Probabilitas ( Peluang )

P(A) : Peluang kejadian A n(A) : Banyaknya kejadian A n(S) : Banyaknya ruang sampel

)()()(SnAnAP

Contoh. 1

Dari seperangkat kartu BridgeTentukan peluang :a). Terambilnya kartu hatib). Terambilnya kartu merahc). Terambilnya kartu Asd). Terambinya kartu bilangan prima

Jawab n(S) = 52 ( kartu bridge tanpa Joker )

a). n(A) = 13 ; P(A) = n(A)/n(S) =13/52 = ¼

b). n(B) = 26 ; P(B) = n(B)/n(S) = 26/52 = ½

c). n(C) = 4 ; P(C) = n(C)/n(S) = 4/52 = 1/13

d). n(D) = 16 ; P(D) = n(D)/n(S) = 16/52 = 4/13

Contoh. 2

Diberikan sebuah dadu yang setimbang

Tentukan peluang :a). Munculnya mata dadu 5b). Munculnya mata dadu genapc). Munculnya mata dadu primad). Munculnya mata dadu kurang dari

5e). Munculnya mata dadu 7

Jawaba). A={5}

n(A)=1 ; P(A)=1/6b). B={2,4,6}

n(B)=3; P(B)=3/6=1/2c). C={2,3,5}

n(C)=3; P(C)=3/6=1/2d). D={1,2,3,4}

n(D)=4; P(D)=4/6=2/3e). E={ } n(E)=0; P(E)=0/6=0

Contoh.3Peluang dari distribusi

Frekuensi Dari suatu populasi diperoleh data

Sbb : 1 1 2 3 3 4 4 4 5 6

Tentukan peluang :

a). P(X>4)b). P(X<5)c). P(X=4)

Jawab

a). P(X>4) = 2/10 = 1/5

b). P(X<5) = 8/10 = 4/5

c). P(X=4) = 3/10

Ruang Sampel (S)Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

Contoh 1Pada pelemparan 1 koinRuang Sampel = {A,G}Contoh 2Pelemparan 1 daduRuang Sampel = {1,2,3,4,5,6}

Prinsip PerkalianAdalah jika operasi pertama dapat dilakukan dengan r cara dan setiap cara dilakukan dengan operasi kedua dengan s cara, maka kedua operasi itu secara bersama dilakukan dengan r x s cara

Contoh 1Pada pemilihan ketua dan sekretaris Senat Mahasiswa yang terdiri dari 4 calon untuk ketua dan 5 calon untuk untuk sekretaris.Berapa banyak kemungkinan memilih untuk menduduki jabatan ketua dan sekretaris ?Jawab : 4 x 5 = 20 cara

Contoh 2

Berapa banyak bilangan ratusan yang dapat disusun dari angka-angka : {0,1,2,3,4,5,6} dengan : a. Pengulanganb.Tanpa pengulangan

Jawab :a. 6 x 7 x 7 = 294b. 6 x 6 x 5 = 180

Permutasi

Adalah susunan berbeda yang dibentuk dari n unsur yang diambil secara keseluruhan atau sebagian.

Defenisi 1Permutasi n dari n unsur adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari n unsur, urutan diperhatikan dan unsur-unsur tiap kelompok tidak berulang P(n,n)

Faktorial

Dinotasikan Sebagai : n!

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)…(3)(2)(1)dan diasumsikan :1! = 1

0! = 1

Defenisi 2

Permutasi k dari n unsur adalah himpunan n buah unsur yang tiap kelompok terdiri dari k unsur dengan k<n, urutan diperhatikan dan unsur-unsur dalam tiap kelompok tidak berulang;

)!(!),(knnknP

Contoh 1

Berapa banyaknya permutasi jika tujuh unsur {a,b,c,d,e,f,g} dipermutasikan tiga-tiga ?

Jawab :n = 7 dan k = 3

210!4!4567

!4!7

)!37(!7)3,7(

xxxP

Contoh 2

Lima orang laki-laki (L) dan tiga orang wanita (W) akan duduk pada delapan kursi yang tidak melingkar.

a. Berapa banyaknya cara mereka duduk?b. Berapa banyak cara mereka duduk, jika laki-laki dan wanita duduk mengelompok?c. Berapa banyak cara mereka duduk, jika hanya wanita yang mengelompok?

a. Kasus ini bebas tanpa syaratBerarti 8 orang duduk di 8 kursiBanyak cara = P(8,8) = 8! = 40.320 cara

b. Ada 2 kemungkinan mereka duduk berkelompok5L 3W atau 3W 5L

5! 3! + 3! 5!Banyak cara : 2 x 5!3! = 2 X 120 X 6 = 1.440 cara

c. Andaikan kelompok ketiga wanita adalah X, maka:L L L L L X

6! 3!

Banyaknya cara = 6! X 3! = 4.320 cara

Jawab

Permutasi dengan Unsur-unsur Sama

Banyaknya permutasi yang berbeda dari n buah unsur, dimana terdapat unsur-unsur yang sama n1, n2, ..., nk dan unsur yang sama tidak dibedakan serta n1+ n2 +...+ nk = n adalah :

!!!!)...;(

2121

kk nnn

nnnnnP

ContohBerapa banyaknya permutasi (susunan huruf berbeda ) yang dapat disusun dari unsur-unsur kata “ mamalia“, bila :

a. Tanpa syarat tambahanb. Huruf terakhir selalu a

Jawab :

180!1!1!2!2

!6)1122;6(.

420!1!1!3!2

!7)1132;7(.

Pb

Pa

KombinasiDefinisi 3Kombinasi k dari n unsur adalah himpunan n unsur yang tiap kelompok dari unsur dengan k<n, urutan tidak diperhatikan dan unsur-unsur dalam tiap kelompok tidak berulang;

)!(!!),(knk

nknC

Contoh

Suatu tim panitia terdiri dari 4 orang, dipilih dari 9 orang laki-laki dan 6 orang wanita.Berapa banyaknya panitia yang berbeda dapat dibentuk jika :

a. Tanpa ada syarat lainb. Tim terdiri dari 2 laki-laki dan 2 wanitac. Keempat panitia itu tidak boleh laki-laki atau wanita saja

Jawab

224.1141355.1)}4,6()4,9({)4,15(.5401536)2,6()2,9(.

365.1!11!4!15)4,15(.

CCCcxxCCb

Ca

Gabungan dan Irisan Kejadian

Gabungan dua kejadian A dan B adalah suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari semua unsur ruang sampel termasuk unsur kejadian A atau termasuk unsur kejadian B atau termasuk keduanya.

Irisan dua kejadian A dan B adalah suatu kejadian yang unsurnya terdiri dari semua unsur ruang sampel yang sekaligus termasuk unsur kejadian A dan kejadian B

Peluang Gabungan dan Irisan Kejadian

)()()(

)()()()(

)()()(

SnBAnBAP

SnBAnBnAn

SnBAnBAP

Kejadian Majemuk Dua kejadian saling

lepas ( Eksklusif )

Dua kejadian tidak saling lepas

Dua Kejadian Saling Lepas (Eksklusif)

Dua kejadian A dan B saling lepas jika dan hanya jika tidak ada unsur A yang juga merupakan unsur B atau sebaliknya

0)(:{},

)()()(

BAnsehinggaBAkarena

BPAPBAP

Dua Kejadian Tidak Saling Lepas

Dua kejadian A dan B tidak saling lepas jika dan hanya jika ada unsur A yang juga merupakan unsur B atau sebaliknya

0)(:{},

)()()()(

BAnsehinggaBAkarena

BAPBPAPBAP

ContohPada pengambilan 1 kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge.Berapa peluang mendapatkan kartu As atau King.Jawab :A kejadian mendapatkan kartu AsB kejadian mendapatkan kartu King

132

524

524)()()( BPAPBAP

ContohPada pengambilan 1 kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge.Berapa peluang mendapatkan kartu As atau Kartu berwarna MerahJawab :A kejadian mendapatkan kartu AsB kejadian mendapatkan kartu Merah

263

522

524

524

)()()()(

BAPBPAPBAP