dosadıme do (1.8).Dostavame tak:

h = v0l

v0 cosαsinα− 1

2g

l2

v20 cos2 α

. (1.12)

Po upravach dostaneme z rovnice (1.12) vyjadrenı rychlosti:

v0 =l

cosα·√

g2(l tanα−h)

. (1.13)


Do tohoto vztahu uz jen stacı dosadit zadane cıselne hodnoty, cımz zjistıme pocatecnırychlost, kterou musı basketbalista udelit balonu, aby dopadl do kose.

v0 =(4 m)

cos60◦·

√(9,81 m · s−2)

2 [(4 m) tan60◦− (0,9 m)]

.= 7,22 m · s−1 . (1.14)

1.5 KoularPod jakym uhlem musı koular vrhnout kouli, aby dopadla co nejdal?(Prevzato a upraveno z [1].)

α

v0

xmax

h

y

x

Stejne jako v predchozı uloze si pro danou soustavu souradnic nejprve zapıseme vztahypro sikmy vrh:

x(t) = v0t cosα , (1.15)

y(t) = h+ v0t sinα− 12

gt2 . (1.16)

U y-ove slozky, oproti minulemu prıkladu, musıme pricıst vysku h, ze ktere je koule vrzena.Z obrazku vidıme, ze y-ova souradnice bude v case dopadu (td) rovna nule.

y(td) = h+ v0td sinα− 12

gt2d = 0 .


Mame tedy kvadratickou rovnici, ze ktere zjistıme cas dopadu (td).

12

gt2d − v0td sinα−h = 0 ,

td1,2 =v0 sinα±

√v2

0 sin2α +2gh

g.

Vysledkem kvadraticke rovnice jsou tedy dva casy. K dalsım vypoctum pouzijemetento vztah pouze se znamenkem +, zajıma nas totiz dopad koule v kladnem case poodhodu. Dosazenım casu dopadu do vztahu (1.15) prevedeme casovou zavislost x(td) nauhlovou zavislost xd(α):

xd(α) = v0v0 sinα +

√v2

0 sin2α +2gh

g· cosα . (1.17)

Pro dalsı pokracovanı je potreba, abychom byli obeznameni se zaklady diferencialnıhopoctu. Maximum teto funkce najdeme tak, ze polozıme jejı derivaci nule:

dxd(α)

dα= 0 . (1.18)

Po delsıch upravach dostaneme:

cos2α =gh

v20 +gh

. (1.19)

Pro overenı maxima bychom pocıtali druhou derivaci funkce xd(α) a zjist’ovali bychom,zda platı

d2xd(α)

dα2 < 0 .

Vypocet je vsak pracny, a proto se spokojıme s konkretnı ukazkou grafu zavislosti xd(α).Zadanı pocatecnıch podmınek nam umoznı prevest vztah (1.17) do grafu.


Graf vykreslıme pro nasledujıcı hodnoty:h = 2 m , v0 = 14,3 m · s−1 , g = 9,81 m · s−2 .

Graf 2

Z grafu 2 vidıme, ze zjisteny extrem je opravdu maximem funkce. Pro nami zadanehodnoty vychazı elevacnı uhel α = 42◦. Tuto hodnotu muzeme porovnat s hodnotoudopoctenou ze vztahu (1.19):

cos2α =gh

v20 +gh

=(9,81 m · s−2)(2 m)

(14,3 m · s−1)2 +(9,81 m · s−2)(2 m)

.= 0,0875 ,

2α.= 84◦58′ ⇒ α

.= 42◦29′ .

Vidıme tedy, ze hodnota odectena z grafu se shoduje s hodnotou vypocıtanou.


Na zaver tohoto prıkladu bychom mohli uvest specialnı prıpad, kdy sikmy vrh pro-vedeme z nulove vysky. Platı tedy, ze h = 0 m . Po dosazenı do (1.19) podle ocekavanıdostavame:

cos2α = 0⇒ 2α = 90◦⇒ α = 45◦ .

Opet muzeme sestrojit graf zavislosti xd(α), tentokrat ale pro nulovou pocatecnı vysku:

Graf 3

Vidıme, ze maximalnı vzdalenosti pri zadanych pocatecnıch podmınkach opravdudosahneme pri vrhu pod uhlem α = 45◦ .

Kapitola 2

DYNAMIKA

Dynamika se zabyva prıcinou zmeny pohybu teles a vyuzıva poznatku o pohybu z kinema-tiky. My se budeme zabyvat pouze klasickou dynamikou, to znamena, ze budeme zkoumatmakroskopicka telesa s rychlostmi malymi oproti rychlosti svetla, a to v inercialnı vztaznesoustave spojene se Zemı. Na tomto mıste je vhodne vzpomenout zakladnı principy kla-sicke mechaniky, kterymi jsou Newtonovy pohybove zakony. Prvnı zakon o setrvacnosti,druhy zakon sıly a tretı zakon akce a reakce. Tyto zakony budeme uplatnovat v nasledu-jıcıch prıkladech. Pouzijeme predpoklad z prvnı kapitoly, takze nebude-li receno jinak,v prıkladech si telesa nahradıme hmotnymi body a zanedbame odpor prostredı.

2.1 Sıly pusobıcı na puk, bowlingovou kouli a nohu bezceZakreslete a popiste sıly, ktere pusobı na:

a) puk na lede, klouzajıcı konstantnı rychlostı,

b) bowlingovou kouli, kutalejıcı se bez prokluzovanı konstantnı rychlostı,

c) nohu bezce pri behu.

ad a) Na puk pusobı podlozka (led) tlakovou silou ~N a Zeme tıhovou silou ~FG.

~N~v

y

x~FG

– 11 –

Kapitola 2. DYNAMIKA 12

Z druheho Newtonova pohyboveho zakona vıme, ze vysledna sıla pusobıcı na telesoje prımo umerna jeho hmotnosti a zrychlenı, ~Fv = m~a. Puk se na lede pohybujekonstantnı rychlostı, ma nulove zrychlenı. Vyslednice sil na nej pusobıcı je tedynulova, coz vidıme i na obrazku.

~Fv = ~FG +~N = m~a =~0 .

Velikostne, pro souradnicovy system zvoleny podle obrazku, dostavame:

N−FG = 0⇒ N = FG = mg .

ad b) Bowlingova koule se pohybuje bez prokluzovanı s konstantnı rychlostı~v =−−−→konst.,

to znamena, ze konstantnı je i jejı uhlova rychlost ~ω .

~N~v

x

y

~FG

Vidıme, ze sıly pusobıcı na kouli jsou opet tlakova sıla podlozky ~N a tıhova sıla ~FG.Pro uplnost uvedeme, co by se stalo, pokud bychom nezanedbavali odpor vzduchua valivy odpor pusobıcı proti pohybu koule. Vyslednice sil by nebyla nulova a kouleby zpomalovala. Vypocet jejıho zrychlenı by spadal do mechaniky tuheho telesa.

ad c) Zacneme nejprve jednoduchym prıpadem, kdy je bezec v klidu a stojı na jedne noze.Pusobı na nej tlakova sıla od podlozky ~N a tıhova sıla ~FG.

~N

~FG

y

x

Pokud se bezec rozebehne a pobezı konstantnı rychlostı, bude na nej opet pusobittlakova sıla ~N a tıhova sıla ~FG.


Poslednı uvaha uz bude zajımavejsı, bezec bude zrychlovat, takze vyslednice sil,ktere na nej pusobı, bude nenulova:

~N

~a

~FG

~FT

y

x

Vidıme, ze sıly ~N a ~FG pusobı stale, pri zrychlovanı se k nim prida sıla od podlozky~FT, ktera je silou trecı.

Opet pouzijeme druhy Newtonuv pohybovy zakon ~Fv = m~a. Pro souradnice zvolenepodle obrazku dostaneme dve rovnice, jednu pro x-ovou a druhou pro y-ovou osu:

x : max = FT ,

y : may = N−FG = 0 ⇒ N = FG = mg .

V druhe rovnici jsme vyuzili vazebnı podmınku ay = 0 (bezec se pohybuje po vo-dorovne podlozce, jeho zrychlenı ve smeru osy y je nulove1).Na tomto mıste si pripomenme, co vıme o staticke a dynamicke trecı sıle.Pokud je teleso v klidu, pusobı na nej staticka trecı sıla ~FT,S. Jejı okamzita velikostlezı v intervalu [0; FT,Smax], kde FT,Smax je maximalnı prıpustnou velikostı staticketrecı sıly a je urcena vztahem FT,Smax = µSN (µS je soucinitel statickeho trenı a N jevelikost tlakove sıly, kterou pusobı podlozka na teleso).Jakmile se vsak teleso zacne pohybovat, zmenı se staticka trecı sıla na trecı sıludynamickou ~FT,D. Jejı velikost je dana vztahem FT,D = µDN (µD je soucinitel dyna-mickeho trenı), tato velikost je pak stejna po celou dobu pohybu.

Pokud se bezec bude odrazet od podlozky bez prokluzovanı (tzn. podrazka boty sev mıste dotyku s podlozkou nebude pohybovat), bude na jeho nohu pusobit statickatrecı sıla, jejı maximalnı velikost je vetsı nez velikost dynamicke trecı sıly. K tomutorozdılu dochazı kvuli rozdılnosti koeficientu vystupujıcıch ve vztahu pro jednotlivetrecı sıly. Pobezı-li bezec po mokre draze, blate, ledu apod., muze dojıt k prokluzo-vanı, na jeho nohu pak bude namısto staticke trecı sıly pusobit trecı sıla dynamickaa jeho zrychlenı bude mensı.

1Jedna se pouze o modelovou situaci. Ve skutecnosti se vyska stredu hmotnosti bezce menı, i kdyz sesnazı tento jev minimalizovat.


2.2 Lyzar na svahuLyzar o hmotnosti m stojı na svahu, ktery ma uhel sklonu α a delku l. Zjistete:

a) Jake sıly pusobı na lyzare na dokonale hladkem ledovem svahu? Za jak dlouhoby dojel na konec svahu?

b) Za jakych podmınek by se lyzar rozjel z klidu sam od sebe, pokud bychom uva-zovali trenı? Soucinitel statickeho trenı mezi lyzemi a svahem je µS.

c) Urcete, jake maximalnı mozne velikosti rychlosti muze lyzar dosahnout, jestlizesoucinitel dynamickeho trenı mezi lyzemi a svahem je µD a sıla odporu vzduchuje urcena Newtonovym vztahem 1

2CρvzdSv2. Prıslusne koeficienty vystupujıcı vevztahu pro odporovou sılu kvalifikovane odhadnete.

ad a) Lyzare si nahradıme hmotnym bodem. Pri dokonale hladkem povrchu svahu nedo-chazı mezi lyzemi a svahem ke trenı, proto na lyzare pusobı pouze tlakova sıla ~Na tıhova sıla ~FG.

α

l

~N

x

y

~FG

Zapıseme druhy Newtonuv pohybovy zakon:

~Fv = ~FG +~N = m~a .

Souradnicovou soustavu si zvolıme tak, jak je uvedeno na obrazku. V nasem prıpadevidıme, ze se lyzar pohybuje pouze v kladnem smeru osy x. Rychlost a zrychlenılyzare v y-ovem smeru jsou tedy nulove. Pro x-ove a y-ove slozky tak muzemenapsat:

x : max = mgsinα ,

y : may = N−mgcosα = 0 ⇒ N = mgcosα .


Pro x-ovou slozku lyzarova zrychlenı dostavame:

ax = gsinα .

Zrychlenı lyzare je tedy konstantnı. Abychom zjistili cas, za ktery lyzar dojede nakonec kopce, pouzijeme vztah (1.5) pro drahu rovnomerne zrychleneho pohybu.Lyzar se rozjızdı z nulove pocatecnı rychlosti, po upravach dostavame:

l =12

at2 =12

gsinαt2 ,

t =

√2l

gsinα.

ad b) V tomto prıpade jiz uvazujeme trenı. Lyzar je v klidu, proto na nej pusobı statickatrecı sıla ~FT,S.

α

l

~N

x

y

~FG

~FT,S

Opet si zapıseme druhy Newtonuv pohybovy zakon:

~Fv = ~FG +~N +~FT,S = m~a .

Souradnicovou soustavu si opet zvolıme podle obrazku, pro x-ove a y-ove slozkydostavame:

x : max = mgsinα−FT,S ,

y : may = N−mgcosα = 0 ⇒ N = mgcosα .

Aby se lyzar rozjel sam od sebe, musı platit:

mgsinα > FT,S .


FT,S je okamzita velikost staticke trecı sıly. Pred tım, nez se lyzar rozjede a zacnepusobit dynamicka trecı sıla, dosahne staticka trecı sıla maximalnı hodnoty, prokterou platı FT,Smax = µSN, kde µS je soucinitel statickeho trenı. Dostavame tedy:

mgsinα > µSmgcosα ⇒ µS < tanα .

ad c) V tomto prıpade na lyzare krome tıhove a tlakove sıly pusobı dynamicka trecısıla a odporova sıla vzduchu. Stejne jako v predchozıch ulohach se budeme rıditnasledujıcım schematickym obrazkem:

α

l

~N

x

y

~FG

~Fodp

~FT,D

Druhy Newtonuv pohybovy zakon pro tento prıpad vypada nasledovne:

~Fv = ~FG +~N +~FT,D +~Fodp = m~a .

Po rozepsanı do slozek dostavame:

x : max = mgsinα−FT,D−12

CρvzdSv2x , (2.1)

y : may = N−mgcosα = 0 ⇒ N = mgcosα . (2.2)

Lyzar se pohybuje pouze ve smeru osy x, proto jsme opet polozili ay = 0. O dyna-micke trecı sıle vıme, ze jejı velikost FT,D = NµD.

V prvnı uvaze si uvedomıme, ze pokud lyzar dosahne maximalnı velikosti rychlosti,uz nebude dal zrychlovat. Abychom tuto rychlost zjistili, polozıme x-ovou slozkujeho zrychlenı rovnou nule (ax = 0).

max = mgsinα−µDmgcosα− 12CρvzdSv2

x,max = 0 .


Po upravach dostavame:

vx,max =

√2mg(sinα−µD cosα)

CρvzdS. (2.3)

Zatım nevıme, v jakem okamziku a jestli vubec teto rychlosti lyzar dosahne. Protoprejdeme ke druhe uvaze, ktera bude po matematicke strance narocnejsı2. Pokudchceme zjistit casovy prubeh rychlosti, musıme sestavit pohybovou rovnici a vyresitji. Z rovnice (2.1) si na leve strane prepıseme zrychlenı na casovou derivaci rychlostia pravou stranu upravıme. Dostaneme:

mdvx(t)

dt= mg(sinα−µD cosα)− 1

2CρvzdSv2

x(t) .

Pro jednodussı zapis si konstantnı cleny v pohybove rovnici nahradıme takto:g(sinα−µD cosα) = A a CρvzdS

2m = B.

dvx(t)dt

= A−Bv2x(t) .

Separacı promennych dostavame:

dvx(t)A−Bv2

x(t)= dt .

Lyzar se rozjızdı z nulove pocatecnı rychlosti, integral diferencialnı rovnice napısemeve tvaru: ∫ v

0

dvx(t)A−Bv2

x(t)=∫ t

0dt ,

1B

∫ v

0

dvxAB − v2

x=

1B

∫ v

0

dvx

(√

AB − vx)(

√AB + vx)

=∫ t

0dt .

Maximalnı rychlost je vx,max =√

2mg(sinα−µD cosα)CρvzdS =

√AB , po dosazenı dostavame:

12√

AB

[∫ v

0

dvx

(vx,max− vx)+∫ v

0

dvx

(vx,max + vx)

]=∫ t

0dt ,

12√

ABln

vx,max + vvx,max− v

= t ,

v(t) = vx,maxe2t√

AB−1

e2t√

AB +1. (2.4)

2Kdo neumı resit diferencialnı rovnice, muze rovnou prejıt na str. 18 a seznamit se s grafickym vystupemresenı.


Nynı sestrojıme graf zavislosti velikosti rychlosti na case. Ve vztahu (2.4) zpetne do-sadıme jednotlive konstantnı cleny za A a B. Pouzijeme nasledujıcı cıselne hodnoty:m = 80 kg , α = 35◦ , µD = 0,04 , CρvzdS .

= 0,5 kg ·m−1 (ρvzd je hustota vzduchupri 0 ◦C, koeficient C a ucinny prurez lyzare S zvolıme pro snızeny postoj3).

Graf 4

závislost velikosti rychlosti na čase

v [

m ∙

s-1 ]

0

10

20

30

40

50

t [ s ]0 20 40 60 80 100

v(t)

Po dosazenı vyse uvedenych cıselnych hodnot do vztahu (2.3) pro vx,max dostavame:

vx,max.= 41,2 m · s−1 .

V grafu 4 vidıme, ze se funkce blızı hodnote 41 m ·s−1, podıvame-li se na vztah (2.4),zjistıme, ze lyzar by maximalnı rychlosti dosahl limitne v nekonecnu. Pohledem nagraf 4 zjistıme, ze k teto rychlosti se lyzar s velmi dobrou presnostı priblızı jizv t .

= 30 s.

3Odhad proveden z http://ceskakinantropologie.cz/elstudovna/index.php?predmet=abi&sec=Acro,str. 29, Tabulka 3.


Nakonec je vhodne uvest grafy zavislosti maximalnı rychlosti na jednotlivych cle-nech vystupujıcıch ve vztahu (2.3), tj. na hmotnosti lyzare, jeho postoji (ucinnemprurezu) a uhlu sklonu svahu. Jako prvnı uvedeme graf zavislosti maximalnı velikostirychlosti na hmotnosti lyzare:

Graf 5

závislost velikosti maximální rychlosti na hmotnosti lyžaře

v x [

m ∙

s-1 ]

25

30

35

40

45

m [ kg ]30 40 50 60 70 80 90 100

vx,max(m)

Vidıme, ze pokud se menı pouze hmotnost lyzare, tak s narustajıcı hmotnostı rostei velikost jeho maximalnı rychlosti. Ve skutecnosti by se vsak s lyzarovou hmotnostımenil i jeho ucinny prurez, takze vyse uvedena zavislost je pouze zjednodusenım.

Pro nazornost vytvorıme graf zavislosti velikosti okamzite rychlosti dıtete v nızkempostoji (ve vajıcku) a dospeleho ve vysokem i v nızkem postoji (ve vajıcku). Projednodussı vypocet jsme nızky postoj aproximovali koulı (C = 0,5, ucinny prurezbude kruh) a vysoky postoj valcem (C = 0,8, ucinny prurez bude obdelnık).

Dıte i dospely sjızdı stejny svah s parametry jako v predchazejıcıch ulohach (uhelsklonu svahu α = 35◦ a soucinitel dynamickeho trenı µD = 0,04).


Ve vztahu (2.4) dale vystupuje hustota vzduchu ρvzd = 1,29 kg ·m−3. K vypoctuucinneho prurezu S(m) pouzijeme vztah mezi hmotnostı, hustotou a objemem telesa(m = ρV ), kde za objem V dosadıme objem koule, nebo valce. Z techto rovnicurcıme polomer, ktery dosadıme do vztahu pro ucinny prurez (plocha kruhu S = πr2

v prıpade koule a plocha obdelnıka S= 2rh, kde h je vyska dospeleho lyzare). Hustotulidskeho tela povazujeme za blızkou hodnote hustoty vody (ρ = 1000 kg ·m−3).

m1 = 40 kg ,C1 = 0,5, S1 = π

(3m1

4πρ

)2/3.= 0,14 m2,

m2 = 80 kg ,C2a = 0,5, S2a = π

(3m2

4πρ

)2/3.= 0,22 m2,

h2 = 1,8 m ,C2b = 0,8, S2b = 2h2

√m2

πρh2

.= 0,43 m2.

Indexem 1 jsme oznacili veliciny tykajıcı se dıtete, indexem 2a dospeleho ve vajıckua 2b dospeleho ve stoji.

Graf 6

závislost okamžité velikosti rychlosti různých lyžařů na čase

v [ m

∙ s-1

]

0

10

20

30

40

50

60

70

80

t [s]0 10 20 30 40 50 60 70

dospělý ve vajíčkudítě ve vajíčkudospělý ve stoje

Ze zavislostı uvedenych v grafu 6 je videt, ze pokud chce dospely dohnat dıtejedoucı v nızkem postoji, musı zaujmout take co nejnizsı pozici. Pokud zustanedospely lyzar ve vysokem postoji, dıte dostihne az pod svahem (za predpokladu, zetam na nej dıte pocka).


Dalsı graf sestrojıme pro zavislost maximalnı velikosti rychlosti na uhlu sklonusvahu:

Graf 7

závislost velikosti maximální rychlosti na úhlu sklonu svahu

v x [

m ∙

s-1 ]

0

10

20

30

40

50

60

α [ ° ]0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

vx,max(α)

S rostoucım uhlem sklonu svahu roste i maximalnı velikost rychlosti. Pokud sepodıvame na vztah (2.3), vidıme, ze po dosazenı α = 90◦ dostaneme vztah promeznı velikost rychlosti volneho padu v prostredı s odporem. Vetsina upravovanychsjezdovek ma ale uhel sklonu svahu okolo 15◦ – 35◦ (v extremnıch prıpadech seblızı ke 45◦)4, coz po odectenı hodnot z grafu 7 odpovıda velikostem maximalnıchrychlostı vx,max

.= 25−40 m · s−1.

Pro uhly od 0◦ do 2◦ vyjde citatel ve vztahu (2.3) pro dane µD mensı nez nula,proto pro tyto uhly nema vztah resenı (odmocnina ze zaporneho cısla nenı v oborurealnych cısel definovana), lyzar by se ani nerozjel.

4Hodnoty prevzate z http://snow.cz/clanek/1039-jak-se-meri-sklon-svahu.


Poslednım grafem je zavislost maximalnı velikosti rychlosti na ucinnem prurezu.

Graf 8

závislost velikosti maximální rychlosti na účinném průřezuv x

[ m

∙ s-1

]

20

30

40

50

60

70

80

90

100

S [ m2 ]0 0,5 1 1,5 2 2,5

vx,max(S)

Z grafu 8 vidıme, ze s rostoucım ucinnym prurezem klesa velikost maximalnı rych-losti. Ucinny prurez zavisı na velikosti lyzare, jeho postoji a oblecenı. Lyzar o vysce1,7 m a hmotnosti 70 kg ma pri normalnım postoji ucinny prurez 0,8 – 1,0 m2, prinızkem postoji se tato hodnota snızı na 0,4 – 0,6 m2, za predpokladu, ze na sobe maobycejne zimnı oblecenı. Pokud by si oblekl prilehavou lyzarskou kombinezu, tytohodnoty by se jeste o dve desetiny snızily5.

5Hodnoty odhadnute z http://ceskakinantropologie.cz/elstudovna/index.php?predmet=abi&sec=Acro,str. 29, Tabulka 3.


2.3 Skok do vodyOdhadnete, za jak dlouho a v jake hloubce se zastavı skokan, ktery skocı do vodytzv. bombu.

Jakmile bude skokan uplne pod vodou, budou na nej pusobit tıhova, vztlakova a od-porova sıla. Na rozdıl od predchozıho prıkladu 2.2 c) uvazujeme male rychlosti skokana,proto pouzijeme pro velikost odporove sıly vody Stokesuv vztah Fodp = 6πηrv.

~FG

~Fvztl

~Fodp

x

0

Opet vyjdeme z druheho Newtonova zakona:~Fv = ~FG +~Fvztl +~Fodp = m~a.

Pro orientaci osy x zvolenou podle obrazku dostavame:

max = mg−V ρkapg−6πηrvx , (2.5)

kde V je objem ponorene casti plavce, v dalsıch vypoctech aproximujeme skokana zcelaponorenou koulı.

Pokracovat muzeme obdobne jako v prıkladu 2.2 na strane 17. Abychom se vsakneopakovali, provedeme jinou uvahu.

Nejprve si prepıseme rovnici (2.5) do tvaru

mdvx(t)

dt= g−

V ρkapgm

− 6πηrm

vx(t) .

Pro jednodussı zapis dalsıch vypoctu si nahradıme konstantnı cleny: K = g− V ρkapgm ,

b = 6πηr. Dostaneme:dvx(t)

dt+

bm

vx(t) = K . (2.6)

Predpokladame resenı ve tvaru exponencialnı zavislosti6:

vx(t) = Aeλ t +B (2.7)

⇒ dvx(t)dt

= Aλeλ t .

6Kdo neumı resit diferencialnı rovnice a nechce se momentalne v teto veci priucit, muze prejıt na zacatekstr. 25.


Dosazenım do (2.6) dostavame:

Aλeλ t +bm

(Aeλ t +B

)= K ,

Aeλ t(

λ +bm

)= K− bB

m.

Vyraz na leve strane zavisı na case, na prave strane je konstanta. Aby platila rovnost,nezbude, nez aby K − bB

m = 0. Leva strana musı byt take nulova. Jelikoz eλ t 6= 0 prolibovolne t a soucasne A je obecne nenulova integracnı konstanta (pozdeji ji urcımez pocatecnıch podmınek), musı platit λ + b

m = 0:

λ +bm

= 0⇒ λ =− bm

,

K− bBm

= 0⇒ B =mKb

.

Tımto postupem jsme z tzv. partikularnıho resenı zjistili konstantu B. Nynı muzeme zapsatobecne resenı ve tvaru:

vx(t) = Ae−bm t +

mKb

.

Konstantu A zıskame z pocatecnıch podmınek; skokan skocı do vody v case t = 0 srychlostı v0.

vx(t = 0) = v0 = A+mKb

⇒ A = v0−mKb

.

Zjistili jsme tedy konstanty A a B vystupujıcı ve vztahu (2.7):

vx(t) =(

v0−mKb

)e−

bm t +

mKb

.

Po zpetnem dosazenı za konstanty K a b dostaneme vztah zavislosti rychlosti skokanana case:

vx(t) =

[v0−

g(m−V ρkap

)6πηr

]e−

6πηrm t +

g(m−V ρkap

)6πηr

. (2.8)


Pro lepsı predstavu opet sestrojıme graf zavislosti rychlosti skokana na case. Skokanma hmotnost m = 80 kg a hustotu tela po nadechu7 ρ = 945 kg ·m−3. Do konstanty b, kteravystupuje ve vztahu pro odporovou sılu, pouzijeme rozmer skokana aproximovaneho koulıo polomeru r = 3

√3m

4πρ

.= 0,3 m a dynamickou viskozitu vody η = 1,002 ·10−3 Pa · s pro

20 ◦C. Hustota vody, do ktere skace, ma hodnotu ρkap = 1000 kg ·m−3. Predpokladejme,ze jakmile je zcela ponoren, pohybuje se pocatecnı rychlostı v0 = 3 m · s−1.

Graf 9

závislost rychlosti na čase ve vodě

v x [

m ∙

s-1 ]

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t [ s ]0 2 4 6 8 10 12

vx(t)

Zavislost rychlosti na case je v tomto grafu linearnı, jedna se totiz o kratky casovyusek. Pro mala t muzeme clen e−

6πηrm t ve vztahu (2.8) prepsat pomocı Taylorova rozvoje

jako e−αt .= 1−αt. Pokud tento clen zpetne dosadıme do vztahu (2.8), dostaneme:

vx(t) = v0−v06πηr

mt +

g(m−V ρkap)

mt =

= v0−v06πηr

mt +

FG−Fvztl

mt .

Tento vztah muzeme upravit na tvar:

vx(t) = v0−aodpt−at ,

kde aodp = v06πηrm > 0 a a = Fvztl−FG

m > 0. Dostavame vztah pro rovnomerne zpomalenypohyb, coz vysvetluje onu linearnı zavislost rychlosti na case.

7Hodnota prevzata z http://www.converter.cz/tabulky/hustota-pevne.htm.


Po dosazenı cıselnych hodnot navıc zjistıme, ze aodp.= 2,1 ·10−4m ·s−2 je zanedbatelne

oproti a .= 0,57m · s−2 . Tım padem se skokan bude priblizne pohybovat se zrychlenım

o velikosti a .= |FG−Fvztl|

m .Exponencialnı zavislost se projevı az za delsı casovy usek (voda ma velmi malou

dynamickou viskozitu η a hustota skokana se od hustoty vody lisı jen velmi malo).Pro t→ ∞ je e−

6πηrm t = 0, dostaneme tak vztah pro maximalnı rychlost:

vx,max =g(m−V ρkap

)6πηr

, (2.9)

ke ktere se skokan bude limitne blızit. V realne situaci by se skokan drıv vynoril nadhladinu, nez by se k teto rychlosti priblızil. Cas, za ktery se skokan zastavı, odectemez grafu 9. Vidıme, ze nulove rychlosti dosahne v case t .

= 5,2 s. Tuto hodnotu pouzijemek odhadu hloubky, v jake se skokan zastavı.

Zavislost polohy (hloubky) na case dostaneme integracı vztahu (2.8) pro zavislostrychlosti na case.

x(t) =∫ t

t0vx(t)dt .

Na tomto mıste nas zajıma hloubka, v jake se skokan zastavı. Abychom ji zjistili,budeme integrovat od t0 = 0 s do t1 = 5,2 s.

x(t1) =

[v0−

g(m−V ρkap

)6πηr

]∫ t1

t0e−

6πηrm tdt +

g(m−V ρkap

)6πηr

∫ t1

t0dt =

=

[v0−

g(m−V ρkap

)6πηr

][(− m

6πηr

)e−

6πηrm t]t1

t0+

g(m−V ρkap

)6πηr

[t]t1t0 =

=

[v0−

g(m−V ρkap

)6πηr

]m

6πηr

(1− e−

6πηrm t1)+

g(m−V ρkap

)6πηr

t1 .

Po dosazenı cıselnych hodnot ze str. 25 dostavame:

x(t1).= 7,9 m .

Teto hloubky skokan dosahne samozrejme pouze za predpokladu, ze zustane po celoudobu ve stejne poloze a nebude vydechovat (nezmenı se jeho hustota).


Nynı uvedeme graf zavislosti skokanovy hloubky na case:

x(t) =

[v0−

g(m−V ρkap)6πηr

]m

6πηr

(1− e−

6πηrm t)+

g(m−V ρkap)6πηr t .

Graf 10

závislost hloubky na čase

x [ m

]

0

2

4

6

8

t [ s ]0 2 4 6 8 10 12

x(t)

Na grafu 10 vidıme, ze skokan klesa do maximalnı hloubky 7,9 m a pak zacne stoupat.Pro overenı teto hodnoty muzeme pouzıt vztah pro drahu (v nasem prıpade hloubku)rovnomerne zpomaleneho pohybu:

h(t) = v0t− 12

at2 = v0t− 12

v0

tt2 =

12

v0t .

Po dosazenı cıselnych hodnot dostavame:

h(t = 5,2 s) =12(3 m · s−1)(5,2 s) = 7,8 m .


Pokud by skokan neskakal do vody, ale hypoteticky naprıklad do nadrze plne meduo teplote 25◦C (ρmed = 1448 kg ·m−3, ηmed = 16,32 Pa · s)8 a jeho pocatecnı rychlosttesne pod hladinou by byla v0 = 8 m · s−1, vypadala by casova zavislost jeho rychlostinasledovne:

Graf 11

závislost rychlosti na čase v medu

v x [

m ∙

s-1 ]

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

t [ s ]0 2 4 6 8 10 12 14 16

vx(t)

V tomto grafu se uz exponencialnı zavislost projevı za pomerne kratky casovy usek,skokan se zastavı za necelou jednu sekundu (0,9 s). Pokud bychom chteli zjistit maximalnırychlost, ke ktere by se limitne blızil, stacı dosadit vyse uvedene hodnoty do vztahu (2.9)pro vx,max. Dostavame:

vx,max =−4,5 m · s−1 .

Z grafu 11 vidıme, ze se funkce opravdu blızı k hodnote −4,5 m · s−1. Med i voda majıtotiz vetsı hustotu nez lidske telo po nadechu, vztlakova sıla bude v obou prıpadech vetsınez sıla tıhova a skokan po zastavenı zacne stoupat vzhuru. Tuto skutecnost muzeme videtjak v grafu 10 pro hloubku skokana, ktera roste do maximalnı polohy a nasledne klesa, taki v grafu 11 pro rychlost v medu.

8Hodnoty prevzate z http://crzp.uniag.sk/Prace/2010/C/514202D82ECD4295B6691CD191091775.pdfpro kvetovy med o teplote 25◦C, str. 35, Tab. 7, a str. 41, Tab. 10.


V diskuzıch vysledku budeme jeste chvıli pokracovat. V tomto prıkladu jsme do vy-poctu zahrnuli model odporu prostredı vyjadreny Stokesovym vztahem (odporova sılazavisı linearne na rychlosti). Dale jsme neuvazovali o tom, co se deje pri narazu skokanana hladinu (vıme, ze rychlost skokana se tım vyrazne snızı, tento proces vsak nebude vubecjednoduche matematicky popsat). Odhadli jsme, ze rychlost skokana bezprostredne podvodnı hladinou je v0 = 3 m · s−1. Zjistili jsme, ze odporovou sılu vody muzeme zpocatkuvuci vyslednici tıhove a vztlakove sıle zanedbat. Jedna se tedy o rovnomerne zpomalenypohyb (tento fakt doklada i graf 9 pro rychlost a graf 10 pro hloubku skokana). Je tedyvhodne pouzıt v tomto prıkladu Stokesuv vztah pro velikost odporove sıly? Abychomzjistili, jestli jsme zvolili adekvatnı model, bylo by treba provest rozsahlejsı teoretickeuvahy. Vysledky bychom mohli overovat i experimentalne. Obojı vsak prekracuje ramec,zadanı i cıle teto bakalarske prace.

2.4 Rychlost dopadu vrzene kouleJakou velikostı rychlosti a pod jakym uhlem dopadne koule, kterou odhodı koularv prıkladu 1.5?

α

xmax

h

~v0

~vd

y

x

m

Odporovou sılu na kouli tentokrat zanedbavame, takze na ni pusobı jen tıhova sıla, kteraje silou konzervativnı. Velikost rychlosti dopadu tedy zjistıme pomocı zakona zachovanımechanicke energie.

ZZME : Ek,0 +Ep,0 = Ek,d +Ep,d,

12

mv20 +mgh =

12

mv2d +0. (2.10)

Z rovnice (2.10) vyjadrıme velikost dopadove rychlosti:

vd =√

v20 +2gh .


Cıselne dostaneme velikost dopadove rychlosti dosazenım hodnot z prıkladu 1.5na str. 9 (h = 2 m , v0 = 14,3 m · s−1 , g = 9,81 m · s−2):

vd =√(14,3 m · s−1)2 +2(9,81 m · s−2)(2 m)

.= 15,6 m · s−1 .

Abychom zjistili uhel, pod kterym koule dopadne, urcıme prumet vektoru dopadoverychlosti do x-oveho a y-oveho smeru podle obrazku.

β

vy,d

vx,d

~vd

Vztahy pro x-ovou a y-ovou slozku rychlosti pro sikmy vrh jsou zname:

vx(t) = vx = v0 cosα , (2.11)vy(t) = v0 sinα−gt . (2.12)

Vidıme, ze x-ova slozka rychlosti vx nezavisı na case, je po celou dobu stejne velka.Uhel odhodu α jsme zjistili v prıkladu 1.5 (α = 42◦29′), uhel dopadu urcıme ze vztahu:

cosβ =vx

vd,

cosβ =v0 cosα√v2

0 +2gh.

Dosazenım cıselnych hodnot dostavame:

cosβ =(14,3 m · s−1)cos42◦29′√

(14,3 m · s−1)2 +2(9,81 m · s−2)(2 m)= 0,6755

⇒ β = 47◦30′ .


2.5 Srazka kulecnıkovych koulıBıla kulecnıkova koule o hmotnosti9 m1 = 170 g, ktera se pohybuje rychlostı o velikostiv1,i = 5 m · s−1, narazı do stojıcı modre koule o hmotnosti m2 = 156 g . Jakou rychlostıse bude po pruzne prıme srazce pohybovat kazda z kulecnıkovych koulı?(Prevzato a upraveno z [2].)

m1 , ~v1,i m2 , ~v2,i = ~0y

x

Soustava je uzavrena (zadne castice z nı nevystupujı ani do nı nevstupujı z okolı)a vyslednice vnejsıch sil na telesa pusobıcı je nulova, proto muzeme vychazet ze zakonazachovanı hybnosti (ZZH) a zakona zachovanı mechanicke energie (ZZME) soustavy.

ZZH : ~p1,i +~p2,i = ~p1,f +~p2,f , (2.13)ZZME : E1,i +E2,i = E1,f +E2,f . (2.14)

Indexem i jsme oznacili pocatecnı stav a indexem f stav koncovy. Rychlost druhe koulepred srazkou ~v2,i =~0 m · s−1, jejı pocatecnı hybnost i kineticka energie je tedy nulova.Dale vıme, ze mechanickou energii dostaneme souctem energie potencialnı a kineticke,E = Ep +Ek. Nulovou hladinu potencialnı energie si zvolıme ve vysce stredu hmotnostikoulı, takze Ep = 0 J.

Mechanicka energie se tedy bude skladat pouze z kinetickych energiı. Pohyb se opetdeje pouze v kladnem smeru osy x, pro x-ove slozky zapıseme vztahy (2.13) a (2.14) jako:

m1v1,i +0 = m1v1,f +m2v2,f ,

12

m1v21,i +0 =

12

m1v21,f +

12

m2v22,f .

Cleny, ve kterych se vyskytuje m1, prevedeme na levou stranu a cleny s m2 na pravoustranu rovnic.

m1(v1,i− v1,f) = m2v2,f , (2.15)

m1(v1,i− v1,f)(v1,i + v1,f) = m2v22,f . (2.16)

9Hodnoty hmotnostı prevzaty z http://www.borderbilliards.com/everything-pool-balls.html.


V rovnici (2.16) jsme pouzili identitu a2− b2 = (a− b)(a+ b). Predpokladame, zev1,i 6= v1,f a zaroven v2,f 6= 0 (na tomto mıste si muze kazdy sam rozmyslet, co by pofyzikalnı strance prıpadna rovnost znamenala). Rovnici (2.16) tedy muzeme vydelit rovnicı(2.15). Dostavame10:

v1,i + v1,f = v2,f . (2.17)

Dosazenım (2.17) do (2.15) zıskame vztah pro v1,f:

v1,f =m1−m2

m1 +m2v1,i . (2.18)

Uz tedy zbyva jen dosadit (2.18) do (2.17) a tım zjistit vztah pro v2,f:

v2,f =2m1

m1 +m2v1,i . (2.19)

Cıselne pak dostavame:

v1,f =(0,170 kg)− (0,156 kg)(0,170 kg)+(0,156 kg)

5,0 m · s−1 .= 0,2 m · s−1 ,

v2,f =2(0,170 kg)

(0,170 kg)+(0,156 kg)5,0 m · s−1 .

= 5,2 m · s−1 .

Koncove rychlosti obou koulı vysly kladne, to znamena, ze pro nami zvolenou sourad-nicovou soustavu se obe dve koule budou po srazce pohybovat v souladu s ocekavanımv kladnem smeru osy x.

10Ke stejnemu vysledku bychom dosli, kdybychom z rovnice (2.15) vyjadrili (v1,i− v1,f) a dosadili dorovnice (2.16), tento vypocet je ale ponekud pracnejsı.


2.6 Bob v klopene ledove zatacceJakou rychlostı muze projet bob klopenou zatackou (uhel sklonu odhadneme nazaklade sledovanı prenosu na α = 70◦) o polomeru11 R= 55 m na trati ve Winterbergu(Spolkova republika Nemecko)? Soucinitel statickeho trenı mezi ledem a bobem12 jeµS = 0,03.

α

~N

~FG

S~FT,S,max1

~FT,S,max2

y

x

Na obrazku jsou vyznaceny sıly, ktere na bob pri prujezdu zatackou pusobı. Jsou totıhova sıla, tlakova sıla od podlozky a obecne i staticka trecı sıla (jejı smer prodiskutu-jeme pozdeji). Predpokladame, ze se jedna o rovnomerny pohyb po kruznici, vyslednice silma proto smer do stredu teto kruznice a bob se tedy pohybuje s dostredivym zrychlenım~ad.

Abychom zjistili maximalnı rychlost bobu, pri nız se udrzı na draze, budeme krometıhove a tlakove sıly uvazovat o maximalnı staticke trecı sıle smerujıcı podel naklonene ro-viny dolu ~FT,S,max1 (pokud by jel vetsı rychlostı, tak by ho tato staticka trecı sıla „neudrzela“a „vyletel by ven“ ze zatacky). Druhy Newtonuv pohybovy zakon tedy znı:

~Fv = ~FG +~N +~FT,S,max1 = m~ad .

11Hodnota prevzata z http://www.bobbahn.de/track-informations.html.12Hodnota prevzata z http://www.engineeringtoolbox.com/friction-coefficients-d 778.html.


α

S

y

x

~Fv

α

Pro souradnicovy system zvoleny podle obrazku si jeste pro prehlednost rozepısemejednotlive sıly do slozek:

~N = (0 ; N) ,

~FG = (mgsinα ; −mgcosα) ,

~FT,S,max1 = (NµS ; 0) ,

~Fv = (mad cosα ; mad sinα) =

(m

v2

Rcosα ; m

v2

Rsinα

).

Pro x-ove a y-ove slozky zapıseme druhy Newtonuv pohybovy zakon:

x : m v2

R cosα = mgsinα +NµS ,

y : m v2

R sinα = N−mgcosα ⇒ N = m(

v2

Rsinα +gcosα

).

Po dosazenı za N do rovnice pro x-ove slozky zjistıme vztah pro velikost rychlosti:

vmax =

√Rg(sinα +µS cosα)

cosα−µS sinα. (2.20)

Vidıme, ze pri nami zvolenem modelu (zanedbanı odporu vzduchu) nezavisı vyslednarychlost na hmotnosti bobu, ale pouze na parametrech zatacky, kterou projızdı.

Cıselne pak dostavame:

vmax =

√(55 m)(9,81 m · s−2)(sin70◦+0,03cos70◦)

cos70◦−0,03sin70◦.= 40,4 m · s−1 .


Pro minimalnı rychlost, kterou muze projet zatackou, je postup obdobny. Nynı vsakbudeme uvazovat maximalnı statickou trecı sılu podel naklonene roviny smerem vzhuru~FT,S,max2. Pokud by bob projızdel zatackou mensı rychlostı, „sesouval“ by se dolu kespodnımu okraji zatacky. Zapıseme x-ovou a y-ovou slozku sıly ~FT,S,max2:

~FT,S,max2 = (−NµS ; 0) .

Opet rozepıseme druhy Newtonuv pohybovy zakon do slozek:

x : m v2

R cosα = mgsinα−NµS ,

y : m v2

R sinα = N−mgcosα ⇒ N = m(

v2

Rsinα +gcosα

).

Odtud dostavame:

vmin =

√Rg(sinα−µS cosα)

cosα +µS sinα. (2.21)

Po dosazenı cıselnych hodnot vychazı:

vmin =

√(55 m)(9,81 m · s−2)(sin70◦−0,03cos70◦)

cos70◦+0,03sin70◦.= 36,8 m · s−1 .

Pokud bychom polozili trecı sıly rovny nule, projızdel by bob zatackou rychlostı, kteremuzeme rıkat optimalnı. Pro jejı vypocet stacı ve vztazıch (2.20) a (2.21) formalne polozitµS = 0.

vopt =

√Rgsinα

cosα=√

Rg tanα .

Opet dosadıme cıselne hodnoty:

vopt =√

(55 m)(9,81 m · s−2) tan70◦ .= 38,5 m · s−1 .

Za predpokladu, ze by bob projel zatackou optimalnı rychlostı, clen posadky by nemu-sel byt pripoutan a ani by se nemusel drzet.

Dodejme jeste, ze maximalnı rychlost bobu13 dosahuje az hodnoty 153 km ·h−1. Pre-vodem jednotek nami vypocıtanych rychlostı na kilometry za hodinu dostaneme hodnotyvmax

.= 145,4 km ·h−1, vmin

.= 132,5 km ·h−1 a vopt

.= 138,6 km ·h−1. Vidıme, ze takovych

rychlostı muze bob opravdu dosahnout. Muzeme take rıct, ze provedeny odhad uhlu sklonuklopene zatacky v zadanı je adekvatnı.

Milovnıci zimnıch sportu mohou namıtnout, ze se bob pohybuje na ostrych nozıch,ktere se pri prujezdu drahou zarezavajı do ledu. Pro resenı prıkladu nenı dulezity fyzikalnıcharakter teto sıly, ale tato sıla samotna. Dale jsme pro jednoduchost zanedbali horizontalnısklon drahy, ve skutecnosti bob jede z kopce dolu. Z vysledku je vsak patrne, ze namizvoleny model se od realne situace prılis nelisı.

13Hodnota prevzata z http://www.bobteam.cz/o-nas/faq.

Zaver

Vysledkem teto bakalarske prace je soubor resenych prıkladu z mechaniky. Prıklady majıruznou obtıznost, od zakladnıch uloh z kinematiky a dynamiky az po slozitejsı prıklady, unichz je treba zvolit vhodny model a postup vypoctu. I v techto upravenych podmınkachjsme vsak schopni pochopit podstatu fyzikalnıho problemu spojeneho s danou sportovnıcinnostı.

Ctenar se muze pri vypoctech oprıt o svoji vlastnı zkusenost, nebo si danou proble-matiku alespon lepe predstavit. Ruzne casti prace (s ohledem na jejich obtıznost) mohouposlouzit stredoskolskym studentum, olympionikum, studentum bakalarskych studijnıchprogramu i ucitelum. Nektere vysledky prıkladu ci jejich predpoklady si studenti mohousami vyzkouset (zmerit si cas behu, sjezdu na lyzıch nebo vzdalenost hodu). Nazornostprıkladu by v nich mohla vzbudit zajem jak o fyziku, tak i o sport.

– 36 –

Seznam pouzite literatury

[1] BLAZEVICH, Anthony. Sports biomechanics: The basics: Optimising human per-formance. 2nd edition. London: A & C Black Publishers, 2010.

[2] HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, WALKER, Jearl. Fyzika. 2. prepracovanevydanı. Brno: VUTIUM, 2013.

[3] KVASNICA, Jozef. Mechanika. 2. vydanı. Praha: Academia, 2004.

[4] SVOBODA, Emanuel, BEDNARIK, Milan, SIROKA, Miroslava. Fyzika pro gym-nazia: Mechanika. 5. prepracovane vydanı. Praha: Prometheus, 2013.

[5] http://e-learning.physics.muni.cz/Texty/Nastraha1.pdf (cteno kveten 2015)

– 37 –

Příklady z mechaniky se sportovní tematikou. Bakalářská práce

Documents

Transcript of Příklady z mechaniky se sportovní tematikou. Bakalářská práce