Materi Permutasi Dan Kombinasi

KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : PERMUTASI

MATEMATIKA DISKRIT

Oleh: Yunissa Rara FahrezaAkuntansi Teknologi Sistem Informasi

ILUSTRASI 1Misal ada 3 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?

MATEMATIKA DISKRIT 2

Kelereng

m k hKantong

1 2 3

Tabung 1 Tabung 2 Tabung 3 Urutan

m

hm

k

k

h

h

mk

m

kmh

khmhmk

hkm

k

h

mh

k

mkh

mhk

ILUSTRASI 2

Misal ada 6 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m), kuning (k) hijau (h), biru (b), ungu (u) dan coklat (c). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng. Berapa jumlah urutan yang berbeda yang mungkin dibuat dari penempatan kelereng ke dalam kaleng-kaleng tersebut ?


Kelereng

Kantong

1 2 3

m k h b u c

n = banyaknya objekr = pemilihan objekSehingga :

n = 6r = 3

DEFINISI

Permutasi adalah : jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek

Permutasi merupakan bentuk aplikasi dari kaidah perkalian

Sehingga permutasi dari n objek (pada ilustrasi a):

!1.221 nnnn

!!

1.221),(rn

nnnnPrnP n

r


• Jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek disebut dengan permutasi-r (pada ilustrasi b ), n r :

CONTOH 1

Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KULIAH” ?


SOLUSI

Kata “KULIAH” n = 6 Ada 2 cara penyelesaian :

Cara 1 :Anggap kata “KULIAH” sebagai kelereng yang berbeda warna dan 6 buah tabung terisi dengan 1 buah kelereng pada setiap tabungSehingga :

(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 buah kata Cara 2 :

Dengan menggunakan rumus permutasi-r :n = 6 ; r = 6

Sehingga :

katabuah

PP

720!6

!0

!6

!66

!6123456)6,6( 6

6


CONTOH 2

Tiga buah ujian dilakukan dalam periode lima hari (Senin sampai Jumat). Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada 2 ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama ?


SOLUSI Ada 2 cara penyelesaian :

Cara 1 : Ujian ke-1 dapat ditempatkan pada salah satu dari 5

hari Ujian ke-2 dapat ditempatkan pada salah satu dari 4

hari Ujian ke-3 dapat ditempatkan pada salah satu dari 3

hari

Jumlah pengaturan jadwal ujian :

(5)(4)(3) = 60 pengaturan jadwal Cara 2 :

Dengan menggunakan rumus permutasi :

jadwalpengaturan

PP

60345

12

12345

!2

!5

!35

!5)3,5( 5

3


CONTOH 3

Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula


SOLUSI String n1 = 26 (a, b, …, z) Angka n2 = 10 (0, 1, …, 9) Untuk mengisi posisi 4 buah huruf yang berbeda

(n1=26; r1=4):

8910!7

!78910

!7

!10

!310

!10)3,10( 10

3

PP

23242526!22

!2223242526

!22

!26

!426

!26)4,26( 26

4

PP


• Untuk mengisi posisi 3 buah angka yang berbeda (n2=10; r2=3):

• Karena string disusun dari 4 buah huruf dan 3 buah angka, maka jumlah string yang dapat dibuat :

P(26,4) x P(10,3) = (26)(25)(24)(23)(10)(9)(8) = 258.336.000

PERMUTASI MELINGKAR

Permutasi melingkar dari n objek adalah : Penyusunan objek-objek yang mengelilingi

sebuah lingkaran (atau kurva tertutup sederhana)

Jumlah susunan objek yang mengelilingi lingkaran :

(n – 1)!


CONTOH 4

Ada 10 orang yang duduk pada satu barisan kursi terdiri dari 10 kursi yang mengelilingi meja melingkar. Berapa banyak cara pengaturan tempat duduk bagi mereka ?


SOLUSI

Kursi = 10 n = 10 Objek pertama dapat ditempatkan

dimana saja pada lingkaran dengan 1 cara

Sisa n – 1 objek lainnya dapat diatur searah jarum jam (misalnya) dengan :

P(n – 1, n – 1) = (n – 1) ! cara Sehingga :

P(9, 9) = 9 !


LATIHAN

1. Diketahui X = {a,b,c}, maka banyaknya permutasi-22. Berapa banyak cara memilih seorang ketua, wakil ketua,

sekretaris dan bendahara dari kelompok yang terdiri dari 10 orang

3. Berapa banyak cara mengurutkan nama 25 orang mahasiswa ?

4. Jika suatu toko menjual 3 ukuran T-shirt dengan 6 warna berbeda dan setiap T-shirt bisa bergambar naga, buaya atau tidak bergambar sama sekali, berapa jenis T-shirt yang dapat anda beli ?

5. Berapa jumlah kata (terdiri dari 8 huruf) yang dapat dibentuk dari 26 huruf, tanpa memperhitungkan arti kata yang terbentuk. Buatlah untuk 2 kemungkinan (boleh mengulang huruf atau tidak boleh mengulang huruf)

6. Enam orang melamar pekerjaan untuk 3 pekerjaan yang sama, yang masing-masing akan ditempatkan di Surabaya, Sidoarjo dan Malang. Berapakah kemungkinan susunan orang yang diterima untuk menempati posisi tersebut ?


LATIHAN (CONT.)

7. Berapa banyak permutasi bilangan yang dibentuk dari {1, 2, …, 8}

8. Tentukan banyaknya “kata” yang terbentuk dari huruf-huruf dalam kata “SELEBES” jika setiap “kata” :

a. Berawal dan diakhiri dengan huruf E b. Tiga huruf E berdampingan satu sama lain

9. Lima belas pemain basket akan direkrut oleh 3 tim profesional di Jakarta, Bandung dan Surabaya, sedemikian sehingga setiap tim akan merekrut 5 orang pemain. Dalam berapa banyak cara dapat dilakukan ?

10. Sebuah bioskop mempunyi jajaran kursi yang disusun per baris. Tiap baris terdiri dari 6 tempat kursi. Jika 2 orang akan duduk, berapa banyak pengaturan tempat duduk yang mungkin pada suatu baris ?


KOMBINATORIAL & PELUANG DISKRIT : KOMBINASI

MATEMATIKA DISKRIT

Oleh: Yunissa Rara FahrezaAkuntansi Teknologi Sistem Informasi

ILUSTRASIMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.


Kelereng

m hKaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3

sama

sama

sama

3 cara

ILUSTRASI (CONT.)

Jumlah cara memasukkan kelereng ke dalam kaleng


3

2

23

!2

!1

!3

!2

2,3

2

2,3

PP

DEFINISI

Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil

dari n buah elemen Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi Perbedaan permutasi dengan kombinasi :

Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkan Kombinasi : urutan kemunculan diabaikan

Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

!!

!),(

rnr

nC

r

nCrnC n

r


• C(n,r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek

INTERPRETASI KOMBINASI

1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1} 3 buah{2,3} = {3,2}

3!1!2

23

!23!2

!3

2

3)2,3( 3

2

CCC


INTERPRETASI KOMBINASI (CONT.)

2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak pentingContoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai panitia, dimana panitia merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam panitia kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota panitia yang terdiri dari 5 anggota panitia yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :

caraCCC 15504!520!5

!20

5

20)5,20( 20

5


CONTOH 1

Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?


SOLUSI

Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}Sehingga :

caraCCC 4!34!3

!4

3

4)3,4( 4

3


CONTOH 2

Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?


SOLUSI

Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7 hari

Maka :

caraCCC 35!37!3

!7

3

7)3,7( 7

3


CONTOH 3

Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)

a) Berapa banyak pola bit yang terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1

sejumlah genap ?


SOLUSI 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka :

a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)::Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

caraCCC 56!38!3

!8

3

8)3,8( 8

3


c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128


CONTOH 4

Sebuah klub beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih panitia yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?


SOLUSI

Pria = 7 orang Wanita = 5 orang Panitia = 4 orang, jumlah pria lebih banyak

daripada jumlah wanita Maka :

Panitia terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

Panitia terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

Sehingga jumlah cara pembentukan panitia seluruhnya :

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara


CONTOH 5

Sebuah rumah penginapan ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang.

Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?


SOLUSI Diketahui :

Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang

Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang.

Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3) Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600

atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600


PERMUTASI DAN KOMBINASI BENTUK UMUM Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda

warna (ada beberapa bola yang warnanya sama)

n1 bola diantaranya berwarna 1

n2 bola diantaranya berwarna 2 …

nk bola diantaranya berwarna k

Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?


Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !

Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1

n2! cara memasukkan bola berwarna 2 …

nk! cara memasukkan bola berwarna k Sehingga permutasi n buah bola dikenal

dengan permutasi bentuk umum :

!!...!

!

!!...!

,),...,,;(

212121

kkk nnn

n

nnn

nnPnnnnP


Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak

ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak

ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2 kotak

ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k ditempatkan

dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola ke dalam

kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :

!!...!

!

!...!

!...

!!

!

!!

!

,......,,),...,,;(

21

121

121

212

1

11

12121121

k

kkk

k

kkk

nnn

n

nnnnnn

nnnn

nnnn

nn

nnn

n

nnnnnCnnnCnnCnnnnC


Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :

!!...!

!),...,,;(),...,,;(

212121

kkk nnn

nnnnnCnnnnP


CONTOH 6

Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?


SOLUSI

S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S

Ada 2 cara :i. Permutasi :

Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

ii. Kombinasi :Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650

buah


CONTOH 7

Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?


SOLUSI

Diketahui :n1 = 3n2 = 2

n3 = 2n4 = 5

Jumlah cara pewarnaan :

cara

PPnnnnnP 166320

!5!2!2!3

!12

!5!2!2!3

12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321


n = 12

KOMBINASI PENGULANGAN

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka

jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n,r)

Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r)

C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan


CONTOH 8

Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali.

Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?


SOLUSI Diketahui :

n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk

20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :

C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara


CONTOH 9

Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti.

Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)


SOLUSI Diketahui :

n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti

Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)


CONTOH 10

Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama.

Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?


SOLUSI

Diketahui :n = 6 6 buah mata dadur = 3 3 dadu dilemparkan

bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda yang

mungkin terjadi adalah :C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

= C(8,3) = 56 cara


LATIHAN 1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8

orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang terdiri dari 4 orang jika :

a. Tidak ada batasan jurusanb. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik

Informatikac. Semua anggota panitia harus dari jurusan Teknik Elektrod. Semua anggota panita harus dari jurusan yang samae. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

2. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)

3. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?


LATIHAN (CONT.)

4. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?

5. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.a. Berapa banyak cara dapat dibentuk sebuah panitia

10 orang ? b. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria harus

sama dengan banyaknya wanitac. Ulangi pertanyaan (a) jika panitia harus terdiri dari 6

pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita

6. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?


LATIHAN (CONT.)5. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan

5 orang wanita. Mereka akan membentuk panitia yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah panitia yang dapat dibentuk jika panitianya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wqanita ?

7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?

9. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

a. Tidak ada huruf pengulanganb. Boleh ada huruf pengulanganc. Tidak boleh ada huruf yang diulang tetapi huruf d

harus adad. Boleh ada huruf yang berulang, huruf d harus ada


LATIHAN (CONT.)

10. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?


Materi Permutasi Dan Kombinasi

Documents

Transcript of Materi Permutasi Dan Kombinasi