_Prévia planejamento

Manual

OBMEP -OlimpadaBrasileira deMatemtica das Escolas PblicasIMPA,Rio de Janeiro, 2014

OlimpadaBrasileira deMatemtica das Escolas Pblicas OBMEPCoordenadorGeral daOBMEP: Claudio Landim (IMPA).Programade IniciaoCientfica PICCoordenadora doPIC: Ana Catarina P. Hellmeister (USP).CoordenadoraAcadmica: Claudia Vasconcelos (OBMEP).Coordenadora doPIC aDistncia: Suzana Fornari.Coordenadores Regionais de Iniciao Cientfica: AC: Jos Ivan da Silva Ramos UFAC,AL: Sinvaldo da Gama UFAL, AM:CarlosWagnerMarques doNascimento UFAM, AP:MarcioBahia UNIFAP, BA: Luzinalva Morim UFBA, CE: Onofre Farias C7S, DF: Kellcio Arajo UNB, ES: Luzia Casati UFES, GO: Jos Hilrio UFG, MA: Joo de Deus da Silva UFMA,MG01: Gilcione Costa UFMG, MG02: Fernanda Moura UFV, MG03: Francinildo Ferreira UFSJ, MG04: Csar Guilherme de Almeida UFU, MG05: Marise Silveira Unimontes, MG06:Weversson Dalmaso Sellin UFVJM, MG07: Beatriz Casulari Ribeiro UFJF, MG08: AlexandreAlvarenga Rocha UFV, MG09: Luciano Soares Pedroso FAFIPA, MS:KarinaMirandaD. Leite UFMS, MT01: Martinho Arajo UFMT, MT02: Ruikson Sillas de Oliveira Nunes UFMT, PA:Geraldo Mendes de Arajo UFPA, PB: Jos de Arimatia UFCG, PE: Jorge Antonio Hinojosa UFRPE, PI: Gilvan de Oliveira UFPI, PR01: Ana Lucia da Silva UEL, PR02: FlorindaMiyaoka UFPR, PR03: Sani de Carvalho Rutz da Silva UFPR, RJ01: Jair Salvador UFRJ,RJ02: Jones Colombo UFF, RJ03: Ivail Muniz Pedro II, RN: Jos Querginaldo UFRN,RO: Carlos Vincius Ramos UNIR, RR: Raimundo Nonato Arajo UFRR, RS01: Elizabeth aaCosta UFRGS, RS02: Mrcio Lus Miotto UFSM, SC01: Lcio Bezerra UFSC, SC02: LuciaMenoncini UFFS, SE: Valdenberg da Silva UFS, SP01: Jos Carlos Rodrigues FTC - UNESP,SP02: Aparecida Francisco da Silva UNESP, SP03: Raul Ribeiro Anglo Atibaia, SP04: PabloGanassim Etapa, SP05: Dbora Bezerra UMESP, SP06: Ires Dias ICMC - USP, SP07:Jos Arnaldo Frutuoso Roveda UNESP, SP08: Cristina Cerri USP, SP09: Reinaldo Gen IchiroArakaki FATECSJC, TO: Dirlei Ruscheinsky UFT.

0 Sumrio

1 Quase tudo que voc deve saber sobre o PIC 11.1 O que a Iniciao Cientca? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A equipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Como funcionar o PIC-2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 PIC a distncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 A Bolsa do CNPq para o PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 As obrigaes dos alunos que participam do PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 Como aproveitar bem os encontros presenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Como participar do frum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 Algumas boas ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Regras de participao no Frum Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11 Certicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12 Encontro do Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Contedos 92.1 Grupo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Grupo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Grupo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Grupo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Grupo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Grupo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Grupo 7 (foi o Grupo 6 no PIC 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 O que TEX? 273.1 Knuth inventou o TEX... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 ... e Lamport criou o LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Escrevendo e desenhando no frum 314.1 Exemplos Bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Letras Gregas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv Manual do PIC

4.5 Setas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6 Smbolos Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.7 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Matrizes e Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.9 Somatrios e Produtrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.10 Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.11 Construindo guras com LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Calendrio dos Encontros 39

6 Coordenadores Regionais de Iniciao Cientca CRICS 51

7 Clubes de Matemtica da OBMEP 55

8 O PECI 57

1 Quase tudoque voc devesaber sobre oPIC

Voc foi convidado a participar do Programa de Iniciao Cientca da OBMEP (PIC), assim, antesde tudo, saiba que participar desse programa um privilgio. Alm de aprender Matemtica muitointeressante e tecnologias modernas de comunicao, voc vai conhecer colegas de todo o Brasil quetambm tm interesse em Matemtica.

muito importante que voc entenda o que esse programa, conhea suas obrigaes comoaluno e que se prepare para aproveit-lo da melhor maneira possvel. Vamos l!

1.1Oque a IniciaoCientfica?A Iniciao Cientca emMatemtica tem como objetivo transmitir a voc, aluno, a cultura matem-tica bsica, possibilitando que se familiarizem com suas tcnicas e mtodos. Pretende-se auxiliar odesenvolvimento de habilidades de leitura e redao de textos matemticos, bem como o raciocnioanaltico e a capacidade de aprender coisas novas de modo independente e autnomo. Muitos pro-blemas interessantes e desaadores sero utilizados durante o programa para que voc exercite a suacriatividade.

1.2A equipeComo todas as atividades da OBMEP, o PIC de responsabilidade da Coordenao Geral da OBMEP,que conta com a seguinte equipe para sua execuo:

Coordenao Acadmica Coordenadores Regionais de Iniciao Cientca (CRIC)

1

2 Manual do PIC

Coordenadores do Frum (CF) Moderadores do Frum (MF) Professores Orientadores (PO) Monitores Tutores Virtuais

Os Coordenadores Regionais de Iniciao Cientca (CRICs), em sua maioria professores uni-versitrios, so os responsveis regionais pelo PIC. Consulte-os sempre que achar necessrio. Osdados para contato podem ser encontrados ao m deste manual ou no site www.obmep.org.br.

Os Coordenadores do Frum dirigem os trabalhos virtuais num frum, batizado em 2009 deHotel de Hilbert (HH).

Os Professores Orientadores e os Monitores trabalham com os alunos em encontros presenciais.A Coordenao Acadmica, sediada no IMPA, d o suporte administrativo a todas as atividades

do PIC.

1.3Como funcionar oPIC-2013O PIC consta das seguintes atividades:

Encontros presenciais e virtuais. Discusses virtuais no frum Hotel de Hilbert. Tarefas para serem executadas em casa e no portal do PIC. Estudo em grupo ou individual. Outras atividades virtuais.

Os encontros presenciais so dirigidos por Professores Orientadores. Em cada encontro presen-cial, os alunos recebemmaterial de estudo, orientaes e cronograma de estudos relativos aos temas aserem estudados at o prximo encontro. Esse material discutido no frum, entre os alunos, sob ori-entao dos Moderadores do Frum. Os Professores Orientadores e os Moderadores em sua maioriaso professores universitrios.

1.4PIC adistnciaOs alunos que residem em localidades de difcil acesso aos polos participaro do PIC 2013 na moda-lidade a distncia. Essa forma de participao inclui as seguintes atividades:

1. Reunies de estudo semanais de duas horas de durao com tutores virtuais, por meio decomunicao via Internet, para discusso de dvidas e solues de exerccios. A avaliaodesses alunos ser feita na forma a distncia e consiste em uma parte escrita e uma parte oral,com o Tutor virtual. Os temas dessas reunies esto descritos no planejamento acadmico dogrupo do PIC ao qual o aluno pertence.

OBMEP 3

2. Os tutores virtuais so estudantes universitrios, medalhistas da OBMEP, que j participaramdo PIC e que conhecem bem o material bibliogrco usado. Cada tutor virtual ser respon-svel por no mximo trs alunos e ser supervisionado por um professor universitrio.

3. A participao no frum Hotel de Hilbert e a realizao das tarefas do PIC acontecero deforma idntica aos demais alunos do PIC.

Aos alunos que no tiverem acesso Internet ser oferecido outro tipo de contatocomo tutor virtual.

1.5ABolsa doCNPqpara oPICSer bolsista doCNPq umdiferencial na vida de umaluno pela excelncia que caracteriza essa bolsa deestudos e uma valorizao especial do seu currculo. Espera-se de um bolsista uma grande dedicaoao programa e que sua participao seja uma experincia enriquecedora e marcante.

Ateno! S pode ter bolsa do CNPq o aluno que durante a vigncia do PIC estiver regu-larmente matriculado em escola pblica. Por isso, no incio do programa, voc dever enviar ocomprovante de matrcula em escola pblica.

1.6As obrigaes dos alunos queparticipamdoPIC Bom desempenho nas atividades de estudos: ateno, dedicao, cumprimento das tarefas; Assiduidade nas aulas presenciais de, no mnimo, 80%, exceto para os alunos de Nvel 3 Mutipli-

cidades 4, 5, 6 e 7 que esto dispensados dos encontros presenciais;

Cumprimento do calendrio do PIC; Envio dos documentos solicitados; Manter seus dados atualizados;

Alm dos encontros presenciais, os alunos devem dedicar de 4 a 6 horas se-manais, no mnimo, para cumprir suas atividades do PIC (estudar contedos,resolver problemas, participar do frum, etc).

E ainda: Para cada encontro presencial os alunos tero uma Avaliao Presencial com o ProfessorOrientador e uma Tarefa do PIC. Os alunos do Nvel 3 com multiplicidades 4, 5, 6, 7 no faro asavaliaes presenciais. As Tarefas do PIC devero ser feitas nos prazos pr-estabelecidos e divulgadosno Frum pela Coordenao Acadmica.

Cada Avaliao Presencial receber um conceito A, B, C,D ou X. A Tarefa no Portal do PIC ser dividida em duas partes. A primeira parte ser composta de trs

questes de mltipla escolha, com 5 alternativas. A segunda parte ser composta de uma questodiscursiva.

4 Manual do PIC

A Tarefa ser avaliada da seguinte forma:

Na primeira parte o aluno receber 1 (um) ponto por resposta correta, podendo car com 0, 1, 2 ou3 pontos.

Na segunda parte uma questo respondida receber:

A - timo B - bom C - deve melhorar D - deve melhorar muito X - em branco

O conceito nal da tarefa ser:

no-realizada, no caso de todas as questes estarem em branco; pontuao da 1 parte seguida do conceito da 2 parte, por exemplo: 0A, 2B,

3C, 2X, etc...

OBS: Ser tambm considerada no-realizadaa tarefa que apresentar evidn-cias claras de fraude (colas ou cpias).

POLTICADEDESLIGAMENTO

O aluno ser desligado do programa se:

1. Receber 3 (trs) ou mais conceitos no realizada;

2. Faltar a 3 (trs) encontros.

1.7Comoaproveitar bemos encontros presenciais No espere aulas expositivas como as da escola, elas sero raras. Discuta com seu Professor Orientador e colegas os assuntos e problemas tratados no frum. Avalie com o Professor Orientador o cumprimento do seu cronograma de estudos. Apresente pontualmente as tarefas que lhe foram solicitadas. Estude com antecedncia omaterial a ser tratado no encontro presencial e aproveite esses encontros

para esclarecer as dvidas.

OBMEP 5

1.8Comoparticipar do frum O frum acessado pelo Portal do PIC 2013: http://pic2013.obmep.org.br. O seu acesso ao frum ser mediante o login e a senha. Acesse o frum com frequncia para estar em dia com os assuntos em discusso. Participe das discusses com perguntas, sugestes, dvidas e respostas. Tente resolver os problemas e postar solues ou ideias de soluo. Tire suas dvidas sobre os textos estudados. Sinta-se vontade para propor problemas. Lembre-se de que existem vrias maneiras de resolver um mesmo problema. Assim, se um de-

terminado problema no frum j foi resolvido, leia a soluo do seu colega com ateno. Casotenha alguma dvida, pea esclarecimentos. Escreva tambm a sua soluo no frum, mesmo queo problema j tenha sido resolvido.

Obedea s regras de participao no frum. esperado que o estudante do PIC participe ativamente do frum postando mensagens em sua

turma virtual, semanalmente.

Postagens aprovadas ou aprovadas com louvor sero consideradas na avaliao nal do aluno.

1.9Algumas boas ideias Mantenha-se em dia com o seu Cronograma de Estudos no se atrase! Tente ler tudo de primeiramo, antes de qualquer explicao. Caso no entenda, no se desespere,

isso absolutamente normal e um excelente exerccio para o seu crebro. Leia outra vez e muitasoutras vezes mais.

No desista nunca, alguns assuntos e problemas so mesmo duros de vencer e exigem tempo, pa-cincia e garra.

Estude com antecedncia o material a ser tratado no encontro presencial ou no frum. Aproveite para se tornar um autodidata e usufruir disso pelo resto da vida!

1.10Regras de participaonoFrumHotel deHilbert

1. As regras de convivncia e boas maneiras usuais em qualquer sala de aula so essenciais nofrum.

6 Manual do PIC

2. No PIC utilizamos o portugus formal. No use linguagem de Internet, como vc no lugar devoc, Aki no lugar de aqui, etc.

3. No escreva textos utilizando apenas letras maisculas. Utilize maisculas apenas quandonecessrio.

4. Evite usar fontes grandes demais ou pequenas demais.

5. Evite abusar de cores nas mensagens do HH. Elas s devem ser usadas para destacar parte damensagem.

6. No esquea que o Hotel de Hilbert um ambiente de ensino-aprendizagem. No escreva oucoloque imagens que fujam desse objetivo.

7. Antes de criar um novo tpico, verique se um tpico com o mesmo problema ou assunto jfoi criado, evitando a duplicao de tpicos.

8. No coloque um novo problema em um tpico j criado. Se voc quer propor um novo pro-blema, crie um novo tpico.

9. Links para sites externos so permitidos somente quando tratar de material relacionado aocontedo estudado no frum.

10. Para usar imagens, faa upload diretamente no frum. No utilize sistema de compartilha-mento de terceiros porque nesses sistemas as imagens so apagadas aps determinado tempo.

11. Procure escrever mensagens com enunciados de problemas completos e solues claras. Usea ferramenta LATEX para contedos com equaes e smbolos matemticos.

12. Procure colocar no ttulo das mensagens uma descrio do problema proposto, como Alturado tringulo a partir dos lados. Jamais utilize ttulos do tipo: Mais um problema, Resolvamessa, Problema Fcil.

13. O frumpoder ser fechado emdias especcos paramanuteno tcnica ou emdias de provasimportantes, como a primeira fase da OBMEP.

O principal objetivo do frum a troca de conhecimento entre todos os seus usurios. Poste soluesainda que incompletas, leia as solues de seus colegas de turma, esclarea suas dvidas e as de seuscolegas, seja participativo. Alm da discusso de problemas, o frum deve ser usado tambm para queo aluno esclarea dvidas sobre a teoria estudada.

1.11CertificadoOs alunos que cumprirem o programa, com bom aproveitamento e assiduidade, recebero um certi-cado de participao.

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1.12Encontro doHotel deHilbertO Encontro do Hotel de Hilbert um evento a ser realizado em Julho de 2015 e para o qual seroselecionados os 200 alunos com os melhores desempenhos no PIC 2013. Nesse encontro os alunosparticiparo de minicursos, gincanas e atividades sociais, culturais e esportivas.

Quem foiHilbert?O alemo David Hilbert (1862 1943) foi um dos maiores matemticos do sculo XX, com impor-tantes contribuies em diversos ramos da matemtica. Em 1900, ministrou uma importante confe-rncia no Congresso Internacional de Matemticos, na qual props uma lista de problemas em aberto,os quais segundo Hilbert, deveriam nortear a matemtica do sculo.

Saibamais sobre oHotel deHilbertO Hotel de Hilbert o cenrio de vrios resultados contra-intuitivos. Considere um hotel com in-nitos quartos, com os nmeros 1, 2, 3, : : : . Suponha que todos os quartos estejam ocupados e chegaum novo hspede. Como a gerncia do hotel poder acomodar o novo hspede?

A soluo fcil. Basta passar o hspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o 3 e assim por diante.O novo hspede poder ser ento acomodado no quarto 1.

Soluo anloga poder ser aplicada se chega ao hotel um nibus com qualquer quantidade nitade hspedes.

Suponha agora que chegue ao hotel um nibus com uma quantidade innita de passageiros, aco-modados nas poltronas 1, 2, 3, : : : . Como a gerncia pode acomodar estes innitos hspedes?

A soluo ainda fcil. Basta passar o hspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o quarto 4, o do3 para o 6 e assim por diante, isto , o hspede do quarto n passa ocupar o quarto 2n. Procedendoassim, todos os quartos mpares caro vazios e podero ser ocupados pelos passageiros do nibus.

Deixamos agora o seguinte problema: Suponha que esto para chegar ao hotel innitos nibusmarcados com os nmeros 1, 2, 3, : : : . Cada um destes nibus trar innitos passageiros que estoacomodados em poltronas numeradas com 1, 2, 3, : : : . O Hotel de Hilbert poder receber todos esteshspedes? Se a resposta for armativa, ajude o gerente a fazer a distribuio dos quartos.

2 Contedos

Os contedos estudados no PIC variam de acordo com o nvel (1, 2 ou 3) e com o nmero de par-ticipaes no programa, o qual chamamos de multiplicidade. Assim, um aluno que participa pelasegunda vez do programa tem multiplicidade 2 e assim por diante.

2.1Grupo 1

MDULO I - ARITMTICA

1Objetivos: entender o sistema de numerao decimal explorando alguns exemplos e compararo sistema posicional na base 10 com outras bases numricas. Retomar os algoritmos das quatrooperaes.

Assuntos Materiais Youtube eDVD PIC

Discusso de alguns problemas dotema paridade para motivao ini-cial.

Fomin: captulo Zero e captulo 1 - Pa-ridade, Apostila 1: seo 3:5.

18, 19, 20.

Sistema decimal e operaes. Apostila 1: captulo 1 e seo 2:1:1, 2, 3, 4, 5,11.

Outras bases numricas. Fomin: seo 1 do captulo 15.12, 13, 14,15, 16.

9

10 Manual do PIC

2Objetivos: explorar o algoritmo da diviso Euclidiana e mostrar que o resto de uma diviso pode serutilizado para descrever alguns fenmenos peridicos. Comentar alguns critrios de divisibilidadee algumas propriedades operatrias do resto de uma diviso.


Algoritmo da diviso. Fenmenosperidicos.

Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto, Apostila 1: seo 3:4. e Apos-tila 7: seo 2:1.

32, 33, 37,39.

Propriedades operatrias do restode uma diviso.

Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto.

35

Mltiplos e divisores. Apostila 1: seo 3:2 e 3:3. 8, 9, 36, 6, 7.

Nmeros primos. Crivo de Era-tstenes. Teorema Fundamental daAritmtica.

Apostila 1: sees 2:4, 2:5 e 2:6 eApostila 7: seo 1:2.

10, 33, 34.

Critrios de divisibilidade. Apostila 1: sees 2:2 e 2:3. 6, 8, 40, 41.

3Objetivos: atravs de situaes simples motivar os conceitos de mdc e de mmc. Mostrar o clculodo mdc e do mmc de dois nmeros j fatorados e tambm mostrar o clculo do mdc e do mmcatravs da fatorao simultnea de dois nmeros dados. Aplicaes.


Motivao para os conceitos de mdce mmc.

Exemplo do planejamento acadmicodetalhado. Fomin: captulo 3 - Divisi-bilidade e resto,Apostila 1: sees 3:3e 3:7.

8

Clculo do mdc e do mmc de doisnmeros j fatorados.

Planejamento acadmico detalhado. 8, 9 e 10

Clculo domdc e dommc atravs deuma fatorao simultnea.

Planejamento acadmico detalhado. 10

Aplicaes variadas do mdc dommc.

Planejamento acadmico detalhado.Bancos de Questes da OBMEP.Provas da OBMEP.

38

OBMEP 11

MDULO II - GEOMETRIA

4 Objetivos: apresentar o algoritmo de Euclides para o clculo do mdc e explorar algumas proprie-dades do mdc e do mmc.Assuntos Materiais Youtube eDVD PICExplorar o algoritmo de Euclides:mdc(a, b) = mdc(a, b-a).

Planejamento acadmico detalhado,Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto e Apostila 1: seo, 3:3.

9

Explorar o algoritmo de Euclides:mdc(a, b) = mdc(a, r), em que r oresto da diviso de b por a.


21

Resolver exerccios e explorar al-gumas propriedades do mdc e dommc.

Planejamento acadmico detalhado,Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto, Apostila 1: sees 3:3 e 3:8 eProblemas Suplementares da Apostila1.

25, 26

Encontro Objetivos Assuntos Material5 Medidas: ngulos, com-primentos, reas. Re-tas paralelas cortadas poruma transversal.

ngulos entre retas paralelas cortadas por umatransversal, soma dos ngulos de um tringulo,bissetriz, mediatriz, altura.Lugares geomtricosbsicos. Circunferncia e propriedades.

Planejamentoacadmicodetalhado

6 Explorar os conceitos derea e permetro de gu-ras desenhadas em ma-lhas quadriculadas e de al-guns polgonos: retngu-los, tringulos, paralelo-gramos e trapzios.

reas e permetros de guras geomtricas sim-ples: retngulos, tringulos, paralelogramos etrapzios. reas e permetros em malhas qua-driculadas.

Planejamentoacadmicodetalhado

7 Explorar conceitos e re-sultados da geometria uti-lizando dobraduras.

Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntosestudados nos 3 mdulos. O tpico dobraduras excelente para ser explorado em uma aula pre-sencial, mas difcil aborda-lo no frum. Assim,neste mdulo 7, no frum, sugere-se que tam-bm sejam trabalhados desaos de temas varia-dos, principalmente com geometria.

Apostila 9:ocina dedobraduras.Banco deQuestes.Problemasvariados.

Material complementar para alunos, PO e MF: Apostila 3: Teorema de Pitgoras e reas.Esta apostila no serdistribuda para os alunos do grupo G1. O professor orientador poder utilizar esta apostila como material deconsulta. A parte terica e os exerccios estaro disponveis no planejamento acadmico detalhado. Os alunosdevero consultar os materiais disponveis no frum. Para a aula presencial, algumas partes do planejamentodetalhado podero ser reproduzidas para os alunos.

12 Manual do PIC

MDULO III - CONTAGEMEncontro Objetivos Assuntos Material

8 Familiarizar o aluno com o princpiomultiplicativo e utiliz-lo na resoluode problemas. Sempre que possvel lis-tar todas as possibilidades de contagempara que o aluno perceba como o prin-cpio multiplicativo se aplica.

Explorao do princpiomultiplicativo atravsda resoluo de vriosexemplos dos materiaisselecionados. (neste grupono sero trabalhadosproblemas de combinao)

Apostila 2: captulo 1- Mtodos de Conta-gem. Fomin: captulo2 - Anlise Combina-tria - 1.

9 Estudo e clculo de probabilidades emsituaes em que a contagem pode serrealizada atravs de um clculo diretoou do uso do princpio multiplicativo.

Probabilidade - Princpiosbsicos.

Apostila 2: captulo 2- Probabilidade (grupo1). Provas da OBMEP- diversos nveis.

10 Conhecer alguns mtodos de cripto-graa e resgatar os contedos matem-ticos envolvidos sobre o assunto.

Criptograa.Apostila 10: Ativida-des de Contagem apartir da Criptograa.

Observao: No captulo 2 do livro Introduo Anlise Combinatria - Plnio et al. podem ser encontradosexerccios relativos a este mdulo. Alguns destes exerccios podem ser utilizados pelos POs e MFs.

2.2Grupo2A diviso dos contedos para os grupos 1 e 2 ser basicamente a mesma, haver, contudo diferenana abordagem dos problemas. Assim, nos encontros presenciais, os estudantes podero participar dasmesmas aulas. No frum os dois nveis estaro divididos em turmas independentes, e os moderadorespodero trabalhar de forma diferenciada.

MDULO I - ARITMTICA

1Objetivos: entender o sistema de numerao decimal explorando alguns exemplos e compararo sistema posicional na base 10 com outras bases numricas. Retomar os algoritmos das quatrooperaes.


Discusso de alguns problemas dotema paridade para motivao ini-cial.

Fomin: captulo Zero e captulo 1 - Pa-ridade, Apostila 1: seo 3:5.

18, 19, 20.

Sistema decimal e operaes. Apostila 1: captulo 1 e seo 2:1:1, 2, 3, 4, 5,11.

Outras bases numricas. Fomin: seo 1 do captulo 15.12, 13, 14,15, 16.

OBMEP 13

2Objetivos: explorar o algoritmo da diviso Euclidiana e mostrar que o resto de uma diviso pode serutilizado para descrever alguns fenmenos peridicos. Comentar alguns critrios de divisibilidadee algumas propriedades operatrias do resto de uma diviso.


Algoritmo da diviso. Fenmenosperidicos.

Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto, Apostila 1: seo 3:4. e Apos-tila 7: seo 2:1.

32, 33, 37,39.

Propriedades operatrias do restode uma diviso.

Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto.

35

Mltiplos e divisores. Apostila 1: seo 3:2 e 3:3. 8, 9, 36, 6, 7.

Nmeros primos. Crivo de Era-tstenes. Teorema Fundamental daAritmtica.

Apostila 1: sees 2:4, 2:5 e 2:6 eApostila 7: seo 1:2.

10, 33, 34.

Critrios de divisibilidade. Apostila 1: sees 2:2 e 2:3. 6, 8, 40, 41.

3Objetivos: atravs de situaes simples motivar os conceitos de mdc e de mmc. Mostrar o clculodo mdc e do mmc de dois nmeros j fatorados e tambm mostrar o clculo do mdc e do mmcatravs da fatorao simultnea de dois nmeros dados. Aplicaes.


Motivao para os conceitos de mdce mmc.

Exemplo do planejamento acadmicodetalhado. Fomin: captulo 3 - Divisi-bilidade e resto,Apostila 1: sees 3:3e 3:7.

8

Clculo do mdc e do mmc de doisnmeros j fatorados.

Planejamento acadmico detalhado. 8, 9 e 10

Clculo domdc e dommc atravs deuma fatorao simultnea.

Planejamento acadmico detalhado. 10

Aplicaes variadas do mdc dommc.

Planejamento acadmico detalhado.Bancos de Questes da OBMEP.Provas da OBMEP.

38

14 Manual do PIC

MDULO II - GEOMETRIA

4 Objetivos: apresentar o algoritmo de Euclides para o clculo do mdc e explorar algumas proprie-dades do mdc e do mmc.Assuntos Materiais Youtube eDVD PICExplorar o algoritmo de Euclides:mdc(a, b) = mdc(a, b-a).


9

Explorar o algoritmo de Euclides:mdc(a, b) = mdc(a, r), em que r oresto da diviso de b por a.


21

Resolver exerccios e explorar al-gumas propriedades do mdc e dommc.

Planejamento acadmico detalhado,Fomin: captulo 3 - Divisibilidade eresto, Apostila 1: sees 3:3 e 3:8 eProblemas Suplementares da Apostila1.

25, 26

OBMEP 15

Encontro Assuntos Materiais Youtube e DVD PIC

5 ngulos e medida de ngulos. Co-mentar sobre o uso do transferidor. Planejamento Acadmico De-talhado. 5, 6, 7, 8, 9e 10Propriedades dos tringulos e qua-drilteros; tringulos issceles eeqilteros, paralelogramos e trap-zios. Quando falar das proprieda-des de tringulos, comentar a desi-gualdade triangular como condiode existncia.

Planejamento Acadmico De-talhado.

14, 29, 30,12.

ngulos entre retas paralelas corta-das por uma transversal, soma dosngulos de um tringulo, bissetriz,mediatriz, altura. Circunferncia epropriedades. Lugares geomtricosbsicos.


10, 15, 18,22, 23, 24,32.

6 Congruncia e semelhana de trin-gulos.


19, 20, 21

7 reas e permetros de guras geo-mtricas simples: retngulos, trin-gulos, paralelogramos e trapziosExemplo do planejamentoacadmico detalhado. Fomin:captulo 3. Apostila 1: sees3:3 e 3:7.

-

reas e permetros em malhas qua-driculadas.


-

Teorema de Pitgoras.Planejamento Acadmico De-talhado.

-Bancos de Questes. Provasda OBMEP.

-Material complementar para alunos, PO e MF:

Apostila 3: Teorema de Pitgoras e reas. Esta apostila no ser distribuda para os alunos do grupo G2. Oprofessor orientador poder utilizar esta apostila como material de consulta. A parte terica e os exercciosestaro disponveis no planejamento acadmico detalhado. Os alunos devero consultar os materiais dispo-nveis no frum. Para a aula presencial, algumas partes do planejamento detalhado podero ser reproduzidaspara os alunos. Para os alunos do grupo G2 que j realizaram o PIC, podem ser selecionados problemas maiselaborados da apostila 3.

Caso seja possvel, o professor orientador pode consultar o seguinte livro (no distribudo para os alunos).Livro: Tpicos de Matemtica Elementar, Volume 2, Geometria euclidiana Plana. Antnio Caminha MunizNeto. Sees 2:1, 4:1, 4:2

16 Manual do PIC

MDULO III - CONTAGEMEncontro Assuntos Materiais Youtube e DVD PIC

8Dobraduras. O tpico dobraduras excelente para ser explorado em umaaula presencial, mas difcil aborda-lo no frum. Assim, neste mdulo7, no frum, sugere-se que tambmsejam trabalhados desaos de temasvariados, principalmente com geome-tria.Problemas sobre todos os assuntosestudados nos 3 encontros anteriores.

Apostila 9: Ocina deDobraduras.Banco deQuestesProblemasVariados.

-

9 Explorao do princpio multiplicativoatravs da resoluo de vrios exemplosdos materiais selecionados. Apostila 2: captulo 1- Mtodos de Conta-gem.Fomin: captulo 2 -Anlise Combinatria-1.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12,13.

Probabilidade - Princpios bsicos.

Apostila 2: captulo 2- Probabilidade (grupo 1).Provas da OBMEP - diver-sos nveis.PO e MF podemretirar problemas do livrodo Plnio.

14, 15, 16, 17, 18,19

10 Probabilidade - Princpios bsicos.Apostila 2: captulo 2- Probabilidade (grupo 1).Provas da OBMEP - diver-sos nveis.PO e MF podemretirar problemas do livrodo Plnio.

14, 15, 16, 17, 18,19

Criptograa.Apostila 10 - Atividadesde Contagem a partir daCriptograa.

-

Observao: Os alunos de multiplicidade 2, j tiveram contato com a maioria destes assuntos. Para esses alunos,os exerccios se diferenciam dos utilizados no grupo G1 pelo nvel de diculdade. No captulo 2 do livro Introduo Anlise Combinatria - Plnio et al. podem ser encontrados exerccios relativos a este mdulo. Alguns destesexerccios podem ser utilizados pelos POs e MFs.

OBMEP 17

2.3Grupo 3

MDULO I - ARITMTICA ELEMENTAREncontro Objetivos Assuntos Materiais Youtube eDVD PIC

1Compreender formalmenteo conjunto dos nmerosnaturais e as principaispropriedades algbricas deseus elementos. Entender osistema decimal posicionale suas associaes comcritrios de divisibilidade.Compreender formalmenteo conceito de nmerosprimos e sua associao como Teorema Fundamental daAritmtica.

Nmeros naturais.Sistema decimalposicional. Mltiplose divisores. Critriosde divisibilidade: 2,3, 5, 9 e 10. Po-tenciao. Nmerosprimos e o crivo deEraststenes. O Te-orema Fundamentalda Aritmtica.

Apostila 1: captu-los 1 e 2. Fomin:captulo 3 - seo3:1. OBS: EmFomin - captulo8 h problemas queenvolvem o contedodesse encontro.

33, 34, 40 e41

2Compreender formalmenteo conjunto dos inteiros epropriedades algbricas deseus elementos, em especialos algoritmos da divisoe de Euclides. Modelar eresolver problemas utili-zando equaes diofantinaslineares.

Nmeros inteiros(mltiplos, divisores,algoritmo da diviso,paridade, MMC,MDC). Algoritmode Euclides. Relaode Bezout. Equaesdiofantinas lineares.

Apostila 1: captulo3. Fomin: captulo3 - sees 3.1, 3.2 e3.4; captulo 10 - se-o 10.3. OBS: EmFomin - captulo 8 hproblemas que envol-vem o contedo desseencontro.

8, 9, 21, 22,25 e 26.

3Entender formalmente oconceito de congruncia esuas propriedades operaci-onais. Utilizar congrunciapara abordar alguns critriosde divisibilidade: 6, 7, 11e 13. Determinar restosvia congruncias. Analisarcasos especiais de equaesdiofantinas no lineares.

Aritmtica dos restose critrios de divisibi-lidade. Equaes dio-fantinas.

Apostila 1: captulo4. Fomin: captulo10 - sees 10.1, 10.2e 10.3. OBS: Em Fo-min - captulo 8 hproblemas que envol-vem o contedo desseencontro.

28, 29, 30,42, 43, 44 e45.

Oobjetivo geral do prximomdulo I sobre Geometria visa compreender o Teorema de Pitgorase a Trigonometria do tringulo retngulo e utiliz-los na resoluo dos problemas. Despertar a atenoe curiosidade dos alunos para construes geomtricas com rgua e compasso. Estudar integralmentea Apostila 3 - Teorema de Pitgoras e reas.

18 Manual do PIC

MDULO I - GEOMETRIA

Encontro Objetivos Assuntos MateriaisYoutubee DVDPIC

4 Entender formalmente oconceito de regio angulare casos de congrunciade tringulos. Executarconstrues geomtricascom rgua e compassocorrelacionando-as aconceitos bsicos.

ngulos.Congruncia detringulos.Construesbsicas 1: paralelas,perpendiculares,ngulos, tringulose crculos.

Apostila 1: captulo 2.Geometria Euclidiana Plana(A. CaminhaMunizN.): ca-ptulos 1 e 2 - sees 1.2 e2.1. OBS: Em Fomin - ca-ptulo 14 h problemas queenvolvem o contedo desseencontro.

5, 10, 19,20 e 21

5 Analisar posies relativasde retas. Explorar cons-trues e conceitos geom-tricos envolvendo tringulos(relaes angulares e mtri-cas). Complementar a exe-cuo de construes geom-tricas bsicas com uso de r-gua e compasso.

Paralelismo.Desigualdadetriangular.Construesbsicas 2: bissetriz,mediatriz equadrilterosnotveis.

Apostila 3: captulo 2.Geometria Euclidiana Plana(A. CaminhaMunizN.): ca-ptulo 2 - sees 2.2, 2.3, 2.4e 2.5. OBS: Em Fomin - ca-ptulo 14 h problemas queenvolvem o contedo desseencontro.

12, 22, 23,24 e 29.

6Introduzir a noo desemelhana de tringulos.Mostrar sua aplicabilidadeem problemas que envolvemmedidas de comprimento.Apresentar algumas de-monstraes do Teoremade Pitgoras e utilizar oresultado na resoluo deproblemas envolvendo reas.

Semelhana detringulos. Oteorema dePitgoras(demonstraes eos termospitagricos). reas.

Planejamento detalhado(sobre semelhana).Apostila 3: captulos 1e 2. OBS: Em Fomin -captulo 14 h problemasque envolvem o contedodesse encontro.

-

7 Abordar trigonometria dotringulo retngulo. Resol-ver problemas utilizandoconstrues geomtri-cas dando signicadogeomtrico a algumassituaes-problemasalgbricas.

Trigonometria dotringulo retngulo.Mtodos deconstrues comrgua e compassoutilizando lugaresgeomtricos.

Apostila 8: captulo 3.Trigonometria e nmeroscomplexos: cap. 2 - seo2.1. Geometria EuclidianaPlana (A. Caminha MunizN.): captulo 3 sees 3.1e 3.2. Apostila 3: cap. 1- seo 1.6. OBS: Em Fo-min - captulo 14 h pro-blemas que envolvem o con-tedo desse encontro.

-

OBMEP 19

MDULO III - ANLISE COMBINATRIA (mtodos de contagem e probabilidade)

Encontro Objetivos Assuntos MateriaisYoutubee DVDPIC

8 Abordar o princpio aditivo e o multi-plicativo, correlacionando-os aos agru-pamentos mais frequentes (arranjo,permutao e combinao). Aplicar es-ses princpios a resoluo de problemasde probabilidade com modelos equi-provveis.

Mtodos decontagem eprobabilidade.

Apostila 2:captulos 1 e 3.Planejamentodetalhado.

2, 3 e 4

9 Executar resolues de problemas decontagem, destacando os diferentesprocedimentos operacionais quandodo uso da operao soma (p.aditivo) oumultiplicao (p.multiplicativo). Ex-plorar propriedades operacionais en-volvendo nmeros binomiais.

Fatorial. Resoluode problemas decontagem

Fomin: captulo2. Fomin:captulo 11 -sees 11:1 e11:2. Provas daOBMEP.

5, 6, 7,8, 9, 10 e11.

10 Resolver problemas de anlise combi-natria a partir do princpio da casa dospombos.

Princpio da Casados Pombos.

Fomin: captulo4.

12 e 13.

Observao: Os alunos de multiplicidade 2 j tiveram contato com a maioria destes assuntos. Para esses estu-dantes, os exerccios se diferenciam dos utilizados para multiplicidade 1 pelo nvel de diculdade. Nos captulos 1,2, 3 e 7 do livro Introduo Anlise Combinatria - Plnio et al. podem ser encontrados exerccios relativos a estemdulo.

2.4Grupo4A diviso dos contedos para ambos ser a mesma e haver diferena apenas na abordagem dos pro-blemas. Assim, nos encontros presenciais, os alunos podero participar das mesmas aulas. No frum,os dois nveis funcionaro em turmas completamente independentes, onde os moderadores poderodiferenciar os exerccios nas turmas.

20 Manual do PIC

MDULO I - ARITMTICA E CRIPTOGRAFIAEncontro Objetivos Assuntos Material1 Estudar as propriedades aritmticas

dos nmeros inteiros.

Algoritmo da Diviso. Al-goritmo do mdc de Eucli-des. Aplicaes da Relaode Bzout. Equaes Dio-fantinas Lineares.

Apostila 1: captulo3; sees 3.4 a 3.10.

2 Estudo e clculo de probabilidades emsituaes em que a contagem pode serrealizada atravs de um clculo diretoou do uso do princpio multiplicativo.

Probabilidade - Princpiosbsicos.

Apostila 7: captulos2, 3 e 4.

3 Aplicar propriedades de congruncias criptograa RSA.

Criptograa RSA.Apostila 7: captulos5 e 6.

Material complementar para oPO: Fomin: captulo 10.

MDULO II - GEOMETRIAEncontro Objetivos Assuntos Material4 Utilizar propriedades da Geometria

Plana em algumas construes geom-tricas.

Construes Elementares.Lugares Geomtricos. Ex-presses Algbricas.

Apostila 8

5 Apresentar a Trigonometria do trin-gulo retngulo.

Trigonometria do Trin-gulo Retngulo.

Trigonometria eNmerosComplexos:captulos 1 e 2.

6 Apresentar as funes trigonomtricas. Extenses das Funes Tri-gonomtricas. Leis doSeno e Cosseno.

Trigonometria eNmerosComplexos:captulos 3 e 4.

Material complementar para o PO: Livro Tpicos de Matemtica Elementar, vol. 2, A. C. Muniz Neto:captulos 1 a 4, para o Encontro 4, e captulo 7 para o Encontro 6.

OBMEP 21

MDULO III - COMBINATRIAEncontro Objetivos Assuntos Material7 Estudar mtodos de contagem, com

aplicaes probabilidade, dando n-fase ao princpio multiplicativo.

Combinaes. Tringulode Pascal. CombinaesCompletas.Teorema Bino-mial de Newton.

Formin: captulo 11.

8 Estudar Probabilidade Condicional,como aplicao de Mtodos deContagem.

Probabilidade Condicio-nal.

Apostila 2: captulo5.

Material complementar para oPO: Fomin: captulo 2.

MDULO IV - INDUOMATEMTICAEncontro Objetivos Assuntos Material9 Apresentar o Princpio da InduoMa-

temtica, explorando vrias de suasaplicaes.

Processo e Mtodo de In-duo. Mtodo de Indu-o e Conjecturas por Ana-logia. Problemas Elemen-tares Clssicos.

Formin: captulo 9;sees 9.1 a 9.3.

10 Explorar o Princpio da Induo na re-soluo de variados problemas.

Outros Modelos do M-todo de Induo.

Formin: captulo 9;sees 9.4 a 9.5.

Material complementar: Livro: Qual o problema?(Marco Moriconi)

2.5Grupo 5A diviso dos contedos para ambos ser a mesma e haver diferena apenas na abordagem dos pro-blemas. Assim, nos encontros presenciais, os alunos podero participar das mesmas aulas. No frumos dois nveis funcionaro em turmas completamente independentes, onde os moderadores poderodiferenciar os exerccios nas turmas.

22 Manual do PIC

MDULO I - ARITMTICA E CRIPTOGRAFIAEncontro Objetivos Assuntos Material1 Explorar propriedades aritmticas dos

nmeros inteiros e de congruncia naresoluo de problemas variados.Aprofundar o estudo de congruncias,visando sua aplicao criptograaRSA.

Divisibilidade e restos.Congruncia e equaesdiofantinas.

Fomin: captulos 3 e10, com suporte te-rico dos captulos 1 e 2do livro do Collier.2 Aritmtica Modular. Teo-rema de Euler (via teoria

de nmeros, sem usar gru-pos).

Nmeros inteiros eCriptografia: cap-tulo 4.3 Sistemas de Congruncias.

Teorema Chins doResto.Criptograa RSA.

Nmeros inteiros eCriptografia: sees7:1 a 7:5 e 11:1 a11:4:

MDULO II - GEOMETRIA ANALTICA E NMEROS COMPLEXOSEncontro Objetivos Assuntos Material4

Apresentar e utilizar coordenadas para

o estudo da geometria plana.

Geometria analtica plana:coordenadas, distncias,equaes da reta.

A Matemtica doEnsino Mdio 3:sees 1:1 a 1:6.5 Geometria analtica plana:ngulo entre retas, rea de

um tringulo, circunfern-cia.

A Matemtica doEnsino Mdio 3:sees 1:7 a 1:10.

6 Estudar a aritmtica dos nmeros com-plexos, dando nfase ao signicado ge-omtrico de suas operaes.

Forma algbrica e formatrigonomtrica de um n-mero complexo. Razes daunidade.

A Matemtica doEnsino Mdio 3:sees 5:1 a 5:4.

Material complementar: Livro: Tpicos de Matemtica Elementar, Volume 2, Geometria euclidiana Plana -Edio Especial - Antnio Caminha Muniz Neto. Captulos 1, 2, 3 e 4.

MDULO III - EQUAES ALGBRICASEncontro Objetivos Assuntos Material7

Estudar polinmios complexos,

visando discusso sobre razes deequaes algbricas.

Polinmios complexos.Diviso de polinmios.Reduo do grau de umaequao algbrica.

A Matemtica do En-sino Mdio 3: sees6:1 a 6:5.

8 Teorema Fundamental dalgebra. Relao entre co-ecientes e razes. Equa-es algbricas com coe-cientes reais.

A Matemtica do En-sino Mdio 3: sees6:6 a 6:8.

OBMEP 23

MDULO IV - GRAFOSEncontro Objetivos Assuntos Material9

Examinar diversas ideias elementares

da teoria de grafos, para mostrar comoos grafos podem ser usados naresoluo de problemas.

Grafos: conceitos, conta-gem de arestas, grafos deEuler.

Fomin: captulo 5.

10 Grafos: isomorsmo, r-vores, teorema de Euler,grafos orientados.

Fomin: captulo 13.

Material complementar: Livro: Qual o problema?(Marco Moriconi).

2.6Grupo6

MDULO I - JOGOS, INVARIANTES E DESIGUALDADESEncontro Objetivos Assuntos Material

1 Apresentar ideias matemticas sim-ples, porm importantes, explorando-as pela resoluo de problemas de vari-ados nveis de interesse e habilidade.

Jogos: pseudo-jogos - brin-cadeiras, simetria, posi-es vencedoras, anlise apartir do nal do jogo - ummtodo para encontrar po-sies vencedoras.

Fomin: captulo 7.

2 - Invariantes: introduo,colorao, restos comoinvariantes.

Fomin: captulo 12.

3-

Desigualdades: quem maior?, a desigualdadeprincipal, transformaes,induo e desigualdades,desigualdades para todos.

Fomin: captulo 16.

24 Manual do PIC

MDULO II - GEOMETRIA ANALTICA PLANAEncontro Objetivos Assuntos Material4 Introduzir o estudo da Ge-ometria Plana por meio do

emprego sistemtico de co-ordenadas.

Coordenadas na reta e no plano, dis-tncia entre dois pontos, grco deuma funo, a reta como grco deuma funo am.

Coordenadas noPlano (Elon):captulos 1 a 6.

5-

Retas paralelas, reta paralela a umareta por um ponto dado, reta quepassa por dois pontos dados, retasperpendiculares.


6 - Linhas de nvel, a reta como linhade nvel, desigualdades lineares, retasparalelas e retas coincidentes, distn-cia de um ponto a uma reta.


7-

Sistemas lineares com duas incgni-tas, equaes paramtricas.

Coordenadas noPlano (Elon):captulos 16 e 17.

8 - Vetores no plano, o produto internode dois vetores.


9-

Combinaes ans, projeo ortogo-nal de um vetor.


10 - reas do paralelogramo e do trin-gulo, mudana de coordenadas.


Material complementar: Livro: Qual o problema?(Marco Moriconi)

OBMEP 25

2.7Grupo 7 (foi oGrupo6noPIC2012)

MDULO IV - GRAFOSEncontro Objetivos Assuntos Material1

Apresentar a Geometria Analtica no

espao, e desenvolver uma abordagemgeomtrica do estudo de sistemaslineares.

Coordenadas no espao.Coordenadas no Espao

(Elon): Captulo 1.2 Distncia entre doispontos. Coordenadas no Espao(Elon): Captulo 2.3 Vetores no espao;operaes com vetores. Coordenadas no Espao(Elon): Captulos 5 e 6.4 Equaes paramtricasda reta e do plano; oproduto interno.

Coordenadas no Espao

(Elon): Captulos 7 e 8.5 O plano como superfciede nvel; espaos commais de trs dimenses.

Coordenadas no Espao(Elon): Captulos 9 e

10.

6 Sistemas lineares: duasequaes e trsincgnitas; trs equaese trs incgnitas.


12.

7 Sistemas lineares: trsequaes e trsincgnitas;escalonamento.


13.8 Volumes edeterminantes. Coordenadas no Espao(Elon): Captulo 14.9 Propriedades dodeterminante; odeterminante do

produto de duasmatrizes.


17.10 O produto vetorial. Coordenadas no Espao(Elon): Captulo 18.Material complementar: Livro: Qual o problema?(Marco Moriconi).

3 Oque TEX?

3.1Knuth inventouoTEX...

Oproblema de escrevermatemtica no com-putador surgiu na dcada de 70. Um dos primei-ros grandes matemticos a pesquisar em Cinciada Computao, Donald Knuth da Universidadede Stanford, encontrou uma soluo que conti-nua atual mais de trinta anos depois. Por volta de1976, Knuth tinha escrito os dois primeiros vo-lumes da coleo e Art of Computer Program-ming e estava totalmente insatisfeito com o resul-tado impresso. Ele no queria apenas que o livrofosse impresso, mas queria algo belo.

Knuth partiu para a busca de uma soluo. Um dos primeiros passos foi a interrupo de suapesquisa por um ano para, acompanhado por sua esposa, assistir aulas de design com o professor dearte de Stanford, Matthew Kahn. A ideia era tentar capturar a essncia do design, no apenas seu vi-sual. Por exemplo, como um processador deveria quebrar as linhas em um pargrafo? Esteticamente,o ideal que no existam espaos excessivos entre as palavras e que no existammuitos hifens. Knuth

27

28 Manual do PIC

transformou esse problema em combinatria e fez um algoritmo que calcula a maneira tima de que-brar as linhas em um pargrafo.

Como resultado do seu trabalho, surgiramo processador de textos TEX e o sistema de descrio defontesMETAFONT, ambos colocados em domnio pblico. O TEX foi projetado com dois objetivosprincipais em mente: permitir que qualquer pessoa possa produzir livros de alta qualidade com umesforo razovel e dar exatamente o mesmo resultado em todos os computadores, agora e no futuro.

3.2... e Lamport criou oLATEXNo incio da dcada de 80, o matemtico Leslie Lamport planejava escrever o livro Great AmericanConcurrency Book e digitar utilizando TEX. Ele escreveu um conjunto de macros que facilitaram bas-tante o trabalho. Essas macros foram posteriormente colocadas em domnio pblico. Era o inciodo LATEX. Lamport at hoje no escreveu o livro pretendido, mas em 1986 lanou o livro LATEX: ADocument Preparation System, que ajudou a popularizar o LATEX. De l para c, vrios conjuntos demacros para TEX surgiram, como ConTeXt e JadeTeX, mas sem dvida o LATEX o mais utilizado.

Hoje o TEX popular em todo o mundo, principalmente na rea acadmica, notadamente emmatemtica, fsica, cincia da computao e engenharias.

Uma das vantagens do LATEX a sua modularizao. Qualquer um pode escrever um conjunto demacros que automatizam determinados procedimentos e facilitam a vida de todos. No caso do LATEX,estas macros so chamadas de pacotes e existemmilhares de pacotes escritos por centenas de usuriosao redor do mundo.

A principal desvantagem inicial do TEX que no um editorWYSIWYG (acrnimo da expressoem ingls What You See Is What You Get O que voc v o que voc recebe). Isto signica quedigitamos o texto usando uma linguagem especca, compilamos e depois vemos o resultado. Istopode parecer muito estranho para quem est acostumado a editores WYSIWYG, como o Word, mas uma barreira que pode ser facilmente superada.

OBMEP 29

Curiosidades Knuth at hoje no terminou a coleoe Art of Computer Programming. Dos sete volumes pre-

vistos inicialmente, somente trs volumes completos foram lanados, alm de cinco fascculos dovolume 4.

Ele recebeu inmeros prmios como pesquisador em Cincia da Computao e em agosto de 1999seu nome foi dado a um pequeno planeta descoberto por P. Pravec and P. Kusnirk.

Desde 2001, Lamport pesquisador da Microso. Existem verses de TEX para praticamente todos os sistemas operacionais, incluindo Windows,

Mac OS X e Linux.

O cdigo fonte do TEX foi colocado em domnio pblico, e Knuth recomenda modicaes ouexperincias com esse cdigo fonte, mas, para garantir a mesma sada em todas as verses do TEX,ele deseja que qualquer novo programa obtido tenha outro nome. Para garantir isso, a AmericanMathematical Society registrou a marca TEX e qualquer implementao do sistema deve passar porum teste antes de ser chamada de TEX.

O nome TEX deve ser pronunciado como tekh. O X representa a letra grega (chi). TEX umaabreviao de " (techn), que tambm a origem da palavra tcnico.

Knuth escreveu cinco livros sobre TEX: e TEX book, TEX: e Program, eMETAFONT book,METAFONT: e Program e Computer Modern Typefaces, todos lanados pela Addison-Wesley.

As verses de TEX so numeradas como aproximaes do nmero . A verso atual a 3.141592.Knuth deseja que, aps a sua morte o TEX no seja alterado, com exceo da verso, que dever sera . Analogamente, as verses deMETAFONT so numeradas como aproximaes do nmero e,base dos logaritmos naturais.

Atualmente, os grupos de usurios TEX (www.tug.org) de diversos pases so responsveis pela dis-tribuio, manuteno e atualizaes nas macros para TEX.

4 Escrevendo e desenhandono frum

O frum do Programa de Iniciao Cientca est associado a uma instalao do programa LATEX,utilizado para digitar matemtica.

Para tal, voc deve digitar [tex] comandos [/tex].Por exemplo, digitando

[ t e x ] \ f r a c { 3 } { 8 } [ / t e x ]

o sistema converter seu cdigo para uma imagem contendo 38. A imagem s exibida na mensagem

a ser visualizada clicando no boto Prever ou no boto Enviar. Sugerimos que voc aprenda inici-almente a escrever os exemplos bsicos abaixo, os quais representam mais de 90% da utilizao doLATEX no frum.

4.1ExemplosBsicos3+5 ......................... 3 + 5

7-2 ......................... 7 - 2\times ......................... 3\times2 .................. 3 23\cdot2...................... 3 2\frac{3}{8} ................. 3

8

3/8 ........................... 3=8

\dfrac{3}{8} ...............3

820\div3 .................. 20 3

\ne ............................. 6=\pm ............................. 10\% ......................... 10%a_1 ............................ a1

b_{23} ....................... b23x^{11} ....................... x11

\sqrt{2} ....................p2

\sqrt[3]{2} ................3p2< ................................

_Prévia planejamento

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