SISTEM SUELJNIH SILA

SISTEM SUELJNIH SILA

Za sistem sila kaemo da je sueljan ukoliko sile imaju zajednikunapadnu taku ili im se napadne linije seku u istoj taki.

A1

A2

A3

A4 A

1Fur

2Fur

3Fur

4Fr

A1

A2

A3

A4 A

1Fur

2Fur

3Fur

4Fr

A1

A2

A3

A4 A

1Fur

2Fur

3Fur

4Fr

OSNOVNI POJMOVI MEHANIKE

Uoliko razmatramo dve sueljne sile, tada

se rezultanta sila moe geometrijski dobiti

formiranjem:

-paralelograma sila, ili

-trougla sila

GEOMETRIJSKO SLAGANJE DVE SUELJNE SILE

Pod pojmom slaganja sila podrazumeva se odreivanje rezultante tih sila.

Geometrijsko definisanje rezultante dve sueljnesile formiranjem paralelograma sila

Rezultanta dve sile 1 2RF F F= +ur ur ur

1Fur

2Fur

A

Rezultanta RFur

je jednaka dijagonali paralelogramakonstruisanog od sila 1F

ur i 2F

ur.

OSNOVNI POJMOVI MEHANIKE

Geometrijsko definisanje rezltante dve sueljnesile formiranje paralelograma sila

Rezultanta dve sile 1 2RF F F= +ur ur ur

1Fur

2Fur

A

RFur

1Fur

2Fur

A

Rezultanta RFur

je jednaka dijagonali paralelogramakonstruisanog od sila 1F

ur i 2F

ur.

OSNOVNI POJMOVI MEHANIKE

Geometrijsko definisanje rezultante dve sueljnesile formiranjem trougla sila

Rezultanta dve sile1F

ur

2Fur

A

RFur

1Fur

2Fur

A 1Fur

2Fur

A

Sile 1Fur

i 2Fur

moemo sloiti ako konstruiemo trougao sila. Slaganje silapoinjemo tako to na kraj vektora 1F

ur, kojeg smo nacrtali u razmeri,

nadoveemo poetak vektora 2Fur

. Poetak vektora 1Fur

definie poetak rezultante RF

ur, dok kraj vektora 2F

urdefinie kraj vektora RF

ur.

Formiranje trougla sila svodi se na sabiranje vektora: 1 2RF F F= +ur ur ur .

GEOMETRIJSKO SLAGANJE PROIZVOLJNOG SISTEMA SUELJNIH SILA

1Fur

2Fur

3Fur

4Fr

RFr

1,2 1 2F F F= +ur ur ur 1,2,3 1,2 3 1 2 3F F F F F F= + = + +ur ur ur ur ur ur

1,2,3,4 1,2,3 4 1 2 3 4RF F F F F F F F= = + = + + +ur ur ur ur ur ur ur ur

Geometrijsko slaganje proizvoljnog ravanskogsistema sueljnih sila se sprovodi konstrukcijompoligona sila Stranice poligona sila su sile, a zavrnastranica poligona je rezultanta sistema sila.

ANALITIKO SLAGANJE PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SUELJNIH SILA

e'

X1

de

d'

c

b

FR

F4F3

F1

F2

F1 F2 F3

F4

b'c'

X4

X3XR

x

X2

a

1 2 3 4RF F F F F= + + +ur ur ur ur ur

1 'FX U ab= 2 ' 'FX U b c= 3 ' 'FX U c d= 4 ' 'FX U d e=

'R FX U ae=

Teorema o projekciji rezultante na osu Projekcija rezultante sistema sila, na neku osu jednaka je zbiru projekcija svih sila natu osu.

1 2 3 4 ( ' ' ' ' ' ' ') ( ')F F RX X X X U ab b c c d d e U ae X+ + + = + + + = 1 2 3 4RX X X X X= + + +

PROJEKCIJE PROSTORNE SILE NA OSE

,

.

z

x

yO

A

BFNeka su projekcije sile F

ur na koordinatne ose:

xF X , yF Y , zF Z , gde su:

cosxF X F = , cosyF Y F = , coszF Z F = .

tada silu Fur

moemo predstaviti kao zbirkomponenti

x y zF F F F X i Y j Zk= + + = + +ur ur ur ur r r r , gde su: , ,i j kr r r jedinini vektori koordinatnih osa.

Projektovanje prostorne sile

cos XF

= cos YF =

cos ZF

=

ANALITIKO SLAGANJE PROSTORNOG SISTEMA SUELJNIH SILA

,

ZR

Z2

Z1

Y1 YRY2XR

X2X1

z

y

{ }1 1 1 1, ,F X Y Z=ur { }2 2 2 2, ,F X Y Z=ur

1 2RX X X= +1 2RY Y Y= +

1 2RZ Z Z= +2 2 2

R R R RF X Y Z= + +

x

Ukoliko sistem prostornih sueljnih sila ima n-sila, i ukoliko su sve silesistema definisane analitiki-pomou projekcija, onda rezultantu odereujemodirektno primenom teoreme o projekciji rezultante na osu:

1

n

R ii

X X=

= , 1

n

R ii

Y Y=

= , 1

n

R ii

Z Z=

= .

RAZLAGANJE SILE NA DVA PRAVCAObrnut postupak od slaganja sila je razlaganje

sila Geometrijski posmatrano, razlaganje vektora F

ur

na dva pravca se svodi na nalaenje vektora 1Fur

i 2F

ur tako da je:

gde se vektor 1F

ur poklapa sa pravcem P1, a vektor

2Fur

poklapa sa pravcem P2.

P2

P1 1 2F F F= +ur ur ur

A1) Geometrijsko razlaganje sila konstruisanjem paralelograma sila

Geometrijski silu Fur

moemo razloiti na dva pravca ukoliko konstruiemo paralelogram sila, to je u saglasnosti sa aksiomom o paralelogramu sila. Dijagonala paralelograma je poznata sila, dok su strane paralelograma sile koje odreujemo

A2) Geometrijsko razlaganje sila konstrukcijom trougla sila

Geometrijsko razlaganje sile na dva zadata pravca, konstrukcijom trougla sila, svodi se na definisanje vektora 1F

ur i 2Fur

, koji se nadovezuju jedan na drugi. Poetak vektora 1F

ur

poklapa sa poetkom vektora Fur

, dok se kraj vektora 2F

urpoklapa sa krajem

vektora Fur

. 1 2F F F= +ur ur ur .

B) Analitiko razlaganje sila na dva pravca

Neka je dat vektor Fur

, preko komponenti xFuur

i yFuur

ili preko intenziteta F i ugla . Analitiko razlaganje sile svodi se na projektovanje na koordinatne ose vektorske jednaine: 1 2F F F= +ur ur ur . Ako su pravci P1 i P2 zadati preko uglova,

1 2i , prema x-osi, tada se razlaganje poznatog vektora na dva zadata pravca svodi na odreivanje intenziteta novih vektora 1F i 2F : 1 1 2 2cos cos cosF F F = + , 1 1 2 2sin sin sinF F F = + .

Ortogonalne projekcije poznatog vektora Analtiko razlaganje vektora na dva pravca

x

y

Fur

xFur

yFur

2Fur

x 1

Fur

P1

P2

2

y

1F

ur

RAVNOTEA SISTEMA SUELJNIH

SILA

VEKTORSKI USLOV RAVNOTEE SISTEMA SUELJNIH SILA

1Fur

2Fur

A3F

ur

4Fr

Sistem sueljnih sila je u ravnotei ako je rezultanta jednaka nuli.

Ako na telo deluje sistem od npr., etiri sueljne sile: 1 2 3 4, , ,F F F Fur ur ur ur

, tada je uslov ravnotee: 1 2 3 4 0RF F F F F= + + + =ur ur ur ur ur r .

Vektorski uslov ravnotee poizvoljnog sistema od n sueljnih sila

1

n

R ii

F F=

= uur uur Sistem sueljnih sila je u ravnotei ako je poligon sila zatvoren

ANALITIKI USLOV RAVNOTEE SISTEMA SUELJNIH SILA

y

x

4Fr

1Fur

2Fur

3Fur

Algebarski zbir projekcija silana svaku koordinatnu osu mora biti jednak nuli da bi sistem sila bio u ravnotei:

1 2 3 4 0RX X X X X= + + + = ; 1 2 3 4 0RY Y Y Y Y= + + + =

Analitiki uslov ravnotee proizvoljnog sistema sueljnih sila je:

10

n

R ii

X X=

= = ,

10

n

R ii

Y Y=

= = ,

10

n

R ii

Z Z=

= = . Projekcije sila na ose

TEOREMA O TRI SILE

Ako se neko telo nalazi u ravnotei pod dejstvom tri neparalelne sile, te sile moraju leati u jednoj ravni imoraju biti sueljne 1F

ur

2Fur

3Fur

Dokaz: Ako na telo deluju tri sile 1Fur

, 2Fur

i 3Fur

onda emo prvo dve sile na primer 1Fur

i 2Fur

, pomeriti du napadnih linija sila do njihovogpreseka, i sloiti ih u rezultantu 1,2F

ur. Sile

1,2Fur

i 3Fur

moraju biti u ravnotei, a to e bitimogue samo ako su kolinearne istihintenziteta i suprotnih smerova (aksoma 1). Ovo je mogue ako se presek napadnihlinija sila 1F

ur i 2F

ur nalazi na napadnoj liniji

sile 3Fur

i ako 3Fur

lei u ravni koju obrazujusile 1F

ur i 2Fur

.

TEOREMA O TRI SILE

Dokaz: Ako na telo deluju tri sile 1Fur

, 2Fur

i 3Fur

onda emo prvo dve sile na primer 1Fur

i 2Fur

, pomeriti du napadnih linija sila do njihovogpreseka, i sloiti ih u rezultantu 1,2F

ur. Sile

1,2Fur

i 3Fur

moraju biti u ravnotei, a to e bitimogue samo ako su kolinearne istihintenziteta i suprotnih smerova (aksoma 1). Ovo je mogue ako se presek napadnihlinija sila 1F

ur i 2F

ur nalazi na napadnoj liniji

sile 3Fur

i ako 3Fur

lei u ravni koju obrazujusile 1F

ur i 2Fur

.

Ako se neko telo nalazi u ravnotei pod dejstvom tri neparalelne sile, te sile moraju leati u jednoj ravni imoraju biti sueljne

1Fur

2Fur

3Fur

1,2Fur

Opti-osnovni principi reavanja zadataka statike:1. Uoi se telo ili sistem tela iju ravnoteu izuavamo2. Telo ili sistem tela treba osloboditi veza, a njihov uticaj zameniti reakcijama 3. Definisanje uslova ravnotee:

3.1 za sistem tela, ili 3.2 za svako telo ponaosob

4. Ustanoviti karakter prouavanog sistema sila (sistem sueljnih sila, sistemparalelnih sila, ravanski sistem sila)

U sistem sila za koje postavljamo uslove ravnotee ulaze aktivne i reaktivne sile.

Za neki primer kaemo da je statiki odreen ako se nepoznate veliine mogu odrediti postavljanjem, uslova ravnotee.BROJ NEPOZNATIH VELIINA JEDNAK JE BROJU USLOVA RAVNOTEE.

KOD STATIKI NEODREENIH PRIMERA OSIM USLOVA RAVNOTEE POTREBNO JE POSTAVITI DOPUNSKE USLOVE KOJE UZIMAJU U OBZIR DEFORMABILNOST TELA.

STATIKI ODREENI I STATIKI NEODREENIPROBLEMI

PRIMERI

Telo teiine Gur

okaeno je o dva neistegljiva ueta. Odrediti sile u uadima. Na osnovu aksiome o vezama teret G

urmoemo smatrati slobodnim ako sklonimo

uad i dejstvo uadi na teret zamenimo odgovarajuim silama. Sobzirom da se radi oneistegljivim uadima reakcije veza 1S

ur i 2Sur

su u pravcu uadi. Pravci uadi se seku sa napadnom linijom aktivne sile G

ur. Dakle, reakcije veza 1S

uri

2Sur

i sila Gur

ine sistem sueljnih sila. Geometrijski posmatrano sistem sueljnih sila je u ravnotei ako je poligon silazatvoren. U sluaju sistema od tri sile poligon sila je trougao.

Primer 1

Poligon sila formiramo tako to se na poetak poznate silenanese pravac jedne, a na njen kraj nanose pravac druge,reaktivne sile. Tako da vai:. Vektorski zbir svih sila jednak nuli tj., njihova rezultantaje jednaka nuli a time je zadovoljen uslov da je sistemsueljnih sila u ravnotei. Za odreivanje intenziteta 1S i 2S primeniemo sinusnuteoremu:

1 2

sin sin(90 ) sin(90 )S S G = = + ,

1

sinsin(90 )

GS = +

2

sin(90 )sin(90 )GS

= +

1

sincos( )GS =

1 2 0G S S+ + =ur uur uur

2

coscos( )GS =

Isti zadatak moemo reiti analitikim putem, projektovanjem na koordinatne ose,vektorskog uslova ravnotee 1 2 0G S S+ + =

ur uur uur.

dobili smo sistem jednaina po nepoznatim intenzitetima: reavanjem sistema jednaina dolazi se do istog rezultata:

1Suur

2Suur

1Guur

y

x

1sin

cos( )GS = , 2

coscos( )GS =

x: 1 20 cos sinS S = y: 1 1 20 sin cosG S S = + + ,

1 2cos sin 0S S = 1 2 1sin cosS S G + = ,

1 1 1 1

2 2 2 2

cos ; sin

sin ; cos

0;

x y

x y

x y

S S S SS S S SG G G

= == == =

Primer 2 Primena teoreme o tri sile Laki tap krajem A vezan je za nepokretni cilindrini zglob a drugim krajem B okaen je za neistegljivo ue. Na tap deluje kosa sila F

ur. Odrediti reakcije veza.

U ovom primeru poznat nam je pravac aktivne sile Fur

, kao i reaktivne sile ueta Sur

, takoe nam je poznato da napadna linija reaktivne sile oslonca AF

ur, mora da proe kroz

oslonac A, jer je oslonac A nepokretan. Ovde moemo da primenimo teoremu o tri sile: Telo je u ravnotei, pod dejstvom tri sile, ako te sile ine sistem sueljnih sila. Taka C je presek napadnih linija sila:F

uri Sur

, iji su pravci poznati . Napadna linija sile AF

ur mora da proe kroz taku C da bi bila zadovoljena teorema o tri sile. Konano, sila

AFur

prolazi kroz take A i C. Na osnovu teoreme o tri sile odredili smo pravac sile AF

ur. Intenzitete ovih sila

moemo odrediti formiranjem zatvorenog poligona sila:

A B Fur

AFuur

Fur

Sur

A

C

Geometrijski uslov ravnotee Formiranje zatvorenog poligona sila

0ARF F F S= + + =uur ur ur ur

. Napomena: Zatvoreni poligon sila se dobija nadovezivanjem sila. Na vrhtekue sile nadovezuje se poetak sledee itd., vrh poslednje sile sepoklapa sa poetkom prve sile. Reakcije veza odreujemo analitiki projektovanjem gornje vektorske jednainena koordinatne ose ili geometrijski reavanjem trougla sila.

Primer 3 Sile u lakim tapovima

Dva laka tapa AC i CB zglobno su vezana za nepokretne oslonce u takama A i B. U takiC deluje sila F

ur normalno na tap AC. tapovi su meusobno zglobno vezani u taki C.

Odrediti sile u lakim tapovima.

Da bi smo odredili sile u lakim tapovima posmatraemo ravnoteu zgloba C kojim su povezanitapovi. Na osnovu aksiome o vezama zglob C e ostati i dalje u ravnotei ukoliko sklonimotapove i dejstvo tapova na zglob C zamenimo silama. Reakcije lakih pravih tapova su u pravcu tapova.

A B

C

Fur

45

Geometrijski uslov ravnoteePoligon sila od poznate sile i dva pravca formiramo tako to na poetakpoznate sile nanesemo jedan pravac, a na njen kraj nanosimo drugi poznatipravac reaktivne sile. Geometrijski uslov ravnotee ostvarujemo tako to jepoligon sila zatvoren i to su sile nadovezane, tj. na kraj tekue nadovezujese poetak sledee. Kraj poslednje sile poklapa se sa poetkom prve sile. Nataj nain definiemo smerove sila Iz formiranog trougla sila moemo primenom sinusne teoreme odreditinepoznate intenzitete sila

1 2

sin 45 sin90 sin 45S S F= =

2sin90

sin 45FS =

1S F=

2 2S F=

1sin 45

sin 45FS =

Analitiki uslov ravnotee Projekcijom vektorske jednaine:

1 2 0RF F S S= + + =uur ur uur uur

na koordinatne ose dolazi se do analitikih uslova ravnotee. Projekcije sila na koordinatne ose: Analitiki uslovi ravnotee:

1 2 0x x xS S F+ + = 1 2 0y y yS S F+ + = ,

Reavanjem sistema jednaina dobija se:

1Sur

2Sur

Fur

x

y

045 045

1 1 1 1cos45; sin 45x yS S S S= = 2 2 20;x yS S S= =

cos45; sin 45x yF F F F= =

1 cos45 0 cos45 0S F + + = 1 2sin 45 sin 45 0S S F + =

1S F= 2 2S F=

12 2

2 2S F=

1 22 2

2 2S S F + =

REZIME:

-REZULTANTA DVE SUELJNE SILE-DEFINISANJE REZULTANTE POMOU POLIGONA SILA

-TEOREMA O PROJEKCIJI REZULTANTE

-ANALITIKO SLAGANJE PROSTORNOG SISTEMA SILA

-RAZLAGANJE SILA NA DVA PRAVCA

-GEOMETRIJSKI USLOV RAVNOTEE SISTEMA SUELJNIH SILA

-ANALITIKI USLOVI RAVNOTEE SISTEMA SUELJNIH SILA

-TEOREMA O TRI SILE