Persamaan Logistik Stokastik - Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan...

download Persamaan Logistik Stokastik - Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan Diferensial Stokastik Persamaan Logistik Stokastik Perluasan Model Logistik Stokastik

of 35

  • date post

    07-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    277
  • download

    16

Embed Size (px)

Transcript of Persamaan Logistik Stokastik - Kuliah Persamaan Logistik Derau Putih dan Gerak Brown Persamaan...

  • Persamaan Logistik Stokastik

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi

    Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

    26. April 2014

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 1 / 35

  • Isi Kuliah

    Persamaan Logistik

    Derau Putih dan Gerak Brown

    Persamaan Diferensial Stokastik

    Persamaan Logistik Stokastik

    Perluasan Model Logistik Stokastik

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 2 / 35

  • Persamaan Logistik

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 3 / 35

  • Model Pertumbuhan Populasi

    Model Malthus (1798):

    dN(t)

    dt= rN(t) N(0) = N0 > 0,

    dengan

    N(t) adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t

    r adalah laju pertumbuhan intrinsik

    Solusi:N(t) = N0e

    rt

    Tidak realistis!Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 4 / 35

  • Model Pertumbuhan Populasi

    Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):

    Gb. 1 : sumber: en.wikipedia.org

    dN(t)

    dt= r(t)N(t)

    (1 N(t)

    K

    ), N(0) = N0 > 0, (1)

    dengan

    r : [0,) R fungsi terintegral lokal adalah laju pertumbuhan individudalam populasiK > 0 adalah kapasitas ambang untuk mengakomodasi faktor-faktor dayadukung ekosistem seperti ketersediaan makanan dan air, temperatur,kelembaban, intensitas cahaya, kehadiran predator, penyakit, dsb.

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 5 / 35

  • Persamaan logistik (1) adalah PD nonlinear, tapi dapat diselesaikan denganpemisahan variabel.Solusi:

    N(t) =N0K

    N0 + (K N0)e t0 r(s) ds

    Khususnya, jika r(t) = r konstan:

    N(t) =N0K

    N0 + (K N0)ert(2)

    Perilaku jangka panjang:

    r > 0: kurva solusi berbentuk sigmoid dan bersifat stabil asimtotik menuju keK :

    limt

    N(t) = K

    r = 0: populasi statis (sesuai dengan kondisi awal N0):

    limt

    N(t) = N0

    r < 0: terjadi pengurangan laju pertumbuhan per kapita dan kurva solusisecara asimtotik menuju ke nol (kepunahan populasi):

    limt

    N(t) = 0.

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 6 / 35

  • Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0:

    Gb.2. : sumber: gummy-stu.org

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 7 / 35

  • Kurva solusi persamaan logistik (kurva logistik) untuk laju pertumbuhan r > 0dengan berbagai kondisi awal:

    Gb.3. : sumber: fr.wikipedia.org

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 8 / 35

  • Beberapa modikasi model logistik:1 Persamaan logistik dengan ambang kepunahan

    Pada kenyataannya kepunahan populasi dapat terjadi apabila ukuran populasiterlalu kecil, sebab:

    predasi dapat menghabiskan sisa individu dalam populasi,mencari pasangan untuk berkembang biak menjadi sulit,kurangnya keanekaragaman genetik yang mengakibatkan populasi rentanterhadap penyakit epidemik, dsb.

    dN(t)

    dt= r(t)N(t)

    (N(t)

    L 1)(

    1 N(t)K

    ), 0 < L < K , N(0) = N0 > 0

    2 Persamaan logistik stokastikPada kenyataannya parameter-parameter dalam persamaan logistik tidaksepenuhnya dapat ditentukan, ada faktor-faktor eksternal yang bersifatprobabilistik. Jadi perlu dipertimbangkan adanya derau (noise)):

    dNtdt

    = Nt

    (1 Nt

    K

    )((t) + (t) Dt)

    N0 = Y > 0

    Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dtyang diketahui.

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 9 / 35

  • kurva logistik deterministik vs stokastik

    deterministik:

    stokastik:

    Gb. 4 : sumber: wolfram.comHerry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 10 / 35

  • Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul

    Apa artinya dan formulasi matematika dari:

    Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)

    Keluarga kuantitas acak (Nt)t0 yang diindeks oleh waktu t => prosesstokastik (stochastic processes)

    Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan darigerak Brown)

    Integral stokastik T0

    Nt Dt dt

    => integral Ito atau integral Stratonovich

    Persamaan diferensial stokastik

    dNt = Nt

    (1 Nt

    K

    )((t) + (t) Dt) dt

    => persamaan integral stokastik

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 11 / 35

  • Derau Putih dan Gerak Brown

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 12 / 35

  • Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih

    1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan

    2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown

    3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaanpanas/difusi

    4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown

    5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)

    6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsitipe Eropa dalam keuangan

    7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (whitenoise analysis)

    8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanikakuantum dengan analisis derau putih

    9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumusBlack-Scholes

    10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerakBrown dimensi tinggi

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 13 / 35

  • Derau Putih (White Noise)

    Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yangrusak (corrupted)

    Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yangdapat didengar dengan intensitas yang sama

    Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrumyang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahayaputih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.

    Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasimatematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadakdan sangat besar.

    Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwaderau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 14 / 35

  • Derau Putih dan Gerak Brown:

    Gb. 5 : sumber: http://technion.ac.il/ pavel/

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 15 / 35

  • Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt)t0 yang terdenisi pada sebuahruang peluang (,F ,P) sehingga:

    1 B0 = 0 P-hampir pasti2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments)3 Bt Bs N (0, t s) (normally distributed)4 P-hampir pasti t 7 Bt() kontinu

    Gb. 6 : sumber:math.uiuc.edu

    Partikel Brownian tidak memiliki laju:

    Bt+ Bt

    N (0, 1

    ) = dBtdt

    = lim0

    Bt+ Bt

    tidak ada!

    Herry Pribawanto SuryawanProgram Studi Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Sanata Dharma Yogyakarta (Mat USD)MAG-D ITB, Sabtu 26 April 2014 26. April 2014 16 / 35

  • Fakta:

    Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifatkontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan

    Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal

    Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori

    Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilistik dan analitiknyarelatif mudah

    Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yangberbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi , dalamarti:

    E(DtDs) =Re i(ts)x dx = (t s)

    Denisi ini belum dapat diterima 100%.

    Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teoridistribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektortopologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976