Persamaan Logistik Stokastik - · PDF fileIsi Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak...

Persamaan Logistik Stokastik

Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

26. April 2014

Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 1 / 35

Isi Kuliah

Persamaan Logistik

Derau Putih dan Gerak Brown

Persamaan Diferensial Stokastik


Perluasan Model Logistik Stokastik


Persamaan Logistik


Model Pertumbuhan Populasi

Model Malthus (1798):

dN(t)

dt= rN(t) N(0) = N0 > 0,

dengan

N(t) adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t

r adalah laju pertumbuhan intrinsik

Solusi:N(t) = N0e

rt

Tidak realistis!Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 4 / 35

Model Pertumbuhan Populasi

Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):

Gb. 1 : sumber: en.wikipedia.org

dN(t)

dt= r(t)N(t)

(1− N(t)

K

), N(0) = N0 > 0, (1)

dengan

r : [0,∞)→ R fungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individudalam populasiK > 0 adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor dayadukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur,kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.


Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan denganpemisahan variabel.Solusi:

N(t) =N0K

N0 + (K − N0)e−∫ t0 r(s) ds

Khususnya, jika r(t) = r konstan:

N(t) =N0K

N0 + (K − N0)e−rt(2)

Perilaku jangka panjang:

r > 0: kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju keK :

limt→∞

N(t) = K

r = 0: populasi statis (sesuai dengan kondisi awal N0):

limt→∞

N(t) = N0

r < 0: terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusisecara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi):

limt→∞

N(t) = 0.


Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0:

Gb.2. : sumber: gummy-stu.org


Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0dengan berbagai kondisi awal:

Gb.3. : sumber: fr.wikipedia.org


Beberapa modikasi model logistik:1 Persamaan logistik dengan ambang kepunahan

Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasiterlalu kecil, sebab:

predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi,mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit,kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentanterhadap penyakit epidemik, dsb.

dN(t)

dt= r(t)N(t)

(N(t)

L− 1

)(1− N(t)

K

), 0 < L < K , N(0) = N0 > 0

2 Persamaan logistik stokastikPada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidaksepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifatprobabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (noise)):

dNt

dt= Nt

(1− Nt

K

)(α(t) + σ(t) · Dt)

N0 = Y > 0

Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dt

yang diketahui.


kurva logistik deterministik vs stokastik

deterministik:

stokastik:

Gb. 4 : sumber: wolfram.comHerry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 10 / 35

Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul

Apa artinya dan formulasi matematika dari:

Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)

Keluarga kuantitas acak (Nt)t≥0 yang diindeks oleh waktu t => prosesstokastik (stochastic processes)

Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan darigerak Brown)

Integral stokastik ∫ T

0

Nt · Dt dt

=> integral Ito atau integral Stratonovich

Persamaan diferensial stokastik

dNt = Nt

(1− Nt

K

)(α(t) + σ(t) · Dt) dt

=> persamaan integral stokastik


Derau Putih dan Gerak Brown


Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih

1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan

2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown

3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaanpanas/difusi

4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown

5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)

6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsitipe Eropa dalam keuangan

7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (whitenoise analysis)

8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanikakuantum dengan analisis derau putih

9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumusBlack-Scholes

10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerakBrown dimensi tinggi


Derau Putih (White Noise)

Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yangrusak (corrupted)

Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yangdapat didengar dengan intensitas yang sama

Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrumyang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahayaputih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.

Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasimatematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadakdan sangat besar.

Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwaderau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.


Derau Putih dan Gerak Brown:

Gb. 5 : sumber: http://technion.ac.il/ pavel/


Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt)t≥0 yang terdenisi pada sebuahruang peluang (Ω,F ,P) sehingga:

1 B0 = 0 P-hampir pasti2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments)3 Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed)4 P-hampir pasti t 7→ Bt(ω) kontinu

Gb. 6 : sumber:math.uiuc.edu

Partikel Brownian tidak memiliki laju:

Bt+ε − Bt

ε∼ N (0,

1

ε) =⇒ dBt

dt= limε→0

Bt+ε − Bt

εtidak ada!


Fakta:

Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifatkontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan

Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal

Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori

Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilistik dan analitiknyarelatif mudah

Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yangberbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi ∞, dalamarti:

E(DtDs) =

∫Re i(t−s)x dx = δ(t − s)

Denisi ini belum dapat diterima 100%.

Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teoridistribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektortopologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).


Persamaan Diferensial Stokastik


Persamaan diferensial dengan derau

dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt)Dt dt, X0 = Y

dituliskan sebagai persamaan diferensial stokastik

dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y

dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integral

stokastik

Xt = Y +

∫ t

0

f (s,Xs) ds︸︷︷︸integral deterministik

+

∫ t

0

σ(s,Xs) dBs︸︷︷︸integral stokastik

integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock,dsbintegral stokastik : integral Wiener, integral Ito, integral Stratonovich, integralRusso-Vallois, dsb


Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito

Theorem

Diberikan persamaan diferensial stokastik

dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y (3)

dengan

1 fungsi f (t, x) dan σ(t, x) terukur pada [0,T ]× R2 terdapat K > 0 sehingga untuk setiap t ∈ [0,T ] dan x , y ∈ R:

1 |f (t, x)− f (t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ K |x − y |,2 |f (t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K(1+ |x |2)

3 peubah acak Y memenuhi E(Y 2) <∞ dan, untuk setiap t > 0, bebasterhadap gerak Brown B

Maka terdapat sebuah solusi Xt dari (3) yang terdenisi pada [0,T ] yang kontinuP-hampir pasti, teradaptasi terhadap ltrasi yang dibangun oleh Y dan Bs , s ≤ t,memenuhi supt∈[0,T ] E(X 2

t ) <∞, serta merupakan proses Markov. Lebih lanjut,solusi ini bersifat tunggal lintasan-demi-lintasan, yakni apabila X dan Z dua

solusi, maka P(supt∈[0,T ] |Xt − Zt | = 0

)= 1.


Rumus Ito

Proses Ito adalah proses stokastik Xt yang dapat dituliskan dalam bentuk

dXt = f (t) dt + σ(t) dBt

dengan∫ t

0|f (s)| ds <∞ dan

∫ t

0|σ(s)|2 ds <∞.

Theorem

Apabila Xt adalah proses Ito dan g(t, x) ∈ C 2 ([0,∞)× R), makaY (t) = g(t,Xt) juga merupakan proses Ito dan berlaku

dY (t) =∂g

∂t(t,Xt) dt +

∂g

∂x(t,Xt) dXt +

1

2

∂2g

∂x2(t,Xt) (dXt)

2,

dengan (dXt)2 ditentukan menurut aturan

dt.dt = dt.dBt = dBt .dt = 0, dBt .dBt = dt.


Penurunan persamaan logistik stokastik

Dari persamaan logistik

dN(t)

dt= r(t)N(t)

(1− N(t)

K

), N(0) = N0 > 0

dengan memperhatikan gangguan acak (derau) pada laju pertumbuhan

r(t) = α(t) + σ(t).Dt (4)

diperoleh persamaan logistik dengan derau

dNt

dt= Nt

(1− Nt

K

)(α(t) + σ(t) · Dt) , N0 = Y > 0

Kita pilih derau Dt adalah derau putih Gaussian, jadi dapat dipandang

Dt=dBt

dt.

Dengan demikian diperoleh persamaan logistik stokastik

dNt = Nt

(1− Nt

K

)(α(t) dt + σ(t)dBt) , N0 = Y > 0 (5)


Eksistensi-Ketunggalan Solusi Positif

Theorem

Untuk setiap kondisi awal N0 sehingga N0 ∈ (0,K ) P-hampir pasti, terdapatdengan tunggal solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistikstokastik (5).

Ide bukti:

Teorema eksistensi-ketunggalan umum

Rumus Ito

Teorema Kolmogorov-Chentsov : Diberikan X = (Xt)t≥0 adalah prosesGaussian terpusat dan terdapat C , η > 0 sehingga untuk setiap s, t ≥ 0

E((Xt − Xs)2

)≤ C |t − s|η.

Maka untuk setiap β ∈(0, η

2

), terdapat modikasi Z dari X yang bersifat

kontinu Hölder order β.


Jelas bahwa Nt = 0 dan Nt = K adalah solusi dari (5). Sekarang, kita misalkanNt 6= 0 dan Nt 6= K .Sebut

g(t, x) := ln x ,

maka

g(t,Nt) = ln

(K − Nt

Nt

)= ln(K − Nt)− ln(Nt).

Selanjutnya, rumus Ito memberikan

dg(t,Nt)

= − dNt

k − Nt− (dNt)

2

2(K − Nt)2− dNt

Nt+

(dNt)2

2N2t

= −

((α(t)− σ(t)2

2+σ(t)2

2

(Nt

K

)2

+ σ(t)2Nt

K

)dt + σ(t) dBt

)


Jadi,K − Nt

Nt= CeΦt (6)

dengan

C =K − N0

N0

dan

Φt = −∫ t

0

((α(s)− 1

2σ(s)2 +

σ(s)2

2

(Ns

K

)2

+ σ(s)2Ns

K

)ds + σ(s) dBs

).

Terhadap kebergantungan terhadap kondisi awal, ada 2 kasus:1 0 < N0 < K , maka C > 0 P-hampir pasti, sehingga 0 < Nt < K , t ≥ 0,

P-hampir pasti, dan (6) menjadi

Nt =KN0

N0 + (K − N0)eΦt

2 0 < K < N0, maka C < 0 P-hampir pasti, sehingga 0 < k < Nt , t ≥ 0,P-hampir pasti, dan (6) menjadi

Nt =KN0

N0 − (K − N0)eΦt


Kasus khusus, apabila α(t) = α dan σ(t) = σ, maka

Nt =KN0

N0 ± (K − N0)eΨt

dengan

Ψt = −(αt − 1

2σ2t +

σ2

2K 2

∫ t

0

(Ns)2 ds +σ2

K

∫ t

0

Ns ds + σBt

).

Lebih lanjut, apabila σ = 0, maka diperoleh solusi persamaan logistikdeterministik (2):

Nt =KN0

N0 ± (K − N0)e−αt


Kestabilan solusi

Theorem

Diketahui Nt adalah solusi positif yang kontinu seragam dari persamaan logistikstokastik (5) dengan kondisi awal N0 ∈ (0,K ). Maka

1 Jika α > σ2, makalimt→∞

E(K − Nt)2 = 0

2 Jika α > σ2

2, maka

limt→∞

E(Nt) = K

3 Jika α < −σ2, makalimt→∞

E(Nt)2 = 0

4 Jika α < −σ2

2, maka

limt→∞

E(Nt) = 0

Ide bukti:

Metofe fungsi Lyapunov

Rumus ItoHerry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 28 / 35

Perluasan Model Logistik Stokastik


Cara memperluas model logistik stokastik

Salah satu cara memperbaiki model logistik stokastik adalah melihat kembalipersamaan logistik dengan derau

dNt

dt= Nt

(1− Nt

K

)(α(t) + σ(t) · Dt) , N0 = Y > 0

dan mempertimbangkan penggunaan derau Dt selain derau putih Gaussian.

Jadi, diperhatikan persamaan logistik stokastik

dNt = Nt

(1− Nt

K

)(α(t) dt + σ(t)dXt) , N0 = Y > 0

dengan Xt adalah sebuah proses stokastik yang lebih umum dari gerak Brown danditentukan berdasarkan permasalahan real yang dihadapi.

Secara umum, ada 2 macam proses stokastik yang biasa digunakan:

1 proses Levy

2 gerak Brown fraksional


Gerak Brown Fraksional

Gerak Brown fraksional dengan parameter Hurst H ∈ (0, 1) adalah prosesGaussian terpusat BH

t yang terdenisi pada sebuah ruang peluang (Ω,F ,P)dengan fungsi kovariansi

E(BHt BH

s ) =1

2

(t2H + s2H − |t − s|2H

).

Gb. 5 : sumber: iopscience.iop.org


Fakta:

Jika H = 1

2, maka BH

t = Bt=> gerak Brown fraksional adalah perumumandari gerak Brown

Untuk semua a > 0, BHat =d aHBH

t => serupa-diri dengan order H: sifatfraktal

Untuk semua h > 0, BHt+h − BH

h =d BHt => kenaikan stasioner

P-hampir pasti trayektori gerak Brown fraksional bersifat kontinu Hölderdengan order < H dan tidak terdiferensial di mana-mana => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan

Untuk H 6= 1

2, BH

t bukan semimartingale => kalkulus Ito tidak bisadigunakan!

Untuk H 6= 1

2, BH

t bukan proses Markov => memiliki memori! +: bergunauntuk pemodelan telekomunikasi, lalu lintas internet, keuangan, geologi, dsb,-: alat2 analitik seperti semigrup operator tidak dapat digunakan.


Beberapa cara untuk mendenisikan kalkulus stokastik terhadap gerak Brownfraksional:

Kalkulus lintasan-demi-lintasan (pathwise calculus) => integral Young

Kalkulus Malliavin (Malliavin calculus) => kalkulus variasi stokastik

Analisis derau putih (white noise analysis/Hida calculus) => gerak Brownfraksional didenisikan di ruang distribusi stokastik menggunakan operatorintegral/diferensial fraksional

Semuanya adalah area penelitian yang masih sangat aktif dan terus

berkembang


Daftar Pustaka

B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005

I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,Springer, 1999

T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An InniteDimensional Calculus, Kluwer, 1993

A. Tsoularis. Analysis of Logistic Growth Model, Res. Lett. Inf. Math. Sci.,(2001) 2, 23-46.

H. Schurz. Modeling, Analysis and Discretization of Stochastic LogisticEquations, Int. J. Num. Anal. and Mod., (2011) 4(2), 178-197.

M. Khodabin and N. Kiaee. Stochastic Dynamical Logistic PopulationGrowth Model, J. Math. Sci.: Advances and Applications, (2011) 11(1),11-29.


Terima kasih


Persamaan Logistik Stokastik - · PDF fileIsi Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak...

Documents

Transcript of Persamaan Logistik Stokastik - · PDF fileIsi Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak...