Geometria analíticaen el pla

PART I – Geometria Afí

Matemàtiques I

Índex de contingutsÍndex de continguts

I- Geometria afí:

• Introducció: història

• Sistema de coordenades cartesianes

• La recta en el pla

• Posició relativa entre rectes

II- Geometria mètrica (angles i distàncies):

• Distància entre punts

• Angle entre dues rectes

• Distància punt-recta, recta-recta

• Aplicacions

1. La geometria analítica1. La geometria analítica

4 Trigonometria

5 Vectors en el pla

6 Geometria analítica en el pla

7 Llocs geomètrics i còniques

Geometria plana

Què va suposar? Aplicar el llenguatge algebraic per a resoldre problemes geomètrics

Qui?

René Descartes (1596-1650),

filòsof, científic i matemàtic

francès, considerat el fundador

de la filosofia moderna.

2. Sistema de referència cartesià2. Sistema de referència cartesià

Un sistema de referència en el pla queda determinat per: - un punt O anomenat origen- una base de vectors B={u, v}

j

iO

Si triam la base canònica B={i , j} obtenim un sistema de referència Cartesià

A

OA Vector de posició del punt A

3. La recta en el pla3. La recta en el pla

Una recta queda definida per:Una recta queda definida per: - Dos punts, o

- Un punt i un vector director

Formes d’expressar la recta en el pla:Formes d’expressar la recta en el pla:

- Equació vectorial

- Equació paramètrica

- Equació contínua

- Equació general

- Equació punt-pendent

- Equació explícita

- Equació segmentària

- Equació normal

r

3. La recta: Equació vectorial3. La recta: Equació vectorial

j

iO

Recta que passa pel punt A i té la direcció del vector u (vector director)

Au

a

X

x

uλ

uax λ+=

a

uλX

x

Per a tot nombre real λ

3. La recta: Equació vectorial3. La recta: Equació vectorial

Activitat: Escriu l’equació vectorial de la recta que passa pel punt

A(2,-3) i té vector director u=(1, -1).

3. La recta: Equació paramètrica3. La recta: Equació paramètrica

• Partim de l’equació vectorial de la recta

uax λ+=

( ) ( )yxyx uuaayx ,,),( λ+=i expressam els vectors en components

yy

xx

uay

uax

λλ

+=+=

Per a cada valor real de λ que donem, obtenim un punt (x, y) de la recta

• Igualam component a component

3. La recta: Equació contínua3. La recta: Equació contínua

• Partim de l’equació paramètrica

yy

xx

uay

uax

λλ

+=+=

Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que

passa pel punt A(-3,2) i té vector director u=(2, -1).

y

y

x

x

u

ay

u

ax −=−= λλ

i aïllam λ de cada equació:

y

y

x

x

u

ay

u

ax −=−

• Igualam les dues expressions

3. La recta: Equació contínua3. La recta: Equació contínua

Activitat: Escriu l’equació vectorial, paramètrica i contínua de la recta que

passa pel punt A(-3,2) i té vector director u=(2, -1).

3. La recta: Equació general3. La recta: Equació general

• Partim de l’equació contínua

y

y

x

x

u

ay

u

ax −=−

Activitat: Donada la recta 2x+3y-7=0 troba el vector director i un punt.

Expressa-la en forma contínua.

( ) ( )yxxy ayuaxu −=− ·· i feim el producte creuat

0·· =+−− yxxyxy auauyuxu• operant

0=++ CyBxA• Trobam l’eq. general

• Fixa’t, el vector director és ( ) ( )ABuuu yx ,, −==

Activitat: Donada la recta 2x+3y-7=0 troba el vector director i un punt.

Expressa-la en forma contínua.

3. La recta: Equació general3. La recta: Equació general

3. La recta: Equació punt-pendent3. La recta: Equació punt-pendent

• Determinar la recta que passa per dos punts A(ax, ay) B(bx, by)

• Vector director: ),( yyxx ababBAu −−==

• La recta en forma contínua és: xx

x

yy

y

ab

ax

ab

ay

−−=

−−

• Operant: )·( xxx

yyy ax

ab

abay −

−−

=−

jiO

A

B

BAu = )( xy axmay −=−

m és el pendent de la recta

x

y

u

um =

3. La recta: Equació punt-pendent3. La recta: Equació punt-pendent

• Determinar la recta que passa per dos punts A(ax, ay) B(bx, by)

jiO

A

B

BAu =

)( xy axmay −=−

Significat del pendent de la recta, m

xx

yy

ab

abm

−−

=

by-ay

bx-ax

α

m

m

arctg

tg

==

αα

m>0 m<0

3. La recta: Equació punt-pendent3. La recta: Equació punt-pendent

Activitat: Calcula l’equació punt-pendent de la recta que passa pels punts

A(2,4) i B(5,0). Troba l’angle que forma la recta amb l’eix OX.

3. La recta: Equació explícita y=...3. La recta: Equació explícita y=...

• Partim de l’equació punt-pendent

)( xy axmay −=−

),1( mu =

x

y

u

um =

xy maaxmy −+=• Operam i aïllam la y en funció de x

nxmy +=• És a dir,

• Quin és el vector director?

Activitat: Donada la recta y=3x-5 troba el vector director i un punt.

Expressa-la en forma paramètrica.

3. La recta: Equació explícita 3. La recta: Equació explícita yy=...=...

Activitat: Donada la recta y=3x-5 troba el vector director i un punt.

Expressa-la en forma paramètrica.

3. La recta: Equació segmentària3. La recta: Equació segmentària

• Partim de l’equació explícita nxmy +=

1/

=+− n

y

mn

x

p

q

x

y

nyxm =+−• Operam i dividim per n

1=+q

y

p

x• És a dir,

• Quin és el significat geomètric de p i q?

Activitat: Donada la recta y+2=5(x-1), expressa-la en forma segmentària.

Troba els talls amb els eixos de coordenades.

3. La recta: Equació segmentària3. La recta: Equació segmentària

Activitat: Donada la recta y+2=5(x-1), expressa-la en forma segmentària.

Troba els talls amb els eixos de coordenades.

• Gràfica de la recta

3. La recta: Equació normal3. La recta: Equació normal

• Primer mirem com calcular el vector normal d’una recta:

u=(ux,uy) és el vector director, n=(nx,ny) és el vector normal Ha de passar que ja que formen un angle de 90º.

Triem n=(uy,-ux)

Activitat: Calcula el vector normal de la recta 2x-3y+5=0.

0· =nu

x

y

u n

( ) ( ) 0,·, =−=− xyyxxyyx uuuuuuuu

3. La recta: Equació normal3. La recta: Equació normal

• Equació d’una recta sabent un punt A(ax,ay) i el vector normal n=(nx,ny)

a

x

ax −

Expressant la relació en components:

0),)·(,( =−− yxyx nnayax

Fixa’t bé:

0=++ CByAx

),( BAn = ),( ABu −=

0)·( =− nax

S’ha de complir

Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que

té com a vector normal n=(1,4)

x

y

n

A0=−−+ yyxxyx nanaynxn

Vector normal Vector director

3. La recta: Equació normal3. La recta: Equació normal

Activitat: Calcula l’equació de la recta que passa pel punt A(2,1) i que

té com a vector normal n=(1,4)

4. Posició relativa entre dues rectes en el pla4. Posició relativa entre dues rectes en el pla

Quines possibilitats existeixen?

r

s

x

y Es tallen en un punt

r

s

x

y Són paral·leles

rs

x

y Són coincidents

u

v

,uv

són linealment independents

u

v ,u

v

són linealment dependents

=++=++

0''':

0:

CyBxAr

CByAxs Té solució única

=++=++

0''':

0:

CyBxAr

CByAxs No té solució

u

v ,u

v

són linealment dependents

=++=++

0''':

0:

CyBxAr

CByAxs Té infinites solucions

4. Posició relativa entre rectes en el pla4. Posició relativa entre rectes en el pla

Exemple: Determina la posició relativa del parell de rectes

r: x – 2y +1 =0 i s: 2x – 4y – 6 =0

Cercam primer els vectors directors de cada recta:

)2,4( :

)1,2( :

==

vs

ur

Veim que són linealment dependents (les rectes poden ser paral·les o coincidents):

=−−=+−

0642 :

012y :

yxs

xr

=−=−

642 :

-1)·22y( :

yxs

xr

=−=−

642 :

-24y2 :

yxs

xr

0 = 4

Impossible! Sistema incompatible Les rectes són paral·leles

4. Posició relativa entre rectes en el pla4. Posició relativa entre rectes en el pla

Activitats: Determina la posició relativa del parell de rectes

a) r: x – 2y + 1= 0 i s: 3x – 2y – 9 =0

b) r: 3x – 2y – 9 =0 i s: 2x + 3y + 9 =0

c) r: 2x + 3y – 4 = 0 i s: 4x + 6y – 8 =0