PERSAMAAN PERSAMAAN BERNOULLIBERNOULLI

Kuliah Mekanika Fluida

Anggapan-anggapan untuk Menurunkan Persamaan Anggapan-anggapan untuk Menurunkan Persamaan BernoulliBernoulli

1. Zat cair adalah ideal, tidak punya kekentalan

2. Zat cair adalah homogen & tidak termampatkan

3. Aliran adalah kontinyu & sepanjang garis arus

4. Kecepatan aliran adalah merata dalam suatu penampang

5. Gaya yang bekerja hanya gaya berat & tekanan

Bentuk Persamaan BernoulliBentuk Persamaan Bernoulli

Dengan :

Z : elevasi (tinggi tempat)

: tinggi tekanan

: tinggi kecepatan

Cg

Vpz

2

2

p

g

V

2

2

• Konstanta C adalah tinggi energi total, yang merupakan jumlah dari tinggi tempat, tinggi tekanan dan tinggi kecepatan, yang berbeda dari garis arus yang satu ke garis arus yang lain. Oleh karena itu persamaan tersebut hanya berlaku untuk titik-titik pada satu garis arus.

• Persamaan Bernoulli dapat digunakan untuk menentukan garis tekanan dan tenaga. Garis tenaga dapat ditunjukkan oleh elevasi muka air pada tabung pitot yang besarnya sama dengan tinggi total dari konstanta Bernoulli. Sedangkan garis tekanan dapat ditunjukkan oleh elevasi muka air di dalam tabung vertikal yang disambung pada pipa.

g

VpzE

2

2

g

VpzE

2

2

Aplikasi persamaan Bernoulli untuk kedua titik di Aplikasi persamaan Bernoulli untuk kedua titik di dalam medan aliran akan memberikan :dalam medan aliran akan memberikan :

Yang menunjukkan bahwa jumlah tinggi elevasi, tinggi tekanan dan tinggi kecepatan di kedua titik adalah sama. Dengan demikian garis tenaga pada aliran zat cair ideal adalah konstan.

g

Vpz

g

Vpz

22

222

2

211

1

Contoh HitunganContoh Hitungan

• Suatu pipa mempunyai luas tampang yang mengecil dari diameter 0,3 m (tampang 1) menjadi 0,1 m (tampang 2). Selisih elevasi tampang 1 dan 2 (dengan tampang 1 di bawah) adalah Z. Pipa mengalirkan air dengan debit aliran 50 l/d. Tekanan di tampang 1 adalah 2 kgf/cm2. Apabila tekanan pada tampang 2 tidak boleh lebih kecil dari 1 kgf/cm2, hitung nilai Z. Kehilangan tenaga diabaikan dan percepatan gravitasi g = 9,81 m/d2.

PenyelesaianPenyelesaian

g

Vpz

g

Vpz

22

222

2

211

1

m/d 707,03,025,0

05,02

11

A

QV

m/d 366,61,025,0

05,02

22

A

QV

P1 = 2 kgf/cm2 = 2 x 10.000 = 20.000 kgf/m2

P2 = 1 kgf/cm2 = 1 x 10.000 = 10.000 kgf/m2

air m 201000

000.201 p

air m 101000

000.102 p

g

Vp

g

Vpzz

22

222

211

12

81,92

366,610

81,92

707,020

22

Z

m 96,7Z

Persamaan Bernoulli untuk Zat Cair Persamaan Bernoulli untuk Zat Cair RiilRiil

• Pers. Bernoulli untuk zat cair ideal : tidak ada kehilangan tenaga karena dianggap zat cair tidak punya kekentalan (invisid) sehingga tidak ada gesekan antar partikel zat cair maupun dengan dinding batas.

• Pers. Bernoulli untuk zat cair riil : kehilangan tenaga diperhitungkan karena kekentalan zat cair juga diperhitungkan

Kehilangan TenagaKehilangan Tenaga

• Ada 2 macam :

1. Kehilangan tenaga primer (hf) : terjadi karena adanya gesekan antara zat cair dan dinding batas

2. Kehilangan tenaga sekunder (he) : terjadi karena adanya perubahan tampang aliran.

fe hhg

Vpz

g

Vpz

22

222

2

211

1

1 2 3

Garis tekanan

Garis tenaga

g

V

2

21

Z1

1p

g

V

2

22

2p

Z2 Z3

3p

g

V

2

23

Σhe+ Σ hf

Rumus Kehilangan TenagaRumus Kehilangan Tenaga

• Untuk kehilangan tenaga primer

• Untuk kehilangan tenaga sekunder

g

Vkh

2

2

D

Lfk

2

2

11

A

Ak

Dengan :Dengan :

K: konstanta

V: kecepatan aliran

f : koefisien gesekan

L : panjang pipa

D: diameter pipa

A1 : luas tampang pipa 1 (hulu)

A2 : luas tampang pipa 2 (hilir)

Contoh SoalContoh Soal

• Air mengalir dari kolam A menuju kolam B melalui pipa 1 dan 2. Elevasi muka air kolam A dan B adalah +30 m dan +20 m. Data pipa 1 dan 2 adalah L1 = 50 m, D1=15cm, f1=0,02 dan L2=40m, D2=20cm, f2=0,015. Koefisien kehilangan tenaga sekunder di C, D, dan E adalah 0,5; 0,5; dan 1. hitung debit aliran !

A

CD E

B

Z1

Z212

hec

hf1

heD

heE

hf2

Garis tekanan

Garis tenaga

H

PenyelesaianPenyelesaian

fe hhg

Vpz

g

Vpz

22

222

2

211

1

g

V

g

Vppzzhh fe 22

22

2121

21

Tekanan di titik 1 & 2 = tekanan atmosfer → p1 = p2 = 0

Kecepatan di titik 1 & 2 = diam → V1 = V2 = 0

21 zzhh fe

21 zzhh fe

2121 zzhhhhh ffeEeDeC

21

22

2

22

21

1

11

22

21

21

22222zz

g

V

D

Lf

g

V

D

Lf

g

Vk

g

Vk

g

Vk EDC

2211 VAVA

1

2

2

12

2

21

12

12

4/

4/V

D

D

D

DV

A

AV

21

21

4

2

1

2

22

21

1

11

21

4

2

12

12

1

22222zz

g

V

D

D

D

Lf

g

V

D

Lf

g

V

D

Dk

g

Vk

g

Vk EDC

1081,922,0

15,0

2,0

40015,0

15,0

5002,0

2,0

15,015,05,0

21

44

V

Didapat V1 = 4,687 m/d

Debit aliran:

l/d 82,8 /dm 0828,0687,4)15,0(4

1 321 AVQ

Koefisien Koreksi EnergiKoefisien Koreksi Energi• Dalam analisis aliran satu dimensi, kecepatan

aliran pada suatu tampang dianggap konstan. Pada kenyataannya, kecepatan pada penampang adalah tidak merata. Kecepatan di dinding batas adalah nol dan bertambah dengan jarak dari dinding batas. Untuk itu diperlukan koefisien koreksi (α).

g

Vpz

g

Vpz

22

2222

2

2111

1

Pemakaian Persamaan BernoulliPemakaian Persamaan Bernoulli

1. Tekanan hidrostatis

2. Tekanan stagnasi

3. Alat pengukur kecepatan

4. Alat pengukur debit

1. Tekanan Hidrostatis1. Tekanan Hidrostatis

h

1

2p

p

p2 = h γ + pa = h γ

2. Tekanan Stagnasi2. Tekanan Stagnasi

Spo

Vo

2

2

1oos Vpp

3. Alat Pengukur Kecepatan3. Alat Pengukur Kecepatan (Tabung Pitot) (Tabung Pitot)

p

sp

g

Vh

2

2

V

ghV 2

4. Alat Pengukur Debit 4. Alat Pengukur Debit (Venturimeter) (Venturimeter)

Do

Do

Dc

hm

PoPc

2/1

02/12

0/1

2

c

c

c pp

AA

AgQ

2/1

1

120dengan

hpp c

1

2

Contoh SoalContoh Soal1. Tabung Pitot yang digunakan untuk menentukan kecepatan air

di dalam pipa menunjukkan perbedaan antara elevasi muka air di tabung Pitot dan piezometer adalah 48 mm. Hitung kecepatan aliran air.

2. Venturimeter dipasang pada pipa dengan diameter 15 cm dan mempunyai diameter leher 10 cm yang berada pada posisi mendatar. Alat tersebut digunakan untuk mengukur aliran minyak dengan rapat relatif 0,9. Manometer berisi air raksa yang dipasang pada venturimeter menunjukkan perbedaan pengukuran 20 cm. Apabila koefisien alat ukur adalah 0,98 hitung debit aliran dalam liter per menit.