08.1.Permutasi Dan Kombinasi

3. Permutasi dan KombinasiBoko Susilo Teknik Informatika Fakultas Teknik Universitas Bengkulu 2010

1. ATURAN DASAR EKSPERIMEN Eksperimen adalah suatu proses fisik yang

diamati hasilnya Misalnya melempar dadu, melempar beberapa dadu sekaligus, melempar mata uang logam, pemilihan panitia, menjadwalkan ujian dan sebagainhya

5/5/2012

Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika

2

1.1 Aturan Perkalian Jika suatu eksperimen mempunyai p buah macam

hasil dan eskperimen lainnya mempunyai q buah macam hasil, maka bila kedua eksperimen tadi bersama-sama dilakukan akan mengeluarkan / menghasilkan p x q buah macam hasil Contoh: Jika dari kota A ke kota B ada 3 jalur perjalanan dan dapat ditempuh dengan 4 macam kendaraan, maka akan terdapat 3 x 4 macam cara dari kota A pergi ke kota B5/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 3

1.2 Aturan Penjumlahan Jika satu eksperimen mempunyai p buah macam

hasil dan eksperimen kedua mempunyai q buah macam hasil, maka akan ada p + q macam hasil bila tepat satu dari dua eksperimen itu dilakukan Contoh: Dalam pemilihan ketua kelas X Untuk kelas X.1 ada 15 cara dan untuk kelas X.2 ada 30 cara. Maka untuk memilih ketua kelas X.1 atau kelas X.2 akan ada 15 + 30 cara5/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 4

PERMUTASI Misalkan ada 3 buah bola berlainan, satu bola basket (BB), satu

bola voli (BV), dan satu bola tendang (BT), dan 3 buah kotak bernomor, kotak bernomor 1 (K1), kotak bernomor 2 (K2), dan kotak bernomor 3 (K3). Timbul pertanyaan, ada berapa cara untuk memasukkan 3 bola tadi ke dalam 3 kotak bernomor itu bila satu kotak hanya boleh berisi satu bola ? Pada saat ketiga kotak masih kosong, terdapat 3 kotak yang dapat dipilih untuk memasukkan BB ke dalamnya, berarti ada 3 cara untuk memasukkan BB ke kotak itu. Setelah BB menempati sebuah kotak, kotak kosong yang tinggal 2 buah, jadi ada 2 pilihan untuk memasukkan BV ke dalam kotak yang berarti ada 2 cara untuk memasukkan BV ke dalam kotak. Setelah BV menempati satu kotak, untuk BT hanya tinggal 1 kotak kosong yang dapat ditempati, yang berarti hanya ada satu cara untuk memasukkan BT ke dalam kotak. Jadi seluruhnya ada 3 x 2 x 1 = 6 cara untuk memasukkan 3 bola berlainan ke dalam 3 kotak yang berlainan.Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika

5/5/2012

5

Permutasi (contd) Cara di atas dapat digambarkan sbb.:BV di K2 BB di K1 BV di K3 BT di K2 BT di K3

Cara ke 1BB di K3

BV di K1

BT di K2

Cara ke 5

Cara ke 2

BV di K2

BT di K1

Cara ke 6

BV di K1 BB di K2 BV di K3

BT di K3

Cara ke 3

BT di K1

Cara ke 4

5/5/2012


6

Permutasi (contd) Biasanya 3 x 2 x 1 dinotasikan dengan 3!

(3 faktorial). Jadi banyaknya cara yang terdapat adalah 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Setiap cara pemberian urutan di atas disebut permutasi dari 3 obyek yang berlainan. Dalam hal di atas adalah urutan 3 bola yang berlainan atau urutan untuk 3 kotak bernomor berlainan.5/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 7

Permutasi (Contd) Jika bola yang berlainan ada N buah dan kotak kosong bernomor

yang tersedia juga ada N buah, maka untuk memasukkan bola pertama ada N pilihan kotak kosong, jadi N cara untuk memasukkan bola pertama k edala kotak. Untuk memasukkan bola kedua, masih ada (N-1) kotak kosong yang dapat dipilih, berarti ada (N-1) cara untuk memasukkan bola kedua ke dalam kotak. Dan seterusnya, sampai bola ke N, hanya tinggal 1 kotak kosong saja yang dapat dipilih, jadi hanya ada 1 cara untuk memasukkan bola ke N ke dalam kotak kosong. Jadi untuk memasukkan N buah bola berlainan ke dalam N buah kotak bernomor dengan ketentuan bahwa setiap kotak hanya boleh berisi satu bola, seluruhnya akan terdapat: N(N-1)(N-2)(N-3) ... 3 x 2 x 1 cara Untuk menyatakan besaran di atas dipakai notai N! (N faktorial, dengan perjanjian bahwa 0! = 1), jadi banyaknya cara yang terdapat adalah: N! = N(N-1)(N-2)(N-3) ... 3 x 2 x 1 (permutasi dari N)Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika

5/5/2012

8

Permutasi (Contd) Untuk menuliskan semua permutasi dari N obyek diperlukan suatu prosedur

yang sistematis dan memberikan semua (N!) permutasi yang ada tanpa ada yang terulang atau tertinggal. Karena setiap himpunan N obyek dapat dikorespondensikan satu-satu dengan himpunan {1, 2, 3, ..., N}, maka N obyek yang akan dituliskan semua permutasinya dapat dimisalkan sebagai himpunan {1, 2, 3, ..., N} Untuk mengetahui apakah suatu prosedur memenuhi syarat di atas, salah satunya cara adalah memberi urutan kepada N! permutasi yang dihasilkannya Salah satu urutan yang dapat dipakai adalah yang disebut lexicographic. Misalkan: Pa = a1a2 ... an Pb = b1b2 ... bn adalah dua permutasi dari { 1,2,3....,N },

permutasi Pa dikatakan mendahului permutasi Pb dalam urutan lexicographic, bila terdapat k, dengan 1 < k < N, sehingga, ai = bi, untuk I = 1, 2, 3, ..., k ak = bk.

5/5/2012


9

Permutasi (contd) Maka suatu prosedur yang menghasilkan permutasi

berdasarkan urutan lexicographic tersebut akan menghasilkan semua permutasi tanpa ada yang tertinggal atau terulang Contoh: Urutkan permutasi berikut menurut urutan lexicographic p1 = 12453 p2 = 12345 p3 = 15243 p4 = 24135 p5 = 21435 p6 = 213545/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 10

Permutasi (Contd) Berdasarkan definisi di atas, untuk mengurutkan permutasi di atas, langkah

pertama kelompokkan dahulu permutasi yang angka pertamanya sama. Maka terdapat dua kelompok K1 = { p1, p2, p3 } dan K2 = { p4, p5,p6 } Karena angka pertama pada setiap permutasi di K1 (= 1) lebih kecil dari angka pertama di K2 (= 2), maka setiap permutasi di K1 akan mendahului setiap permutasi di K2. Jadi langkah berikutnya adalah membandingkan permutasi-permutasi dalam satu kelompok. Ulangi proses pengelompokan dalam masing-masing kelompok K1 dan K2 (proses pengelompokan dihentikan bila semua subkelompok terdiri tidak lebih dari dua permutasi): K11 = {p1, p2}, K12 = {p3}, K21 = {p4}, K22 = { p5, p6 } Semua permutasi yang ada dalam satu subkelompok Kka pertama K11, K12, K21, K22 mempunyai dua angka yang sama. Setiap pemutasi di K11 (dua angka pertama = 12) akan mendahului setiap permutasi di K12 (dua angka pertama = 15) dan setiap permutasi di K22 (dua angka pertama = 21) akan mendahului setiap permutasi di K21 (dua angka pertama = 24 ). Proses pengelompokan berakhir.

5/5/2012


11

Permutasi (Contd) Sekarang tinggal membandingkan permutasi yang ada dalam

subkelompok terakhir: p2 mendahului p1 karena 1 = 1, 2 = 2, dan 3 < 4 p6 mendahului p5 karena 2 = 2, 1 = 1, dan 3 < 4. Jadi urutan permutasi di atas adalah: p2 p1 p3 p6 p5 p4 Jika diketahui suatu permutasi a1a2...aN, maka permutasi

berikutnya dalam urutan lexicographic, b1b2 ... bN akan memenuhi syarat berikut: 1. ai = bi untuk 1 < i < k-1, dan ak < bk, dengan indeks k diambil sebesar mungkin 2. bk = minimum dari ak+1, ak+2, ..., aN yang lebih besar dari ak 3. bk+1 < bk+2 < ....< bN

5/5/2012


12

Permutasi (Contd)Contoh: Tuliskan semua permutasi dari 4 obyek { 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan urutan lexographic permutasi itu dapat diurutkan sebagai berikut: 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321. Misalkan ada dua buah bola, satu bola basket (BB) dan satu bola tendang (BT), dan empat buah kotak bernomor 1 (K1), kotak bernomor 2 (K2), kotak bernomor 3 (K2) dan kotak bernomor 4 (K4)/ Ada berapa cara untuk memasukkan kedua bola itu ke dlam kotak bila satu kotak hanya boleh berisi satu bola? Pada saat 4 kotak masih kosong, salah satu dari 4 kotak itu dapat dipilih, berarti ada 4 cara untuk memasukkan BB ke dalam kotak. Setelah BB menempati satu kotak, kotak kosong yang dapat dipilih tinggal 3 buah. Jadi ada 3 cara untuk memasukkan BT ke dalam kotak. Dengan demikian banyaknya cara untuk memasukkan 2 buah bola berlainan ke dalam 2 kotak yang dapat dipilih dari 4 buah kotak yang tersedia adalah 4 x 3 = 125/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 13

Permutasi (Contd) Contoh di atas ekivalen dengan persoalan menempati 2 posisi ( bola ), masing-

masing dengan 1 macam obyek yang dapat dipilih dari 4 macam obyek (kotak) dengan ketentuan bahwa setiap obyek hanya ada satu buah. Cara penempatan kedua posisi itu disebut permutasi 2 dari 4 macam obyek dengan setiap macam obyek hanya ada satu buah. Peristiwa di atas ditulis sebagaiP(2,4) = 4 x 3 = 12

Bila bola yang berlainan ada k buah dan kotak kosong bernomor ada N buah, maka

dapat dikerjakan prosedur yang sama. Untuk bola pertama ada N kotak kosong dapat dipilih, berarti ada N cafra untuk memasukkan bola pertama ke dalam kotak, untuk bola kedua masih ada (N-1) kotak kosong, berarti ada (N-1) cara untuk memasukkan bola kedua ke dalam kotak. Dan seterusnya sampai bola ke-k, hanya tinggal (N - k + 1) cara untuk memasukkan bola ke-k ke dalam kotak.

Jadi seluruhnya akan ada: N(N-1)(N-2) ...(N-k+1) cara untuk memasukkan k bola berlainan ke dalam N kotak kosong bernomor dengan ketentuan bahwa satu kotak hanya dapat berisi satu bola.

5/5/2012


14

Permutasi (Contd)P( N , k ) N! ( N k )!

Contoh: Ada berapa banyak barisan 5 angka desimal (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) tanpa ada angka terulang? Persoalan ini dapat dipandang sebagai persoalan memasukkan 5 bola berlainan ke dalam 10 kotak bernomor 0,1, 2, ..., 9 dengan setiap kotak hanya dapat berisi satu bola. Setiap cara memasukkan kelima bola itu kedalam kotak bernomor memberikan sebuah barisan 5 angka desimal. Misalkan salah satu cara adalah bola pertama ke kotak bernomor 0, bola kedua ke kotak bernomor 7, bola ketiga ke kotak bernomor 2, bola keempat ke kotak bernomor 1 dan bola kelima ke kotak bernomor 8. Cara ini memberikan barisan 07218. Dan sebaliknya, jadi seluruhnya ada: P(10, 5) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 barisan 5 angka desimal tanpa ada pengulangan

5/5/2012


15

Permutasi (Contd)Contoh:Berapa banyak bilangan desimal yang terdiri dari 5 angka, tanpa ada angka berulang. Setiap bilangan desimal yang terdiri dari 5 angka, tanpa ada angka terulang, merupakan barisan 5 angka desimal dari 0, 1, 2, ..., 9 tanpa ada angka yang terulang dan angka pertamanya bukan 0, dan sebaliknya. Sedangkan setiap barisan 5 angka desimal, tanpa ada angka terulang dan angka pertamannya 0, merupakan barisan yang diperoleh dengan menambahkan 0 di depan suatu barisan 4 angka desimal yang diambil 1, 2, 3, ..., 9 tanpa ada angka terulang, dan sebaliknya. Seperti contoh di atas, banyaknya barisan 4 angka desimal yang diambil dari 1, 2, 3, ..., 9, tanpa ada angka terulang adalah: P(9,4) = 9 x 8 x 7 x 6 = 3024 Jadi banyaknya bilangan desimal yang terdiri dari 5 angka, tanpa ada angka terulang adalah P(10,5) P(9,4) = 30240 3024 = 27216

5/5/2012


16

Permutasi (Contd)Persoalan di atas dapat dipandang pula sebagai persoalan memasukkan 5 buah bola berlainan ke dalam 10 kotak bernomor 0, 1, 2, ..., 9 dengan syarat bahwa bola pertama tidak boleh menempati kotak bernomor 0 dan setiap kotak hanya boleh terisi satu bola, Ini berarti bahwa bola pertama mempunyai 9 pilihan, bola kedua mempunyai 9 pilihan, bola ketiga mempunyai 8 pilhanm bola keempat mempunyai 7 pilihan dan bola kelima mempunyai 6 pilihan untuk menempati kotak bernomor. Jadi banyaknya desimal yang terdiri dari 5 angka tanpa ada angka terulang adalah 9 x 9 x 8 x 7 x 6 = 27216 Contoh: Ada berapa banyak kode yang terdiri dari deretan 3 alfabet yang berlainan dan kemudian 4 angka yang berlainan? Banyaknya alfabet ada 26 buah dan banyaknya angka ada 10 buah. Jadi banyaknya kode yang dapat dibuat adalah P(26,3) x P(10,4) = (26 x 25 x 24) x (10 x 9 x 8 x 7) = 78.624.000Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika

5/5/2012

17

Permutasi (Contd)Contoh: Dalam suatu organisasi yang beranggota 50 orang ingin diadakan pemilihan satu pimpinan yang terdiri dari satu ketua, satu sekretaris, dan satu bendahara dengan ketentuan bahwa dalam pimpinan tersebut tidak boleh ada yang memangku lebih dari satu jabatan. Ditanyakan ada berapa banyak macam piminan yang dapat dipilih dalam pemilihan tersebut? Untuk menyelesaikan persoalan ini, ketiga jabatan dalam pimpinan tersebut dapat dianggap sebagai 3 bola yang berlainan, dan 50 orang anggotanya dapat dianggap sebagai 50 kotak bernomor, jadi seluruhnya ada P(50,3) = 50 x 49 x 48 = 117.6005/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 18

Permutasi (Contd)Kembali ke persoalan memasukkan 2 bola BB dan BT ke dalam kotak bernomor K1, K2, K3, dan K4, bila setiap kotak bernomor itu dapat diisikan tidak hanya satu bola, tetapi boleh diisi lebih dari satu bola, maka banyaknya cara akan berubah. Karena setiap kotak tidak dibatasi isinya, maka untuk memasukkan BB dan BT ke dalam kotak masingmasing memiliki 4 pilihan, jadi terdapat 4 x 4 = 42 = 16 cara sebagai berikut:

Cara 1 : BB di K1, BT di K1 Cara 2 : BB di K1, BT di K2 Cara 3 : BB di K1, BT di K3 Cara 4 : BB di K1, BT di K4

Cara 9 : BB di K3, BT di K1 Cara 10 : BB di K3, BT di K2 Cara 11: BB di K3, BT di K3 Cara 12 : BB di K3, BT di K4

Cara 5 : BB di K2, BT di K1 Cara 6 : BB di K2, BT di K2 Cara 7 : BB di K2, BT di K3 Cara 8 : BB di K2, BT di K4

Cara 13 : BB di K4, BT di K1 Cara 14 : BB di K4, BT di K2 Cara 15 : BB di K4, BT di K3 Cara 16: BB di K4, BT di K4

5/5/2012


19

Permutasi (Contd) Pada umumnya, untuk memasukkan k buah bola yang berlainan ke

dalam N buah kotak bernomor dengan ketentuan bahwa setiap kotak boleh berisi lebih dari satu bola akan terdapat N x N x ... N = Nk cara. Contoh: Ada berapa banyak bilangan desimal yang terdiri dari 5 angka? Persoalan ini dapat dipandang sebagai persoalan menempatkan 5 buah bola yang berlainan ke dalam 10 kotak bernomor 0,1,2, ...,9 dengan syarat bahwa bola pertma tidak boleh masuk ke kotak bernomor 0 dan setiap kotak dapat berisi lebih dari satu bola, Ini berarti bahwa bola pertama mempunyai 9 pilihan dan bola lainnya masing-masing mempunyai 10 pilihan untukmenempati kotak bernomor.Jadi banyaknya bilangan desimal yang t.d. 5 angka adalah 9 x 10 x 10 x 10 x 10 = 90.000 cara.

5/5/2012


20

Permutasi (Contd)Contoh: Jika himpunan A mempunyai k anggota, maka ada berapa banyak subset yang dapat dibuat. Persoalan ini dapat dipandang sebagai persoalan memasukkan k buah bola yang berlainan ke dalam 2 buah kotak bernomor yang disediakan. Kotak bernomor 1 (K1) untuk anggota A yang diambil sebagai anggota suatu subset S dan kotak bernomor 2 (K2), untuk anggota A yang tidak diambil sebagai anggota subset S. Misalkan A = { a, b, c } maka banyaknya subset yang dapat dibuat adalah 23 = 8. Kejadian ini dapat diilustrasikan seperti tabel berikut:5/5/2012 Subset dari isi K1 S1 = {a, b, c } S2 = {a, b} S3 = {a, c} Isi K1 a, b, c a, b, a, c Isi K2 kosong c b

S4 = (b, c }S5 = {a} S6 = {b} S7 = {c} S8 = { }

b, ca b c Kosong

ab, c a.c a, b a,b,c


21

Permutasi (Contd)Contoh: Ada berapa barisan k angka biner ( 0 dan 1) ? Dan berapa diantaranya yang mengandung banya genap angka 1? Persoalan pertama di atas sama dengan persoalan menempatkan k bola berlainan ke 2 kotak berlainan ( angka 0 dan 1) dengan satu kotak dapat memuat lebih dari satu bola. Jadi ada 2 x 2 x ...x 2 = 2k barisan k angka biner. Barisan-barisan angka biner dapat dikelompokkan menjadi pasangan-pasangan, setiap pasang berbeda hanya angka ke-k dan angka lainnya sama, misalnya untuk k = 4, barisan biner dapat dikelompokkan sebagai berikut: 0000* 0010 0100 0110* 0001 0011* 0101* 0111 1000 1010* 1100* 1110 1001* 1011 1101 1111* Dalam setiap pasang, satu diantaranya mengandung banyaknya genap angka 1 dan yang lain mengandung banyaknya ganjil angka 1, pada contoh diatas, barisan yang diberi * adalah barisan yang mengandung banyaknya genap angka 1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa banyaknya barisan k angka biner yang mengandung banyaknya genap angka 1 adalah 2k/2 = 2k-1 buah. Pembimbingan Pra OlimpiadeInformatika 22

5/5/2012

Permutasi (Contd)Persoalan terakhir, dapat juga dikerjakan sebagai berikut: Banyaknya barisan k-1 angka biner ada 2k-1 buah. Dari setiap barisan k-1 angka biner dapat dibuat menjadi barisan k angka biner dengan menambahkan angka 0 atau 1 dibelakangnya (atau didepannya). Jika barisan k-1 angka biner mengandung banyaknya ganjil angka 1, bila angka 1 ditambahkan padanya akan menghasilkan barisan k angka biner yang mengandung banyaknya genap angka 1, bila angka 0 ditambahkan padanya akan tidak mengubah banyaknya angka 1 pada barisan k angka biner yang dihasilkan. Jika barisan k-1 angka biner mengandung banyaknya genap angka 1, bila angka 0 ditambahkan padanya akan menghasilkan pula barisan k angka biner yang mengandung banyaknya genap angka 1 dan bila angka 1 ditambahkan padanya, banyaknya angka 1 pada barisan k angka biner yang dihasilkan akan menjadi ganjil. Jadi dapat disimpulkan bahwa banyaknya barisan k angka biner yang mengandung banyak genap angka 1 sama dengan banyaknya barisan k-1 angka biner, yaitu 2k-1 buah5/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 23

Permutasi (Contd)Contoh: Berapa banyak barisan k angka 0, 1, 2, 3, atau 4 (quintary sequence) yang mengandung banyaknya genap angka 1? Pertama-tama telah diketahui bahwa ada 5k barisan k angka 0, 1, 2, 3, atau 4. Diantaranya ada 3k barisan k angka yang hanya terdiri dari angka 2, 3, 4 saja. Barisan-barisan ini tidak mengandung angka 1, dengan perkataan lain barisanbarisan ini mengandung banyaknya genap angka 1. Sisanya ada 5k 3k barisan k angka yang mengandung angka 0 dan angka 1. Barisan-barisan ini dapat dikelompokkan berdasarkan letaknya angka-angka 2, 3, dan 4 yang sama. Misalnya untuk k = 6, salah satu kelompok adalah: 200304 200314 201304 201314 210304 210314 211314 211314 Terlihat bahwa pada kelompok itu setengahnya merupakan barisan yang mengandung banyaknya genap angka 1. Hal ini berlaku untuk setiap kelompok, maka seluruhnya akan ada 3k + 1/(5k 3k) barisan k angka 0, 1, 2, 3, dan 4 yang mengandung banyaknya genap angka 15/5/2012 Pembimbingan Pra Olimpiade Informatika 24

Permutasi (Contd)Berapa cara menempatkan k buah bola ke dalam n buah kotak berlainan (bernomor) dengan satu kotak hanya dapt berisi satu bola? Disini k bola tersebut tidak semua berlainan, tetapi k bola itu terdiri dari q1 bola berwarna pertama, q2 bola berwarna kedua, ..., dan qt bola berwarna ke-t. Tentunya q1 + q2 + q3 + ....+ qt = k Contoh: Misalkan ada 3 bola merah, 1 bola biru, dan 1 bola putih. Lima bola itu akan ditempatkan ke dalam 10 kotak berlainan dengan satu kotak hanya dapat memuat satu bola. Jika 3 bola merah, 1 bola biru, dan 1 bola putih itu berlainan semua maka akan ada P(10,5) cara menempatinya. Cara-cara penempatan itu dapat dikelompokkan, setiap kelompok hanya berbeda tempat ketiga bola merah itu saja, sedangkan bola lainnya menempati kotak yang sama. Salah satu kelompok penempatan adalah sebagai berikut (BMi= bola mera ke-i, BB = bola biru, BP = bola putih, Ki = kotak ke-i):

5/5/2012


25

Permutasi (Contd)BM1 di K1, BM2 di K2, BM3 di K3, BB di K4, BP di K3 BM1 di K1, BM3 di K2, BM2 di K3, BB di K4, BP di K5 BM2 di K1, BM1 di K2, BM3 di K3, BB di K4, BP di K5 BM2 di K1, BM3 di K3, BM1 di K3, BB di K4, BP di K5 BM3 di K1, BM1 di K2, BM3 di K3, BB di K4, BP di K5 BM3 di K1, BM2 di K2, BM1 di K3, BB di K4, BP di K5Jadi bila 3 bola merah itu tidak dibedakan, 6 cara penempatan itu akan menjadi sama. Enam cara itu adalah permutasi dari 3 bola merah tadi. Hal ini berlaku untuk setiap kelompok, maka akan ada: P(10, 5)/6 = P(10,5)/3! Cara penempatan. Untuk persoalan semula, akan terdapat P(n,k)/(q1! q2! ... qt !) cara penempatam q1 bola berwarna pertama, q2 bola berwarna kedua ....qt bola berwarna ke-t ke n buah kotak berlainan.

5/5/2012


26

Permutasi (Contd)Jika k = n, maka persoalan di atas akan menjadi persoalan menyusun (permutasi dari ) n obyek yang terdiri dari q1 obyek macam pertama, q2 obyek macam ke-2, ..., qt obyek macam ke-t, dengan q1 + q2 + ....+ qt = n. Dengan perkataan lain banyaknya permutasi n obyek yang terdiri dari q1 obyek macam pertama, q2 obyek macam ke-2, ..., qt obyek macam ke-t dengan q1 + q2 + ... + qt = n adalah n!/q1! q2! ....qt! Contoh: Berapa cara yang ada untuk mengecat 12 ruang kantor sehingga 3 ruang berwarna merah muda, 2 ruang berwarna hijau muda, 2 ruang berwarna kuning dan sisanya berwarna putih?Banyaknya cara ada 12! / (3! 2! 2! 5!) = 166320

5/5/2012


27

Kombinasi Persoalan menempatkan k bola yang sama ke n kotak yang berlainan dengan satu kotak hanya dapat berisi satu bola. Maka cara penempatan bola ke dalam kotak tersebut ada P(n,k)/k! = n!/[(n-k)! k!] Persoalan di atas ekivalen dengan persoalan memilijh k obyek dari n obyek yang berlainan. Yang terakhir ini disebut kombinasi dari k obyek dari n obyek yang berlainan dan diberi notasi C(n,k) = n!/[(n-k)! k!] Dari rumus terakhir ini diproleh sifat:

C(n,k) = C(n, n-k)Contoh: Tentukan banyaknya cara memilih 3 dari 7 hari tanpa diulang. Caranya ada C(7,3) = 7!/[(7-3)! 3!] = 7!/ (4! 3!) cara. Contoh: tentukan banyaknya cara memili 3 dari 7 hari boleh ada hari yang diulang Ada C(7+3 -1, 3) = C(9,3) = 9!/(6! 3!) cara ada yang


5/5/2012 28

Kombinasi Tentukan banyaknya cara memilih 7 dari 3 hari, boleh ada hari yang diulang


5/5/2012 29

08.1.Permutasi Dan Kombinasi

Documents

Transcript of 08.1.Permutasi Dan Kombinasi