Polycopié 5

Elments de Gomatique Polycopi 5 : Thodolite, orientation et lever polaire

Pierre-Yves Gilliron Audrey Ueberschlag

Geoffrey Vincent

Lausanne, dition Fvrier 2014

Facult de lEnvironnement Naturel, Architectural et Construit Institut dIngnierie de lEnvironnement

Gomatique - Topomtrie

Elments de gomatique

SOMMAIRE

1. LE THODOLITE 3

1.1. ERREURS INSTRUMENTALES DU THODOLITE 5 1.1.1. LES ERREURS DAXES 5 1.1.2. LES ERREURS DEXCENTRICIT 6 1.1.3. GRADUATION DES CERCLES 7 1.2. MESURE DANGLES 7 1.2.1. ANGLES HORIZONTAUX 7 1.2.2. MESURE DES ANGLES HORIZONTAUX 9 1.2.3. PRINCIPE DE LA MESURE DE SRIES 10 1.3. MESURE DES ANGLES VERTICAUX 13 1.3.1. ERREUR DINDEX ET EFFET 14 1.3.2. COLLIMATION VERTICALE AUTOMATIQUE 15

2. ORIENTATION ET LEVER POLAIRE 16

2.1. GISEMENT 16 2.1.1. TRANSMISSION DE GISEMENTS 18 2.1.2. POINT LANC 18 2.2. LEVER POLAIRE 19 2.2.1. NIVELLEMENT TRIGONOMTRIQUE : CAS DE LA TERRE PLATE 20 2.2.2. NIVELLEMENT TRIGONOMTRIQUE : CAS DE LA TERRE SPHRIQUE 22 2.2.3. DISTANCES SPHRIQUES ET ALTITUDE 22 2.2.4. DISTANCES HORIZONTALES ET SPHRIQUES 23

3. RFRENCES 25

4. TABLE DES FIGURES 26

Avertissement

La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Toute utilisation de ce support de cours doit se faire avec le consentement de lauteur.

2 Le thodolite


1. Le thodolite Principe Dans les travaux topomtriques, linstrument essentiel la mesure des angles est le thodolite : il permet la mesure dangles horizontaux et dangles verticaux. Le thodolite (Figure 6-15), que lon met en station sur un trpied, comporte :

- lembase, partie infrieure, qui est fixe sur le trpied ; - lalidade, partie suprieure, qui peut tourner par rapport lembase

autour de laxe principal de linstrument ; - les vis calantes, places sur lembase, par lesquelles le thodolite

repose sur le trpied ; elles permettent le calage, cest--dire la mise la verticale de laxe principal ;

- la lunette de vise, porte par lalidade, qui pivote autour de laxe secondaire (axe des tourillons) perpendiculaire laxe principal et donc horizontal lorsque linstrument est cal.

Figure 1-1 : Schma du thodolite

La lunette, qui peut tre dirige dans nimporte quelle direction, se compose dun objectif, dun oculaire, dun rticule et dun dispositif interne pour la mise au point des images (cf. chapitre 6.1.3). Elle dfinit un axe de vise.

Le thodolite 3

Elments de gomatique La mesure des angles se fait sur des cercles gradus (ou limbes) : le premier est horizontal et centr sur laxe principal ; le deuxime est vertical et centr sur laxe secondaire. Loprateur voit une portion de la graduation des cercles dans une lunette spciale dont l'oculaire est ct de celui de la lunette de vise. Suivant les diffrents types de thodolites, un systme optique complexe permet de lire les valeurs des angles en gons avec 2, 3 ou mme 4 dcimales. Si traditionnellement ces lectures taient de type analogique, maintenant les thodolites lectroniques comportent un affichage numrique des valeurs angulaires, avec possibilit d'enregistrement automatique de ces valeurs sur un module de stockage ou un ordinateur.

Figure 1-2 : Thodolite lectronique La lecture sur ces cercles permet dobtenir des valeurs dangles horizontaux et verticaux. Langle horizontal est langle didre form par deux plans verticaux. Langle vertical est, quant lui, langle que fait une certaine direction avec lhorizontale ou la verticale ; il est mesur dans un plan vertical. Ce dernier peut tre dfini par trois angles diffrents : langle de hauteur, langle znithal et langle nadiral. Ces notions sont illustres par la Figure 6-17.

Figure 1-3 : Les angles en topographie

En outre, le thodolite comprend divers lments ncessaires sa manipulation :

- des nivelles (niveaux bulle) pour le calage de linstrument et pour se rfrer lhorizontale ou la verticale lors de mesures dangles verticaux ; cette rfrence spatiale pour les angles verticaux est souvent ralise automatiquement grce un compensateur qui

4 Le thodolite


remplace la fonction dune nivelle (thodolite collimation verticale automatique) ;

- des vis de blocage et de fin mouvement du pivotement de lalidade et du basculement de la lunette ;

- des miroirs ou lampes pour lclairage des cercles gradus. Un thodolite a deux positions de travail et lon passe de lune lautre par double retournement, cest--dire demi-tour de lalidade et basculement de la lunette. On dispose ainsi dune position directe et dune position inverse. Si lon dsire obtenir des valeurs dangles avec une prcision suprieure 0.01gon, il faut effectuer toutes les mesures dans les deux positions et calculer la moyenne des rsultats. On limine ainsi les erreurs qui rsultent des dfauts rsiduels dajustage de linstrument, en particulier les dfauts de perpendicularit entre les axes du thodolite. Quoiquextrmement faibles, ces dfauts ne peuvent tre ngligs lorsque le degr de prcision recherch est lev. Le thodolite est linstrument universel mis en uvre dans pratiquement tous les travaux topomtriques. Il peut tre combin avec un distancemtre (mesure de longueurs). Un thodolite spcialement adapt aux mesures de longueurs sappelle un tachomtre ; sil est adapt la mesure des azimuts magntiques, cest un thodolite boussole.

1.1. Erreurs instrumentales du thodolite Les tolrances de fabrication dun instrument sont extrmement serres, la limite des possibilits de la construction mcanique. Cependant, des erreurs rsiduelles dajustage et de rglage des diffrentes parties sont invitables. Aussi petites soient-elles, leur effet sur les valeurs angulaires mesures est perceptible. On va examiner ici les principales dentre elles, voir comment elles se rpercutent sur les mesures angulaires et voir quelles dispositions sont prendre pour les liminer ou sen rendre indpendant. On peut classer les erreurs en plusieurs catgories :

les erreurs daxes ; les erreurs dexcentricit (axe de vise ou cercle) ; les erreurs de graduations des cercles.

1.1.1. Les erreurs daxes

En remontant de l'axe de vise laxe principal, on peut trouver les erreurs d'axe suivantes :

- lerreur de perpendicularit de laxe de vise par rapport laxe secondaire, appele erreur de collimation horizontale ;

- lerreur de perpendicularit de laxe secondaire par rapport laxe principal, qui se traduit par une erreur dhorizontalit de laxe secondaire ;

Le thodolite 5


- lerreur de calage de linstrument, cest--dire lerreur de verticalit de laxe principal.

Les deux premires sont des erreurs rsiduelles dajustage ou de rglage instrumental ; elles peuvent varier ou samplifier au cours du temps. Lutilisateur doit pouvoir les mettre en vidence et, si elles deviennent trop importantes, faire le ncessaire pour y remdier. Avec les appareils modernes, on ne peut plus rgler soi-mme ces dfauts et il faut les confier un atelier spcialis. Lerreur de calage nest pas imputable linstrument, mais au soin apport cette opration par lutilisateur ou linstabilit de la station. Ces erreurs daxes, dont on ne dtaille pas les calculs, ont des influences diverses sur la mesure dune direction horizontale. Ainsi, pour une vise horizontale ( = 0), seule lerreur de collimation influence la valeur de la direction horizontale. Par contre, si la vise est verticale ( = 100gon), lerreur est dans chaque cas infinie, ce qui signifie quelle est indtermine ou que la vise verticale est impossible. Angle de hauteur

Erreur de collimation horizontale c

Erreur dhorizontalit de laxe secondaire i

Erreur de verticalit de laxe principal

gon 1

coscc

= i i tg =

sinv v tg = = 0 = 100

0 + c 0 0 0 50 + 1.41 c i 0 v 99 + 63.7 c 63.7 i 0 63.7 v 100 0 Or lerreur de collimation horizontale est de signe contraire dans lune et lautre des positions de la lunette. De plus, lerreur dhorizontalit de laxe secondaire est gale son dfaut de perpendicularit avec laxe principal si ce dernier est rigoureusement vertical. Linclinaison est alors symtrique dans lune et lautre des positions de la lunette. Les erreurs dues aux dfauts de perpendicularit de :

- laxe de vise par rapport laxe secondaire ; - laxe secondaire par rapport laxe principal.

sliminent donc en moyennant les mesures faites dans les deux positions de la lunette. Lerreur due un dfaut de verticalit de laxe principal ne slimine pas par la mesure dans les deux positions de la lunette. Le calage doit donc tre ralis avec soin, surtout si les vises sont inclines.

1.1.2. Les erreurs dexcentricit

On peut distinguer :

lerreur dexcentricit de laxe de vise

6 Le thodolite


lerreur dexcentricit du cercle La premire correspond un dcentrement e par rapport laxe principal. Dans les deux positions de la lunette, on a la mme erreur, mais de signe contraire. Il en rsulte que en effectuant les mesures dans les 2 positions de la lunette, la moyenne des rsultats est aussi dbarrasse de cette erreur. En outre, le cercle gradu horizontal doit tre centr sur laxe principal, le cercle gradu vertical centr sur laxe secondaire. Sil y a une excentricit du centre de la graduation du cercle par rapport laxe, cest comme si le centre dun rapporteur ne concidait pas avec le sommet de langle mesurer. Grce la prcision actuelle de lajustage mcanique, lexcentricit des cercles reste ngligeable pour les thodolites la minute ; la lecture des cercles peut donc sy faire avec un seul index. Ce ntait pas le cas pour les instruments anciens qui ont tous deux index opposs. Deux angles opposs taient donc mesurs puis moyenns.

1.1.3. Graduation des cercles

Ce sont les imprcisions de position des traits qui constituent la graduation du cercle sur laquelle se font les lectures angulaires. Il y a les :

- erreurs alatoires : ce sont les petites erreurs entachant la position de chacun des traits, indiffremment positivement ou ngativement.

- erreurs systmatiques : elles entachent dans le mme sens, positif ou ngatif, la position de tous les traits dune zone de la graduation ; elles sont dues essentiellement aux imperfections de la machine graver les cercles.

Pour diminuer les consquences des erreurs systmatiques de graduation sur les mesures angulaires il faut rpter les mesures en utilisant diffrentes portions de la graduation et moyenner les rsultats.

1.2. Mesure dangles

1.2.1. Angles horizontaux

Dfinition La notion dangle horizontal est applicable des cts spatiaux quelconques issus dun sommet commun. Selon la Figure 6-30 : = angle horizontal des cts SP et SQ

= angle entre les projections horizontales SP de SP et SQ de SQ = angle didre des deux plans verticaux

Le thodolite 7

Elments de gomatique Sens des angles horizontaux En topographie, le sens positif des angles est celui des aiguilles de la montre (sens contraire des angles en trigonomtrie). Sauf en quelques rares exceptions, on exprime les angles horizontaux par une valeur positive comprise entre 0 et 400gon.

Figure 1-4 : Le sens des angles

Les directions On appelle (cf. Figure 6-17) :

- direction spatiale un ct de lespace tel que SP ou SQ (cts spatiaux)

- direction horizontale la projection dune direction spatiale dans un plan horizontal, soit SP ou SQ (cts horizontaux)

- direction la valeur angulaire lue sur un rapporteur, centr en S, et correspondant un ct

Les directions dpendent de l'orientation du zro du cercle gradu, mais pas l'angle entre deux directions.

Figure 1-5 : Directions horizontales et angle horizontal

Directions et angles Un angle comporte deux cts et il est donc compris entre deux directions. Compte tenu du sens des angles topographiques, il faut fixer pour eux un ct gauche et un ct droit (Figure 6-31) :

- au ct gauche correspond la direction gauche rg - au ct droite correspond la direction droite rd

Figure 1-6 : Les cts d'un angle

8 Le thodolite

Elments de gomatique On a par consquent :

angle horizontal = direction droite moins direction gauche = rd - rg Cette relation est gnrale et valable quelles que soient les valeurs numriques des directions (Figure 6-32). Si rd est plus petit que rg, on lui ajoute automatiquement 400gon.

Figure 1-7 : Exemples

1.2.2. Mesure des angles horizontaux

Le cercle horizontal Le cercle horizontal permet la lecture dune direction horizontale. Il sagit dun cercle en verre gradu, qui est soit li au socle de linstrument, soit libre afin de pouvoir pivoter sur lui-mme et de pouvoir fixer le zro de sa graduation sur une direction donne (Figure 6-33). Aprs la mise en station du thodolite (calage), ce cercle est dans un plan horizontal. Loprateur lit la valeur de la graduation grce un index de lecture.

Figure 1-8 : Le cercle horizontal

Position directe et inverse de la lunette

Le thodolite 9

Elments de gomatique Il est possible de mesurer les angles horizontaux dans deux positions de la lunette : directe (D) et inverse (I). Dans la rgle, les mesures angulaires se font dabord en position D, puis en position I, si ncessaire pour llimination derreurs ou simplement pour contrle. Figure 1-9: Position directe

et inverse de la lunette

Figure 1-10 : Processus de retournement de la lunette

La permutation des positions D et I na aucune influence sur les rsultats finaux. Toutefois, un enchanement alatoire des positions de la lunette peut compliquer l'exploitation des mesures.

1.2.3. Principe de la mesure de sries

Dfinition Avec tous les appareils modernes, on mesure des directions : on considre tout un ensemble de cts issus du mme sommet et on mesure la direction correspondant chacun des cts. On obtient les angles souhaits en faisant la diffrence des directions correspondantes. La mesure de sries sapplique lorsquil sagit dobtenir les directions avec une prcision de 1 5 mgon ou mieux. Le thodolite est en station (centr, cal) sur le point S. Soit n points P1, P2 ... Pi... Pn vers lesquels on veut mesurer les directions horizontales depuis un point S (Figure 6-36) :

Figure 1-11 : Principe de la mesure de sries

10 Le thodolite

Elments de gomatique Viser successivement chacun des points P1, P2 ... Pn, dabord en position directe de la lunette et faire chaque fois la lecture LD au cercle horizontal. Si le nombre de vises est important ou si leur mesure dure plus de quelques minutes, complter le tour dhorizon en rptant la 1re vise permet de vrifier la stabilit de lappareil. Aprs la dernire mesure vers Pn (resp. P1), passer en position inverse de la lunette et viser nouveau successivement tous les points, mais dans lordre inverse Pn ... P2, P1, et faire chaque fois la lecture Lj. Cet aller et retour constitue une srie. Pour chaque point vis, ds que la mesure inverse est faite, calculer la moyenne :

2D IL L+

(Valeur dbarrasse de certaines erreurs instrumentales (voir 6.1.4)) Afin damliorer la qualit des rsultats, on effectue ensuite dautres mesures (sries) afin de raliser des mesures de srie.

Pour diminuer leffet des erreurs de graduation du cercle : entre chaque srie

modifier lorientation du cercle horizontal de : 200gon

s o s est le nombre

de sries prvues. Ainsi, pour chacune des directions, les lectures sont rparties uniformment sur tout le pourtour de la graduation du cercle. Dans le cas o il est prvu de mesurer 4 sries, on peut sarranger davoir pour la 1re direction en position directe les lectures : 1re srie : 0gon 3me srie : 50 gon 2me srie : 100 gon 4me srie : 150 gon Pour comparer les sries entre elles et pour faciliter les calculs immdiats des rsultats : ds que la mesure dune srie est termine, calculer les moyennes rduites : c'est--dire soustraire de toutes les moyennes la valeur de la moyenne de la 1re direction ; on a ainsi dans chaque srie la valeur 0.0000gon pour la premire direction (rfrence commune). Les moyennes rduites peuvent tre compares au fur et mesure entre les diffrentes sries, ce qui permet dapprcier la qualit des mesures et lventuelle ncessit deffectuer des sries supplmentaires. Aprs avoir mesur les s sries prvues, calculer les moyennes gnrales : pour chaque direction, moyenner les s moyennes rduites. Les moyennes gnrales sont les rsultats finaux pour les directions. Pour chacune des directions, on obtient une valeur qui est une moyenne de lensemble des mesures faites. Choix de la direction de rfrence Le premier ct dune srie tant normalement celui sur lequel on rduit 0 (moyenne rduite) pour faciliter la comparaison immdiate des rsultats, il

Le thodolite 11

Elments de gomatique faut que ce soit une direction de bonne qualit : point relativement loign, bien dfini afin que le point soit ais, conditions de visibilit et dclairage aussi constantes que possible tout au long des mesures. Les angles verticaux Dfinition Un angle vertical est un angle situ dans un plan vertical. En topographie, cest langle que fait un ct spatial soit avec lhorizontale, soit avec la verticale (Figure 6-17). Si la notion dangle horizontal nest pas applicable un seul ct, la notion dangle vertical par contre lest, car le second ct de langle est la rfrence spatiale horizontale ou verticale (ct gauche de langle). On dfinit trois types dangles verticaux :

par rapport lhorizontale : langle de hauteur par rapport la verticale : langle znithal ou : langle nadiral

Langle de hauteur (aussi parfois appel angle de site ou de pente) dun cot spatial SP est langle vertical que fait ce ct avec sa projection dans un plan horizontal. Langle de hauteur est compt depuis lhorizontale de 0 100gon positivement vers le haut, ngativement vers le bas.

Figure 1-12 : L'angle de hauteur

Langle znithal dun cot spatial SP est langle vertical que fait ce ct avec la direction montante de la verticale (direction du znith). Langle znithal est compt depuis la verticale de 0 200gon ; il est toujours positif.

Figure 1-13 : L'angle znithal

12 Le thodolite

Elments de gomatique Langle nadiral dun cot spatial SP est langle vertical que fait ce ct avec la direction descendante de la verticale (direction du nadir). Langle nadiral est compt depuis la verticale de 0 200gon ; il est toujours positif.

Figure 1-14 : L'angle nadiral

Rcapitulation Pour un ct donn, langle de hauteur, langle znithal et langle nadiral sont lis par les relations : = 100gon = 100gon +

= 100gon + = 100gon = 200gon = 200gon

Ct spatial < de hauteur < znithal < nadiral

Montant > 0 0 < < 100 100 < < 200 Horizontal = 0 = 100 = 100

Descendant < 0 100 < < 200 0 < < 100

1.3. Mesure des angles verticaux Le cercle vertical Le cercle vertical permet la mesure dun angle vertical, cest--dire langle que fait la ligne de vise de la lunette du thodolite avec lhorizontale (angle de hauteur) ou la verticale (angle znithal ou nadiral). Les dispositifs conus pour la lecture des cercles des thodolites modernes font que lerreur due lexcentricit du cercle est limine par une seule lecture (utilisation de deux parties diamtralement opposes de la graduation), sinon ngligeable (thodolites la minute). Il suffit donc de considrer ici un seul index de lecture. On admet une construction avec un index de lecture fixe et un cercle gradu qui tourne avec la lunette, ce qui est le cas de la majorit des thodolites (le contraire est aussi possible). On appelle ligne dindex laxe passant par le centre du cercle et lindex de lecture. Selon la construction, la ligne dindex est horizontale (perpendiculaire laxe principal), ou verticale (parallle laxe principal). Le cercle vertical doit tre gradu de telle manire quen face de lindex on lise la valeur de lun ou lautre type dangle vertical.

Le thodolite 13


1.3.1. Erreur dindex et effet

Devant admettre les imperfections de construction et de calage, la ligne dindex ne peut tre considre comme tant rigoureusement horizontale ou verticale ; elle fait avec lune ou lautre de ces rfrences un angle i appel erreur dindex ou erreur de collimation verticale. Exemple : Thodolite donnant comme lecture au cercle vertical, en face de lindex I, la valeur de langle znithal de la ligne de vise, entache de lerreur dindex i si la ligne dindex nest pas rigoureusement horizontale. Il sagit ici de la disposition en position directe de la lunette (Figure 6-40)

Figure 1-15 : L'erreur d'index

Si la ligne dindex pour la lecture du cercle vertical nest pas horizontale, il y a erreur dindex i ou erreur de collimation verticale i. Sagissant de mesurer langle vertical de la vise vers un point P, on considre ici un thodolite dont la lecture au cercle vertical donne la valeur de langle znithal. Pour une direction donne, la somme des lectures faites au cercle vertical dans les deux positions de la lunette devrait tre exactement 400gon. Si dans les deux positions, la ligne dindex fait le mme angle avec lhorizontale, cest--dire :

1 2i i i= = On a :

DL i= + et 400gon

JL i= +

14 Le thodolite


Figure 1-16 : Effets de l'erreur d'index

On peut ainsi calculer lerreur dindex et la valeur de langle znithal cherch :

( )1 4002gon

D Ji L L= + ( )400gonD JL i L i = = On voit quil faut avoir un moyen permettant damener la ligne dindex faire toujours le mme angle i avec lhorizontale. Pour cela, les thodolites comportent lun ou lautre des dispositifs suivants :

une nivelle de collimation appele aussi nivelle du cercle vertical (thodolites traditionnels) ;

un compensateur (thodolites collimation verticale automatique). Un tel dispositif permet, chaque mesure dun angle vertical, de dpendre directement de la rfrence physique horizontale et il rend cette mesure indpendante du dfaut de calage du thodolite (axe principal non vertical) et du dfaut dajustage de la ligne dindex dans linstrument.

1.3.2. Collimation verticale automatique

Depuis plusieurs dcennies, la nivelle de collimation des thodolites est remplace par un compensateur qui automatise sa fonction. Cest un dispositif, mcano-optique en gnral, qui amne automatiquement la ligne dindex faire toujours le mme angle avec lhorizontale (ou la verticale selon le mode de construction). Loprateur na plus intervenir manuellement pour caler cette ligne dindex. Il en rsulte une plus grande commodit dans le travail et normalement une meilleure qualit du calage.

Le thodolite 15


2. Orientation et lever polaire Ce chapitre a pour but de prsenter les bases des calculs de topomtrie ; c'est--dire des formules qui combinent les mesures angulaires et de distances afin de dterminer les coordonnes de nouveaux points.

2.1. Gisement Dfinition Le gisement est langle qui fixe lorientation dun ct dans le systme de coordonnes rectangulaires (Y, X) ou de la carte. Il sagit de langle, not , que fait dans le plan de projection ce ct avec le Nord de la carte ou une parallle la direction positive de laxe X (Figure 7-1)

Figure 2-1 : Le gisement

En topographie, le gisement est un angle horizontal. Il est compt de 0 400gon partir de la direction positive de laxe des X (Nord de la carte), positivement vers lEst. Le gisement est un angle toujours positif dont la valeur est comprise dans les limites : 0 = < 400 gon Lorsquon traite du gisement dun ct, le sens du ct doit toujours tre prcis (Figure 7-2) :

Figure 2-2 : Les deux gisements d'un ct AB

Il faut ajouter ou retrancher 400gon pour que la valeur soit comprise entre 0 et 400gon. Le gisement est donc dfini par :

16 Orientation et lever polaire


( )

' ( ) avec 100 100

B A ABAB

B A AB

AB

AB

Y Y YtgX X XYatg gon gonX

= =

= < rectangulaire. On souhaite calculer les coordonnes dun point M partir des coordonnes du point S, du gisement SM et de la distance sSM (Figure 7-5).



Figure 2-5 : Point lanc

Les coordonnes de P sobtiennent par :

.sin.cos

M S S SM SM

M S S SM SM

Y Y Y Y sX X X X s

= + = += + = +

Contrairement la formule du calcul du gisement, ces dernires sont gnrales et valables pour tous les quadrants.

2.2. Lever polaire Le lever polaire permet de dterminer la position dun objet en calculant ses coordonnes rectangulaires (Y, X) laide de coordonnes polaires (angle et distance). Le paragraphe 7.1.2 a montr comment sont calcules ces coordonnes. Cependant les lments mesurs avec linstrument sont uniquement la distance entre le point stationn (S) et le point lev (M), ainsi quune direction horizontale (r) vers le point lev. Dans le chapitre prcdent, on montre que lorigine du cercle horizontal est arbitraire, ainsi ces mesures seules sont insuffisantes pour dterminer un gisement du point stationn vers le point lev. La rponse ce problme est la procdure dorientation qui consiste faire une mesure de direction entre la station (S), dont les coordonnes sont connues, et un second point (P), appel rfrence, dont on connat aussi les coordonnes. Le gisement entre la station et le point lev peut ensuite tre calcul par transmission de gisement (Figure 7-4). Soit M le point lever. Dans la procdure dorientation, on connait :

- le gisement de la station la rfrence, SP (cf. 7.1.1) - la mesure de direction sur la rfrence : rP et le point M : rM

Orientation et lever polaire 19

Elments de gomatique On cherche alors dterminer :

- , linconnue dorientation: = SP - rP - le gisement de la station au point M, SM par transmission de

gisements : SM = rM + - les coordonnes du point M laide de la formule du point lanc

La Figure 7-6 rsume tous ces lments.

Figure 2-6 : Lever polaire

Cette dmarche peut tre effectue avec un seul ou plusieurs points de rfrence. Lutilisation de plusieurs rfrences entrane un contrle de lorientation de la station. On calculera alors une inconnue dorientation moyenne, si aucune faute nest dtecte.

2.2.1. Nivellement trigonomtrique : cas de la Terre plate

Dans ce chapitre, on va tudier les diffrentes rductions, leur importance selon la situation, ainsi que la sophistication des modles requis. Lorsque l'on mesure une distance oblique et un angle de hauteur exclusivement pour dterminer la dnivele, on parle de nivellement trigonomtrique (ou indirect) pour bien distinguer cette mthode du nivellement gomtrique (ou direct). Entre deux points du terrain, on est amen considrer plusieurs distances :

1. la distance oblique 2. la dnivele 3. la distance horizontale


Elments de gomatique Soit deux points P et Q reprs au sol. Avec un thodolite muni dun distancemtre, on dtermine langle de hauteur et la distance oblique s. Laxe de basculement de la lunette (sommet de langle ) est hauteur i au-dessus de P. Le point vis est hauteur z au-dessus de Q (Figure 7-7).

Figure 2-7 : Composantes horizontale et verticale de la distance oblique

' ' sin' cos

H ss s

= =

Le signe de est essentiel pour calculer la dnivele brute H. En revanche, il n'influence pas la distance horizontale s. De plus, si la distance horizontale s entre P et Q est connue, il n'est pas ncessaire de mesurer la distance oblique : la dtermination de l'angle de hauteur suffit pour calculer la dnivele brute. On a alors :

'H s tg = On obtient la dnivele entre P et Q en passant de la diffrence de niveau brute H la diffrence de niveau nette H selon la relation suivante :

' ' ( )H i H z H i z = + = + avec : i = hauteur dinstrument et z = hauteur vise Si laltitude de lun des deux points P ou Q est connue, on peut calculer celle de lautre :

Q PH H H= + ou P QH H H= Ces relations entre les distances ne sont valables que pour des points suffisamment proches pour que la rotondit de la Terre et la rfraction atmosphrique puissent tre ngliges. L'loignement tolrable est denviron 5 km.



2.2.2. Nivellement trigonomtrique : cas de la Terre sphrique

Lorsque deux points ne sont plus suffisamment proches (>5 km), lassimilation de la Terre un plan est impossible. Cest pourquoi, entre deux points du terrain, on est amen considrer plusieurs distances :

1. la distance oblique 2. la dnivele 3. la distance horizontale au niveau du terrain 4. la distance au niveau de la mer 5. la distance dans le plan de projection

2.2.3. Distances sphriques et altitude

Si on tient compte de la rotondit de la Terre, et en prenant la sphre comme surface de rfrence, on doit considrer trois sphres concentriques :

- celle situe au niveau de la mer (H=0) ; - celle passant par le point P ; - celle passant par le point Q.

Figure 2-8 : Distances sphriques

Entre ces diffrentes distances, on a les relations :

0 QP

P Q

ss sr r H r H= =

+ +

Pour le ct PQ on peut considrer une distance sphrique un niveau H quelconque :

0 01Hr H Hs s s

r r+ = = +

Le tableau suivant donne laccroissement des distances prises diffrents niveaux par rapport celle du niveau de la mer :

(sH-s0)[m] s0[m]

1000 2000 5000 10000 H[m] 5000 0.78 1.57 3.92 7.84



2000 0.31 0.63 1.57 3.14 1000 0.16 0.31 0.78 1.57 500 0.08 0.16 0.39 0.78 0 0 0 0 0

Pour une distance de 1000 m mesure lEPFL, la diffrence est de ~8 cm.

2.2.4. Distances horizontales et sphriques

La distance horizontale est situe dans un plan horizontal en un point, la distance sphrique au niveau de ce point est sur la surface sphrique passant par ce point (Figure 7-9) :

Figure 2-9 : Arc, corde et tangente

On a les relations : arc ' : ( ) 2 [ ]

corde ' : 2( ) sin

tangente '' : ( ) 2

P P

P P

P

PQ s r H rad

PQ c r H

PQ s r H tg

= +

= +

= +

Les diffrences entre la corde PQ ou la tangente PQ et larc PQ sont donnes dans le tableau suivant (pour r = 6378,8 km) :

sP [m] cP-sP [mm] s-sP [mm] 1000 -0.002 +0.008 2000 -0.009 +0.06 5000 -0.1 +1.0 10000 -1.03 +8.2

On constate que pour des distances jusqu 10 km, la diffrence entre la corde et larc est au plus 1 mm, cest--dire 1 :10000000, et quil en est de mme pour les distances jusqu 5 km entre la tangente et larc. Dans le cadre des travaux topographiques usuels, ces carts sont ngligeables et on peut confondre arc, corde et tangente. Par ailleurs, la distance horizontale change selon quon la situe au niveau de P ou de Q. Il est vident que si la diffrence de niveau est faible entre P et Q, lcart entre ces deux distances horizontales est ngligeable.



Figure 2-10 : Distances sphriques et horizontales

Dans les limites fixes dans le tableau prcdent, on a donc :

Q Qs s= et P Ps s=



3. Rfrences

On donne ici quelques rfrences bibliographiques utiles et complmentaires au contenu de ce polycopi. Cette liste nest de loin pas exhaustive.

Merminod B., (2008), Topomtrie Terrestre, Polycopis de lEPFL, EPFL, Lausanne

Milles S., Lagofun J., (1999), Topographie et topomtrie modernes - Tome 1 : Techniques de mesure et de reprsentation, Ed. Eyrolles

Milles S., Lagofun J., (1999), Topographie et topomtrie modernes - Tome 2 : Calculs, Ed. Eyrolles

Rfrences 25

Elments de gomatique 4. Table des figures Avertissement La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Figure 1-1 : Schma du thodolite ....................................................................... 3 Figure 1-2 : Thodolite lectronique ................................................................... 4 Figure 1-3 : Les angles en topographie ............................................................... 4 Figure 1-4 : Le sens des angles ............................................................................. 8 Figure 1-5 : Directions horizontales et angle horizontal .................................. 8 Figure 1-6 : Les cts d'un angle .......................................................................... 8 Figure 1-7 : Exemples ............................................................................................ 9 Figure 1-8 : Le cercle horizontal .......................................................................... 9 Figure 1-9: Position directe ................................................................................. 10 Figure 1-10 : Processus de retournement de la lunette ................................... 10 Figure 1-11 : Principe de la mesure de sries ................................................... 10 Figure 1-12 : L'angle de hauteur ......................................................................... 12 Figure 1-13 : L'angle znithal .............................................................................. 12 Figure 1-14 : L'angle nadiral ................................................................................ 13 Figure 1-15 : L'erreur d'index ............................................................................. 14 Figure 1-16 : Effets de l'erreur d'index .............................................................. 15 Figure 2-1 : Le gisement ...................................................................................... 16 Figure 2-2 : Les deux gisements d'un ct AB ................................................. 16 Figure 2-3 : Les quadrants ................................................................................... 17 Figure 2-4 : Principaux cas de transmission de gisements rencontrs .............................................................................................................. 18 Figure 2-5 : Point lanc ........................................................................................ 19 Figure 2-6 : Lever polaire .................................................................................... 20 Figure 2-7 : Composantes horizontale et verticale de la distance oblique .................................................................................................................... 21 Figure 2-8 : Distances sphriques ...................................................................... 22 Figure 2-9 : Arc, corde et tangente .................................................................... 23 Figure 2-10 : Distances sphriques et horizontales ......................................... 24

26 Table des figures
1. Le thodolite1.1. Erreurs instrumentales du thodolite1.1.1. Les erreurs daxes1.1.2. Les erreurs dexcentricit1.1.3. Graduation des cercles1.2. Mesure dangles1.2.1. Angles horizontaux1.2.2. Mesure des angles horizontaux1.2.3. Principe de la mesure de sries1.3. Mesure des angles verticaux1.3.1. Erreur dindex et effet1.3.2. Collimation verticale automatique2. Orientation et lever polaire2.1. Gisement2.1.1. Transmission de gisements2.1.2. Point lanc2.2. Lever polaire2.2.1. Nivellement trigonomtrique : cas de la Terre plate2.2.2. Nivellement trigonomtrique : cas de la Terre sphrique2.2.3. Distances sphriques et altitude2.2.4. Distances horizontales et sphriques3. Rfrences4. Table des figures

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