Permutasi n Kombinasi

Permutasi dan Kombinasi

PermutasiPermutasi merupakan penyusunan kumpulan angka/objek dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan. Contohnya ,dalam kelas terdapat 3 orang yang akan dipilih 2 orang untuk menjadi ketua dan wakil ketua kelas. Banyak cara untuk memilih 2 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, ketiga orang kandidat itu adalah A, B,  dan C. Posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara, posisi wakil ketua dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 2 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 × 2 = 6 cara. Salah satu ciri permutasi yaitu ada posisi yang berbeda yang akan ditempati.

Rumus PermutasiBanyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur  k adalahdengan k <= n

Contoh Soal1. Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

2. Misal sobat rumushitung beri 5 angka 3,4,5,6, dan 7 dan rumushitung minta sobat untuk membuat angka yang terdiri dari 3 digit yang tidak berulang, sekarang berapa banyak bilangan yang lebih dari 400 yang bisa sobat hitung buat?

Jawab :

karena bilangannya lebih dari 400 maka kotak pertama bisa diisi dengan 4 angka yaitu 4,5,6, dan 7

karena tidak boleh berulang maka kotak kedua dan ketiga masing-masing bisa diisi 4 angk dan 3 angka

jadi totol angka yang lebih dari 400 ada 4 x 4 x 3 = 48 angka

4 4 3

Permutasi Unsur-unsur  yang sama

Misal sobat kita kasih kata 5 huruf RUMUS, maka akan ada permutasi yang berulang karena ada dua unsur (huruf) yang sama yang sebenarnya merupakan 1 permutasi. Jika kita masukkan ke rumus yang biasa maka, permutasi 5 dari 5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Tapi coba sobat amati

diantara 120 permutasi pasti ada yang berulang (double) karena ada 2 huruf yang sama. Berapa sebenarnya jumlah permutasi yang benar? Jumlah permutasi jika ada unsur-unsur yang sama bisa dicari dengan rumus

 

jadi dari 5 huruf R U M U S bisa dibuat susunan sebanyak = 5! / 2! = 3 x 4 x 5 = 60 cara. Misal huruf pembentuk MATEMATIKA maka = 10! / 2! 3! 2! = 151.2002! 3! 2! –> 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T

Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu.contoh :5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun kursi para calon presiden tersebut?Jawab : (5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x4 = 24lainhalnya jika yang akan dicari permutasinya adalah objek-objek yang sejenis, misalnya sobat punya 5 buah kelereng yang akan disusung melingkar. Berpa cara untuk menyusunnya?Jawab : (5-1)!/2 = 24/2 = 12

KombinasiKalu sobat diminta memilih 3 power ranger diantara 5 ranger untuk berangkat ke medan perang ranger apa saja yang akan sobat pilih? Hehehe. Ketika sobat memilih 3 ranger, berarti sobat akan membuat kombinasi. Dalam kombinasi ini tidak pandang yang namanya posisi. Itulah perbedaan antara permutasi dan kombinasi. Kalau permutasi memperhatikan posisi kalau kombinasi tidak. Misal sobat pilih ranger merah, biru, dan hijau ini akan sama dengan biru, hijau, dan merah atau, hijau, biru, dan merah. Itulah yang disebut kombinasi. Jadi banyaknya kombinasi ranger yang bisa sobat pilih bisa.dicari dengan rumus

Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi

Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain)

Jawab :

Jadi Antonio Conte punya 167.960 kombinasi . Selain soal-soal di atas ada soal yang sering keluar mengenai permutasi dan kombinasi yaitu soal jabat tangan. Contohnya, misal dalam sebuha pesta hadir 60 orang dan masing-masing saling berjabat tangan. Berapa jumlah jabat tangan yang terjadi?

untuk menjawab soal permutasi dan kombinasi tersebut mudah, kita pakai logika saja.Jika semua saling bersalaman satu sama lain maka 1 orang akan bersalaman dengan 59 orang. Jika ada 60 orang maka 59 x 60. Akan tetapi ketika A jabat tangan dengan B akan sama dengan B jabatan dengan A jadi harus dibagi 2. Jumlah jabat tangan yang terjadi = 59 x 60 /2 = 1770 jabat tangan.

So’al Dan Jawaban Permutasi Dan Kombinasi

PERMUTASI1.  Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?Jawaban:3P3 = 3!= 3 × 2 × 1= 6 cara

2.  Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?Jawaban:6P2 = 6!/(6-2)!= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)= 720/24= 30 cara

3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?Jawaban:P5 = (5-1)!= 4.3.2.1= 24 cara

4. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning, dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?Jawaban:33 = 3.3 = 9 cara

5. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?Jawaban:P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!= 840 cara

6.  Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?Jawaban:Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

7.  Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?Jawaban:nPx = n!3P3 = 3!= 1 x 2 x 3= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

8.  Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?Jawaban:nPx = (n!)/(n-x)!4P2 = (4!)/(4-2)!= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .9. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.Jawaban:Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.Maka banyaknya cara duduk ada :7P3 = 7!/(7-3)!= 7!/4!= 7.6.5= 210 cara

10. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?Jawaban:Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

11. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, Cjawab:Jika A sebagai urutan I : ABCJika B sebagai urutan I : BCAJika C sebagai urutan III : CABJika banyak unsur n=4 –> A, B, C, Djadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

12. Permutasikan semua huruf dari MISSISSIPPI !Jawaban:11! / [ 1! 4! 4! 2! ] = 34650

 

13.  Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu. Secara umum Banyak permutasi k unsur dari n unsur adalah :

Npk = n! / (n-k) !

Jawab:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara

14.    Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?

Jawab:

Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.

15.    Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C

jawab:

Jika A sebagai urutan I : ABC

Jika B sebagai urutan I : BCA

Jika C sebagai urutan III : CAB

Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D

jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6

KOMBINASI1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?Jawaban:

4C3 =4! / 3! (4-3)!= (4.3.2.1) / 3.2.1.1= 24 / 6= 4 cara

2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.Jawaban:nCx = (n!)/(x!(n-x)!)4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).

3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.Jawaban:10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

4) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.Jawaban:3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2

5) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakanb. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.Jawaban:a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 carab. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara

6) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ….Jawaban:6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara

7) Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?Jawaban:7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara

8) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.Jawaban:5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara

9) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?Jawaban:Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 caraBanyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 caraJadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara

10) Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?Jawaban:9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36 cara

11) 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!Jawaban:Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360

Peluang lulusan SMK dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah\ 0,75.\ Jika\ seorang\ lulusan\ SMK\ mendaftar\ pada\ 24\\perusahaan,\ maka\ ada\ harapan\ dia\ dapat\ diterima\ oleh\ ....\\a.\ \ 20\ perusahaan b.\ \ 18\ perusahaan c.\ \ 16\ perusahaan\\d.\ \ 14\ perusahaan e. 12\ perusahaan

Jawaban: b

Dalam\ botol\ pertama\ terdapat\ 2\ tablet\ merah\ dan\ 3\ tablet\ putih.\\Dalam\ botol\ kedua\ terdapat\ 3\ tablet\ merah\ dan\ 4\ tablet\ putih.\\Dari\ masing-masing\ botol\ diambil\ satu\ tablet.\ Peluang\ kedua\ tablet\\yang\ terambil\ berwarna\ merah\ adalah\ ....a.\ \ \frac{1}{35}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b.\ \ \frac{3}{35}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c.\ \ \frac{4}{35}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d.\ \ \frac{5}{35}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ e.\ \ \frac{6}{35}

Jawaban: e

Soal No. 1Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola berwarna merah!

PembahasanData:Jumlah bola semuanya ada 8.Jumlah bola warna merah ada 5.

Peluang terambilnya satu bola warna merah adalah:P(1 bola merah) = 5/8

Soal No. 2Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil satu buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya satu bola berwarna putih!

PembahasanData:Jumlah bola semuanya ada 8.Jumlah bola warna putih ada 3.

Peluang terambilnya satu bola warna putih adalah:P(1 bola putih) = 3/8

Soal No. 3Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna merah!

PembahasanTotal jumlah bola ada 8.Bola merah ada 5

Dikehendaki 2 bola terambil keduanya berwarna merah.

Karena jumlah semua bola ada 8, maka jika diambil 2 buah bola, banyak cara pengambilannya ada:

Karena jumlah bola merah ada 5, maka jika diambil 2 bola merah, banyak cara pengambilannya ada:

Sehingga peluang terambilnya keduanya  bola warna merah adalah:

Soal No. 4Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih.

Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak.

Tentukan peluang terambilnya kedua bola berwarna putih!

Pembahasan

Jumlah semua bola ada 8Bola putih ada 3

Dikehendaki 2 bola terambil keduanya putih

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8 bola yang ada:

- Banyak Cara pengambilan 2 bola warna putih dari 3 bola putih yang ada

Sehingga peluang terambilnya dua bola keduanya putih adalah

Soal No. 5Dalam sebuah kotak terdapat 8 buah bola kecil sebesar kelereng terdiri dari 5 buah bola berwarna merah dan 3 bola berwarna putih. Dari dalam kotak diambil 2 buah bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil itu adalah satu bola merah dan satu bola putih!

PembahasanJumlah bola total ada 8.Bola merah ada 5, bola putih ada 3.

Dikehendaki yang terambil itu 1 merah dan 1 lagi putih.

- Banyak Cara pengambilan 2 buah bola dari 8 bola yang ada:

- Banyak cara pengambilan 1 bola merah dari 5 bola merah dan 1 bola putih dari 3 bola putih ada

Sehingga peluang yang terambil itu 1 bola merah dan 1 bola putih adalah

Soal No. 6Di dalam sebuah kotak terdapat 6 bola warna putih, 3 bola warna merah dan 1 bola warna kuning. Akan diambil 3 buah bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola warna merah dan 1 warna kuning adalah...A. 3/100B. 6/100C. 3/120D. 9/120E. 4/5(Peluang - Ebtanas 2001 - Kunci : C. 3/120)

Soal No. 7Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah...A. 7/44B. 10/44C. 34/44D. 35/44E. 37/44(Peluang - Soal ebtanas 1997 - Kunci : E. 37/44)

Soal No. 8Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola berwarna merah dan 4 bola berwarna putih. Dari dalam kotak tersebut diambil satu buah bola berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang terambil kedua bola berwarna merah jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian!

PembahasanData soal:Kasus bola dalam satu kotak dengan beberapa kali pengambilan tanpa dikembalikan bola yang sudah terambil.

Di sini ada 6 bola merah dan 4 bola putih, jadi totalnya ada 10 buah bola.

Pengambilan PertamaPeluang terambilnya 1 bola merah:Bola merah 6, total bola ada 10.

P(A) = 6/10

Pengambilan KeduaPeluang terambilnya 1 bola merah :

Bola merah tinggal 5, total bola jadi 9

P(B|A) = 5/9

Sehingga Peluang terambilnya bola merah pada pengambilan pertama dan bola merah pada pengambilan kedua (tanpa pengembalian) adalah:6/10 × 5/9 = 30 / 90 = 1/3

Soal No. 9Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng berwarna hijau dan 5 kelereng berwarna kuning. Dari dalam kantong tersebut diambil satu buah kelereng berturut-turut sebanyak dua kali. Tentukan peluang terambil kedua kelereng berwarna kuning jika pengambilan dilakukan tanpa pengembalian!

PembahasanSeperti nomor 8.

Total kelereng mula-mula 15 buah.

Pengambilan pertama terambil kuning.P(A) = 5/15 = 1/3

Pengambilan kedua terambil kuningKelereng kuning tersisa 4, jumlah kelereng total masih 14. P(B|A) = 4/14 = 2/7

Sehingga peluangnya adalah:1/3 × 2/7 = 2/21

Soal No. 1Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan peluang munculnya angka genap atau angka lebih besar dari 3.

PembahasanAda dua kejadian, namakan kejadian A dan kejadian B dengan ruang sampel pada pelemparan satu dadu.

A = kejadian munculnya angka genap.B = kejadian munculnya angka lebih besar dari 3.

Selengkapnya data-datanya terlebih dahulu adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6

A = {2, 4, 6}n(A) = 3maka peluang kejadian AP (A) = n (A) / n(S) = 3 / 6

B = {4, 5, 6}n(B) = 3 maka peluang kejadian BP (B) = n(B) / n(S) = 3 / 6

Kelihatan ada dua angka yang sama dari A dan B yaitu angka 4 dan 6, jadikan irisannya, A ∩ BA ∩ B = {4, 6}n(A ∩ B) = 2Sehingga peluang A ∩ BP (A ∩ B) = n (A ∩ B) / n (S) = 2 / 6

Rumus peluang kejadian "A atau B" P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)= 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6 = 2/3

Soal No. 2Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah angka kedua dadu sama dengan 3 atau 10 adalah....A. 2/36B. 3/36C. 4/36D. 5/36D. 6/36

PembahasanDua kejadian pada pelemparan dua buah dadu, n(S) = 36,A = jumlah angka adalah 3B = jumlah angka adalah 10

Dari ruang sampel pelemparan dua buah dadu, diperolehA = {(1, 2), (2, 1)}B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}

n (A) = 2 → P(A) = 2/36n (B) = 3 → P(B) = 3/36Tidak ada yang sama antara A dan B, jadi n (A ∩B) = 0

Sehingga peluang "A atau B" adalahP (A ∪ B) = P(A) + P(B)= 2/36 + 3/36

= 5/36

Soal No. 3Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah....A. 4/5B. 7/10C. 3/6D. 2/6E. 1/10

PembahasanJumlah semua bola yang ada dalam kantong adalah

4 + 3 + 3 = 10 bola. Dari 10 bola diambil satu bola.

A = kejadian terambil bola merah.B = kejadian terambil bola hitam.

Bola merah ada 4, sehingga peluang terambil bola merah:P(A) = 4/10

Bola hitam ada 3, sehingga peluang terambil bola hitam:P(B) = 3/10

Peluang terambil bola merah atau hitam:P(A∪B) = P(A) + P(B)= 4/10 + 3/10= 7/10

Catatan:

UntukP (A ∪ B) = P(A) + P(B)

Dinamakan kejadian saling asing atau saling lepas.

 

Soal No. 4Dalam sebuah kelompok 30 siswa, 10 orang suka matematika, 15 orang suka Fisika dan 5 orang suka kedua-duanya. Jika dipilih satu orang dari kelompok tersebut, tentukan peluang yang terpilih itu:a) suka matematika dan fisikab) suka matematika atau fisika

PembahasanA = kejadian yang terpilih suka matematikaB = kejadian yang terpilih suka fisikaP(A) = 10/30P(B) = 15/30

a) suka matematika dan fisikayang suka matematika dan fisika ada 5 orang, dari 30 anakP(A∩B) = 5/30

b) suka matematika atau fisikaP(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 10/30 + 15/30 − 5/30= 20/30

Soal No. 5Kotak I berisi 2 bola merah dan 3 bola putih. Kotak II berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Dari masing-masing kotak diambil 1 bola. Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalah....A. 1/40B. 3/20C. 3/8D. 2/5E. 31/40

PembahasanP(A) = peluang terambil bola merah dari kotak I.Dalam kotak I ada 2 bola merah dari 5 bola yang ada di kotak A. Sehingga peluang terambilnya bola merah dari kotak I adalahP(A) = 2/5

P(B) = peluang terambil bola putih dari kotak II. Dalam kotak II ada 3 bola putih dari 8 bola yang ada di kotak II. Sehingga peluang terambilnya bola putih dari kotak II adalah P (B) = 3/8

Peluang bola yang terambil bola merah dari kotak I dan bola putih dari kotak II adalahP(A∩B) = P(A) × P(B)= 2/5 × 3/8= 6/40= 3/20

Penjelasan panjangnya sebagai berikut:

Isi kotak I adalah 2 merah, 3 putih. Beri nama sebagai:M1, M2, P1, P2, P3.

Isi kotak II adalah 5 merah, 3 putih:m1, m2, m3, m4, m5, p1, p2, p3 (biar beda hurufnya kecil)

Menentukan Ruang sampelnyaJumlah titik sampelnya ada 40, jadi n(S) = 40. Dapatnya dari 5 x 8 = 40. Diagram pohonnya jika perlu seperti berikut:M1, M2, P1, P2, P3 di kotak I dan pasangannya dari kotak II:

S ={(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1),..............., (P3, p2), (P3, p3) }n(S) = 40

A = terambil bola merah dari kotak I.A = {(M1, m1), (M1, m2), (M1, m3), (M1, m4), (M1, m5), (M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, m1), (M2, m2), (M2, m3), (M2, m4), (M2, m5), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3) } n(A) = 16Sehingga P(A) = 16/40

B = terambil bola putih dari kotak IIB = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3), (P1, p1), (P1, p2), (P1, p3), (P2, p1), (P2, p2), (P2, p3), (P3, p1), (P3, p2), (P3, p3)}n(B) = 15Jadi P(B) = 15/40

Irisan antara A dan B (yang sama):A ∩ B = {(M1, p1), (M1, p2), (M1, p3), (M2, p1), (M2, p2), (M2, p3} n(A ∩ B ) = 6Sehingga P(A ∩ B ) = 6/40 = 3/20

Catatan:

UntukP (A ∩ B) = P(A) × P(B)

Dinamakan kejadian saling bebas.

Soal No. 6Sebuah dadu dan sekeping uang logam dilemparkan sekali bersama-sama di atas meja. Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam adalah...A. 1/24B. 1/12C. 1/8D. 2/3E. 5/6(Modifikasi ebtanas 1994)

PembahasanA = kejadian munculnya angka 5 pada pelemparan dadu.Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Diperolehn(S) = 6n(A) = 1Sehingga P(A) = 1/6

B = kejadian munculnya angka pada pelemparan uang logam.Ruang sampel pada pelemparan dadu S = {A, G} dengan A = angka, G = Gambarn(S) = 2n(B) = 1Sehingga P(B) = 1/2

Peluang munculnya mata dadu lima dan angka pada uang logam dengan demikian adalahP(A∩B) = P(A) × P(B) = 1/6 × 1/2 = 1/12

Soal No. 7Dalam sebuah keranjang A yang berisi 10 buah jeruk, 2 buah jeruk diantaranya busuk, sedangkan dalam keranjang B yang berisi 15 buah salak, 3 diantaranya busuk. Ibu menghendaki 5 buah jeruk dan 5 buah salak yang baik, peluangnya adalah....A. 16/273B. 26/273C. 42/273D. 48/273E. 56/273(Teori peluang - un 2006)

Pembahasan10 buah jeruk di keranjang A, 2 buah busuk, artinya 8 yang bagus.15 buah salak di keranjang B, 3 buah busuk, artinya 12 yang bagus.

A : kejadian terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A.B : kejadian terpilih 5 salak bagus dari keranjang B.

Menentukan peluang dari kejadian APengambilan 5 buah jeruk dari 10 buah jeruk yang ada di keranjang A, menghasilkan banyak cara (titik sampel)  sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah jeruk bagus dari 8 jeruk bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A

Menentukan peluang dari kejadian BPengambilan 5 buah salak dari 15 buah salak yang ada di keranjang B, menghasilkan banyak cara sejumlah

Sementara itu pengambilan 5 buah salak bagus dari 12 salak bagus yang ada di keranjang A menghasilkan cara sejumlah

Sehingga peluang terpilih 5 salak bagus dari keranjang B

Sehingga peluang terpilih 5 jeruk bagus dari keranjang A dan 5 salak bagus dari keranjang B

updating,..

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/153-peluang-kejadian-majemuk#ixzz2lznWzgFf

Soal No. 1

Disediakan angka-angka sebagai berikut:

1, 2, 3, 4, 5

Tentukan banyaknya bilangan terdiri tiga angka yang bisa disusun / dibuat dari angka-angka di atas yang berlainan dengan syarat bilangan tersebut lebih besar dari 300.

PembahasanDari angka yang disediakan, maka untuk membuat angka lebih besar dari 300, angka pertama haruslah 3, 4, atau 5.

Berikutnya menentukan angka-angka di tempat yang masih kosong:

Cara PertamaUntuk bilangan yang diawali dengan angka 3

Terlihat ada 2 tempat yang masih  kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, angka 3 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4:

Untuk bilangan yang diawali dengan angka 4

Terlihat ada 2 tempat yang masih kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, angka 4 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4:

Untuk bilangan yang diawali dengan angka 5

Terlihat ada 2 tempat yang masih kosong, bisa diisi dari 4 angka yang tersedia, 5 tidak lagi dimasukkan karena tidak boleh berulang. Jadinya ambil 2 dari 4:

Sehingga banyaknya bilangan yang bisa disusun adalah 12 + 12 + 12 = 36 bilangan.

Cara Kedua:Banyaknya bilangan yang bisa disusun:3 x 4 x 3 = 36 bilangan.

Darimana datangnya 3 x 4 x 3?

Berikut penjelasannya:Bilangan yang akan disusun terdiri dari 3 buah angka.

Kotak IHanya dapat diisi oleh 3 angka saja dari lima buah angka yang disediakan, yaitu angka 3, 4 dan 5, karena syaratnya lebih besar dari 300. Sekarang kita tinggal punya empat angka tersisa.

Kotak IIDapat diisi oleh semua dari 4 angka yang masih tersisa. Sekarang angkanya tinggal tiga  biji.

Kotak IIIDapat diisi oleh semua dari 3 angka yang masih tersisa.

Jadi:Kotak I x Kotak II x Kotak III = 3 x 4 x 3 = 36 buah bilangan

Soal No. 2Bilangan terdiri dari tiga angka disusun dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7 dan 9. Banyaknya bilangan dengan angka-angka berlainan yang lebih kecil dari 400 adalah...A. 20B. 35C. 40D. 80E. 120(Permutasi - umptn 2000)

PembahasanDisusun bilangan terdiri tiga angka, dipilih dari angka berikut:2, 3, 5, 6, 7 dan 9

Cara Kedua

Kotak IDapat diisi dengan 2 angka dari 6 angka yang disediakan yaitu angka 2 dan 3, karena lebih kecil dari 400.

Kotak IIDapat diisi dengan 5 angka (karena sebuah angka sudah dikotak I)

Kotak 3Dapat diisi dengan 4 angka (karena dua buah angka sudah di kotak I dan kotak II)

Sehingga semua bilangan yang dapat disusun ada:2 × 5 × 4 = 40 angka

Soal No. 3Disediakan angka-angka:2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Akan disusun bilangan genap terdiri dari 3 angka. Tentukan banyak bilangan yang bisa disusun!

PembahasanCara PertamaDiminta bilangan tiga angka, genap, berarti angka terakhir dari bilangan yang disusun adalah 2, 4, 6 atau 8.

Perhatikan bilangan yang berakhir dengan angka 2. Masih ada 2 tempat kosong yang akan diisi dari tujuh angka yang masih tersedia. Jadi permutasi 2 dari 7.

Dengan cara yang sama untuk ketiga kotak-kotak berikutnya akan didapat masing-masing sebanyak 42.

Jadi banyak bilangan yang bisa disusun adalah:= 42 × 4 = 168 bilangan

Soal No. 4Disediakan angka-angka:2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Akan disusun bilangan ganjil terdiri dari 3 angka. Tentukan banyak bilangan yang bisa disusun!

Soal No. 5Dari angka-angka 3, 4, 5, 6, dan 7 akan dibuat bilangan terdiri dari empat angka berlainan. Banyaknya bilangan kurang dari 6.000 yang dapat dibuat adalah....A. 24B. 36C. 48D. 72E. 96(UN IPS 2012)

PembahasanBilangan kurang dari 6000, kemungkinannya adalah:

Untuk bilangan dengan angka depannya 3, tiga angka berikutnya akan diambil dari 4, 5, 6, dan 7 (empat angka, angka 3 tidak diikutkan lagi). Demikian juga untuk bilangan dengan angka depannya 4 dan 5, masing masing akan mendapatkan 24.

Sehingga totalnya ada 24 x 3 = 72.

Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/146-permutasi-menyusun-bilangan#ixzz2lzngwqqQ