phương pháp hình thang,Công thức Simpson
description
Transcript of phương pháp hình thang,Công thức Simpson
CHƯƠNG 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đặt vấn đề Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và
tính phân xác định Thực tế, thường gặp các trường hợp :
Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết.
Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân
xác định. Chọn giải pháp: “Tính gần đúng”
Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng công thức Taylor:
20
''
000 )(2
)())((')()( xx
fxxxfxfxf
Đặt h = x-x0 x=x0+h:2
''
000 2
)()(')()( h
fhxfxfhxf
h
xfhxfxf
)()()( 00
0'
Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó
(5.1)
Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé
Tính gần đúng đạo hàmSai số:
hM
hf
xR22
)()(
''
0
Với |f’’(x)|<=M, x[x0,x0+h]
Ví dụ: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?
Giải: Chọn h=0.001, ta có:
01,9001,0
2009,2
001,0
)1()001,01()1('
fff
Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 x[1;1,001]
012,0001,0.2
05,24|)1(| R
Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng đa thức nội suy
Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<…<xn=b
f’(x) Pn’(x) với x[a,b] Sai số:
'
0
)1(
)()!1(
)()('
n
ii
n
xxn
cfxR
)(')()(' ' xRxPxf n
)( )()( xRxPxf n
Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy:
; .)(01
01
10
10 xx
xxy
xx
xxyxP
))((!2
)('')( 10 xxxx
cfxR
)(!2
)('')(R' ; )( 010
01
010
' xxcf
xxx
yyxP
)(''2
)R(
)(
0
01
01
010
'
cfh
x
h
yy
xx
yyxf
)(''2
)R(
)(
11
011
'
cfh
x
h
yyxf
Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: xi+1-xi = h
002
00 !
)1)...(1(...
!2
)1(
!1)()(
0y
n
nttty
tty
tyxPxf n
thxxn
n
i
nn
ithn
cfxR
0
1)1(
)()!1(
)()(
dt
dP
hdx
dt
dt
dP
dx
dP 1.
Với
)(')(')(' xRxPxf Lưu ý
Tính gần đúng đạo hàmTrường hợp 3 mốc: x0, x1, x2 với x1-x0=x2-x1 = h
)('''3
)34(2
1)('
)(''6
)(2
1)('
)('''3
)43(2
1)('
2
2
2102
1
2
201
0
2
2100
cfh
yyyh
xf
cfh
yyh
xf
cfh
yyyh
xf
Tính gần đúng tích phân Cần tính
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), công thức Newton – Lepnit:
Trường hợp:- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x)- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp
Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn
b
adxxfI )(
)()()( aFbFdxxfIb
a
Công thức hình thang
Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: x0=a<x1<…<xn=b
n
n
x
x
b
a
x
x
x
x
dxxfdxxfdxxfdxxfI1
2
1
1
0
)(...)()()(
x0=a b=xn
f(x)
x1x2 xi Xi+1
h=xi+1-xi=1/n
Công thức hình thang
Trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)
1 1 1
]),[)(()()( 11
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x iiiii dxxxfxxyxPdxxfI
)(2
1
)2
1.().()(
1
1
0
21
0
1
ii
iiii
x
x
yyh
tytyhdtytyhdxxfi
i
Đặt x = xi+th dx = hdt. Với x [xi, xi+1] t [0,1]
sai số: Với c[xi, xi+h])(12
)( 23
cfh
hri
Công thức hình thang
Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1
xi xi+1
f(x)
h
yi+1
yi
ri(h)A
B)(
2
1)( 1
1
ii
x
xi yyhdxxfIi
i
Công thức hình thang Công thức hình thang tổng quát:
)...2
()(2
)(...)()()(
1210
1
1
0
1
0
2
1 1
nn
i
n
ii
x
x
x
x
x
x
b
a
yyyyy
hyyh
dxxfdxxfdxxfdxxfIn
n
Sai số toàn phần:
Với M = sup|f’’(x)| , x[a,b]
12|)(|
3hnMhr
Công thức hình thang Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang
1
02
5
1 1 )
1 )
x
dxIbdx
xIa
Với phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số
Công thức Simpson Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau: a=x0<x1<……<x2n=b
n
abxxh ii 2
)(1
x0=a b=x2n
f(x)
x1x2
niihxxi 2,...,1,0 ,0
b
a
x
x
x
x
x
x
n
n
dxxfdxxfdxxfdxxfI2
0
4
2
2
22
)(...)()()(
Công thức Simpson Xét đoạn kép [xi, xi+2]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P2(x):
i
i
i
i
x
x x
x
xi dxxPdxxfI2
22
2
22
)()(
xi Xi+1 Xi+2
f(x)
P2(x)
Công thức Simpson
],[c );(90
)( 2i)4(
5
iiii xxcfh
hr
0
2])
23(
2
1
2[ 2
232
t
ty
tty
ttyh iii
Sai số:
Nếu |f(4)(x)|≤ M, x [xi, xi+2] thì:90
)(5Mh
hri
Đặt x = xi + th, dx = hdt; x =xi t=0; x = xi+2 t=2
2
0
2 ]2
)1([ dty
ttytyhI iiii
= )4(3 21 iii yyyh
Công thức Simpson toàn phần
)]..(2)...(4)[(3
)4(3
...)4(3
)4(3
)(...)()()(
242123120
21222432210
2
22
4
2
2
0
nnn
nnn
x
x
x
x
x
x
b
a
yyyyyyyyh
yyyh
yyyh
yyyh
dxxfdxxfdxxfdxxfIn
n
Sai số tòan phần:
90)( ;)()(
5
1
nMhhrhrhr i
n
ii
Với M thỏa: |f(4)(x)| ≤ M x[a,b]
Ví dụ và bài tập Dạng 1: Cho trước phân hoạch đoạn [a,b]. Tính gần
đúng tích phân và đánh giá sai số Dạng 2:
Bằng cách phân hoạch đoạn [0,1] thành 4 đoạn bằng nhau, tính gần đúng tích phân trên theo công thức Simpson
Ví dụ và bài tập
1
021 x
dxI1. Cho tích phân:
2. Cho tích phân: 1
0
sindx
x
xI
a) Bằng cách phân hoạch [0,1] thành 6 đoạn bằng nhau. Tính gần đúng tích phân đã cho bằng công thức hình thang và công thức
Simpson Đánh giá sai số?b) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang với sai
số không quá 3.10-4