Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf

7/26/2019 Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf

1/13

Persamaan Differensial Variabel Terpisah

Kadang-kadang akan lebih baik menggunakan x untuk menyatakan vareabel bebas dari pada t

dalam persamaan diferensial. Dalam kasus ini persamaan umum linear orde satu mempunyai

bentuk :

.. (2.1)

Jika persamaan (2.1) adalah tak linear, yakni f tidak linear dalam vareabel bergantung y, maka

tidak terdapat metode umum yang dapat dipakai untuk menyelesaikannya. Dalam bagian ini kitaakan membahas subklas dari persamaan linear orde satu yang dapat diintegralkan langsung.

Pertama kita tulis kembali persamaan (2.1) dalam bentuk :

.. (2.2)

Adalah selalu mungkin untuk mengerjakan ini dengan memisalkan M (x,y) = - f (x,y) danN (x,y)

= 1, tetapi mungkin cara lain juga bisa. Dalam kasus M hanya fungsi darix danN hanya fungsi

dariy, maka persamaan (2.1) menjadi :

.. (2.3)

Persamaan ini disebut persamaan terpisah karena dapat dituliskan dalam bentuk :

.. (2.4)

M(x; y) + N(x; y) = 0.

M(x) + N(y) = 0

= f (x,y).

M(x)dx + N(y)dy = 0


2/13

kemudian kita dapat memisahkannya dalam ruas yang lain. Persamaan (2.4) lebih simetrik dan

dapat menghilangkan perbedaan vareabel bebas dan tak bebas.

Contoh 1. Tunjukkan bahwa persamaan

= (2.5)

adalah persamaan terpisah dan temukan sebuah fungsi yang merupakan kurva integralnya.

Jawab:

Kita dapat tulis persamaan (2.5) ke dalam

-x2+ (1 y2) = 0, (2.6)

yang mempunyai bentuk seperti persamaan (2.3), oleh karena itu terpisah. Periksa bahwa suku

pertama persamaan (2.6) yang merupakan turunan dari dan suku yang ke dua dengan

menggunakan aturan rantai merupakan turunan dariy - terhadapx. Jadi persamaan (2.6) dapat

ditulikan sebagai :

( y - ) = 0

Oleh karena itu kita dapatkan

-x2+ 3y y3= c (2.7)

dimana c adalah sebarang konstan, yang merupakan kurva integral dari persamaan (2.6). Sebuah

persamaan dari kurva integral yang melalui sebuah titik tertentu (x0, y0) dapat ditemukan dengan

mensubstitusikanx0dany0untukx danyberturut turut ke dalam persamaan (2.7) dan kita dapat

temukan c. Sebarang fungsi terturunkan y = (x) yang memenuhi (2.7) adalah solusi daripersamaan (2.5). Dengan menggunakan cara yang sama untuk persamaan (2.3) dengan

memisalkanH1danH2adalah sebarang fungsi sedemikian sehingga

H1(x) = M (x), H2(y) = N(y) (2.8)

maka persamaan (2.3) menjadi


3/13

H1(x) + H2(y) = 0 (2.9)

Dengan menggunakan aturan rantai

H2(y) = H 2(y),

maka persamaan (2.9) menjadi :

.. (2.10)

Dengan mengintegralkan persamaan (2.10) kita dapatkan

.. (2.11)

dengan c adalah sebarang konstan. Setiap fungsi y = (x) yang memenuhi persamaan (2.11)

adalah solusi dari (2.3). Dengan kata lain persamaan (2.11) mendefinisikan solusi implisit

daripada eksplisit. Fungsi-fungsiH1 danH2 adalah antiturunan dariM danNberturut-turut.

Dalam prakteknya persamaan (2.11) biasanya diperoleh dari persamaan (2.4) dengan

mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku ke dua terhadap y. Jika persamaan (2.3)

ditambah dengan kondisi awaly(x0) =y0maka solusinya merupakan solusi dari (2.11) dengan

mensubstitusikanx =x0dany =y0dan akan didapatkan

c =H1 (x0) + H2 (y0).

Substitusikan kembali c ke dalam persamaan (2.11) dan catat bahwa

H1 (x) - H1 (x0) = , H2 (y) - H2 (y0) =

Maka kita dapatkan

[H1 (x) + H2 (y)] = 0.

H1 (x) + H2 (y) = c

+ = 0


4/13

L TIH N SO L

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

0

15.

16.

17.

18.

19.

20.


5/13

DAFTAR PUSTAKA

Richard Bronson, Ph.D, Gabriel B. Costa. Third edition Differential Equation. 4: 29-30

Waluya, Budi. M.Si. 2006. Persamaan Diferensial. Semarang: Bahan Ajar

HS. Suryadi, Suhaedi. 1994. Matematika Lanjut. Jakarta


6/13

SOLUSI LATIHAN SOAL

1.

kali kan kedua persamaan dengan 2

2.

3

3.

4.


7/13

5.

6.

7.

= y

= kali kan kedua persamaan dengan 2.


8/13

8.

= y

= kal ikan kedua persamaan dengan 4.

9.

= y

= kal ikan kedua persamaan dengan 3.

10.

= y

=


9/13

11.

= y

= kali kan kedua persamaan dengan 2.

12.

=

=

13.

kalikan dengan

=

=

=


10/13

14. 0

= 0

= 0

1

1 atau 1

15.

=

=

Kalau diteruskan , maka

1

1

=

16.

= 0


11/13

)

17.

18.

C dapat kita tulis sebagai supaya solusi yang diperoleh mempunyai bentuk yang

baik.

Kalau dimita solusi khusus pada (x,y) = (0,2), maka :

19.


12/13

= C

20.

+ = - +

+ = - +

-

C = 2( )


13/13

Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf

Documents

Transcript of Persamaan Differensial Variabel Terpisah.pdf