PDF de Amostra - Humongous Calculus

Rio de Janeiro, 2013

Exerccios de Clculo

BOOK - Humongous Calculus - 23-05-13.indb 1 03/06/2013 16:59:46

iiiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Sumrio

Introduo ix

Captulo 1: Equaes Lineares e Desigualdades 1

Geometria Linear .....................................................................................................................2

Desigualdades Lineares e Representaes de Intervalos ...................................................................6

Equaes e Desigualdades de Mdulo ..........................................................................................9

Sistemas de Equaes e Desigualdades ....................................................................................... 12

Captulo 2: Polinmios 17

Expresses Exponenciais e Radicais ........................................................................................... 18

Operaes com Expresses Polinomiais ....................................................................................... 20

Fatorando Polinmios ............................................................................................................. 24

Resolvendo Equaes Quadrticas ............................................................................................ 26

Captulo 3: Expresses Racionais 29

Adicionando e Subtraindo Expresses Racionais ......................................................................... 30

Multiplicando e Dividindo Expresses Racionais ........................................................................ 32

Resolvendo Equaes Racionais ................................................................................................ 35

Desigualdades Polinomiais e Racionais ..................................................................................... 38

Captulo 4: Funes 45

Combinando Funes .............................................................................................................. 46

Elaborando o Grfico de Transformaes de Funo .................................................................... 49

Funes Inversas .................................................................................................................... 54

Assntotas de Funes Racionais ............................................................................................... 57

Problemas com x elevado primeira potncia

Criando, fazendo o grfico e medindo retas e segmentos de reta

Adeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes

Resolva dois pelo preo de um

Encontre uma soluo comum compartilhada entre mltiplas equaes ou desigualdades

Porque no d para ter expoentes de 1 para sempre

Potncias e razes quadradasComo +, , x e polinmios

Reverta o processo de multiplicaoEquaes com expoente mais alto 2

Fraes, fraes e mais fraes

Lembra do mnimo denominador comum?

Multiplicar = fcil, dividir = quase to fcilAqui entra a regra de trs simples

Nmeros crticos dividem sua reta numrica

Agora voc vai comear a ver f(x) em todo lugar

Faa o (+, , x, ) normal ou insira-os um no outro

Extenses, compresses, reflexes e deslizamentos

Funes que cancelam outras funes

Equaes da intocvel linha tracejada


Sumrio

iv O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Captulo 5: Funes Logartmicas e Exponenciais 61

Explorando as Funes Exponenciais e Logartmicas ................................................................... 62

Funes Exponenciais e Logartmicas Naturais ........................................................................... 66

Propriedades dos Logaritmos .................................................................................................... 67

Resolvendo Equaes Exponenciais e Logartmicas ...................................................................... 70

Captulo 6: Sees Cnicas 73

Parbolas .............................................................................................................................. 74

Crculos ................................................................................................................................ 80

Elipses .................................................................................................................................. 83

Hiprboles ............................................................................................................................. 89

Captulo 7: Fundamentos da Trigonometria 95

Medindo ngulos ................................................................................................................... 96

Relaes entre ngulos ............................................................................................................ 97

Avaliando Funes Trigonomtricas .......................................................................................... 99

Funes Trigonomtricas Inversas ........................................................................................... 106

Captulo 8: Grficos, Identidades e Equaes Trigonomtricos 109

Desenhando o Grfico de Transformaes Trigonomtricas .......................................................... 110

Aplicando Identidades Trigonomtricas ................................................................................... 114

Resolvendo Equaes Trigonomtricas ...................................................................................... 119

Captulo 9: Investigando Limites 127

Avaliando Limites de Um Lado e Gerais Graficamente .............................................................. 128

Limites e Infinito .................................................................................................................. 133

Definio Formal de Limite .................................................................................................... 138

Captulo 10: Avaliando Limites 141

Mtodo da Substituio ......................................................................................................... 142

Mtodo de Fatorao ............................................................................................................. 145

Mtodo do Conjugado ........................................................................................................... 150

Teoremas de Limite Especiais .................................................................................................. 153

Funes como log3 x, ln x, 4x e ex

Domine todas essas potncias

Bases no escritas, bases de e e frmula da mudana de base

Expandindo e simplicando expresses de log

Expoentes e logs se cancelam

Parbolas, crculos, elipses e hiprboles

Grficos de equaes quadrticas

Centro + raio = formas redondas e problemas fceisUma palavra rebuscada para ovais

Coisas que parecem com duas parbolas

Adicione seno, cosseno e tangente mistura

Radianos, graus e revolues

ngulos coterminais, complementares e suplementares

Trigonometria e ngulos de referncia do tringulo retnguloInsira um nmero e obtenha um ngulo para variar

Provas de Equaes e identidade trigonomtricas

Expanso e deslocamento de grficos de onda

Simplifique expresses e prove identidades

Resolva para em vez de x

Qual altura a funo PRETENDE alcanar?

Encontre limites em um grfico de funo

O que acontece quando x ou f(x) fica enorme?

Problemas com psilon-delta no so divertidos

Calculando limites sem um grfico da funo

To fcil quanto inserir um valor para x

A primeira coisa que voc deve tentar se a substituio no funcionarPara lidar com radicais problemticos

Frmulas de limite que voc deve memorizar


Sumrio

vO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Captulo 11: Continuidade e o Coeficiente Diferencial 155

Continuidade ...................................................................................................................... 156

Tipos de Descontinuidade ...................................................................................................... 157

O Coeficiente Diferencial ........................................................................................................ 166

Diferenciao ....................................................................................................................... 170

Captulo 12: Mtodos Bsicos de Diferenciao 173

Derivadas Trigonomtricas, Logartmicas e Exponenciais ........................................................... 174

A Regra da Potncia ............................................................................................................. 176

As Regras do Produto e do Quociente ....................................................................................... 179

A Regra da Cadeia ............................................................................................................... 183

Captulo 13: Grficos de Funo e Derivadas 191

Nmeros Crticos .................................................................................................................. 192

Sinais da Primeira Derivada .................................................................................................. 195

Sinais da Segunda Derivada.................................................................................................. 201

Grficos de Funo e Derivada ............................................................................................... 206

Captulo 14: Aplicaes Bsicas da Diferenciao 209

Equaes de Tangentes .......................................................................................................... 210

O Teorema de Valor Extremo ................................................................................................... 215

Mtodo de Newton ................................................................................................................ 218

Regra de LHpital ............................................................................................................... 222

Captulo 15: Aplicaes Avanadas da Diferenciao 227

Os Teoremas do Valor Mdio e de Rolle .................................................................................... 228

Movimento Retilneo ............................................................................................................. 233

Taxas Relacionadas .............................................................................................................. 237

Otimizao .......................................................................................................................... 244

Captulo 16: Tcnicas de Diferenciao Adicionais 251

Diferenciao Implcita.......................................................................................................... 252

Diferenciao Logartmica ..................................................................................................... 259

Diferenciando Funes Trigonomtricas Inversas ....................................................................... 264

Diferenciando Funes Inversas .............................................................................................. 266

Grficos indivisveis e uma prvia das derivadas

Limite existente + funo definida = continuidade

Buracos vs. quebras, removvel vs. no removvel

O caminho mais longo para encontrar a derivadaQuando existe uma derivada?

Os quatro pesos pesados para encontrar derivadas

Memorize frmulas especficas para essas funes

Um atalho para diferenciar xn

Diferencie funes que so multiplicadas ou divididas

Diferencie funes que so inseridas em funes

O que os sinais das derivadas dizem sobre os grficos

Nmeros que separam grficos ondulados

Use grficos ondulados para determinar a direo da funo

Pontos de inflexo e concavidade

Como os grficos de f, f e f se relacionam?

Coloque suas habilidades com derivadas em uso

Ponto de tangncia + derivada = equao da tangente

Toda funo tem seus altos e baixosAproxime os zeros de uma funo

Encontre limites que costumavam ser impossveis

Usos complicados, mas interessantes, das derivadas

Inclinaes mdias = inclinaes imediatas

Funes de posio, velocidade e acelerao

Descubra a rapidez com que as variveis mudam em uma funoEncontre os maiores ou menores valores de uma funo

Ainda mais maneiras de diferenciar

Essencial quando voc no consegue resolver uma funo para encontrar y

Use as propriedades de log para tornar as derivadas complicadas mais fceisPorque a derivada de tg1 x no sec2 x

Sem nem saber o que elas so!


Sumrio

vi O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Captulo 17: Aproximando reas 273

Somas Informais de Riemann ................................................................................................. 274

Regra dos Trapzios .............................................................................................................. 285

Regra de Simpson ................................................................................................................. 293

Somas Formais de Riemann ................................................................................................... 295

Captulo 18: Integrao 301

Regra da Potncia para Integrao ......................................................................................... 302

Integrando Funes Trigonomtricas e Exponenciais .................................................................. 305

O Teorema Fundamental de Clculo ....................................................................................... 307

Substituio de Variveis ....................................................................................................... 317

Captulo 19: Aplicaes do Teorema Fundamental 323

Calculando a rea entre duas curvas ...................................................................................... 324

O Teorema do Valor Mdio para Integrao .............................................................................. 330

Funes de Acumulao e Mudana Acumulada ...................................................................... 338

Captulo 20: Integrando Expresses Racionais 347

Separao............................................................................................................................ 348

Diviso Longa ..................................................................................................................... 351

Aplicando Funes Trigonomtricas Inversas ............................................................................ 354

Completamento de Quadrados ................................................................................................ 357

Fraes Parciais ................................................................................................................... 361

Captulo 21: Tcnicas de Integrao Avanadas 367

Integrao por Partes ............................................................................................................ 368

Substituio Trigonomtrica ................................................................................................... 372

Integrais Imprprias ............................................................................................................. 387

Captulo 22: Volume Rotacional e de Seo Transversal 393

Volume de um Slido com Sees Transversais Conhecidas .......................................................... 394

Mtodo do Disco ................................................................................................................... 401

Mtodo dos Anis ................................................................................................................. 410

Mtodo das Cascas ............................................................................................................... 421

Estime a rea entre uma curva e um eixo x

Somas esquerda, direita, do ponto mdio, acima e abaixo

Parecida com as somas de Riemann, mas muito mais precisa

Aproxima muito bem a rea abaixo de funes curvasVoc vai querer colocar os pingos nos is

Agora, a derivada no a resposta, a pergunta

Adicione 1 ao expoente e divida pela nova potnciaAs integrais trigonomtricas no se parecem nem um pouco com as derivadas

Integrao e rea esto profundamente relacionadas

Geralmente chamada de substituio

O que fazer com as integrais definidas

Em vez de apenas uma funo e o eixo xCrie uma rea retangular que equivalha rea abaixo de uma curva

Integrais com limites x e aplicaes da integrao na vida real

O que fazer quando h uma frao dentro da integral

Transforme uma grande e feia frao em fraes menores e menos feias

Divida antes de integrarMuito til, mas apenas em algumas circunstncias

Para quando h quadrticas embaixo e nenhuma varivel em cimaUma maneira rebuscada de separar grandes fraes

H ainda mais maneiras de encontrar integrais deve ser o seu aniversrio

como a regra do produto, mas para integrais

Usando identidades e pequenos diagramas de tringulos retngulos

Integrando apesar das assntotas e limites de integrao infinitivos

Por favor, coloque seus culos 3D agora

Corte o slido em partes e mea essas partes

Crculos so as sees transversais mais fceis possveisEncontre volumes mesmo se os slidos no forem slidos

Algo em que se apoiar quando o mtodo dos anis no funcionar


Sumrio

viiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Captulo 23: Aplicaes Avanadas de Integrais Definidas 427

Comprimento do Arco ............................................................................................................ 428

rea da Superfcie ................................................................................................................ 431

Centroides ........................................................................................................................... 436

Captulo 24: Equaes Paramtricas e Polares 447

Equaes Paramtricas .......................................................................................................... 448

Coordenadas Polares ............................................................................................................. 452

Desenhando o Grfico de Curvas Polares ................................................................................. 455

Aplicaes da Diferenciao Paramtrica e Polar ....................................................................... 460

Aplicaes da Integrao Paramtrica e Polar ........................................................................... 466

Captulo 25: Equaes Diferenciais 471

Separao de Variveis .......................................................................................................... 472

Crescimento e Decaimento Exponenciais ................................................................................... 477

Aproximaes Lineares .......................................................................................................... 484

Campos Direcionais .............................................................................................................. 486

Mtodo de Euler ................................................................................................................... 492

Captulo 26: Sequncias e Sries Bsicas 499

Sequncias e Convergncia ..................................................................................................... 500

Sries e Testes de Convergncia Bsicos .................................................................................... 502

Soma Telescpica e Srie de p .................................................................................................. 506

Sries Geomtricas ................................................................................................................. 509

O Teste da Integral ............................................................................................................... 510

Captulo 27: Testes Adicionais de Convergncia de Sries Infinitas 513

Teste da Comparao ............................................................................................................ 514

Teste da Comparao do Limite .............................................................................................. 516

Teste da Razo ..................................................................................................................... 519

Teste da Raiz ....................................................................................................................... 522

Teste da Srie Alternada e Convergncia Absoluta ..................................................................... 526

Mais problemas envolvendo integrais limitadas

Qual a distncia do ponto A para o ponto B em uma estrada cheia de curvas?

Mea a pele de um slido de revoluo

Encontre o centro de gravidade de uma forma em duas dimenses

Escrevendo equaes sem x e y

Assim como os revolucionrios o Porto Boston, apenas adicione tConverta de (x, y) para (r, ) e vice-versa

Fazendo grficos com r e em vez de x e y

Ensine alguns velhos truques de diferenciao a um cachorro novo

Talvez algumas integrais tambm interessem ao cachorro novo

Equaes que contm uma derivada

Separe y e dy dos x e dx

Quando a mudana de uma populao proporcional ao seu tamanho

Um grfico e sua reta tangente s vezes so bastante parecidos

Parecem-se com padres de vento em um mapa meteorolgico

Pequenos passos para encontrar a soluo da equao diferencial

O que pior que uma frao? Infinitas Fraes

As listas de nmeros sabem para onde esto indo?

Teste de divergncia de representao de sigma e do termo geral

Como lidar com essas sries fceis de serem identificadas

Elas convergem? E, caso o faam, qual a soma?Sries infinitas e integrais imprprias esto relacionados

Para usar com sries

infinitas

ainda mais feias

Provando que as sries so maiores do que grandes e menores do que pequenas

Sries que convergem ou divergem por associao

Compare termos vizinhos de uma srietil para termos dentro de sinais de radical

E se as sries tiverem termos negativos?


Sumrio

viii O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Captulo 28: Sries Infinitas Avanadas 531

Sries de Potncia ................................................................................................................. 532

Sries de Taylor e Maclaurin .................................................................................................. 540

Apndice A: Grficos e transformaes grficas importantes para memorizar 547

Apndice B: O crculo unitrio 553

Apndice C: Identidades trigonomtricas 555

Apndice D: Frmulas de Derivadas 557

Apndice E: Frmulas de Antiderivadas 559

ndice 561

Sries que contm x

Encontrando intervalos de convergnciaSries que aproximam valores de funo


ixO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

IntroduoVoc est tendo aulas de clculo? Sim? Ento voc PRECISA deste livro. Vou dizer o porqu:

Fato n 1: A melhor maneira de aprender clculo trabalhando com problemas de clculo.

No h como negar. Se fosse possvel entender as aulas apenas lendo o livro terico ou fazendo boas anotaes, todos seriam aprovados com louvor. Infelizmente, a dura verdade que voc precisa apertar os cintos e trabalhar os problemas at sentir seus dedos dormentes.

Fato n 2: A maioria dos livros apenas diz QUAIS so as respostas dos problemas prticos, mas no COMO chegar a elas!

claro que o seu livro pode ter 175 problemas para cada tpico apresentado, mas a maioria deles apenas traz as respostas. Isso significa que se voc no acertar a resposta, estar completamente perdido! Saber que errou no ajuda em nada se voc no souber POR QUE errou. Os livros de matemtica ficam sentados em um enorme trono, assim como o Grande e Terrvel Oz, e dizem No, tente de novo. E isso o que fazemos. Repetidas vezes. E continuamos a chegar resposta errada para o problema. Que maneira deliciosa de aprender! (No vamos nem discutir por que eles apenas dizem as respostas dos problemas pares. Isso significa que de fato o AUTOR do livro nem ao menos sentiu vontade de trabalhar os mpares?)

Fato n 3: Mesmo quando os livros de matemtica tentam mostrar os passos de um problema, eles no fazem um trabalho muito bom.

Os matemticos adoram pular passos. Voc pode estar conseguindo seguir bem uma explicao e, ento, de repente, PUF, se perde. Voc pensa consigo mesmo, Como eles fizeram isso? ou De onde veio esse 42? Ele no estava a no passo anterior!. Por que quase todos esses livros presumem que, para trabalhar um problema na pgina 200, melhor que voc conhea o que h nas pginas de 1 a 199 como a palma da sua mo? Voc no quer passar o resto da sua vida fazendo uma lio de casa! Voc s quer saber por que continua chegando a um nmero negativo ao calcular o custo mnimo para a construo de uma piscina cujo comprimento quatro vezes a soma de sua profundidade, adicionado razo pela qual a gua vaza de um trem que saiu de Chicago s 4h da manh, viajando na direo oeste mesma velocidade que o carbono se decompe.


Introduo

x O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Fato n 4: Ler listas de fatos divertido por um tempo, mas depois a piada fica velha. Vamos direto ao assunto.

Praticamente todo tipo de problema de clculo com o qual voc poderia se deparar est aqui afinal, este livro GIGANTE! Se mil problemas no forem suficientes, ento voc tem algum tipo de apetite maluco por matemtica e, meu amigo, eu procuraria ajuda profissional. Este livro de prtica era bom, mas para torn-lo TIMO, eu revisei e trabalhei todos os problemas e fiz anotaes nas margens quando achei que algo estava confuso ou precisava de um pouco mais de explicao. Tambm desenhei pequenos crnios ao lado dos problemas mais difceis, para que voc saiba que no precisa entrar em pnico se o exerccio for muito desafiador. Afinal, se voc est trabalhando em um problema e fica completamente desnorteado, no melhor saber que o problema FOI FEITO para ser difcil? reconfortante, pelo menos para mim.

Imagino que voc ter uma surpresa agradvel ao ver como as explicaes das respostas so detalhadas, e espero que ache que as minhas pequenas notas so teis ao longo do caminho. Pode me chamar de louco, mas acho que as pessoas que QUEREM aprender clculo e esto dispostas a gastar seu tempo abrindo o caminho por meio da prtica dos problemas devem, de fato, ser capazes de entender os problemas e aprender durante o percurso, mas essa s a minha opinio.

Boa sorte, e no se esquea de visitar o meu site, em www.calculus-help.com. Se tiver vontade, mande-me um e-mail com aquilo que anda pensando com seus botes. (Mas no literalmente, pois botes de verdade podem entupir os encanamentos da Internet.)

Mike Kelley

Todas as minhas

notas so feitas ao lado, como nesse caso, e indicam as partes do livro que eu estou tentando explicar.


Introduo

xiO Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

DedicatriaEste livro para a minha famlia, que iria me amar e me apoiar, eu escrevendo livros de matemtica absurdamente grandes ou no. Para a minha esposa, Lisa, cujo apego sanidade permanece firme mesmo quando a minha comea a se esgotar, eu no poderia te amar mais. Ao meu valente filho pirata, Nick, de quem eu espero que continue a terminar a maioria de suas frases com macacos me mordam, mesmo quando ele no tiver mais 3 anos. E para as minhas lindas gmeas, Erin e Sara, que acabaram de dizer sua primeira palavra: sapatos. Imagino que eu vou continuar a ouvir essa palavra muito mais vezes em um futuro no muito distante.

Um agradecimento especial a Mike Sanders, que me ajudou a transformar minha ideia de um livro de matemtica cheio de marcaes em realidade, e s minhas editoras, Sue Strickland e Ginny Munroe, que trabalham bastante para evitar que eu parea bobo.

Este livro em memria a Joe, que nos deixou em 2006. Quando eu escrevi o livro O Guia Completo Para Quem No CDF Clculo Joe me disse (com um pesado sotaque de ex-caminhoneiro de Long Island) que ele seria um tiro na mosca. Com uma sinceridade que no vi igual em nenhuma pessoa que j conheci, suas simples palavras de encorajamento significavam muito para mim, como um novo autor na luta. Obrigado, Joe. Voc estava certo.


Captulo 1EQUAES LINEARES E DESIGUALDADES

Um entendimento adequado e rigoroso das equaes lineares e seus formatos padro, dos segmentos lineares e dos algoritmos associados, dos sistemas de equaes lineares mltiplas e das desigualdades lineares um pr-requisito essencial para o estudo do clculo. Embora a maioria dos alunos de clculo esteja familiarizada com os tpicos presentes neste captulo, a mera familiaridade no suficiente. Para ter xito com tpicos mais avanados dos captulos que se seguem, o domnio dessas habilidades e desses conceitos fundamentais por parte do aluno deve ser assegurado.

Problemas com x elevado primeira potncia

Pontos e retas so os conceitos geomtricos mais bsicos, por isso,

voc vai

precisar entender como eles se relacionam antes de poder avanar

para

funes mais complexas e seus grficos. Voc precisar saber como

criar

equaes de retas, desenhar o grfico de retas no plano de coorde

nadas e,

at mesmo, encontrar os comprimentos e pontos mdios de segm

entos de

reta. Voc tambm precisar saber o que fazer com expresses qu

e contm

sinais de , e . Depois que voc dominar

isso, revisar como encontrar

solues de sistemas de equaes e desigualdades (quando voc tra

balha com

mais de uma equao ou desigualdade por vez).


Captulo 1 Equaes Lineares e Desigualdades

2 O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

Geometria LinearCriando, fazendo o grfico e medindo retas e segmentos de reta

1.1 Resolva a equao: 3x (x 7) = 4x 5.

Distribua 1 nos parnteses e combine os termos semelhantes.

Subtraia 4x e 7 de ambos os lados da equao para separar a varivel e os termos constantes.

Divida ambos os lados por 2 para obter a soluo.

1.2 Calcule a inclinao, m, da reta 4x 3y = 9.

Resolva a equao para encontrar y e para reescrev-la no formato de interceptao e inclinao.

A inclinao da reta o coeficiente de

1.3 Prove que a inclinao de uma reta no formato padro, B 0

Escreva a equao no formato de interceptao de inclinao encontrando y.

O coeficiente de x a inclinao da reta: m=

O formato de interceptao e

inclinao de uma reta

y = mx + b, em que m a

inclinao da reta e b a

interceptao de y.



3O Fabuloso Livro de Exerccios de Clculo

1.4 Reescreva a equao linear no formato padro.

Distribua os termos constantes e combine os semelhantes.

Multiplique por 15 o mnimo denominador comum, para eliminar as fraes.

Separe a varivel e os termos constantes.

1.5 Escreva a equao da reta que passa pelos pontos (3, 8) e (6,2) no formato de interceptao e inclinao.

Calcule a inclinao da reta.

Substitua a inclinao na frmula de interceptao e inclinao (y = mx + b) no lugar de m, substitua x e y usando um dos pares de coordenadas e encontre b.

Substitua m e b na frmula de interceptao e inclinao.

1.6 Calcule as interceptaes de x e y em 3x 4y = 6 e use-as para fazer o grfico da reta.

Para calcular a interceptao de x, substitua 0 no lugar de y e encontre x. Da mesma forma, substitua 0 no lugar de x para calcular a interceptao de y.

A equao estar no formato padro se tiver: (1) Nenhuma frao, (2) Somente termos com

x e y do lado esquerdo, (3) Somente o termo constante do lado direito e (4) Um

coeficiente de x positivo.

Multiplique toda a equao por 1 para que o coeficiente de x seja positivo. ( um requisito do formato padro.)

Pense no ponto (3, 8) como (x1, y1) e em (6, 2) como (x2, y2), ento, x1 = 3, y1 = 8, x2 = 6 e y2 = 2.




Portanto, o grfico de 3x 4y = 6 corta o eixo x em (2,0) e o eixo y em como ilustra a Figura 1-1.

Figura 1-1

O grfico de 3x 4y = 6 com suas interceptaes de x e y identificadas.

1.7 Presuma que a reta p contm o ponto (3,1) e que ela seja paralela a x 4y = 1. Escreva a equao de p no formato de interceptao e inclinao.

Calcule a inclinao de x 4y = 1, usando o mtodo do Problema 1.3.

Insira esta interceptao e as coordenadas (x1,y1) = (3,1) na frmula de inclinao e ponto.

Isole y para expressar a equao no formato de interceptao de inclinao.

A frmula

de inclinao e ponto

cria uma equao com

base

na inclinao da reta,

m, e

um ponto na reta, (x1

, y1).

No insira nada no lu

gar

de x e y que no tenh

a

pequenos nmeros ao

lado.




Nota: Os problemas 1.8 - 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD, da Figura 1-2.

1.8 De acordo com um teorema bsico da geometria euclidiana, as diagonais de um paralelogramo se interceptam nos pontos mdios. Verifique que esse teorema vlido para o paralelogramo ABCD.

Figura 1-2

Paralelogramo ABCD.

Calcule os pontos mdios de AC e BD; as diagonais interceptar-se-o nos pontos mdios se, e somente se, esses pontos mdios coincidirem.

Ponto mdio de AC: Ponto mdio de BD:

Nota: Os problemas 1.8 1.10 referem-se ao paralelogramo ABCD na Figura 1-2.

1.9 Prove que ABCD um losango verificando que seus lados so congruentes.

Aplique a frmula da distncia quatro vezes, uma em cada lado.

O ponto mdio de um segmento de reta com pontos terminais (x1,y1) e (x2,y2) . Em outras palavras, a coordenada de x do ponto mdio de um segmento a mdia das coordenadas de x de seus extremos. O mesmo se aplica para a coordenada de y.

A distncia entre os pontos

(x1,y1) e (x2,y2)

.




1.10 Prove que ABCD um losango verificando que suas diagonais so perpendiculares umas s outras.

Calcule as inclinaes das diagonais usando a frmula de inclinao do Problema 1.5.

Inclinao de AC: Inclinao de BD:

As diagonais so recprocas negativas, por isso, os segmentos de reta so perpendiculares.

Desigualdades Lineares e Representaes de IntervalosAdeus, sinal de igualdade. Ol, parnteses e colchetes.

1.11 Escreva a expresso x 4 usando a representao de intervalos.

Um intervalo definido pelos dois valores que ligam uma desigualdade, o valor inferior seguido pelo valor superior. Voc deve indicar se cada ponto terminal est includo no intervalo ou no. (Um colchete prximo a um ponto terminal significa que ele est incluso, e um parntese indica sua excluso.)

Qualquer nmero maior que ou igual a 4 torna esta afirmao verdadeira; 4 o limite mais baixo e deve ser includo. O limite maior o infinito. Portanto, x 4 representado como [4,).

1.12 Escreva a expresso x < 10 usando a representao de intervalos.

O limite superior 10 e deve ser excludo (j que 10 no menor do que 10). Qualquer nmero menor que 10 torna essa afirmao verdadeira; h valores infinitos na direo negativa, por isso, o limite inferior . Portanto, a afirmao da desigualdade escrita como (,10).

1.13 Escreva a expresso 6 x > 1 usando a representao de intervalos.

O limite inferior deve sempre preceder o limite superior, independentemente de como a expresso esteja escrita: (1,6].

1.14 Escreva a soluo para a desigualdade usando a representao de intervalos: 4x 2 > x + 13.

Separe as variveis e os termos constantes e, depois, divida pelo coeficiente de x.

As retas paralelas

tm inclinaes iguais.

As inclinaes de reta

s

perpendiculares so

recprocas umas s ou

tras e

possuem sinais opostos

.

Sempre

use parnteses ao

lado de ao rep

resentar

intervalos. Voc no p

ode

incluir algo qu

e no seja

um nmero real

, finito.

REGRA GERAL:

Use um colchete se o

smbolo da desigualdade

prximo ao nmero for

ou do contrrio, use

um parntese. Sempre

use parnteses prximos

a e .




Escreva a soluo como uma representao de intervalos: (5,).

1.15 Escreva a soluo da desigualdade usando a representao de intervalos:

3 (2x 1) 5 10x + 19

Distribua o termo constante, combine os termos semelhantes e isole x do lado esquerdo da equao.

A diviso por um termo constante negativo altera fundamentalmente a desigualdade:

Escreva a soluo na forma de representao de intervalos:

1.16 Desenhe o grfico da desigualdade: 2 x < 3.

Reescreva a desigualdade como um intervalo: [2,3). Para desenhar o grfico do intervalo em uma reta numrica, insira um ponto para cada limite (pontos cheios para limites includos e pontos vazados para limites excludos). Todos os valores entre esses limites pertencem ao intervalo, por isso, trace uma reta mais escura entre os pontos, como ilustrado na Figura 1-3.

Figura 1-3O grfico de 2 x < 3 inclui o limite de intervalo x = 2, mas exclui x = 3.

1.17 Desenhe o grfico da desigualdade: x > 1.

No h limite superior para o intervalo (1,), mas todos os valores maiores que 1 satisfazem a desigualdade. Portanto, escurea todos os nmeros maiores que 1 na reta numrica, como ilustrado na Figura 1-4.

Figura 1-4 O grfico de x > 1 exclui o limite inferior, x = 1.

Se voc multiplicar ou dividir ambos os lados de uma desigualdade por um nmero negativo, inverta o sinal da desigualdade. Nesse caso, se torna .

Alguns livros usam colchetes em vez de pontos cheios e parnteses em vez de pontos vazados na reta numrica.




1.18 Solucione e desenhe o grfico da desigualdade: 7 1 2x < 11.

Isole 2x no meio da desigualdade composta subtraindo 1 de cada expresso. Em seguida, divida cada expresso por 2 para isolar x, invertendo os sinais da desigualdade ao fazer isso.

O grfico da soluo, (5,4] ilustrado na Figura 1-5.

Figura 1-5 O grfico de 7 1 2x < 11 inclui x = 4 e exclui x = 5.

1.19 Desenhe o grfico da desigualdade:

Essa desigualdade contm duas variveis, x e y, por isto, seu grfico deve ser desenhado no plano de coordenadas. Observe que a desigualdade resolvida para encontrar y e (desconsiderando o sinal de desigualdade) ela se parece com uma equao linear no formato de interceptao de inclinao. A desigualdade linear possui a interceptao de y (0,2) e a inclinao

Figura 1-6

O grfico de tracejado,

e no slido, pois ele est excludo da

soluo (assim como um ponto vazado

indica a excluso de um grfico de

desigualdade em uma reta numrica).

O grfico tracejado separa o plano de coordenadas em duas regies (uma acima e outra abaixo da reta). Para determinar qual regio representa a soluo, escolha um ponto (x,y) em uma das regies e substitua os valores na desigualdade. Caso a afirmao resultante seja verdadeira, sombreie a regio que contm esse ponto. Caso contrrio, sombreie a outra regio.

Deixe o sinal de

negativo na parte

superior: Comeand

o

pela interceptao de

y,

desa em uma unidad

e

e ande em 3 direita

e

marque o ponto. Cone

cte os

pontos para desenhar

o

grfico da reta.

Ao sombrear a regio, voc est

dizendo: Todos esses

pontos, e no apenas aquele

que eu testei, tornam a

desigualdade verdadeira.




1.20 Resolva a equao: 2x y 4.

Resolva a desigualdade para encontrar y.

Este grfico slido (e no tracejado), pois a reta em si pertence soluo. Sombreie a regio acima da reta, como ilustrado na Figura 1-7.

Figura 1-7

Todos os pares ordenados acima da reta so solues vlidas para a desigualdade 2x y 4.

Equaes e Desigualdades de MduloResolva dois pelo preo de um

1.21 Resolva a equao: |3x 7| = 8.

Para que esta afirmao seja vlida, a expresso dentro do mdulo deve ser igual a 8 (j que |8| = 8) ou a 8 (j que |8| = 8).

A soluo x ou x = 5.

Se voc no quiser testar pontos para descobrir onde deve sombrear, resolva a equao para encontrar y e use essa regra geral: Sombreie acima da reta para maior que e abaixo da reta para menor que.

No solicitado que voc desenhe o grfico da soluo, pois uma reta numrica com pontos em e 5 no muito interessante.




1.22 Resolva a equao: 1 2|x + 6| = 4.

Isole o mdulo absoluto do lado esquerdo da equao.

Aplique a tcnica descrita no Problema 1.21.

1.23 Resolva a equao: 9 3|x + 2| = 15.

Isole o mdulo do lado esquerdo da equao.

Esta equao no tem soluo.

1.24 Resolva a desigualdade: |x 5| < 1.

A soluo para a desigualdade de valor absoluto |x + a| < b, em que a e b so nmeros reais (e b > 0), equivale soluo da desigualdade composta b < x + a < b.

1 < x 5 < 1

Resolva a desigualdade usando o mtodo descrito no Problema 1.18.

A soluo, em representao de intervalos, (4,6).

1.25 Desenhe o grfico da soluo para a desigualdade: 2|x 7| 5 1.

Isole o mdulo do lado esquerdo da desigualdade.

Remova as barras de mdulo e

crie

duas equaes uma com o

lado direito positivo e outra

com o lado direito negativo.

O mdulo de

um nmero sempre

positivo ou zero, por is

so,

no h como algo em

mdulo ser igual a 2

.

Corte as barras de desigualdade, coloqu

e

um sinal de desigualdade

equivalente esquerda, e

depois coloque o oposto do

lado direito no lado esquerdo.


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